高考數(shù)學(xué)模擬

高考數(shù)學(xué)模擬預(yù)熱卷（新高考）（三）

【滿分：150分】

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知集合/=｛用，=>2，”+32.3叫廁仙”=（）

A.Oc.（l,3）D.[-3,U

2

2.已知復(fù)數(shù)二口，則切等于（）

A.lBN2C.2D.2d2

3.現(xiàn)將愛國福，和諧福，友善福，富強(qiáng)福，敬業(yè)福排成一排，愛國福與敬業(yè)福相鄰，則不

同排法有種（）.

A.72B.24C.36D.48

4.如圖，為測量一座古塔的高度，工作人員從與塔底同一水平面的A點(diǎn)測得塔頂C的仰角為

15。,然后從A出發(fā)朝古塔方向走了30米后到達(dá)B處，并測得此時(shí)的仰角為45°,則此古塔的

高度為（）

A.15心米B.（15d3-1）米c（15d3-3）米P15（5-1）

5.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與

沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015

年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對(duì)“一帶一路”沿線國家進(jìn)出

口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是（）

枚出口酸■進(jìn)口數(shù)…-……出口增迎——進(jìn)口增速

.這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進(jìn)口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

6.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資130萬

元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金

開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：Igl.12?0.05,1g1.3-0.H,lg2-0.30)()

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

7.在AABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，AN=LAB+[iAC,則A+p的值

為()

C.-D.I

4

8.在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=e'+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于

P,Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.C的準(zhǔn)線方程為y=-1B.線段PQ的長度最小為4

UU

C.M的坐標(biāo)可能為(3,2)D.OP9，恒成立

?=-3

10.下圖是函數(shù)y=sin(ox+9),則sin(ox+(p)=()

A.B.sin（71-2x）C>cos（2.v+三）D.cos（雙-2x）

366

11.已知函數(shù)y=f(r)是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意x￡R,都有f(x+4)=/(x)+/(2)成立,

當(dāng)re(0,2)時(shí)，f(x)=2,-I,給出下列結(jié)論，其中正確的是()

A.f(O)=O

B.點(diǎn)(0,4)是函數(shù)y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.函數(shù)y=/(r)在［-6,-2］上單調(diào)遞增

D.函數(shù)”=f(x)在|-6,6］上有3個(gè)零點(diǎn)

12.某市有A,B,C,D四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A的概率為，游覽

3

B,C,D的概率都套:，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立.用隨機(jī)變量X表示該游客

游覽的景點(diǎn)個(gè)數(shù)，則()

13

A.該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為B.F(^=2)=-

4H

C.P(^=4|=—D.￡(X)=—

246

三、填空題：木題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知F為橢圓C:1+上的右焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OF的垂直

a'

平分線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，若cosZWF=3,則橢圓C的離心率為

7

14.將數(shù)列｛2n-I｝與(3n-2)的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛a,｝,則｛a,｝的前n項(xiàng)和為

15.已知四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)都在球0的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且

16

PA上面ABCD,若四棱錐的體積為3,則該球的體積為.

16.若三棱柱ABC-ABC的體積為12,點(diǎn)P為棱AA上二點(diǎn)，則四棱錐P-BCCB的體積

為____________

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在四邊形ABCD中，LA=LC,E是AD上的點(diǎn)且滿足1BED與1ABD相似,

=371^DBE=-

4.6.DE=6.

0

(1)求BD的長度；

(2)求三角形BCD面積的最大值.

18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛a｝和等比數(shù)列b,｝滿足a=h=l,且

'<13—6,\)2'—3B

(1)求數(shù)歹U｛a,｝,｛b,｝的通項(xiàng)公式.

q=---------

(2)老；的”叫2以2,求G+C2+...+C,

19.(12分)某音樂院校舉行“校園之星”評(píng)選活動(dòng)，評(píng)委由本校全體學(xué)生組成，對(duì)A,B兩

位選手，隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生的評(píng)分，得到下面的莖葉圖：

A選手

4B選手

5

359

366

1

5240719557

31

8

8845083677167

0929

44072

(1)通過莖葉圖比較A,B兩位感1手所得分?jǐn)?shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,

得出結(jié)論即可)；

(2)校方將會(huì)根據(jù)評(píng)分記過對(duì)參賽選手進(jìn)行三向分流：

所得分?jǐn)?shù)低于60分60分到79分不低于80分1

分漪方向淘汰出局復(fù)賽待選直接晉級(jí)

記事件c:“A獲得的分流等級(jí)高于B”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)

生的概率，求事件C發(fā)生的概率.

