初高中數(shù)學(xué)銜接教材1

目錄

第一章數(shù)與式

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1絕對(duì)值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

第二章二次方程與二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像和性質(zhì)

2.2.2二次函數(shù)的三種表達(dá)方式

2.2.3二次函數(shù)的應(yīng)用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組的解法

第三章相似形、三角形、圓

3.1相似形

3.1.1平行線分線段成比例定理

3.1.2相似三角形形的性質(zhì)與判定

3.2三角形

3.2.1三角形的五心

3.2.2解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

3.3圓

3.3.1直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：圓幕定理

3.3.2點(diǎn)的軌跡

3.3.3四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定

3.3.4直線和圓的方程（選學(xué)）

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1,絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反

數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零.即

。>0,

|Q[=<0,〃=0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：I。-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距

離.

例1解不等式：歸-1|+卜-3|>4.

解法一：由x-l=0,得x=l;由x-3=0,得x=3;

①若x<l,不等式可變?yōu)?(x-1)-(x-3)>4,

即-2x+4>4,解得％<0,

又

.*.A：<0；

②若14尤<2,不等式可變?yōu)?尤一1)_(尤一3)>4,

即1>4,

...不存在滿足條件的工;

③若XN3,不等式可變?yōu)?x-l)+(x-3)>4,

即2x—4>4,解得%>4.

又x>3,

：.x>4.

綜上所述，原不等式的解為

%<0,或%>4.

解法二：如圖1.1—1,卜-1|表示％軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)尸到坐標(biāo)為1的點(diǎn)4

之間的距離|9|,即照|=|九一1|；|九一3|表示"由上點(diǎn)尸到坐標(biāo)為2的點(diǎn)3之間的

距離|尸8|,即|尸用=|九—3|.僅一3|

_

所以，不等式|x-l|+|x-3|>4的幾何意義即

PCABD

為IIIII”

x0134x

v_________)

|出|+|尸身>4.Y

由|A8|=2,可知|x—1|

圖

點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)1.1-1

。(坐標(biāo)為4)的右側(cè).

%V0,或%>4.

練習(xí)

1.填空:

(1)若兇=5,貝IJt=;若兇=|一4|,貝ljx=.

(2)如果同+國=5,且a=—1,貝I》=;若11—d=2,貝ljc=.

2.選擇題：

下列敘述正確的是

()

(A)若同=例，貝hi(B)若問〉網(wǎng),則a>b

(C)若a〈b,則向〈網(wǎng)(D)若問=網(wǎng)，則”=功

3.化簡：\x—5|—\2x—13|(%>5).

1.1.2.乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b~.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)-ai

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b5；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+d=/+方+2冬(ab￥bt；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+bf=a3+3a1b+3ab2+b，；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b]=d-3d加3crb-.

對(duì)上面列出的五個(gè)公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計(jì)算：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+X+1).

解法一：原式=，-1)[(上+1)2一

=(x2-l)(x4+x2+1)

x6-l.

角星法二：原式=(x+l)(x?—*+1)(》一1)(%2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知a+Z?+c=4,ab+bc+ac-4,求"+獷+c?的值.

角至：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.

練習(xí)

1.填空：

(1)-a2-—b2=(—Z?+-a)();

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4Z?2+c2+().

2.選擇題：

(1)若八；.是一個(gè)完全平方式則后等于

()

(A)m2(B)-m2(C)-m2(D)-m2

4316

2)不論a6為何實(shí)數(shù)，a2+b2-2a-4b+8的值

)

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)

數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如&(aNO)的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能

夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+4不+2-壽等是無理式，而

&￡+等x+1,x2+\[2xy+y2,等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)

有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果

它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如④與

應(yīng)，3G與折，百+后與百-指，26-3&與2百+3/，等等.一般地，aG

與石，a-Jx+by/ya>/x-byfy,+b與a6-力互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的

根號(hào)的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分

子中的根號(hào)的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行,

運(yùn)算中要運(yùn)用公式&筋=疝(心0,s0)；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成

分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加

減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式.

