數(shù)字電路與邏輯設計（第三版）課件：邏輯代數(shù)基礎

邏輯代數(shù)基礎1.1概述1.2邏輯代數(shù)的基本運算和門電路1.3邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則1.4邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換1.5邏輯函數(shù)的化簡習題

本章介紹分析和設計數(shù)字邏輯電路的基本數(shù)學工具———邏輯代數(shù)，內(nèi)容包括邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理，邏輯函數(shù)的描述方法及化簡方法等，同時介紹了數(shù)字量和模擬量的基本概念以及常用的數(shù)制與代碼。

1.1概述

1.1.1數(shù)字量和模擬量在自然界中，存在著各種各樣的物理量，這些物理量可以分為兩大類：數(shù)字量和模擬量。數(shù)字量是指離散變化的物理量，模擬量則是指連續(xù)變化的物理量。處理數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路，處理模擬信號的電路稱為模擬電路。同模擬信號相比，數(shù)字信號具有傳輸可靠、易于存儲、抗干擾能力強、穩(wěn)定性好等優(yōu)點。因此，數(shù)字電路獲得了越來越廣泛的應用。

1.1.2數(shù)制與代碼

1.數(shù)制

表示數(shù)碼中每一位的構成及進位的規(guī)則稱為進位計數(shù)制，簡稱數(shù)制(NumberSystem)。一種數(shù)制中允許使用的數(shù)碼個數(shù)稱為該數(shù)制的基數(shù)。常用的進位計數(shù)制有十進制、二進

制、八進制和十六進制。

數(shù)的一般展開式表示法如下：

式中，

n

是整數(shù)部分的位數(shù)，

m

是小數(shù)部分的位數(shù)，

ai

是第

i

位的系數(shù)，

R是基數(shù)，

Ri稱為第

i位的權。

1)十進制

基數(shù)R為10的進位計數(shù)制稱為十進制(Decimal)，它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢十進一，借一為十”。十進制數(shù)一般用下標10或D表示，如2310

，

87D

等。

2)二進制

基數(shù)R為2的進位計數(shù)制稱為二進制(Binary)，它只有0和1兩個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢二進一，借一為二”。二進制數(shù)一般用下標2或B表示，如1012

，

1101B

等。

3)八進制

基數(shù)R為8的進位計數(shù)制稱為八進制(Octal)，它有0、1、2、3、4、5、6、7共8個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢八進一，借一為八”。八進制數(shù)一般用下標8或O表示，如617

8，

547O

等。

4)十六進制

基數(shù)R為16的進位計數(shù)制稱為十六進制

Hexadecimal)，十六進制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)共16個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢十六進一，借一為十六”。十六進制數(shù)一般用下標16或H表示，如A116

，

1FH等。

2.不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

一個數(shù)可以表示為不同進制的形式。在日常生活中，人們習慣使用十進制數(shù)，而在計算機等設備中則使用二進制數(shù)和十六進制數(shù)，因此經(jīng)常需要在不同數(shù)制間進行轉(zhuǎn)換。

1)二—十轉(zhuǎn)換

求二進制數(shù)的等值十進制數(shù)時，將所有值為1的數(shù)位的位權相加即可。

【例1.1】

將二進制數(shù)11001101.11B轉(zhuǎn)換為等值的十進制數(shù)。

解

二進制數(shù)11001101.11B各位對應的位權如下：

位權：27

26

25

24

23

22

21

20

2-1

2-2

二進制數(shù)：

1

1

0

0

1

1

0

1.11

等值十進制數(shù)為

27

+26+23+22+20+2-1+2-2=128+64+8+4+1+0.

5+0.25=205.75D

2)十—二轉(zhuǎn)換

將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時，要分別對整數(shù)部分和小數(shù)部分進行轉(zhuǎn)換。進行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進制整數(shù)除以2，再對每次得到的商除以2，直至商等于0為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?，即第一次的余?shù)為二進制整數(shù)的最低有效位(LSB)，最后一次的余數(shù)為二進制整數(shù)的最高有效位(MSB)，所得數(shù)值即為等值二進制整數(shù)。

【例1.2】將13D

轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的二進制整數(shù)為1101B

。

進行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進制小數(shù)乘以2，積的整數(shù)作為相應的二進制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘以2。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確定小數(shù)位數(shù)。第一次積的整數(shù)為二進制小數(shù)的最高有效位，最后一次積的整數(shù)為二進制小數(shù)的最低有效位。

