已知遞推公式求通項公式這樣的問題不難解決了

淺談數(shù)列標(biāo)準(zhǔn)遞推式的求法六安二中已知形如數(shù)列的“標(biāo)準(zhǔn)遞推公式”求其通項公式這樣的問題已經(jīng)比較常見，也不難解決了．但很多題沒有明確給出“標(biāo)準(zhǔn)的遞推式”，其遞推關(guān)系是用其他形式給出，如20XX年安徽省高考文科數(shù)學(xué)卷的21題，就是以圖形的形式給出遞推關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是如何求出“標(biāo)準(zhǔn)的遞推式”，這也是不少同學(xué)頭痛的問題．筆者現(xiàn)在結(jié)合實例，就如何求數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)遞推式，談?wù)勛约旱囊稽c體會，希望對同學(xué)們有所幫助．例1（1）已知數(shù)列的前項和為，，，則的通項公式為；（2）已知各項均為正的數(shù)列滿足，，則的通項公式為．解析：（1）由得兩式相減，得即又故易得數(shù)列是以4為首頁，2為公比的等比數(shù)列（2）易得由得由累乘法易得：．評注：上述兩題所給的關(guān)系式均不是“標(biāo)準(zhǔn)的遞推式”，需要處理成“標(biāo)準(zhǔn)形式”．第（1）題只需用，而第（2）題需用因式分解進(jìn)行處理．例2如圖所示的數(shù)陣中，第20行的第2個數(shù)字是解析：只需觀察分母：2，4，7，11，…，不妨記，此問題實際是給出數(shù)列前項求其一個通項公式的問題，直接觀察很難得到，故采用差分法，易得…得一般式.再由迭加法易得……只要求得即可，故應(yīng)填．評注：此題是給出數(shù)列前幾項求數(shù)列的通項公式，但很難直接觀察出來，而差分后就比較容易得出規(guī)律．例3若定義在上的函數(shù)對一切都有，且，則=．解析：令得記則易得數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，即應(yīng)填．評注：此題是由抽象函數(shù)的形式給出遞推關(guān)系，只需用賦值法容易得出標(biāo)準(zhǔn)的遞推式．例4如右圖的程序框圖輸出的結(jié)果是．解析：將的值依次記作，則由題意得：即由疊加法得：故依題意要求，故填5051．評注：此題是由程序框圖的形式給出遞推關(guān)系，在新課程改革后也較為常見，只需仔細(xì)分析循環(huán)結(jié)構(gòu)，就比較容易得出標(biāo)準(zhǔn)的遞推式．例5設(shè)順次為函數(shù)圖象上的點（如下圖），順次為軸上的點，且，，，，均為等腰直角三角形（其中為直角頂點），設(shè)的坐標(biāo)為，則數(shù)列的通項公式為．解析：易求過的直線方程為與聯(lián)立得舍去負(fù)值，得∵過線段的中垂線，∴，∴，∴∴數(shù)列是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，∴顯然∴．評注：此題是由圖形的遞推給出遞推關(guān)系，也是最容易出現(xiàn)的形式，關(guān)鍵是由圖形找出如何由求出，再將表示成的式子．例6定義運算“”滿足下列性質(zhì)：①；②（）；則=.解析：記則由例3得評注：新定義的問題仔細(xì)觀察也不難得出遞推關(guān)系．以上是筆者在平時做題過程中收集整理的一些問題，希望同學(xué)們在平時做題的過程中注意對問題的整理、歸納、總結(jié)，養(yǎng)成善于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，做到舉一反三，不斷地提高自己的思維水平和能力．練習(xí)：1、已知數(shù)列滿足：，．求數(shù)列的通項公式．2、已知數(shù)列滿足：當(dāng)時有，且．若，求的值．3、試寫出數(shù)列1,3,6,10,15，的一個通項公式．4、已知定義在上的函數(shù)滿足：，且．求的值．5、若數(shù)列滿足：（，為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”．已知在“等差比數(shù)列”中，，求的末尾數(shù)字．6、如下