2.二次根式日的意義

0=時(shí)=卜a-0'

11[-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)[12b；(2)\Ja2b(a>(y);(3)yj4x6y(x<0).

角星：(1)=2屈；

(2)\Jcrb-1?|\/b-a\[b{a>0)；

(3)-2|X3|yfy--2x35/y(x<0).

例2計(jì)算：6+(3-g).

解法一：省+(3■/K二^

3-V3

—6.(3+—)

(3—6)(3+一)

_3—+3

9-3

_3(V3+1)

6

_73+1

2

解法二：百，(s?=￡=丁卓一=4=)，-=

3-V3V3(V3-1)V3-1(V3-1)(73+1)

A/3+I

2

例3試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)Vn-VTT^nVTT-Vio；(2)之和2叵一瓜.

V6+4

(g7n)(配+vn)

解:(1);?屈_而=心;而

Vi2+vnVi2+vn

7n-vio=而-W=(VFT-w)(vn+w)=],

、‘、i-VTT+Vio-而+V15,

X^/i2+^/^>^/iT+^/lo，

Vi2-Vn<VTT-Vio.

(2)*.*2>/2—V62友一卡_Q五一瓜)(2叵+指)_2

1―272+76-272+76

又4>2色，

.*.A/6+4>-\/6+2,\/2,

2

v2V2一底.

V6+4

例4化簡：(6+0產(chǎn).(百-3嚴(yán)5.

角生(百+3)20°4.(6—0)2005

2004

=(V3+V2).(V3-0)2004,(73-V2)=[(百+V2).(V3-應(yīng))廣?(行-偽

=12OO4-(V3-V2)=V3-V2.

例5化簡：(1)的-4君;(2)JX2+^-2(0<X<1).

解：(1)原式=,5+4式+4=7(V5)2+2X2XV5+22=7(2-^)2=|2-Vs|=75-2.

(2)原式=J(x-')2=八一工,

Vxx

?o<%<1,??—>I>x以,原工I=—x.

XX

V3—V25/3+5/2

例6已知x=求3x2-5xy+3y2的值

V3-V2

6-6百+血

解:x+y=(V3-V2)2+(百+揚(yáng)2=10,

G+&V3-V2

—垂)-6V3+V2

，3/-5孫+3/=3。+4-11孫=3xl02_u=289.

練習(xí)

填空:

1-73_

(1)

1+V3

(2)若J(5-X)(X-3)2=(尤-3)15-x,則x的取值范圍是

(3)4724-6754+3灰-27150=;

A/5[7i||Jx+1-\/x-1\jx+l+>Jx-1

(4)右*X='則/---1+/------/

2。尤+l+，x—17X+'—7X—1

2.選擇題:

等式、叵=^L成立的

條件是

\x-24x^2

)

(A)(B)%>0(C)x>2(D)0<x<2

若以下丕叵Z,求a+匕的值.

3.

。+1

4.比較大?。?—小_______小一小(填“>”，或"V”).

1.1.4.分式

1.分式的意義

形如4的式子，若3中含有字母，且3/0,則稱4為分式.當(dāng)M卻時(shí)，分

BB

式2具有下列性質(zhì)：

B

AAxMAA-^M

~B~BxM'~B~B^M'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像上，絲卡￡這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1若上±=4+)-,求常數(shù)AB的值.

x(x+2)xx+2

g??A+BA(x+2)+Bx(A+B)x+2A5x+4

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

???i+B=5，解得A=2#=.

2A=4,

例2(1)試證：-J—=i--(其中〃是正整數(shù))；

n(n+l)nn+1

(2)計(jì)算：—+—++—；

1x22x39x10

(3)證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)〃，有」—+—L+H--------------<一

2x33x4〃(〃+1)2

(1)證明：

n〃+1幾(〃+1)〃(幾+1)

(其中〃是正整數(shù))成立.