20.(12分)如圖,AE上平面

ABCD,CFPAE,ADPBC,ADLAB,AB=AD=l.AE=BC=2.

(1)求證：BFP平面ADE;

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(3)若二面角E-BD-F的余弦值句求線段CF的長.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=e-ax-l,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，實(shí)數(shù)a是常數(shù).

(1)設(shè)a=e,求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

22.(12分)已知橢圓C：\+二=1(a>/>>0；經(jīng)過點(diǎn)(0,J3),離心率為I左右焦點(diǎn)分

/h27

別為Fi(-c,0),F2(c,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)P,N是C上異于M的兩點(diǎn)，若直線PM與直線PN的斜率之積為一3，證明：

M.N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

答案以及解析

一、單項(xiàng)選擇題

1.答案：B

解析：集合八=｛丫1網(wǎng)-2，｝=(-%1),

B=(xlx2-2x-3>0)=(-x,-1)U(3,+O)

則ANa,B=(-x,l)n[-1,3]=(-U)

故選：B

2.答案：B

2(1^02(14-/).

_=2=b

解析：二,復(fù)數(shù)I。-00+。1-戶

:憶|=山+1=42

故選B

3.答案：D

解析：先排愛國福與敬業(yè)福，共有A?3(種)不同打法，再將愛國福與敬業(yè)?？醋鲆粋€(gè)整

體與和諧福，友善福，富強(qiáng)福排序，共有A生24(種)不同期去，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理可

得，共有2X24=48(種)不同排法

4.答案：D

解析：設(shè)古塔高度為h米，在AABC中，ZACB=3(T,BC=Y2h,AB=30米.由正弦定理得

-,所以h=3(W2sinl50.因?yàn)?n15=sin(45-30)=#一",所以

sin30°siiil5°\J4

h=15(V3-1)米.

5.答案：D

解析：對(duì)A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出

口額都大于進(jìn)口額，則A正確；

對(duì)B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對(duì)C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；

對(duì)D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯(cuò)誤;

故選：D

6.答案：B

解析：設(shè)x年后研發(fā)資金超過200萬元，則130(1+12%?200,

即1』2"吟,戈愴1/2》館蓍).05*>0.19,解得*>3.8,故選B.

7.答案：A

解析：因?yàn)镸為邊BC上任意一點(diǎn)，故將AN=LAB+pAC中的AN化為AM得

!麗=義劉+"元變形得AM=2LAB+2HAe，則2A+2-1,可得/+

詳解：因?yàn)镹為AM的中點(diǎn)，AN=AAB+pAC,

所以；初=丈9+"充,即AM=2XAB+2pAC

因?yàn)镸為邊BC上任意一點(diǎn)，

所以21+2u=l,

所以為〃=；

故選A

8.答案：C

解析：顯然f(x)為定義在R上且圖象連續(xù)的函數(shù),

如圖，作出y=e與y=3-4x的圖象，

由圖像知函數(shù)f(x)=e，+4x-3的零點(diǎn)一定落在區(qū)門40.：j內(nèi)

.乂/f—l=-\/e_2<0、/('?)=Ve~I>0,故選C。

二、多項(xiàng)選擇題

9.答案：BCD

解析：由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,得拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,O),準(zhǔn)線方程為x=-1,A項(xiàng)

錯(cuò)誤.

4工消去y可得

設(shè)P(x,y,),Q(x2,y2),直線PQ的方程為x=my+l.聯(lián)

x2-(4m2+2)r+l=0,消去x可得y2-4my-4=0,所以x;+x2=4m2+2,yi+y2=4m.

PQ1=X+X2+p=4m2+4N4,故B項(xiàng)正確.當(dāng)m=l時(shí)，可得M(3,2),所以C項(xiàng)正確.又

■MIUUJ

x,x2=l,yy2=-4,所以O(shè)P?0Q=xxz+y,y2=-3,所以D項(xiàng)正確.故選BCD.

10.答案：BC

解析：本題主要考查三角函數(shù).

