數(shù)據(jù)融合理論與應(yīng)用（第二版）課件：聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)和多假設(shè)濾波器

聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)和多假設(shè)濾波器6.1聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法6.2多假設(shè)濾波器●補(bǔ)記

聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法和多假設(shè)方法被認(rèn)為是在多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域最有效的兩種關(guān)聯(lián)方法。多假設(shè)跟蹤方法考慮回波來(lái)源于目標(biāo)、雜波和新目標(biāo)等各種可能的情況，構(gòu)造面向量測(cè)的關(guān)聯(lián)假設(shè)樹(shù)，借以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)和跟蹤。這種方法利用Bayes后驗(yàn)概率的傳遞特性，對(duì)假設(shè)樹(shù)的各個(gè)分枝進(jìn)行概率計(jì)算和評(píng)估，不斷反復(fù)“修剪”小概率不可能假設(shè)，合并相同目標(biāo)的假設(shè)。聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法是多假設(shè)方法的一個(gè)特例，它避免了“最近鄰”方法“唯一性”可能造成的關(guān)聯(lián)出錯(cuò)，能夠較好地適應(yīng)密集環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤。近年來(lái)，以這兩種算法為基本出發(fā)點(diǎn)的關(guān)于多目標(biāo)跟蹤的研究取得了很大的進(jìn)展。

在第四章，我們對(duì)這兩種算法的基本思想作了簡(jiǎn)短的介紹，本章我們對(duì)這兩種方法進(jìn)行系統(tǒng)、深入的研究。

6.1聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法

6.1.1聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法的基本思想聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(JointProbabilisticDataAssociation—JPDA)是Bar-shalom[1－3]和他的學(xué)生在僅適用于單目標(biāo)跟蹤的概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(PDA)的基礎(chǔ)上，提出的適用于多目標(biāo)跟蹤情形的一種數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法。

為了表示有效回波和各目標(biāo)跟蹤門(mén)的復(fù)雜關(guān)系，Bar-shalom引入了確認(rèn)矩陣的概念。確認(rèn)矩陣定義為

其中ωjt用以表示量測(cè)j是否落入目標(biāo)t的確認(rèn)門(mén)之內(nèi)。t=0表示沒(méi)有目標(biāo)，此時(shí)對(duì)應(yīng)Ω的列的元素都為1，這是因?yàn)槿我涣繙y(cè)都可能源于雜波或者是虛警。

量測(cè)落入跟蹤門(mén)相交區(qū)域的情形，對(duì)應(yīng)某些量測(cè)可能源于多個(gè)目標(biāo)。聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的目的就是計(jì)算每一個(gè)量測(cè)與其可能的各種源目標(biāo)相關(guān)聯(lián)的概率。

設(shè)θ(k)={θi(k)}θki=1

表示在k時(shí)刻的所有可能的聯(lián)合事件的集合，θk

表示θ(k)中元素的個(gè)數(shù)，其中

表示第i個(gè)聯(lián)合事件，它表示m(k)個(gè)量測(cè)源的一種可能，θijtj

(k)表示量測(cè)j在第i個(gè)聯(lián)合事件中源于目標(biāo)tj

(0≤tj≤n)的事件，θij0

表示量測(cè)j在第i個(gè)聯(lián)合事件中源于雜波或虛警。

設(shè)θjt(k)表示第j個(gè)量測(cè)與目標(biāo)t關(guān)聯(lián)的事件，則

這個(gè)事件稱為關(guān)聯(lián)事件。為使討論方便，我們用θ0t

(k)表示沒(méi)有任何量測(cè)源于目標(biāo)t。．

聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵是計(jì)算這些聯(lián)合事件和關(guān)聯(lián)事件的概率。聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)所依據(jù)的兩個(gè)基本假設(shè)是：

(1)每一個(gè)量測(cè)有唯一的源，即任一個(gè)量測(cè)不源于某個(gè)目標(biāo)，則必然源于雜波或虛警。換言之，我們不考慮有不可分辨的探測(cè)的可能性。

(2)對(duì)于一個(gè)給定的目標(biāo)，最多有一個(gè)量測(cè)以其為源。如果一個(gè)目標(biāo)產(chǎn)生多個(gè)量測(cè)，將取一個(gè)為真，其它為假。

滿足上述兩個(gè)假設(shè)的事件稱為可能事件(FeasibleEvent)。

一個(gè)聯(lián)合關(guān)聯(lián)事件θi

(k)，可以用以下關(guān)聯(lián)矩陣表示：

其中

表示在第i個(gè)聯(lián)合事件中，量測(cè)j是否源于目標(biāo)t，由以上兩個(gè)假設(shè)容易得到關(guān)聯(lián)矩陣滿足：