(2)解：由(1)可知

1八111

H-----------F+巨尹(/_

x22x3=(1_7+

..111/1\11

(3)證明:?---------1-----------FH---------------+(---------)=-----------

2x33x4n〃+12〃+1

又佗2,且拉是正整數(shù)，.??加■一定為正數(shù),

+---<1.

---------1-----------F

2x33x4〃(71+1)/

例3設(shè)e=￡,且e>l,2c2—5〃c+2a2=0,求e的值.

a

解：在2/—5ac+2q2=0兩邊同除以屋，得

2/—5e+2=0,

.\(2e-l)(e-2)=0,

.?.e=T<1,舍去；或e=2.

?二e=2.

練習(xí)

1.填空題：對(duì)任意的正整數(shù)〃，一—

〃(九+2)n〃+2

2.選擇題：

若生1=2,則X

x+y3y

()

(A)1(B)-(C)-(D)-

455

3.正數(shù)滿足丁=2孫，求匕的值.

尤+y

斗笆1111

4.Id---------1-----------1-----------F...H---------------

1x22x33x499x100

習(xí)題1.1

A組

1.解不等式：

⑴|x-l|>3;(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|X-1|+|A：+1|>6.

2.已知x+y=l,求九3+JP+39的值.

3.填空：

(1)(2+揚(yáng)18(2—廚9=;

(2)若J(l-4+J(l+a)2=2,貝跖的取值范圍是

1111

(3)

i+夜+夜+&+&+"+/+&+逐+#

B組

1.填空：

⑴則*^

2

(2)若/+孫-2y2=o,則%+3盯+/

x2+y，

r求焉一”的值.

2.已知：x=

G+6

C組

1.選擇題:

(1)若2J-bd-$/6則

()

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)計(jì)算等于

()

(A)>/-a(B)@(C)-口(D)-石

2.施牟3^*下呈2(%2H——)—3(xH—)—1=0.

XX

竹留1111

3.計(jì)舁：——+---+---+4-

1x32x43x59x11

11

4.試證：對(duì)任意的正整數(shù)小有+1-H-----------------------------

1x2x32x3x4+〃(九+1)(〃+2)<4-

1.2因式分解

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解

法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)"X2+4x—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby1；(4)xy-\+x—y.

解：(1)如圖1.1-1,將二次項(xiàng)％2分解成圖中的兩個(gè)％的積，再將常數(shù)項(xiàng)

2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一3x,就是

%2—3%+2中的一次項(xiàng)，所以，有

X2-3%+2=(x-1)(*-2).

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1.1-1中

的兩個(gè)工用1來表示(如圖1.1—2所示).

(2)由圖1.1-3,得

/+4x—12—(x-2)(%+6).

(3)由圖1.1-4,得

X2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x—by)x—i

(4)肛-l+x-y=肛+(%—y)—1j

=(%—1)0+1)(如圖1.1—5所示).圖?L5

課堂練習(xí)

一、填空題：

1、把下列各式分解因式：

(1)x2+5JC-6=o

(2)x2-5x+6=o

(3)x1+5%+6=o

(4)x2—5x—6=o

(5)x2~[a+\)x+a=c

(6)X2-11X+18=o

(7)6/+7x+2=o

(8)4w2-12m+9=o

(9)5+7x-6x2=o

(IO)]2/+孫-Gy?=_________________________________________________

2、x2-4x+=(x+3)(x+)

3、若x2+ax+0=(x+2)(x-4)貝Ua=,b=。

二、選擇題：(每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的)

1>在多項(xiàng)式(1)x2+7x+6(2)x2+4x+3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+10

(5)J?+]5X+44中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式〃+8/33/得()

A、(a+ll)(a-3)B、(a+U￡?)(a-3b)C、[a—\\b)(a—3b)D、[a—\\b)[a+3b)

3、(a+Z?y+8(“+匕)-20分解因式得()

A、(a+Z?+10)(a+Z?—2)B、(a+b+5)(a+b-4)