【例1.3】將0.125D轉(zhuǎn)換為二進制小數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的二進制小數(shù)為0.001B

。

3)八—十轉(zhuǎn)換

求八進制數(shù)的等值十進制數(shù)時，將各數(shù)位的值和相應的位權相乘，然后相加即可。

【例1.4】將八進制數(shù)71.5O

轉(zhuǎn)換為等值的十進制數(shù)。

解

八進制數(shù)71.5O各位對應的位權如下：

位權：81

80

8-1

八進制數(shù)：7

1.5

等值十進制數(shù)為

7×81+1×80+5×8-1=7×8+1×1+5×0.125=57.625D

4)十—八轉(zhuǎn)換

將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)時，要分別對整數(shù)部分和小數(shù)部分進行轉(zhuǎn)換。進行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進制整數(shù)除以8，再對每次得到的商除以8，直至商等于0為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?，即第一次的余?shù)為八進制整數(shù)的最低有效位，最后一次的余數(shù)為八進制整數(shù)的最高有效位，所得數(shù)值即為等值八進制整數(shù)。

【例1.5】將1735D

轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的八進制整數(shù)為3307O

。

進行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進制小數(shù)乘以8，積的整數(shù)作為相應的八進制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘以8。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確定小數(shù)位數(shù)。第一次積的整數(shù)為八進制小數(shù)的最高有效位，最后一次積的整數(shù)為八進制小數(shù)的最低有效位。

【例1.6】將0.1875D

轉(zhuǎn)換為八進制小數(shù)。

解轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的八進制小數(shù)為0.14O

。

5)十六—十轉(zhuǎn)換

求十六進制數(shù)的等值十進制數(shù)時，將各數(shù)位的值和相應的位權相乘，然后相加即可。

【例1.7】將十六進制數(shù)1A.CH

轉(zhuǎn)換為等值的十進制數(shù)。

解

十六進制數(shù)1A.CH

各位對應的位權如下：

位權：161

160

16-1

十六進制數(shù)：

1A.C

等值十進制數(shù)為

1×161

+10×160+12×16-1=1×16+10×1+12×0.

0625=26.75D

【例1.8】將287D

轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的十六進制整數(shù)為11FH

。

進行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進制小數(shù)乘以16，積的整數(shù)作為相應的十六進制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘以16。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確定小數(shù)位數(shù)。

第一次積的整數(shù)為十六進制小數(shù)的最高有效位，最后一次積的整數(shù)為十六進制小數(shù)的最低有效位。

【例1.9】

將0.62890625D

轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的十六進制小數(shù)為0.A1H

。

7)二—八轉(zhuǎn)換

將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)時，整數(shù)部分自右往左三位劃為一組，最后剩余不足三位時在左面補0；小數(shù)部分自左往右三位劃為一組，最后剩余不足三位時在右面補0；然后將每一組用一位八進制數(shù)代替。

【例1.10】將二進制數(shù)10111011.1011B

轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的八進制數(shù)為273.54O

。

8)八—二轉(zhuǎn)換

將八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時，將每位八進制數(shù)展開成三位二進制數(shù)即可。

【例1.11】將八進制數(shù)361.72O

轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的二進制數(shù)為11110001.11101B

。

9)二—十六轉(zhuǎn)換

將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)時，整數(shù)部分自右往左四位劃為一組，最后剩余不足四位時在左面補0；小數(shù)部分自左往右四位劃為一組，最后剩余不足四位時在右面補0；然后將每一組用一位十六進制數(shù)代替。

【例1.12】將二進制數(shù)111010111101.101B

轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的十六進制數(shù)為EBD.AH

。

10)十六—二轉(zhuǎn)換

將十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時，將每位十六進制數(shù)展開成四位二進制數(shù)即可。

【例1.13】將十六進制數(shù)1C9.2FH

轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的二進制數(shù)為111001001.00101111B

。

11)八—十六轉(zhuǎn)換

將八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)時，先將八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，再將所得的二進制

數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)。

【例1.14】將八進制數(shù)361.72O轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的十六進制數(shù)為F1.E8H

。

12)十六—八轉(zhuǎn)換

將十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)時，先將十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，再將所得的二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。

