八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元 易錯(cuò)題檢測(cè)試卷

八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元易錯(cuò)題檢測(cè)試卷

一、選擇題

1.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D重合），PELBC于點(diǎn)

E,PFLCD于點(diǎn)F,連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP_LEF；③僅有當(dāng)NDAP=

45?；?7.5。時(shí)，4APD是等腰三角形；④NPFE=NBAP：⑤*_PD=EC.其中有正確有

2

（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

2.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是AC上的一點(diǎn)，且AB=AE,過(guò)點(diǎn)

A作AF_LBE,垂足為F,交BD于點(diǎn)G,點(diǎn)H在AD上，且EH〃AF.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)

為2,下列結(jié)論：①0E=0G；②EH=BE；③AH=2及-2，其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.如圖，菱形ABCD的邊，A8=8,Z8=60,P是AB上一點(diǎn)，BP=3,Q是CD

邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQO沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'.當(dāng)CA'的長(zhǎng)度最小時(shí)，

C'。的長(zhǎng)為（）

A.5B.7C.8D.—

2

4.如圖，在A6c中，BD，CE是A6c的中線，8。與CE相交于點(diǎn)。，點(diǎn)EG

分別是30,C0的中點(diǎn)，連接A。，若要使得四邊形。EFG是正方形，則需要滿足條件

（）

A.AO=BCB.ABJ_AC

C.AB=AC且AB_LACD.AO=8C且AO,8c

5.如圖，在矩形A8CD中，把矩形ABC。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到矩形莊CG,且點(diǎn)E落在

AO上，連接BE，BG,BG交CE于懸H,連接FH，若EH平分BEFG,則下列結(jié)

論：

①AE+CH=EH；

②ZDEC=2ZABE；

③BH=HG；

④C"=2AB,其中正確的個(gè)數(shù)是（）

6.如圖，矩形ABC。中，4）=5,AB=7,點(diǎn)E為。C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把A4DE沿AE

折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。a若次落在NA3C的平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為（）

C.2或。3-

D.w或2

25

7.如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)4作AGL3C于G,作于“，且

NGAH=45°,AG=2,AH=3,則平行四邊形的面積是（）

8.如圖，在aABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE_LAB于E,PF_LAC于

F,M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（）

9.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE對(duì)折至

AFE，延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,連接AG.則BG的長(zhǎng)（）

10.如圖，在菱形A8CD中，A8=8D,點(diǎn)E、F分別是A8、A。上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），且A￡=DF,連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H.給出如下幾個(gè)結(jié)

論：①②GC平分NBGD；③5四娜8血=3CG?；④NBGE的大小為定

4

值.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則

PE+PB的最小值為.

DC

12.如圖，NMAN=90。，點(diǎn)C在邊AM上，AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接

BC,AA(BC與AABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，連接DE并延

長(zhǎng)交AB所在直線于點(diǎn)F,連接AE當(dāng)^NEF為直角三角形時(shí)，AB的長(zhǎng)為.

13.如圖，某景區(qū)湖中有一段"九曲橋"連接湖岸A,B兩點(diǎn)，"九曲橋"的每一段與AC平行

貝I此"九曲橋”的總長(zhǎng)度為.

14.如圖，在矩形ABCD中，/BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)G

是EF的中點(diǎn)，連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論：①BC=DF；②NDGF=135°;

325

?BG.LDG；@A.B=—AD,則SBDG=SFDG,正確的有.

AC=4,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE_LAB于E,

PF1.AC于F,則EF的最小值為.

E.

BPC

16.如圖，在平行四邊形ABC。中，48=6,BC=4,ZA=120°,E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在

平行四邊形ABCD的邊上，若aAEF為等腰三角形，則EF的長(zhǎng)為.

17.如圖，RfAABE中,/8=90°,48=8后，將&48￡繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到

過(guò)。作OCL8E交踮的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接8”并延長(zhǎng)交OC于點(diǎn)尸，連接

DE交BF于點(diǎn)0.下列結(jié)論：①?！昶椒諲"￡>C；②DO=OE；③CD=HF；

④BC—CF=2CE；⑤H是8F的中點(diǎn)，其中正確的是

18.如圖，在正方形ABCD中，AC=6&,點(diǎn)E在AC上，以AD為對(duì)角線的所有平行四邊

形AEDF中，EF最小的值是.

19.如圖，正方形A8CO面積為1，延長(zhǎng)D4至點(diǎn)G,使得AG=AO,以。G為邊在正

方形另一側(cè)作菱形。GbE,其中NEFG=45°，依次延長(zhǎng)A8,8C,CO類似以上操作再

作三個(gè)形狀大小都相同的菱形，形成風(fēng)車狀圖形，依次連結(jié)點(diǎn)￡H,M,N,則四邊形

EMWN的面積為.

20.如圖，四邊形A8CP是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊CP上，PE=1；作斤〃BC,分別

M.N分別是4G、8E的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)是.

三、解答題

21.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B,D重合)，GELDC于點(diǎn)

E,GF_LBC于點(diǎn)F,連結(jié)AG.