C、(a+b+2)(a+/?-10)D、(a+b+4)(a+b-5)

4、若多項(xiàng)式/-3x+a可分解為(x-5)(x-Z?),則a、8的值是()

A、a=10,b=2B>a=10,b=—2C、a=—10,b=-2D、a=—10,b=2

5、若/+儂-10=(x+a)(x+b)其中a、b為整數(shù)，則加的值為()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1>6(2p-g)2-11。-2P)+32、a3-5a2b+6ab2

3、2y2-4y-64、b4-2b2-8

2.提取公因式法

例2分解因式：

(1)a2(b-5)+a(5-h)(2)x3+9+3x2+3x

解：(1).a2(/?-5)+a(5-b)=a(b-5)(?-1)

(2)%3+9+3X2+3x=(x3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

X3+9+3X2+3X=(X3+3X2+3X+1)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(x+1)+2][(x+1)2-(X+1)X2+22]=(x+3)(x2+3)

課堂練習(xí)：

一、填空題：

1>多項(xiàng)式6/y-2xy2+4xyz中各項(xiàng)的公因式是

2、m(x-y)+n(y-x)=(x-y)?°

22-

3、m(x-y)+n(y-x)=(x-y)?0

4、m(x-y—z)+n[y+z-x)=(x—y—。

5、n^x-y—z)-x+y+z-(x—y-z)?°

6、-13加X，―390%2/分解因式得o

7.計(jì)算99?+99=___________________

二、判斷題：(正確的打上“J”，錯(cuò)誤的打上"X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)...........................................................................

()

2、am+hm+m=m(a4-b).............................................................

()

3、-3x3+6x2-15x=-3x(x2+2x-5).................................................

()

4、x"+x"T=x"T(x+])...............................................................

()

3：公式法

例3分解因式：(1)-a4+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2

角翠：(l)-a4+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-?2)=(4+a2)(2+a)(2-?)

(2)(3x+2yp—(x—y)2=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

課堂練習(xí)

——、a2-2ab+b2,a2-b2,d—/的公因式是

二、判斷題:（正確的打上“V”，錯(cuò)誤的打上“X”

4

12

1X若“-（?！唬?=&+?！梗?。』）………

、9--0.01()

2、9a2_8〃=(3d-(MJ=(3a+4b)(3a-4b)

()

3、25a2-16b=(5a+4b)(5a-4b)..........

()

4、…一丁=《—y2)=4+y)(x—y)....

()

5、a2-(ZJ+C)2=(a+b+c)(a-b+c).........

()

五、把下列各式分解

1、-9(/〃-〃)2+[tn+

3、4-—4x+2)4、X4-2X2+1

4.分組分解法

例4(1)x2-xy+3y-3x(2)2x?+xy—y——4-x+5y—6.

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(%+y-3).

或

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+ry-y2)-(4x-5)?)-6

=(2x_y)(x+y)_(4x_5y)_6

=(2x—y+2)(x+y—3).

課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式(1)-一/+。2一/+2御+2刀

(2)a2-4ab+4b2-6a+\2b+9

5.關(guān)于X的二次三項(xiàng)式。/+加什以。#0)的因式分解.

若關(guān)于x的方程加+法+,=0("0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是*、4，則二次三項(xiàng)式

2

ax+bx+c{a豐0)就可分解為a(x-x^(x-x2).

例5把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：

(1)x2+2x-l;(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令/+2%-1=0,則解得玉=一1+0,&=-"◎，

??x~+2x—1=[x—(―1+(-1—

—(x+1—A/2)(JC+1+V2).

(2)令V+4孫—4y2=o,則解得、=(一2+2,)y,%=(—2—20)y,

?\x2+4xy-4y2=[x+2(\-y/2)y][x+2(\+y/2)y].

練習(xí)

1.選擇題：

多項(xiàng)式2/-孫-15>2的一個(gè)因式為)

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)/+6%+8；(2)8a3-Z?3;

(3)金—2x—1；(4)4(x—y+l)+y(y_2x).