T2nit

，一兀一一二一

由題圖可知.2362

.2%

7=「二兀

所以他

所以lol=2

7T

,0

當(dāng)(p=2時(shí)，由函數(shù)圖象過點(diǎn)16:。吟

2n

n=—42初/wZ

且〃間3

所以

同理，當(dāng)(p=?2時(shí).3

所以,I3，

故本題正確答案為BC.

11.答案：AB

解析：在f(x+4)=f(x)+f(2)中，令x=-2,得f(-2)=0又因?yàn)楹瘮?shù)f(r)是R上的奇

函數(shù)，所以/(2)=-f(-2)-0,A正確/(x+4)=/(x),故/(r)是一個(gè)周期為4的奇函

數(shù)，岡為(0.0)是函數(shù)/(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以(4,0)也是函數(shù)/(x)的圖象的一

個(gè)對(duì)稱中心，B正確作出函數(shù)的部分圖像如圖所示

易得，函數(shù)/(r)在［-6,-2］上不具有單調(diào)性，C錯(cuò)誤D、根據(jù)上圖可知，函數(shù)/(x)在

［66］上有7個(gè)零點(diǎn)，口錯(cuò)誤

12.答案：ABD

解析：X的所有可能取值為0,1,2,3,4.

則尸吠=0)=卜一|卜—；卜北1一；局

P0)=1“一山("孫中4“-手卷

I51

所以該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為P(*=0)+P(￥=1)=+故A正確.

24244

=B正確.

P(X=4)=gK(g)=4'故C錯(cuò)誤，

乂『＜"=加|、時(shí)撲HM1-泊豬4

所以￡(*)=OX-5-+1X上+2X3+3XZ+4X，=”^D正確.

24248241.26

故選ABD.

三、填空題

2

13.答案：

3

由題意知F(c,0),則可設(shè)M［，為.將M仔.耳快入橢圓C的方程,得冬+養(yǎng)=1

解析:

V.2)a

/2X

即廣.設(shè)E為線段OF的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，則VMOE為直角三角形.

X/

山丁cosZMO尸=之所以不妨設(shè)'=3，則|OMl=7,c=6.由勾股定理可得

72

MEI=|yol=772-32=2V1O,即護(hù)“一六）|=40,得/0（1一~1）

?=40.又a?-b?=36,所以

a4-85a2+324=0,解得a?=81或a?=4(舍去)，故a=9,所以橢圓C的離心率

c62

e=-=-=-

〃93

14.答案：3n2-2n

解析：數(shù)列｛2n-1｝表示首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，各項(xiàng)均為正奇數(shù)，而數(shù)列｛3n-2｝表示

首項(xiàng)為L公差為3的等差數(shù)列，各項(xiàng)分別為交替出現(xiàn)的正奇數(shù)與正偶數(shù)，它們的公共項(xiàng)為數(shù)列

｛3n-2｝中的奇數(shù)項(xiàng)，所以｛a｝是首項(xiàng)為1,公差為6的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和

S，=?jx1+--2——x6=3,/-2/1.

15.答案：8467t

解析：設(shè)此球半徑為R,

因底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA上面ABCD,若四棱錐的體積為,

3

M),x2x2xPJ='6,,PA=4,

33

可以把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成一個(gè)以ABCD為底、PA為側(cè)棱的長方體，

則這個(gè)長方體的外接球就是四棱錐P-ABCD的外接球，球心O就是PC的中點(diǎn),

:.(2R)2=PC2=Ap2+AB2+AC2=42,V.R=^/6,

則該球的體積為4k7?

3

故答案為：

16.答案：8

卜/視C/＜。匕~崗＜禺=匕爾；—%-W-J舊"辦￡匕用中心K三次12=

解析：、4$

四、解答題

17.答案：⑴ZBED=K-N.4EBJ

4

DE_BD

在三角形BDE中,

sinZZJfiE-sinZ5￡P(guān)

即士*

.71.兀

sin—sin—

64

所以*=半,BD=Ui；

1也

2T

(2)因?yàn)檫礏ED~_ABD,所以ZC=N.4=NDBE=-

6

在三角形BDC中.BD^DC^+B^-2DC-BC^~

所以72=DC2+BC2?3DCBC,

所以72N2DCBC-43DCBC,

所以DCBCW72(2+43)

所以統(tǒng)版*=.；BC-sin-<Ax72@+耳卜I?+JJ)