為了討論方便，我們引入兩個(gè)二元變量。

(1)量測(cè)關(guān)聯(lián)指示器：

τj

(θi

(k))稱為量測(cè)關(guān)聯(lián)指示器，表示量測(cè)j在聯(lián)合事件

θi

(k)中是否和一個(gè)真實(shí)目標(biāo)關(guān)聯(lián)。

則τ(θi

(k))能夠反映在聯(lián)合事件θi

(k)中任一個(gè)量測(cè)是否與某個(gè)真實(shí)目標(biāo)關(guān)聯(lián)的情形。

(2)目標(biāo)檢測(cè)指示器：

δt

(θi

(k))稱為目標(biāo)檢測(cè)指示器，表示任一量測(cè)在聯(lián)合事件θi

(k)中是否與目標(biāo)t關(guān)聯(lián)(即，目標(biāo)t是否被檢測(cè))。設(shè)

則δ(θi

(k))能夠反映在聯(lián)合事件θi

(k)中任一目標(biāo)是否為被檢測(cè)的事件。

設(shè)Φ(θi

(k))表示在聯(lián)合事件θi

(k)中假量測(cè)的數(shù)量，則

由以上關(guān)于可能聯(lián)合事件的討論可以看出，對(duì)一個(gè)給定的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，一旦給定反映有效回波與目標(biāo)或雜波關(guān)聯(lián)態(tài)勢(shì)的確認(rèn)矩陣后，則所有表示可行聯(lián)合事件的可行矩陣可以通過(guò)對(duì)確認(rèn)矩陣的拆分得到。根據(jù)上述兩個(gè)假設(shè)，對(duì)確認(rèn)矩陣的拆分必須遵循以下兩個(gè)原則：

(1)在確認(rèn)矩陣的每一行，選出一個(gè)且僅選出一個(gè)1，作為可行矩陣在該行唯一非零的元素。這實(shí)際上是為了使可行矩陣表示的可能聯(lián)合事件滿足第一個(gè)假設(shè)，即每個(gè)量測(cè)有唯一的源。

(2)在可行矩陣中，除第一列外，每列最多只能有一個(gè)非零元素。這實(shí)際上是為了使可行矩陣表示的可能事件滿足第二個(gè)假設(shè)，即每個(gè)目標(biāo)最多有一個(gè)量測(cè)以其為源。

我們考慮如圖6.1所示的最簡(jiǎn)單的多目標(biāo)跟蹤情形的例子。

圖6.1多目標(biāo)跟跟蹤情況(目標(biāo)數(shù)n=2，有效回波數(shù)m(k)=3)樣本書(shū)中沒(méi)有圖P89頁(yè)

圖6.1所對(duì)應(yīng)的確認(rèn)矩陣為

根據(jù)以上確認(rèn)矩陣的拆分原則，對(duì)Ω進(jìn)行拆分，可以得到如下8個(gè)可行矩陣以及由每個(gè)可行矩陣所對(duì)應(yīng)的可行事件。

通過(guò)以上對(duì)確認(rèn)矩陣的拆分，我們共得到8個(gè)可行的聯(lián)合事件。由這8個(gè)可行的聯(lián)合事件的組成，進(jìn)而可以得到每一個(gè)量測(cè)與目標(biāo)關(guān)聯(lián)的事件：

第一個(gè)量測(cè)與第一個(gè)目標(biāo)關(guān)聯(lián)的事件為

第一個(gè)量測(cè)不可能與第二個(gè)目標(biāo)關(guān)聯(lián)。

第二個(gè)量測(cè)與第一個(gè)目標(biāo)關(guān)聯(lián)的事件為

第二個(gè)量測(cè)與第一個(gè)目標(biāo)關(guān)聯(lián)的事件為

通過(guò)以上例子可以看出，可行矩陣和可行聯(lián)合事件之間是一一對(duì)應(yīng)的，而在實(shí)際應(yīng)用中，一般是通過(guò)對(duì)確認(rèn)矩陣的拆分而得到的可行矩陣來(lái)確定可行聯(lián)合事件的。根據(jù)拆分原則，一個(gè)確認(rèn)矩陣可以拆分成許多可行的聯(lián)合矩陣。當(dāng)目標(biāo)個(gè)數(shù)、有效回波數(shù)增大，可行矩陣的數(shù)量會(huì)迅速增大，通常呈指數(shù)增長(zhǎng)。另外波門(mén)相交的程度愈大，可行矩陣的數(shù)量也愈大。因此，開(kāi)發(fā)對(duì)確認(rèn)矩陣進(jìn)行正確的、有效的拆分算法是實(shí)現(xiàn)聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的一個(gè)重要保證。