習(xí)題1.2

1.分解因式：

(1)蘇+1;(2)4X4-13X2+9;

(3)b1+c2+2ab+2ac+2bc(4)3f+5孫-2y?+x+9y-4.

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)x?-5x+3;(2)%2—2.\p2.x—3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

3.AABC二邊a,b,+b2+c2=ab+bc+ca>試判定A4BC的形狀.

4.分解因式:/+%一(足一Q).

5.（嘗試題）已知abc=l,a+b+c=2,a2+b2+c2=,求——i——+——?——+——J——的

ab+c-1be+a-1ca+b-1

值.

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

{情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次方程的根的求法，

如求方程的根(1)X2+2X-3=0(2)f+2x+i=o(3)/+2工+3=0}

我們知道，對(duì)于一元二次方程a^+bx+c=O(a和)，用配方法可以將其變

形為

因?yàn)?。和，所以?a2>0.于是

(1)當(dāng)加一4ac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根

_-b±db2-4ac

(2)當(dāng)加一4ac=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)

根

—_h

Xl_X2一―――；

2a

(3)當(dāng)爐一4QCV0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊"2)2

2a

一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2-\-bx+c=Q(存0)的根的情況可以由b2~4ac

來判定，我們把b2~4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(存0)的根的判別式,

通常用符號(hào)“A”來表示.

綜上所述，對(duì)于一元二次方程。必+加；+0=0(°利)，有

(1)當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為,2=生中三；

2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根%|=%2=—2;

2a

(3)當(dāng)AV0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

例1判定下列關(guān)于％的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)

數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.

(1)X2—3%+3=0；(2)x2—ax—1=0；

(3)X2—ax~\~(a—1)=0；(4)x2—2%+a=0.

解:(1)VA=32-4xlx3=-3<0,二?方程沒有實(shí)數(shù)根.

22

(2)該方程的根的判別式A=tz-4xlx(-l)=tz+4>0,所以方程一定有

兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

a+Ja-+4a—yjci-+4

V2”-2,

(3)由于該方程的根的判別式為

△="-4x1x3-1)=〃—4。+4=3—2)2,

所以，

①當(dāng)。=2時(shí)-，△=(),所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

X\=X2~1；

②當(dāng)a#2時(shí)一，A>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

%1=1,X2=a-1.

(3)由于該方程的根的判別式為

△=22—4xlxq=4—4。=4(1—a),

所以

①當(dāng)△>(),即4(1一〃)>0,即。<1時(shí)一，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

6=1+\J1-Cl,赴=1-y/1-Cl；

②當(dāng)△=(),即4=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

=X2=1；

③當(dāng)△<(),即時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著。的取值的變化而

變化，于是，在解題過程中，需要對(duì)。的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分

類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的

解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題.

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

若一元二次方程加+法+仁=。(中0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

-b+ylb2-4ac-b-yjb1-Aac

%=~,占——，

2a~2a

則有

-b+y/b2-4ac-b-yjb1-4ac-2bb

x,+x.=----------+----------=---=——；

2a2a2aa

-b+\b2-4ac-b-yjb2-4ach2-(h2-4ac)4acc

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

如果ax2+Z>x+c=0(存0)的兩根分別是xi,Xi,那么xi+xi=-->xvxi

a

=￡.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.

a

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程r+〃%+夕=0,若為，％2是其

兩根，由韋達(dá)定理可知

%1+%2=-P，X\-X2=q,

即〃=一（％1+%2），q=X\-X2,

所以，方程d+〃%+夕=0可化為12—（即+%2）%+%].%2=0，由于為，X2是一元

二次方程f+川+9=0的兩根，所以，%2也是一元二次方程好一（x1+%2）%+

X]-X2=0.因血有

以兩個(gè)數(shù)XI,X2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是

X2—（Xl+x2）x+xrX2=0.

例2已知方程5Y+京—6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及2的值.

分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，

再由方程解出另一個(gè)根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來

解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利

用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出女的值.