【例1.15】將十六進制數(shù)A2B.3FH

轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應的八進制數(shù)為5053.176O

。

3.代碼

在數(shù)字系統(tǒng)中，常用0和1的組合來表示不同的數(shù)字、符號、動作或事物，這一過程叫做編碼，這些組合稱為代碼(Code)。代碼可以分為數(shù)字型的和字符型的，有權的和無權的。數(shù)字型代碼用來表示數(shù)字的大小，字符型代碼用來表示不同的符號、動作或事物。有權代碼的每一數(shù)位都定義了相應的位權，無權代碼的數(shù)位沒有定義相應的位權。下面介紹三種常用的代碼：

8421BCD碼、格雷(Gray)碼和ASCII

碼。

1)8421BCD碼

BCD(BinaryCodedDecimal)碼即二—十進制代碼，用四位二進制代碼表示一位十進制數(shù)碼。8421BCD碼是一種最常用的BCD碼，它是一種有權碼，四位的權值自左至右依次為8、4、2、1。8421BCD碼如表1－1所示。

2)格雷(Gray)碼

格雷碼是一種無權循環(huán)碼，它的特點是：相鄰的兩個碼之間只有一位不同。表1－2列出了十進制數(shù)0~15的四位格雷碼。

3)ASCII碼

ASCII碼，

即美國信息交換標準碼(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)，是目前國際上廣泛采用的一種字符碼。ASCII碼用七位二進制代碼來表示

128個不同的字符和符號，如表1－3所示。

1.2邏輯代數(shù)的基本運算和門電路

邏輯代數(shù)(LogicAlgebra)是由英國數(shù)學家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1849年首先提出的，因此也稱為布爾代數(shù)(BooleanAlgebra)。邏輯代數(shù)研究邏輯變量間的相互關系，是分析和設計邏輯電路不可缺少的數(shù)學工具。所謂邏輯變量，是指只有兩種取值的變量：真或假、高或低、1或0。

1.2.1邏輯代數(shù)的基本運算

邏輯變量之間的關系多種多樣，有簡單的也有復雜的，最基本的邏輯關系有：邏輯與、邏輯或和邏輯非三種。

1.邏輯與

只有當決定某事件的全部條件同時具備時，該事件才發(fā)生，這樣的邏輯關系稱為邏輯與，或稱邏輯相乘。

在圖1－1電路中，只有當開關

S1和S2

同時接通時，電燈F

才會亮。若以S1、

S2表示兩個開關的狀態(tài)，以F

表示電燈的狀態(tài)，用1表示開關接通和電燈亮，用0表示開關斷開和電燈滅，則只有當S1

和S2同時為1時，

F

才為1，

F

與S1和S2之間是一種與的邏輯關系。邏輯與運算的運算符為“·”，寫成F=S1

·S2或F=S1S2

。

邏輯變量之間取值的對應關系可用一張表來表示，這種表叫做邏輯真值表，簡稱真值表。與邏輯關系的真值表如表1－4所示。圖1－1與邏輯電路

2.邏輯或

在決定某事件的諸多條件中，當有一個或一個以上具備時，該事件都會發(fā)生，這樣的邏輯關系稱為邏輯或，或稱邏輯相加。

在圖1－2電路中，當開關S1和S2中有一個接通(S1=1或S2=1)或一個以上接通(S1=1且S2=1)時，電燈F

都會亮(F=1)，因此F

與S1和S2之間是一種或的邏輯關系。邏輯或運算的運算符為“+”，寫成F=S1+S2?；蜻壿嬯P系的真值表如表1－5所示。圖1－2或邏輯電路

圖1－3非邏輯電路

1.2.2門電路

輸出和輸入之間具有一定邏輯關系的電路稱為邏輯門電路，簡稱門電路。常用的門電路有與門、或門、非門、與非門、或非門、與或非門、異或門、同或門等，它們的邏輯符號如圖1－4所示。圖1－4常用門電路的邏輯符號

1.3邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則

1.3.1基本公式邏輯代數(shù)的基本公式如下：

式(8)、(8′)稱為同一律；式(9)、(9′

)稱為交換律；式(10)、(10′

)稱為結合律；式(11)、(11′

)稱為分配律；式(12)、(12′

)稱為德·摩根(De.Morgan)定律；式(13)稱為還原律。

1.3.2常用公式

下面列出一些常用的邏輯代數(shù)公式，利用前面介紹的基本公式可以對它們加以證明。

(1)A+A·B=A

證明：

A+A·B=A·1+A·B

=A·(1+B)