(1)寫(xiě)出線段AG,GE,GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,ZAGF=105°,求線段BG的長(zhǎng).

22.在四邊形ABCD中，/A=/B=/C=/r>=90，4?=C￡>=1()，

(l)P為邊BC上一點(diǎn),將沿直線AP翻折至AEP的位置(點(diǎn)B落在點(diǎn)E處)

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿足條件的圖形(不寫(xiě)

作法，保留作圖痕跡，用2B鉛筆加粗加黑).并直接寫(xiě)出此時(shí)。E=；

②如圖2,若點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，連接CE,則CE與AP有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）點(diǎn)Q為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將A。。沿AQ翻折，點(diǎn)D恰好落在直線BQ上的點(diǎn)

。處，則:

23.如圖1,AABC是以NACB為直角的直角三角形，分別以48，BC為邊向外作正方

^ABFG，BCED,連結(jié)AT>,CF,AT>與CF交于點(diǎn)"，AB與CF交于點(diǎn)N.

（1）求證：MBD三kFBC；

（2）如圖2,在圖1基礎(chǔ)上連接A尸和ED，若AD=6,求四邊形ACD歹的面積.

24.如圖，平行四邊形ABCD中，AB^3cm,BC=5cm,NB=60，G是CD的中

點(diǎn)，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，連接CE,DF.

（1）求證：四邊形CED/是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AE的長(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形CEL正是矩形；

②當(dāng)A￡=時(shí)，四邊形CEDE是菱形，（直接寫(xiě)出答案，不需要說(shuō)明理由）.

25.我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻

折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.

（發(fā)現(xiàn)與證明）A3C。中，AB^BC,將△鉆C沿AC翻折至AAB'C,連結(jié)B'。.

結(jié)論1：與A3CO重疊部分的圖形是等腰三角形；

結(jié)論2：BDPAC.

試證明以上結(jié)論.

（應(yīng)用與探究）

在ABC。中，已知3c=2,NB=45，將AABC沿AC翻折至AAB'C,連結(jié)B'D

若以A、C、。、8'為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求AC的長(zhǎng).（要求畫(huà)出圖形）

B'

26.類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊

形”.

(1)已知：如圖1,在“準(zhǔn)等邊四邊形”A8CD中，BC^AB,BD±CD,AB=3,8。=4,求8c

的長(zhǎng)；

(2)在探究性質(zhì)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形.請(qǐng)

你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例；

(3)如圖2,在△ABC中，AB=AC=6,N847=90。.在AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)

P,使得以A,B,C,P為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”.若存在，請(qǐng)求出該“準(zhǔn)等邊

四邊形”的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

27.(1)問(wèn)題探究：如圖①，在四邊形ABCD中，AB//CD,E是BC的中點(diǎn)，AE是/BAD

的平分線，則線段A8,AD,DC之間的等量關(guān)系為；

(2)方法遷移：如圖②，在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,E是

BC的中點(diǎn)，AE是NBAF的平分線，試探究線段AB,AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的

結(jié)論；

(3)聯(lián)想拓展：如圖③，AB//CF,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，NEDF=NBAE,

試探究線段AB,DF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

D

圖①圖②圖③

28.定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫

做這個(gè)損矩形的直徑。

(1)如圖1,損矩形ABCD,/ABC=/ADC=90°,則該損矩形的直徑是線段AC,同時(shí)我

們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)，在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的。

如圖1中：Z^ABC和4ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有/ADB和/ACB,此時(shí)/ADB=

ZACB；再比如AABC和4BCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有NBAC和NBDC,此時(shí)NBAC=

ZBDCo請(qǐng)?jiān)僬乙粚?duì)這樣的角來(lái)一=

(2)如圖2,4ABC中，NABC=90°,以AC為一邊向形外作菱形ACEF,D為菱形ACEF

的中心，連結(jié)BD,當(dāng)BD平分NABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明

理由。

(3)在第(2)題的條件下，若此時(shí)AB=3,BD=4正，求BC的長(zhǎng)。

圖1圖2

29.在正方形AMFN中，以AM為BC邊上的高作等邊三角形ABC,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。至點(diǎn)D,D點(diǎn)恰好落在NF上，連接BD,AC與BD交于點(diǎn)E,連接CD,

⑴如圖1,求證：AAMC^AAND；

(2)如圖1,若DF=JL求AE的長(zhǎng)；

⑶如圖2,將ACDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0<a<90),點(diǎn)C,F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G、6，

AG

連接Af；、BC一點(diǎn)G是BQ的中點(diǎn)，連接AG,試探索;百是否為定值，若是定值，則求

出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG如圖放置，連接AG,AE.

(1)求證：AG=AE

(2)過(guò)點(diǎn)尸作于P,交AB、AD于M、N,交AE、AG于P、Q,交8c于

H,.求證：NH=FM

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

過(guò)P作PG_LAB于點(diǎn)G,根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明AAGP絲Z\FPE

后即可證明①AP=EF；@ZPFE=ZBAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性

質(zhì),在R3DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=J^EC,得出⑤正確,即可得出

結(jié)論.