所以三角形BCD面積的最大值為36+1時(shí)3

18.答案：(1)因?yàn)?a,｝為等差數(shù)列，且4,=1,所以可設(shè)公差為d,

則4,=1+(n-1)d,所以a2=l+d,a,=l+2d

心3

因?yàn)閍2?a;=6,所以(l+d)(l+2d)=6,解得d=l或2

45

d=一‘~_

又等差數(shù)列｛a,｝各項(xiàng)均為正數(shù)，所以2不合題意，舍去所以a,=n(neN')

因?yàn)椋鸼,｝為等比數(shù)列，且b=l,所以可設(shè)公比為q(q，0)，則b,=q"-

因?yàn)閎b=a=8,所以g-qz=8,解得g=2,滿足各項(xiàng)均為正數(shù)，所以b,=2"(neN")

1Qif1?V%。

⑵由⑴知4,=n,b,=2"l，所以/"為Jog熱心2心+i)2\HH+IA

?11——+———+L----------)=-?—=—W—N*)

所以G+c2+L+c,,乂223""+1J2V熊+D2("。、

19.答案：(1)通過莖葉圖可以看出，A選手所得分?jǐn)?shù)的平均值高于B選手所得分?jǐn)?shù)的平

均值；A選手所得分?jǐn)?shù)比較集中，B選手所得分?jǐn)?shù)比較分散.

⑵記CA,表示事件：“A選手直接晉級(jí)”，CA,表示事件：“A選手復(fù)賽待選”；

CB,表示事件：“B選手復(fù)賽待選”，①表示事件：中選手淘汰出局”.

則CA與CB,獨(dú)立，CA與CB,獨(dú)立，CA與CA2互斥，

C=(CACB)U(CACB2)U(CA,CB2).

P(C)=P(CACB)+P(CACB2)+P(CA,CB2)=P(CA)P(CB)+P(CA)P(CB2)+P(CA2)P(CB2)

由所給數(shù)據(jù)得CA,CA,,CB,,CB,發(fā)生的頻率分別為83

20202020

g1I1Q2

戰(zhàn)PfC%尸君PICA尸藥RCB尸而RCB*尸分

"小810831131.37

2020202Q2020400

WUUUUUUUU

20.答案：⑴依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以ABADAE的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸

正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A((),(),0),B(1,0,0),C(1,2,0),D((),1,0),E((),0,2).設(shè)

CF=h(h>0),則F(l,2,h).

依題意，口跖=(1,0。是平面ADE的法向量，乂可得群1.”跖=0,乂直線BF坪

面ADE,所以BFP平面ADE.

⑵依題意：“‘BD=(-1,1,6)",BE=(-1,0,2)',CE=(-1,-2,2).

,'UUU

設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量，貝/”密"軌即「"k。’不妨令z=l,可得

|[小=卜*+2==0,

LLOCFn4

n=(2,2,l).因此有cos〈CM”〉=瓶=-二

|C￡[|?|9

所以，直線CE與平面BDE所成角的正弦值為2

/UUD.

(3)設(shè)m=(%yN)為平面BDF的法向量，則，“盤一"”即+;V=°-

|[〃八？/=0,L2y+Az=0,

不妨令尸1,可得;m=

4

由題意，有GOS〃”./0h"""|'|解得力=與經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意

。鼻I37

所以，線段CF的長句；

21.答案：⑴,??a=e,f(x)=e'-ex-1,

V-f(x)=e*-e,f(l)=-l,f(l)=O.

當(dāng)口時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(l,f⑴)處的切線方程為尸1

(2)Vf(x)=e'-ax-1,

.V.f(x)=e1-a.

當(dāng)把0口寸，f(x)>0,故f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，山/，(x)=ei-a=O,得x=Ina,

,.當(dāng)x<lna時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x>Ina時(shí)，f(x)>0,

f(x)在(-ao,Ina)上單調(diào)遞減，在(InaM)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)頡時(shí)，蟻)在肚單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，Kx)在(-00,Ina)上單調(diào)遞減，在(InaH))上單調(diào)遞增

=1

22.答案：⑴因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)(0,V3)所以b=d3;又因?yàn)椤?