=A·1

=A

公式的含義是：在一個與或表達式中，如果一個與項是另一個與項的一個因子，則另一個與項可以不要。這一公式稱為吸收律。例如：

(A+B)+(A+B)·C·D=A+B

公式的含義是：在一個與或表達式中，如果一個與項中的一個因子的反是另一個與項的一個因子，則包含這兩個與項其余因子作為因子的與項是可要可不要的。例如：

3.對偶規(guī)則

描述：對一個邏輯函數(shù)F，將所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到函數(shù)F的對偶函數(shù)F‘。

例如：已知

F1=A·(B+C)，

F2=A·B+A·C

F′1=A+B·C，F(xiàn)′2

=(A+B)·(A+C)

如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)亦相等。

例如：已知

A·(B+C)=A·B+A·C

則

A+B·C=(A+B)·(A+C)

1.4邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換

1.4.1邏輯函數(shù)常用的描述方法邏輯函數(shù)常用的描述方法有表達式、真值表、卡諾圖和邏輯圖等。

1.表達式

由邏輯變量和邏輯運算符號組成，用于表示變量之間邏輯關系的式子，稱為邏輯表達式。常用的邏輯表達式有與或表達式、標準與或表達式、或與表達式、標準或與表達式、與非與非表達式、或非或非表達式、與或非表達式等。

2.真值表

用來反映變量所有取值組合及對應函數(shù)值的表格，稱為真值表。

例如，在一個判奇電路中，當A、B、C三個變量中有奇數(shù)個1時，輸出F為1；否則，輸出F為0。據(jù)此可列出表1－13所示的真值表。

3.卡諾圖

將邏輯變量分成兩組，分別在橫豎兩個方向用循環(huán)碼形式排列出各組變量的所有取值組合，構成一個有2n個方格的圖形，其中，每一個方格對應變量的一個取值組合，這種圖形叫做卡諾圖?？ㄖZ圖分變量卡諾圖和函數(shù)卡諾圖兩種。在變量卡諾圖的所有方格中，沒有相應的函數(shù)值，而在函數(shù)卡諾圖中，每個方格上都有相應的函數(shù)值。

圖1－5為二~五個變量的卡諾圖，方格中的數(shù)字為該方格對應變量取值組合的十進制數(shù)，亦稱該方格的編號。

圖1－6為一個四變量的函數(shù)卡諾圖，方格中的0和1表示在對應變量取值組合下該函數(shù)的取值。圖1－5變量卡諾圖(a)兩變量；(b)三變量；(c)四變量；(d)五變量圖1－6一個四變量的函數(shù)卡諾圖

4.邏輯圖

由邏輯門電路符號構成的，用來表示邏輯變量之間關系的圖形稱為邏輯電路圖，簡稱邏輯圖。圖1－7函數(shù)F=

1.4.2不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換

1.表達式→真值表

由表達式列函數(shù)的真值表時，一般首先按自然二進制碼的順序列出函數(shù)所含邏輯變量的所有不同取值組合，再確定出相應的函數(shù)值。

2.真值表→表達式

由真值表寫函數(shù)的表達式時，有兩種標準的形式：標準與或表達式和標準或與表達式。

1)標準與或表達式

標準與或表達式是一種特殊的與或表達式，其中的每個與項都包含了所有相關的邏輯變量，每個變量以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項稱為標準與項，又稱最小項。

最小項的主要性質(zhì)：

(1)每個最小項都與變量的惟一的一個取值組合相對應，只有該組合使這個最小項取值為1，其余任何組合均使該最小項取值為0。

(2)所有不同的最小項相或，結果一定為1。

(3)任意兩個不同的最小項相與，結果一定為0。

最小項的編號：最小項對應變量取值組合的大小，稱為該最小項的編號。

從上面例子可以看出，一個與項如果缺少一個變量，則生成兩個最小項；一個與項如果缺少兩個變量，則生成四個最小項。如此類推，一個與項如果缺少n個變量，則生成2

n個最小項。

由真值表求函數(shù)的標準與或表達式時，找出真值表中函數(shù)值為1的對應組合，將這些組合對應的最小項相或即可。

【例1.20】

已知邏輯函數(shù)的真值表如表1－17所示，寫出函數(shù)的標準與或表達式。

2)標準或與表達式

標準或與表達式是一種特殊的或與表達式，其中的每個或項都包含了所有相關的邏輯變量，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項稱為標準或

