2024屆江蘇省鹽城市亭湖區(qū)伍佑中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆江蘇省鹽城市亭湖區(qū)伍佑中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C．5 D．62．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說法中錯(cuò)誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結(jié)余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個(gè)月的平均收入為萬元3．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里6．下列判斷錯(cuò)誤的是()A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．是的充分不必要條件7．將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B．函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．圖象關(guān)于直線對稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個(gè)根8．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味．著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音．由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂音的是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線方程是_________．14．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.15．已知關(guān)于的不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．16．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對的邊分別為，，的面積.（1）求角C；（2）求周長的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.20．（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且．（1）求角A的值；（2）若，設(shè)角，周長為y，求的最大值．21．（12分）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和，又單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，.(Ⅰ)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求證：.22．（10分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程，通過解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中：，因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為：，根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn)，所以直線的斜率為，因此直線方程為：，因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用，考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項(xiàng)正確；結(jié)余最高為月份，為，故項(xiàng)正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項(xiàng)正確；前個(gè)月的平均收入為萬元，故項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上，故選．3、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋蓡握{(diào)遞增，則（），解得（），當(dāng)時(shí)，D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)是遞減區(qū)間，A，B選項(xiàng)中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.4、C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．5、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計(jì)算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識，依次對四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.【詳解】對于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，有，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對于選項(xiàng)，已知直線平面，直線平面，則當(dāng)時(shí)一定有，充分性成立，而當(dāng)時(shí)，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對于選項(xiàng)，，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故充分性不成立；若，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確，符合題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個(gè)單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項(xiàng)中的對稱中心錯(cuò)誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對稱；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當(dāng)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時(shí)僅有一個(gè)解為，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.8、A【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè)，由于，排除B選項(xiàng)；由于，所以，排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形，構(gòu)造函數(shù)，并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，結(jié)合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，，由題意得，即，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.10、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.11、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，求得的最小值.【詳解】由于，函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為，所以函數(shù)的半個(gè)周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【點(diǎn)睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系，屬于簡單題目.12、B【解析】

求得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立，設(shè)，求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對于任意恒成立，即，又因?yàn)?，，對任意恒成立，設(shè)，其中，由不等式，可得：，則，當(dāng)時(shí)等號成立，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，，則，即：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.16、.【解析】.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由可得到，代入，結(jié)合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）由，并結(jié)合正弦定理可得到，利用，，可得到，進(jìn)而可求出周長的范圍．【詳解】解：（Ⅰ）由可知，∴.由正弦定理得.由余弦定理得，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，.的周長為.∵，∴，∴,∴的周長的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查了三角形的面積公式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)(2)【解析】

（1）分類討論，去掉絕對值，化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集即可．（2）要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，只要的最小值大于0即可,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求得最小值即可得到答案．【詳解】（1）不等式或或，解得或，即x>0,所以原不等式的解集為．（2）要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，只要的最小值大于0即可，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，只需最小值，即．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查利用絕對值三角不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．19、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進(jìn)而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導(dǎo)出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因?yàn)槭蔷匦危?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以是中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（圖1）（圖2）（2）因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，設(shè)，則，.在中，，