由概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的兩個(gè)基本假設(shè)易知，在k時(shí)刻與目標(biāo)t關(guān)聯(lián)的事件具有下述特性：

(1)不相交性：

(2)完備性：

設(shè)

表示第j個(gè)量測(cè)與目標(biāo)t關(guān)聯(lián)的概率，則

由(6－14)，(6－15)式和全概率公式得

6.1.2聯(lián)合事件的概率計(jì)算

應(yīng)用貝葉斯法則，基于k時(shí)刻所有量測(cè)的聯(lián)合事件的條件概率為

這里仍假設(shè)不與任何目標(biāo)關(guān)聯(lián)的量測(cè)在體積為V的確認(rèn)區(qū)域中服從均勻分布，而與某個(gè)目標(biāo)關(guān)聯(lián)的正確量測(cè)服從高斯分布。所不同的只是假設(shè)所有的跟蹤門(mén)對(duì)應(yīng)整個(gè)監(jiān)督區(qū)域，即P

G=1，從而有

我們注意到一旦θi(k)被給定，則目標(biāo)探測(cè)指示器δ(θi(k))和虛警量測(cè)的數(shù)Φ(θi(k))也隨之被確定，因此

應(yīng)用乘法定理上式變?yōu)?/p>

我們注意到，一旦虛警量測(cè)數(shù)被給定以后，聯(lián)合事件θi(k)便由其目標(biāo)探測(cè)指示函數(shù)δ(θi(k))唯一確定，而包含Φ(θi(k))個(gè)虛警量測(cè)的事件共有CΦ(θi(k))m(k)個(gè)，而對(duì)于其余m(k)-Φ(θi

(k))個(gè)真實(shí)量測(cè)，在包含Φ(θi

(k))個(gè)虛警量測(cè)的事件中與目標(biāo)共有(m(k)-Φ(θi

k)))!種可能的關(guān)聯(lián)，故

而

其中PtD

式表示目標(biāo)t的探測(cè)概率，μF(θi(k))表示虛警量測(cè)數(shù)的先驗(yàn)概率分配函數(shù)。將(6－28)式和(6－29)式代入(6－27)式得到聯(lián)合事件θi

(k)的先驗(yàn)概率為

類似地，將(6－22)式和(6－30)式代入(6－20)式則得到聯(lián)合事件θi

(k)的后驗(yàn)概率為

和概率數(shù)據(jù)濾波器的情形相同，按照估計(jì)虛警量測(cè)數(shù)的概率分配函數(shù)μF(θ

i

(k))所使用的模型，參數(shù)JPDA使用μF(θi

(k))的泊松分布，即

將(6－20)式代入(6－19)式立得

將(6－32)式代入(6－31)式得

基于(6－33)式可以得到第j個(gè)量測(cè)與目標(biāo)關(guān)聯(lián)的概率為

6.1.3協(xié)方差計(jì)算

基于第j個(gè)量測(cè)對(duì)目標(biāo)t的狀態(tài)估計(jì)^xtj(k|k)的協(xié)方差為

根據(jù)經(jīng)典卡爾曼濾波的遞推公式[4]，有

其中

Wt(k)表示k時(shí)刻目標(biāo)t的增益矩陣；

St(k)表示k時(shí)刻目標(biāo)t的預(yù)報(bào)殘差的協(xié)方差矩陣。

由(6－19)式知：當(dāng)沒(méi)有任何目標(biāo)源于目標(biāo)t，即不利用任何有效回波對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行更新時(shí)，目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)值和目標(biāo)狀態(tài)的預(yù)報(bào)值相同，故

由(6－3)和(6－39)式得

由(6－18)式得

同理

將(6－41)、(6－42)、(6－43)和(6－44)式代入(6－40)式得

6.1.4n=1時(shí)JPDA和PDA的等價(jià)性證明

聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)是概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的推廣。這里對(duì)這一結(jié)論給一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。當(dāng)被跟蹤的目標(biāo)只有一個(gè)時(shí)，對(duì)于m(k)個(gè)量測(cè)共有m(k)+1個(gè)可能的聯(lián)合事件，即