項，又稱最大項。

最大項的主要性質(zhì):

(1)每個最大項都與變量的惟一的一個取值組合相對應，只有該組合使這個最大項取值為0，其余任何組合均使該最大項取值為1。

(2)所有不同的最大項相與，結果一定為0。

(3)任意兩個不同的最大項相或，結果一定為1。

最大項的編號:最大項對應變量取值組合的大小，稱為該最大項的編號。

從上面例子可以看出，一個或項如果缺少一個變量，則生成兩個最大項；一個或項如果缺少兩個變量，則生成四個最大項。如此類推，一個或項如果缺少n個變量，則生成2

n個最大項。

由真值表求函數(shù)的標準或與表達式時，找出真值表中函數(shù)值為0的對應組合，將這些組合對應的最大項相與即可。

【例1.22】已知邏輯函數(shù)的真值表如表1－18所示，寫出函數(shù)的標準或與表達式。

3)標準與或表達式和標準或與表達式之間的轉(zhuǎn)換

同一函數(shù)，其標準與或表達式中最小項的編號和其標準或與表達式中最大項的編號是互補的，即在標準與或表達式中出現(xiàn)的最小項編號不會在其標準或與表達式的最大項編號

中出現(xiàn)，而不在標準與或表達式中出現(xiàn)的最小項編號一定在其標準或與表達式的最大項編號中出現(xiàn)。

寫出其標準或與表達式。

解

【例1.24】已知

寫出其標準與或表達式。

解

3.真值表→卡諾圖

已知邏輯函數(shù)的真值表，只需找出真值表中函數(shù)值為1的變量組合，確定其大小編號，并在卡諾圖中具有相應編號的方格中標上1，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

例如，對于表1－19所示的邏輯函數(shù)F的真值表，它的卡諾圖如圖1－8所示。圖1－8表1－19邏輯函數(shù)F的卡諾圖

4.卡諾圖→真值表

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，只需找出卡諾圖中函數(shù)值為1的方格所對應的變量組合，并在真值表中讓相應組合的函數(shù)值為1，即可得到函數(shù)真值表。

圖1－9為邏輯函數(shù)F的卡諾圖。從圖1－9可以看出，當ABC為001、011、100和110時，邏輯函數(shù)F的值為1，由此可知邏輯函數(shù)F的真值表如表1－20所示。圖1－9邏輯函數(shù)F的卡諾圖

5.表達式→卡諾圖

已知邏輯函數(shù)的表達式，若要畫出函數(shù)的卡諾圖，則可以先將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般的與或表達式，再找出使每個與項等于1的取值組合，最后將卡諾圖中對應這些組合的方格

標為1即可。

圖1－10例1.25函數(shù)F的卡諾圖

從上面例子可以看出，一個與項如果缺少一個變量，則對應卡諾圖中兩個方格;一個與項如果缺少兩個變量，則對應卡諾圖中四個方格。如此類推，一個與項如果缺少n個變

量，則對應卡諾圖中2n個方格。

6.卡諾圖→標準表達式

已知函數(shù)的卡諾圖時，也可以寫出函數(shù)的兩種標準表達式:標準與或表達式和標準或與表達式。

1)由卡諾圖求函數(shù)的標準與或表達式

已知函數(shù)的卡諾圖，若要寫出函數(shù)的標準與或表達式，則將卡諾圖中所有函數(shù)值為1的方格對應的最小項相或即可。

【例1.26】已知函數(shù)F的卡諾圖如圖1－11所示，寫出函數(shù)的標準與或表達式。圖1－11例1.26函數(shù)F的卡諾圖

解從卡諾圖中看到，在編號為0、2、7、8、10、13的方格中，函數(shù)F的值為1，這些方格對應的最小項分別為。因此，函數(shù)F的標準與或表達式為

2)由卡諾圖求函數(shù)的標準或與表達式

已知函數(shù)的卡諾圖，若要寫出函數(shù)的標準或與表達式，則將卡諾圖中所有函數(shù)值為0的方格對應的最大項相與即可。

【例1.27】已知函數(shù)F的卡諾圖如圖1－12所示，寫出函數(shù)的標準或與表達式。圖1－12例1.27函數(shù)F的卡諾圖

解從卡諾圖中看到，在編號為1、5、9、15的方格中，函數(shù)F的值為0，這些方格對應的最大項分別為

因此，可以寫出如下的標準或與表達式:

1.5邏輯函數(shù)的化簡

我們知道，同一個邏輯函數(shù)可以寫成不同的表達式。用基本邏輯門電路去實現(xiàn)某函數(shù)時，表達式越簡單，需用的門電路個數(shù)就越少，因而也就越經(jīng)濟可靠。因此，實現(xiàn)邏輯函數(shù)之前，往往要對它進行化簡，先求出其最簡表達式，再根據(jù)最簡表達式去實現(xiàn)邏輯函數(shù)。最簡表達式有很多種，最常用的有最簡與或表達式和最簡或與表達式。不同類型的邏輯函數(shù)表達式，最簡的定義也不同。

函數(shù)的最簡與或表達式必須滿足的條件有:

(1)與項個數(shù)最少。

(2)與項中變量的個數(shù)最少。

函數(shù)的最簡或與表達式必須滿足的條件有:

(1)或項個數(shù)最少。

(2)或項中變量的個數(shù)最少。

常見的化簡方法有公式法和卡諾圖法兩種。

1.5.1公式法化簡

公式法化簡邏輯函數(shù)，就是利用邏輯代數(shù)的基本公式，對函數(shù)進行消項、消因子等，以求得函數(shù)的最簡表達式。常用方法有以下四種。

2.吸收法

利用公式A+AB=A吸收多余的與項。

【例1.29】求函數(shù)F=(A+AB+ABC)(A+B+C)的最簡與或表達式。

解

1.5.2卡諾圖法化簡

1.用卡諾圖化簡法求函數(shù)的最簡與或表達式

1)卡諾圖的相鄰性

最小項的相鄰性定義:兩個最小項，如果只有一個變量的形式不同(在一個最小項中以原變量出現(xiàn)，在另一個最小項中以反變量出現(xiàn))，其余變量的形式都不變，則稱這兩個最小項是邏輯相鄰的。

卡諾圖的相鄰性判別:在卡諾圖的兩個方格中，如果只有一個變量的取值不同(在一個方格中取1，在另一個方格中取0)，其余變量的取值都不變，則這兩個方格對應的最小項是邏輯相鄰的。

在卡諾圖中，由于變量取值按循環(huán)碼排列，使得幾何相鄰的方格對應的最小項是邏輯相鄰的。具體而言就是:每一方格和上、下、左、右四邊緊靠它的方格相鄰;最上一行和最下一行對應的方格相鄰;最左一列和最右一列對應的方格相鄰;對折相重的方格相鄰。圖1－13畫出了卡諾圖中最小項相鄰的幾種情況。圖1－13卡諾圖中最小項相鄰的幾種情況

圖1－14兩個相鄰最小項的合并

(2)四個相鄰的1方格圈在一起，消去兩個變量，如圖1－15所示。圖1－15四個相鄰最小項的合并

四個相鄰的1方格對應的四個最小項中有兩個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這兩個變量，只剩下不變的因子。例如，在圖1－15(e)中，四個相鄰的1方格對應的四個最小項分別為在這四個最小項中，

A和C兩個變量的形式變化過。因為

結果是將A和C兩個變量消去，剩下了兩個不變的因子。因此，將這四個方格圈在一起時得到一個簡化的與項。

(3)八個相鄰的1方格圈在一起，消去三個變量，如圖1－16所示。

八個相鄰的1方格對應的八個最小項中有三個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這三個變量，只剩下不變的因子。圖1－16八個相鄰最小項的合并

(4)2n個相鄰的1方格圈在一起，消去n個變量。

2n個相鄰的1方格對應的2n個最小項中，有n個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這n個變量，只剩下不變的因子。

(5)如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們?nèi)υ谝黄?，結果為1。

如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們?nèi)υ谝黄穑扔趯⒆兞康乃胁煌钚№椣嗷?，因此結果為1。這種情形表示在變量的任何取值情況下，函數(shù)值恒為1。

