2024屆天津大學(xué)附屬中學(xué)高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2024屆天津大學(xué)附屬中學(xué)高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}2.連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時(shí),雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn),使不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.若表示不超過的最大整數(shù)(如,,),已知,,,則()A.2 B.5 C.7 D.85.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.6.當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的不小于103的概率是()A. B. C. D.7.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.8.設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.10.若函數(shù)在時(shí)取得最小值,則()A. B. C. D.11.已知正四面體外接球的體積為,則這個(gè)四面體的表面積為()A. B. C. D.12.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),則除以的余數(shù)是______.14.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為__________.15.假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張,要支付貳佰壹拾玖(219)元的貨款,則有________種不同的支付方式.16.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn),又直線上有兩點(diǎn)和,且,又點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為銳角.求:①點(diǎn)的極角;②面積的取值范圍.18.(12分)如圖,過點(diǎn)且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D,直線AC、BD分別交直線于點(diǎn)E、F,求證:是定值.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.20.(12分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,且,求a的取值范圍.21.(12分)設(shè)函數(shù),,其中,為正實(shí)數(shù).(1)若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè),證明:對(duì)任意,都有.22.(10分)在中,角的對(duì)邊分別為,且滿足.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)若的面積為,,求和的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

按補(bǔ)集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形,求出菱形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時(shí)有,,離心率,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn),焦點(diǎn),菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡(jiǎn)單題目.3、B【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)恒過,再分別討論的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系,即可求解【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示:其中,直線過定點(diǎn),當(dāng)時(shí),不等式表示直線及其左邊的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線的斜率,不等式表示直線下方的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線的斜率,不等式表示直線上方的區(qū)域,要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn),使不等式成立,只需直線的斜率,解得.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題,分類討論與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題4、B【解析】

求出,,,,,,判斷出是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列,求出即可.【詳解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用.5、D【解析】

設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行,直至不滿足條件退出循環(huán)體,求出的范圍,利用幾何概型概率公式,即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次,輸出的的范圍是,所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

因?yàn)?,所以,故選B.8、A【解析】

根據(jù)題意得到充分性,驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.9、B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡(jiǎn)運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值.【詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi),使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線,根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長(zhǎng),從而得出正四面體的棱長(zhǎng),最后可求出正四面體的表面積.【詳解】將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,如圖所示,設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則,得.因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的外接球是同一個(gè)球,則有,∴.而正四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)均為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),所以,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為,因此,這個(gè)正四面體的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接多面體,解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

利用二項(xiàng)式定理得到,將89寫成1+88,然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】,因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式,并將它展開分析,本題是一道基礎(chǔ)題.14、130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用,然后分類討論,將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景,創(chuàng)設(shè)問題情境,考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).15、1【解析】

按照個(gè)位上的9元的支付情況分類,三個(gè)數(shù)位上的錢數(shù)分步計(jì)算,相加即可.【詳解】9元的支付有兩種情況,或者,①當(dāng)9元采用方式支付時(shí),200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時(shí)共有種支付方式;②當(dāng)9元采用方式支付時(shí):200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時(shí)共有種支付方式;所以總的支付方式共有種.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,屬于中檔題.做題時(shí)注意分類做到不重不漏,分步做到步驟完整.16、【解析】由圖可知,當(dāng)直線y=kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時(shí),y=kx與y=f(x)的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn),即方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)曲線為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為(2)①②【解析】

(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對(duì)應(yīng)的曲線,并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(2)①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程,由此求得點(diǎn)的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進(jìn)而求得,從而求得點(diǎn)的極角.②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值,進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因?yàn)閯t曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為,即.(2)①點(diǎn)的極角為,代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為,且,所以為等腰三角形,又直線的普通方程為,又點(diǎn)的極角為銳角,所以,所以,所以點(diǎn)的極角為.②解法1:直線的普通方程為.曲線上的點(diǎn)到直線的距離.當(dāng),即()時(shí),取到最小值為.當(dāng),即()時(shí),取到最大值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.解法2:直線的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2,且圓心到直線的距離,因?yàn)?,所以圓與直線相離.所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為,最小值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本小題考查坐標(biāo)變換,極徑與極角;直線,圓的極坐標(biāo)方程,圓的參數(shù)方程,直線的極坐標(biāo)方程與普通方程,點(diǎn)到直線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).18、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)由題意求得的坐標(biāo),代入橢圓方程求得,由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,可得關(guān)于的一元二次方程,設(shè)出的坐標(biāo),分別求出直線與直線的方程,從而求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),利用根與系數(shù)關(guān)系可化簡(jiǎn)證得為定值.【詳解】(1)由已知可得:,代入橢圓方程得:橢圓方程為;(2)設(shè)直線CD的方程為,代入,得:設(shè),,則有,則AC的方程為,令,得BD的方程為,令,得,證畢.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是難題.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對(duì)應(yīng)的的值為.【解析】

(1)當(dāng)時(shí),求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達(dá),構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當(dāng)時(shí),,所以:,時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:.,函數(shù)的對(duì)稱軸為,,所以:,;,可得:,,,則:,所以:;所以:,令,,,則,因?yàn)椋簳r(shí),,所以:在,上是單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,因?yàn)椋海?),,(1),所以,;即的取值范圍是:,;,所以有,則,;所以當(dāng)取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值為;【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬于難題.20、(1)①極小值為1,無極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.(2)【解析】

(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”(),即是的零點(diǎn),那么由導(dǎo)數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導(dǎo)數(shù),存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,可以由和韋達(dá)定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,進(jìn)行討論即得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”().(),是函數(shù)的零點(diǎn).,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實(shí)根1,所以,得,根據(jù)①知,時(shí),是函數(shù)的極小值點(diǎn),所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上,得實(shí)數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,,是關(guān)于x的方程()的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,,,即,從而,,即..,,解得.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)(解法2)因?yàn)椋╝,b,,)所以().又因?yàn)楹瘮?shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,所以,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.由得,.(2.1)當(dāng)是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),且.所以,即.又,所以,所以.又,所以.(2.2)當(dāng)不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),則,是關(guān)于x的方程的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,所以得所以,

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