其中θ0

(k

)表示所有量測(cè)都源于雜波或虛警的聯(lián)合事件，即

θi(k)(1≤i≤m(k))表示第i個(gè)量測(cè)與目標(biāo)關(guān)聯(lián)的事件，即

由上式容易得到：

當(dāng)目標(biāo)數(shù)目較多時(shí)，為了討論方便，我們假設(shè)跟蹤門(mén)足夠大，以至跟蹤門(mén)概率為1，而對(duì)于只有一個(gè)目標(biāo)的情形，我們?nèi)匀挥肞G

表示跟蹤門(mén)概率，則(6－29)式變?yōu)?/p>

因?yàn)榈趈個(gè)量測(cè)只在第j個(gè)聯(lián)合事件中與目標(biāo)關(guān)聯(lián)，從而得到第j個(gè)量測(cè)與目標(biāo)關(guān)聯(lián)的概率為

而沒(méi)有一個(gè)量測(cè)與目標(biāo)關(guān)聯(lián)的概率為

其中

將上式代入(6－54)和(6－55)式即得

6.2多假設(shè)濾波器

Reid[5]于1977年根據(jù)多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題基于“全鄰”最優(yōu)濾波器[6]和BarShalom的確認(rèn)矩陣的概念，提出了多假設(shè)跟蹤方法(MultipleHypothesisTracking)，多假設(shè)方法的思想如圖6.2所示。

圖6.2多假設(shè)跟蹤的基本思想

多假設(shè)方法中的“假設(shè)”和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)中的聯(lián)合事件的意義基本相同，所不同的是：

(1)在形成假設(shè)時(shí)不僅對(duì)任一有效回波要考慮虛警的可能性，而且也要考慮新目標(biāo)出現(xiàn)的可能性。

(2)k時(shí)刻的假設(shè)是由k-1時(shí)刻的假設(shè)和當(dāng)前累積量測(cè)集合關(guān)聯(lián)得到的。

多假設(shè)方法綜合了“最近鄰”方法和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)方法的優(yōu)點(diǎn)，其缺點(diǎn)在于過(guò)多依賴于目標(biāo)和雜波的先驗(yàn)知識(shí)，如已進(jìn)入跟蹤的目標(biāo)數(shù)、虛警數(shù)和新目標(biāo)數(shù)等。

6.2.1假設(shè)的產(chǎn)生和假設(shè)樹(shù)的形成

設(shè)Z(k)={zi(k)}m(k)i=1表示在第k次掃描中所得到的一組量測(cè)；

Zk={Z(1)，Z(2)，…，Z(k)}表示直到k時(shí)刻的累積量測(cè)集；

Ωk

表示k時(shí)刻的關(guān)聯(lián)假設(shè)集。．

Ωk中的假設(shè)把累積量測(cè)集Zk與目標(biāo)或雜波相關(guān)聯(lián)，Ωk是由k-1時(shí)刻的關(guān)聯(lián)假設(shè)集Ωk-1和當(dāng)前量測(cè)集Z(k)關(guān)聯(lián)而得到的。量測(cè)zi(k)和一個(gè)假設(shè)的關(guān)聯(lián)有下列3種可能：

(1)與原有的一個(gè)假設(shè)關(guān)聯(lián)，即zi(k)是一個(gè)航跡的繼續(xù)。

(2)zi(k)一個(gè)新目標(biāo)的量測(cè)，這時(shí)將產(chǎn)生一個(gè)新假設(shè)以起始一條新航跡。

(3)zi(k)源于虛警。

每一個(gè)目標(biāo)至多與一個(gè)落入跟蹤門(mén)中的當(dāng)前量測(cè)關(guān)聯(lián)。

下面我們通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明假設(shè)樹(shù)的生成過(guò)程。設(shè)