￡一！

所以。-3;乂1=°2-解。=2,/>=6

所以橢圓C的方程為4'弓=

(2)設(shè)P,M,N三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xp,yp),(xy,yy),(xx,yy),

設(shè)直線PM,PN斜率分別為k,k2，則直線PM方程為y-yp=ki(X-Xp),

由方媼白+下

消去y，得

匕?-》=勺儀-孫)

22222

(3+4k;)x-8kx(ktxp-yp)x+4kxg-8k!xpyp+4yp-12=0,

由根與系數(shù)關(guān)系可行導(dǎo)修,+打=踹的孫/1

3+4A,1

尸—8%—3與

故“

3+隔

同理吁"“空V

又k/

3

一幅”外_6號(hào)+幽

占乂與河+.=Sk2(kzXf>-yP)

3+4k：=3+4H)一秋「+3

6”+8勺必,4婷今-我%-3小一~

則Xv二

3+4X7-—

從而xy+xv=0.

即M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

2021屆高考數(shù)學(xué)模擬預(yù)熱卷（新高考）（一）

【滿分：150分】

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合A={yly=2',xeR）,B={yly=x2,xeR},則O

A.ACBB.A-BC.A=BD.A0B=0

2.已知純虛數(shù)z滿足（l-2i）z=2+ai,其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

3.5名同學(xué)相約去國家博物館參觀“偉大的變革一慶祝改革開放40周年大型展覽”參觀結(jié)

束后5名同學(xué)排成一排照相留念，若甲、乙二人不相鄰，則不同的排法共有（）

A.36種B.48種C.72種D.120種

4.如圖，從山頂A望地面上C,D兩點(diǎn)，測得它們的俯角分別為45。和30。,已知CD=100米，點(diǎn)

C位于BD上，則山高AB等于（）

l>cH

A.100米B.5(h/3米C.50Y2米D.50(43+1)米

5.設(shè)有兩組數(shù)據(jù)x,x2,L,x,與y,y2,L,y,,它們的平均數(shù)分別是x和y,則新的一組數(shù)據(jù)

2x;-3y+l,2x2-3y2+l,L,2x,-3y,+l的平均數(shù)是0。

A.2x-3yB.2x-3y+lC.4x-9yD.4x-9y+l

6.毛衣柜里的樟腦丸會(huì)隨著時(shí)間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a,經(jīng)過t天后

體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V=a-e*.若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)槭俊?則一個(gè)新丸體

9

積變?yōu)楫a(chǎn)/需經(jīng)過的時(shí)間為（）

27

A.125天B.100天C.75天D.50天

7.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且7+c2=a2+bc.若

sinB-sinC=sin2A,則△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

8.已知定義在上的函數(shù)f(x)滿足/(?Nfd)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=xlnx+l,

exe

若方程=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

2

1113-1」3

A.(~,1—]B.(一,1----]C.(1-c2,1—,]D.(J-e2J_—]

3ee3e2ee2e

二、多項(xiàng)選擇題：木題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得。分.

22

9.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn),Fz是雙曲線1-A=15>H力>0的焦點(diǎn).若在雙曲線上存在點(diǎn)

ab-

P,滿足ZF,PF2=60。，|OP1=4Ta,則()

A.雙曲線的方程可以是[B.雙曲線的漸近線方程是V2x±y=0

2'

C.雙曲線的離心率為J3D.VPFF2的面積為，3a2

10.等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,已知So=0,S;=25,貝11()

A.a;=0B.｛a,｝的前n項(xiàng)和中S,最小

C.nS,的最小值為-49D.2的最大值為0

11.已知函數(shù)f(x)=-log2X,下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(x|)為偶函數(shù)

B.若f(a)=1f(b),其中a>0,b>0,a#b,則ab=1

C.函數(shù)f(-x2+2x)在(1,3)上單調(diào)遞增

D.若0<a<l,則|f(l+a)k<f(l-a)I

12信息熠是信息論中的一個(gè)重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1乩出

P(X=O=A>0,打=12.…〃這以=1占“白&H(X)=-￡pJog,Pi

t，定義X的信息嫡氣,()

A.若n=1,則H(X)=O

B.若n=2，則H(X)隨著P,的增大而增大

o=—(/=]2L

C.若n"，則H(x)隨著”的增大而增大

D.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,Lm,且

P(Y=j)=p,+P2m-,(j=l,2…m),則H(X)<H(Y)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.拋物線y2ax上到其焦點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

14.己知數(shù)列｛a,｝和｛b｝,其中a,=n2,nGN*,｛b｝的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對(duì)于任

意neN*,｛b,｝的第a,項(xiàng)等于｛a,｝的第b,項(xiàng)，則評(píng)性?)=.

