(最全面2021.3.5)全等三角形6大經(jīng)典模型總結(jié)

全等三角形6大相關(guān)模型總結(jié)總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個角之間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2.倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用“截長法”或“補(bǔ)短法”：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.圖形補(bǔ)全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形．遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．=1\*GB3①、常見模型1.三垂直模型（弦圖或K字型）2.手拉手模型3.4.普通旋轉(zhuǎn)型=2\*GB3②、常見輔助線1.角平分線相關(guān)輔助線2.中點相關(guān)的輔助線一、中點模型倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.應(yīng)用：1、（崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二、角平分線模型(一）角平分線的性質(zhì)模型輔助線：過點G作GE⊥射線ACA、例題1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點D到直線AB的距離是cm.2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A、例題輔助線：延長ED交射線OB于F輔助線：過點E作EF∥射線OB例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于F.求證：.例2、如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延長線于M.求證：.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC.A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB＋PC與AB＋AC的大小，并說明理由. B、模型鞏固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC.2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，求證：AD＋BD＝BC.3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分線交BC于D，求證：AC＋CD＝AB.三、等腰直角三角形模型（一）旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點，在斜邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結(jié)AM.（二）旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連結(jié)AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導(dǎo)出△BDF≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導(dǎo)出△BDF≌△ADE.A、例題1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系.2、兩個全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并證明你的結(jié)論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.（三）構(gòu)造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構(gòu)造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角形.（把∠2沿BD翻折并平移到∠4和∠3湊成45度）（四）將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖：A、例題應(yīng)用1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內(nèi)部一點，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.四、三垂直模型（弦圖模型或K型全等）1.【一線三等角或K型全等】例1（1）如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點在直線m上，過點B作BE⊥m于點E，過點C作CD⊥m于點D，說明線段BE，CD，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明.（2）將（1）中等腰Rt△ABC繞直角頂點A旋轉(zhuǎn)，使B，C分別位于直線m的兩側(cè)，過點B作BE⊥m于點E，過點C作CD⊥m于點D，說明線段BE，CD，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明.A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD于點E，交BC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠CDF.變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF.求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN.變式2、在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交于點P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF.五、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）△ABF≌△AEC.（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF.（四點共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結(jié)論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD.（（7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費爾馬點．若點M為△ABC的費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費爾馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為△ABC的費爾馬點．試說明這種作法的依據(jù)．2、△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：（1）BE＝CD；（2）BE⊥CD.3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形結(jié)論：（1）BD＝CF；（2）BD⊥CF.變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，AS⊥BC交FD于T，求證：（1）T為FD中點；（2）.變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC于S，求證：AS⊥BC.4、如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時，總有：六、半角模型條件：兩邊相等.思路：1、旋轉(zhuǎn)輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證F、B、M三點共線結(jié)論：（1）MN＝BM＋DN；（2）；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND.2、翻折（對稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN于點P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線.A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；（2）；