其中

設(shè)zj(i)=FA表示第i個(gè)掃描周期的第j個(gè)量測(cè)源于虛警；

zj(i)=NTk表示第i個(gè)掃描周期的第j個(gè)量測(cè)源于一個(gè)新目標(biāo)，并起始一條航跡Tk

；

zj(i)=Tk表示第i個(gè)掃描周期的第j個(gè)量測(cè)源于已經(jīng)起始的航跡Tk。

對(duì)于第一個(gè)掃描周期的第一個(gè)量測(cè)z1

(1)有兩種可能的情形，這兩種可能的情形構(gòu)成了關(guān)于z1

(1)的兩個(gè)假設(shè)：

同理關(guān)于z2

(1)也有兩個(gè)假設(shè)：

注意T1≠T2，這是因?yàn)樵谕粋€(gè)掃描周期的兩個(gè)量測(cè)不可能源于同一個(gè)目標(biāo)。由以上關(guān)于zi

(1)(i=1，2)的假設(shè)得到關(guān)于第一個(gè)掃描周期后累積量測(cè)集z1的假設(shè)為：

我們首先考慮第二個(gè)掃描周期中的第一個(gè)量測(cè)z1

(2)。z1

(2)共有4種可能的情形：

(1)源于虛警；

(2)源于在第一個(gè)掃描周期已起始的航跡T1

；

(3)源于在第一個(gè)掃描周期已起始的航跡T2

；

(4)源于一個(gè)新目標(biāo)T3。

對(duì)于第一種情形我們得到4種可能的假設(shè)：

對(duì)于第二種情形，因?yàn)樵诘谝粋€(gè)掃描周期中只有假設(shè)H3

(1)和H3(1)起始航跡T1

，故可能的假設(shè)只有兩個(gè)，分別為

其中

表示第j個(gè)掃描周期的第i個(gè)量測(cè)源于已起始的航跡Tl

并得到更新航跡Ts。

同樣的道理，對(duì)于第三種情形也得到兩個(gè)可能的假設(shè)：

和第一種情形相似，對(duì)于第4種情形我們得到4種可能的假設(shè)：

應(yīng)用上面同樣的方法，關(guān)于z2(2)可得如下假設(shè)：

如圖6.3所示，由以上關(guān)于zi(2)(i=1，2)的假設(shè)得到關(guān)于第一個(gè)掃描周期后累積量測(cè)集Z2的假設(shè)為：圖6.3假設(shè)樹(shù)表示

表6.1是圖6.3的矩陣表示，由該矩陣可以看出，在所有這34個(gè)假設(shè)中共包含8個(gè)航跡：

在每一個(gè)假設(shè)中可能包含多條航跡。例如，假設(shè)H10

(2)包含航跡T2

和T8，而假設(shè)H34

(2)則包含航跡T1、T2

、T5、T8

。

6.2.2假設(shè)估計(jì)

設(shè)關(guān)于當(dāng)前量測(cè)的事件θ(k)包含τ個(gè)源于已建立航跡的量測(cè)，v個(gè)源于新目標(biāo)的量測(cè)和Φ個(gè)源于虛警或雜波的量測(cè)。

為了討論方便我們引入關(guān)于θ(k)的上述情形的指示變量：

從而在θ(k)中已建立的航跡數(shù)為：

在θ(k)中起始的新航跡數(shù)為：

在θ(k)中假量測(cè)數(shù)為：

設(shè)Θk，l表示k時(shí)刻的第l條航跡，則由假設(shè)生成的概念可得Θk，l是由Θk-1

，s和θ(k)關(guān)聯(lián)得到的，即

事件θ(k)表示當(dāng)前量測(cè)集z(k)中的量測(cè)與目標(biāo)或雜波關(guān)聯(lián)的一種可能的情形，從而θ(k)可以表示為

其中

其中ti

表示與zi(k)關(guān)聯(lián)的航跡。

其中ni

表示由zi

(k)起始的新航跡。

其中0表示zi

(k)源于雜波或虛警。

以下我們計(jì)算每個(gè)可行假設(shè)的概率，我們的興趣是試圖導(dǎo)出假設(shè)Θk，l的概率和假設(shè)Θk-1，s

的概率之間的遞歸關(guān)系，從而當(dāng)接收到當(dāng)前掃描的數(shù)據(jù)后，不需要再處理以前所有的數(shù)據(jù)。應(yīng)用貝葉斯規(guī)則，容易得到

其中

如果一個(gè)量測(cè)zi

(k)源于一條已建立的航跡，則其服從高斯概率分布；如果一個(gè)量測(cè)zi

(k)源于雜波或虛警，則其在跟蹤門(mén)中服從均勻分布，即概率密度為V-1；如果一個(gè)量測(cè)zi(k)起始一條新航跡，也假設(shè)其服從均勻分布，則

和(6－26)式同樣的道理，一旦θ(k)給定，則δ(θ(k))、Φ(θ(k))和v(θ(k))也隨之被確定，

故

其中δ(θ(k))表示與(6－10)式對(duì)應(yīng)的向量探測(cè)指示器，Φ(θ(k))、υ(θ(k))分別表示事件θ(k)中的虛警數(shù)和新目標(biāo)數(shù)。包含Φ個(gè)虛警和υ個(gè)新目標(biāo)的事件的個(gè)數(shù)共有m(

k)!CΦ+υm(k)CυΦ+υ

個(gè)，故

而

6.2.3假設(shè)管理

1.假設(shè)刪除

假設(shè)刪除或修剪(HypothesesPr