15.已知三棱錐P-ABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PAPB.PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開

成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為246,則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的體

積為_________

16.已知長方體木塊ABCD-AB.CD中AB=BC=12cm,AA=8cm,從該木塊中挖去一個(gè)圓

錐，使得圓錐的頂點(diǎn)為正方形A.B,CD,的中心，底面圓為正方形AB8的內(nèi)切圓，則剩余部分

的表面積為____________

四、解答題：木題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)己知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)47(acosB+bcosA)=ac,且

sin2A=sinA,

(1)求A及a;

⑵若b-c=2,求BC邊上的高.

18.(12分)設(shè)｛a｝是公比不為1的等比數(shù)列，a為必a,的等差中項(xiàng)?

(1)求｛a｝的公比;

⑵若a,=l,求數(shù)列｛na,｝的前n項(xiàng)和.

19.(12分)為評(píng)估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取

(1)為評(píng)估設(shè)備M的性能，從樣本中任意抽取一個(gè)零件，記其直徑為X,并根據(jù)以下規(guī)則進(jìn)行評(píng)

估(P表示相應(yīng)事件的頻率)：

①P(u-?！碭Wu+。)>0.6827;②P(u-2?！碭Wu+2。)>0.9545;③

P(u-3。<XWu+3o)》0.9973.

若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備M的性能等級(jí)為甲；若滿足其中兩個(gè)不等式，則設(shè)備M的

性能等級(jí)為乙;若僅滿足其中一個(gè)不等式，則設(shè)備M的性能等級(jí)為丙;若全部不滿足，則設(shè)備

M的性能等級(jí)為丁.試判斷設(shè)備M的性能等級(jí).

(2)將直徑小于或等于u-2?；蛑睆酱笥趗+2。的零件認(rèn)為是次品.

(i)從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上任意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望；

(ii)從樣本中任意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)

20.(12分)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,半輕為2.

(1)設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積

⑵設(shè)PO=4,OA,OB是底面半徑，月.ZAOB=90o,M為線段AB的中點(diǎn)，如圖，求異面直線

PM與OB所成的角的大小

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=log,(x+l),函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.

⑴寫出g(x)的解析式：

⑵若3>1,*6[()/]時(shí)，總有益)+8/心01成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

22.(12分)已知橢圓C：5+3=1(°>6>0)的離心率為當(dāng)，點(diǎn)/>(半凈￡C上.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

。)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷在橢圓C上是否存在三個(gè)不同點(diǎn)QMN(其中

2

MN的縱坐標(biāo)不相等),滿足兩十麗=1麗,且直線HM與直線HN傾斜角互補(bǔ)?若存在,

求出直線MN的方程，若不存在，說明理由.

答案以及解析

一、單項(xiàng)選擇題

1.答案：A

解析：集合A={yly=2',xGR}={yly>0},B={yly=x2,xGR}={ylyK)),.AG。

2.答案：B

解析：因?yàn)?l-2i)z=2+ai,所以=0+血染+去)=?-.又z是純虛數(shù)，所

\-2\(1-21)(1+2i)5

以2?2a=0,4+ar。,所以a=l.故選B.

3.答案：C

解析：除甲、乙二人外，其他3名同學(xué)排成一排，不同的胎去有AR種)M3名同學(xué)排好后，留

卜4個(gè)空位，排甲、乙，不同的排法有A2=12(種)，所以不同的排法有6x12=72(種).

4.答案：D

解析：在4ACD中，CD=100米

AC8

=30°,ZD?IC=ZACS-￡D=45°-30°=15°；,

sinZDsin.Z￡UC

△ABC中，ZACBm5o,LABC=90Xc=-^-米,

sin15°

.505in45°z/r八噸

，.AB-ACs.in45^=-------=5c0n(V3+1

sin150、J

5.答案：B

、.[2

解析:設(shè)z;=2x;-3y;+l(i=l,2,L,n),廠!1。rf￡=_(為+%+L+￡“)=_(*+&+!_+x?)-

nH

+外+L+/?)+""L+1=2x-3y+1°

Mn

6.答案：C

4

解析：由題意知Q>0,當(dāng)t=50時(shí)，行一0二〃.，如

9

網(wǎng)]得屋

所以當(dāng)r=8一“時(shí),有Q=Cl-e

2727

即(="=(#’得字=(/

所以t=75.故選C.

