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長(zhǎng)沙理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（2010級(jí)適用）姓名：性別：專業(yè)：學(xué)號(hào)：手機(jī)：（非常重要）填空題（每題4分，共20分）1.設(shè)，則。2.設(shè)函數(shù)由方程所確定，則在曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程為3.設(shè)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則。4.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，滿足，則，則。5.設(shè)是二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解，則。極限與積分的計(jì)算（共40分）計(jì)算下列極限（每小題10分，共20分）①②求極限，其中是給定的正整數(shù)。2.計(jì)算下列積分（每小題10分，共20分）①②求積分三、（10分）設(shè)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，，求證：四、設(shè)函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，且，試證：⑴，使得；⑵，使得。（本題10分）五、討論積分的斂散性。（本題10分）六、（10分）在區(qū)間內(nèi)，試比較函數(shù)與的大小，并證明你的結(jié)論。填空1.；2.；3.；4.；5..二、計(jì)算1.①解：====②解：原式===2.①解：因?yàn)?原式=②解：=+令，有=所以=三、證明：令，則，再令，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以，，因此有，故，從而有。四、證明：⑴使用反證法，即假設(shè)當(dāng)時(shí)，恒有成立，于是有。因此有，。從而有。于是有，即，這顯然與矛盾，故，使得為真。⑵仍然使用反證法。只需證，使得即可。這是顯然的，因?yàn)槿舨蝗?，則由在[0，1]上的連續(xù)性知，必有或成立，這與矛盾，再由的連續(xù)性及⑴的結(jié)果，利用介值定理即可證得，使得。五、分析：積分?jǐn)可⑿缘挠懻撌菙?shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，要用不等式技術(shù)和一些重要結(jié)論，其中Cauchy收斂準(zhǔn)則起作很大的作用。對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的來說必須要掌握。解：首先注意到。若，則當(dāng)充分大時(shí)，，從而當(dāng)充分大時(shí)，函數(shù)是遞減的，且這時(shí)。又因（對(duì)任何），故收斂。若，則

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