解法一：;？是方程的一個(gè)根，...5x22+%x2—6=0,—7.

所以，方程就為5/—7%—6=0,解得％i=2,X2=—|.

所以，方程的另一個(gè)根為一|,〃的值為-7.

解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為為，則2g=一（，=—

由（一]）+2=—七,得k=-7.

所以，方程的另一個(gè)根為一|,2的值為-7.

例3已知關(guān)于%的方程f+2（機(jī)-2）%+m2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這

兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21,求m的值.

分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得

到關(guān)于根的方程，從而解得加的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給

的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.

解：設(shè)即，初是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得

制+%2=-2（機(jī)一2）,xi-X2=m2+4.

*.*A：I2+X22—%r*2=21,

（%i+%2）2—3%-％2=21,

即[—2（m-2）]2—3（m2+4）=21>

化簡，得m2—16m—17=0,

解得m=—\,或機(jī)=17.

當(dāng)相=—1時(shí)，方程為f+Gx+Sn。，A>0,滿足題意；

當(dāng)m=17時(shí)，方程為了2+30%+293=0,A=302-4xlx293<0,不合題意，

舍去.

綜上，m=17.

說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所

對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的

值，取滿足條件的根的值即可.

（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的

判別式A是否大于或大于零.因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)

數(shù)根.

例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個(gè)數(shù).

分析:我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為X,y,利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù).也

可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.

解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是X,y,

則％+y=4,（1）

xy=—12.②

由①，得y=4—x,

代入②，得

%(4-%)=-12,

即x2~4x—12=0,

%=-2，或.x2=6,

J=6,%=-2

因此，這兩個(gè)數(shù)是一2和6.

解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2—4%—12=0的兩個(gè)根.

解這個(gè)方程，得》=-2,及=6.

所以，這兩個(gè)數(shù)是一2和6.

說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）

要比解法一簡捷.

例5若即和Q分別是一元二次方程2f+5%—3=0的兩根.

（1）求刈的值；（2）求，+」的值；（3）短+4.

玉々

解：???》和％2分別是一元二次方程2%2+5%—3=0的兩根，

53

??X]+々萬，x[x2=--

(1)V|%]一%2|2=X/+X^—2%]%2=(%l+%2)2-4X\X1=(-1)2-4x(—|)+6

49

--,

4

/5、2c/3、25c

112,2/x2/-)(---)~-2x(---)----F337

---卜—X]+々=(耳+%2)—2西元2=22=4

(2)22

Xj2X；（王々）2

xi-x299

4

(3)^13+^23=Ul+%2)(Xi2-XlX2+^22)=(Xl+^2)[(為+%2)2-3為愈]

=(-1)x[(-1)2-3x(-1)]=-^.

222o

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)

遇到求這一個(gè)量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：

設(shè)X1和X2分別是一兀二次方程ax2+/7x+c=0（存0）,則

-h+\jb2-4ac-b—\Jh2-4ac

X]-，X）-，

12a2a

-b+y/b2-4ac-b-ylb2-4ac2\jb2-4ac

?*?1Xi-X2I=

2a2a

2

-_-yj-b----4-a-c=_-V-Z-.

\a\\a\

于是有下面的結(jié)論：

若X1和X2分別是一元二次方程4必+加；+。=0（存0）,貝!J|xi—X2|=@（其

\a\

中A=Z>2—4ac）.

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.

例6若關(guān)于％的一元二次方程％2—%+a—4=0的一根大于零、另一根小于

零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：設(shè)為，及是方程的兩根，則

x\X2=a—4<Q,①

且A=（—l）2—4（a—4）>0.②

由①得。<4,

17

由②得。<彳.的取值范圍是aV4.

練習(xí)

1.選擇題：

（1）方程/_26"+3左2=0的根的情況是（）

（A）有一個(gè)實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）沒有實(shí)數(shù)根

（2）若關(guān)于％的方程加/+（2/71+1）%+771=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是