7.答案：C

解析：在△ABC中，Vb2+c2=a2+bc,

VAG(0,7t),.-4=-

3

'sinB.sinC=sin2A,

:bc=a2/弋入b2+c2=a2+bc,

:.(b-c)2=0,解得b=c.

..4ABC的形狀是等邊三角形.

8.答案：D

解析：因?yàn)椤╔)=/(一),且當(dāng)戈e[—,1]時(shí)，f(x)=xlnx+l,所以當(dāng)x￡(l,e)時(shí)，

xe

xlnx+l,x€[-J]

〃x)=〃一)---4nA■+1,則J/(x)=〈e，當(dāng)xw[-,1]時(shí)，

*v,—lnx+l,xe(l\e]

x?A

f(x)=l+lnxN0,則f(x)在[l,e]上單調(diào)遞減.因?yàn)榉匠?(x)—-4=0有三個(gè)不同的

_1

交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示.當(dāng)直線產(chǎn)=5*+a和f(x)的圖象相切時(shí)，結(jié)合圖

象，設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),由/(%)=1+111.%；,可得與=€-gxe?,代入方程

1」1113

x+a,可得〃=l-e2；當(dāng)直線N=—x+〃過點(diǎn)(一」——)電〃----,由圖可知實(shí)

"22ee2e

-13

數(shù)a的取值范圍是(l-e-J--]

2e

9.答案：BC

解析：如圖，Q()為FF的中點(diǎn)，:：PF+PP=2PO,

AUDCUT弋UUD

IUD聲U1T2,ULUILUULD

即附+.P-K\+2「川?產(chǎn)瑪co$6(F=4|m『.

又QOPI=VTA

uum」,ULUpULU,IUT

閘+|P用+,用,用=28筋.①

又由雙曲線的定義得IPFHPF2l=2a,

.(|PF|-|PF5)=4a2.

2

BP|PF|+|PF-2PF||PFS=4a2.②

由①一②得|PF|?|PF|=8a2,:|PF|2+|PF22=20a2.

在VFH沖，由余弦定理得

閥f+附『-耳用1

CQS60a_

21P￡||阿

:8a2=20a2-4c?,即c2=3a2.

又Qc?=a2+b2b2=2a2,即=2,，=近

a'a

:雙曲線的漸近線方程為V2x±y=0.

雙曲線的離心率為73,雙曲線的方程可以是￡-[=1

2

VPF,F;的面積501仍用|明卜的4/工=98/x[=2瓜.故BC正確.

10.答案：BC

/14J4+45d=0,|"尸"31|t

解析：設(shè)數(shù)列｛a,｝的公差為d,貝『,Jy解得私.2q=&2〃一11).=」

[15%+1054=2工||</=-,33

錯(cuò)誤；5"10")=*〃_5)、個(gè)1正確;；一]必設(shè)函數(shù)

/")二\-寫,"則'")="-gx，(°號(hào)卜，f(x)<0,當(dāng)#w(學(xué)內(nèi))時(shí)，

,20、

幻)>0,所以/0%=/々

k>J

20

6<y<7,Hf(6)=-48,f(7)=-49,所以最小值為?49,C正確；

4=1(n-10),沒有最大值，D錯(cuò)誤.

n3

11.答案：ABD

解析：對(duì)于A,f(x)=-log2|x|,f(I-x)=-logl-x=-log|x=f(x),所以函數(shù)f(x)

為偶函數(shù)，故A正確;

對(duì)于B,若f(a)=If(b)|，其中a>O,b>O,aCb,則f(a)=If(b)=-f(b),-logza=log,b,即

logza+log,b=logzab=0，得ab=1,故B正確;

對(duì)于C,函數(shù)/(-C+2x)=-Iog2(-r2+2r),由-x2+2x>0,解得0<x<2,所以函數(shù)

f(-x2+2x)的定義域?yàn)?0,2),因此在(1,3)上不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?<a<l,所以l+a>l>l-a>0,0<l-a2<1,所以f(1+a)<0<f(1-a),故

f(l+a)|-If(-a)=l-log2(1+a)-l-log2(1-a)=log2(1+a)+log2(1-a)=log2(1-a2)<0,

故D正確.故選ABD.

12.答案：AC

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,若n=1,則p=1,log21=0,..H(X)=-plogzp=-log21=0,A

工廣！時(shí),

正確.對(duì)于選項(xiàng)B，蘭

&Z1