3)卡諾圖化簡法的步驟和原則

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，一般先畫出函數(shù)的卡諾圖，然后將卡諾圖中的1方格按邏輯相鄰特性進行分組劃圈。每個圈得到一個簡化的與項，與項中只包含在圈中取值沒有變

化過的變量，值為1的以原變量出現(xiàn)，值為0的以反變量出現(xiàn)。再將所得各個與項相或，即得到該函數(shù)的最簡與或表達式。

用卡諾圖化簡法求函數(shù)最簡與或表達式的一般步驟如下:

(1)畫出函數(shù)的卡諾圖。

(2)對相鄰最小項進行分組合并。

(3)寫出最簡與或表達式。

用卡諾圖化簡法求函數(shù)最簡與或表達式的原則如下:

(1)每個值為1的方格至少被圈一次。當某個方格被圈多于一次時，相當于對這個最小項使用同一律A+A=A，并不改變函數(shù)的值。

(2)每個圈中至少有一個1方格是其余所有圈中不包含的。如果一個圈中的任何一個1方格都出現(xiàn)在別的圈中，則這個圈就是多余的。

(3)任一圈中都不能包含取值為0的方格。

(4)圈的個數(shù)越少越好。圈的個數(shù)越少，得到的與項就越少。

(5)圈越大越好。圈越大，消去的變量越多，所得與項包含的因子就越少。每個圈中包含的1方格的個數(shù)必須是2的整數(shù)次方。

【例1.33】用圖形法化簡函數(shù)

寫出其最簡與或表達式。

解

首先將函數(shù)F轉(zhuǎn)換為一般與或表達式:

接著畫出函數(shù)F的卡諾圖，如圖1－17所示。圖1－17例1.33函數(shù)F的卡諾圖

【例1.34】用圖形法化簡函數(shù)(0，

1，

2，

5，

6，

7，

8，

10，

11，

12，

13，

15)，寫出其最簡與或表達式。

解

畫出函數(shù)F的卡諾圖，如圖1－18所示。圖1－18例1.34函數(shù)F的卡諾圖

由圖1－18(a)和(b)可以看出，函數(shù)F的卡諾圖有兩種可行的合并方案。

根據(jù)圖1－18(a)得到:

根據(jù)圖1－18(b)得到:

本例說明，一個函數(shù)的最簡與或表達式可以不是惟一的。

2.用卡諾圖化簡法求函數(shù)的最簡或與表達式

求函數(shù)的最簡或與表達式時，可以先求出其反函數(shù)的最簡與或表達式，然后取反得到函數(shù)的最簡或與表達式。在函數(shù)的卡諾圖中，函數(shù)值為0意味著其反函數(shù)的值為1，因此，

利用卡諾圖化簡法求函數(shù)的最簡或與表達式時，應對函數(shù)卡諾圖中的0方格對應的最小項進行分組合并。一般的步驟如下:

(1)畫出函數(shù)的卡諾圖。

(2)對相鄰的0方格對應的最小項進行分組合并，求反函數(shù)的最簡與或表達式。

(3)對所得反函數(shù)的最簡與或表達式取反，得函數(shù)的最簡或與表達式。

【例1.35】

用圖形法化簡函數(shù)

寫出其最簡或與表達式。

解先畫出函數(shù)F的卡諾圖，如圖1－19所示。

然后對0方格進行分組合并，得到的反函數(shù)的最簡與或表達式如下:

最后對反函數(shù)取反，得到的函數(shù)的最簡或與表達式如下:圖1－19例1.35函數(shù)F的卡諾圖

1.5.3帶無關項邏輯函數(shù)的化簡

1.邏輯函數(shù)中的無關項

在實際的邏輯關系中，有時會遇到這樣一種情況，即變量的某些取值組合是不會發(fā)生的，這種加給變量的限制稱為變量的約束，而這些不會發(fā)生的組合所對應的最小項稱為約

束項。顯然，對變量所有可能的取值，約束項的值都等于0。

對變量約束的具體描述叫做約束條件。例如，

AB+AC=0，

∑(5，

6，

7)=0，∑d(5，

6，

7)等。在真值表和卡諾圖中，約束一般記為“×”或“Φ”。

另外，有時我們只關心在變量某些取值組合情況下函數(shù)的值，而對變量的其