【詳解】

過(guò)P作PG_LAB于點(diǎn)G,如圖所示：

,/點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),

.,.GP=EP,

在AGPB中，NGBP=45°,

二/GPB=45°,

；.GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

，AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

；.AG=PF,

在AAGP和AFPE中,

AG=PF

<ZAGP=ZFPE=9Q°,

PG=PE

.".△AGP^AFPE(SAS),

；.AP=EF,①正確，ZPFE=ZGAP,

/.ZPFE=ZBAP,④正確;

延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H,

AZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

，/PHF=NPGA=90°,

，AP_LEF,②正確，

:點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，ZADP=45°,

...當(dāng)/PAD=45?；?7.5。時(shí)，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正確.

VGF/7BC,

NDPF=NDBC,

又,.?NDPF=NDBC=45°,

，/PDF=NDPF=45°,

；.PF=EC,

.,.在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

ADP=V2EC,

歷

即注PD=EC,⑤正確.

2

，其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④⑤，共有5個(gè).

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì),

勾股定理的運(yùn)用.本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在解答時(shí)要認(rèn)真審題.

2.D

解析：D

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)即可分別求證判斷.

【詳解】

在正方形ABCD中，AO=BO,ZAOG=ZBOE,AC±BD

VAFXBE,ZEAF+ZBEO=ZBEO+ZOBE=90°,

ZOAG=ZOBE,...△OAG2△OBE,故OE=OG,①正確；

VAB=AE,Z.ZABE=ZAEB,

???EHIIAF.\HE±BE,

ZAEF+ZAEH=ZABE+ZCBE,/.ZAEH=ZCBE

又AE=AB=CB,/HAE=NECB=45°,:&AEH空△CBE,

；.EH=BE,②正確；

V△AEH^△CBE,AC=722+22=2^

.?.AH=CE=AC-AE=2&-2,③正確.

故選D

【點(diǎn)睛】

此題主要考查正方形的性質(zhì)與線段的證明，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)定理及全等三

角形的判定與性質(zhì).

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

作SLAB于"，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷AABC為等邊三角形，則

C"=@AB=4ji，AH=BH=4,再利用CP=7勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)折疊的

2

性質(zhì)得點(diǎn)A'在以點(diǎn)P為圓心，抬為半徑的弧上，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)A'在

PC上時(shí)，C4'的值最小，然后證明CQ=CP即可.

【詳解】

解：作C"_LAB于，，如圖，

菱形ABCD的邊AB=8,ZB=60，

6c為等邊三角形，

巧

：.CH=—AB=4yl3，AH=BH=4,

2

PB=3,

:.HP=\,

在RtACHP中,CP={(4后+12=7,

梯形APQ。沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，

二點(diǎn)A'在以點(diǎn)尸為圓心，為半徑的弧上，

,當(dāng)點(diǎn)A'在PC上時(shí)，C4'的值最小，

ZAPQ=NCPQ,

而CD/MB,

:.ZAPQ=ZCQP,

NCQP=NCPQ,

-_CQ=CP=7.

DQ

故選：B.

【點(diǎn)睛】

考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條

對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.也考查了折疊的性質(zhì).解決本題的關(guān)

鍵是確定A在PC上時(shí)CA，的長(zhǎng)度最小.

4.D

解析：D

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到=DE!IBC,FG=-BC,FG//BC,得到四

邊形DEFG為平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理解答即可.

【詳解】

解：點(diǎn)￡、。分別為AB、AC的中點(diǎn)，

DE=-BC,DEHBC,

2

點(diǎn)/、G分別是B。、CO的中點(diǎn)，

:.FG=-BC,FG//BC,

2

:.DE=FG,DE//FG,

四邊形DEFG為平行四邊形，

點(diǎn)E、尸分別為AB、0B的中點(diǎn)，

:.EF=-OA,EF//OA,

2

當(dāng)EF=FG,即AO=8C時(shí)平行四邊形QEFG為菱形，

當(dāng)AO_LBC時(shí)，DE1OA,

EF//OA,

EF1FG,

二四邊形OEFG為正方形，

則當(dāng)AO=3C且AOL8C時(shí)，四邊形DEFG是正方形，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形中位線定理、正方形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

5.C

解析：c

【分析】

如圖，作BM_LEC于M.證明4BEA絲△BEM(AAS),△BMH之△GCH(AAS)利用全等

三角形的性質(zhì)即可一一判斷.

【詳解】

解：如圖，作BMJ_EC于M.

VCB=CE,

AZCBE=ZCEB,

：AD〃BC,

AZAEB=ZCBE,

ZAEB=ZMEB,

VZA=ZBME=90°,BE=BE,

.".△BEA^ABEM(AAS),

；.AE=EM,AB=BM.

VZBMH=ZGCH=90°,ZBHM=ZGHC,BM=AB=CG,

.".△BMH^AGCH(AAS),

；.MH=CH,BH=HG,

；.EH=EM+MH=AE+CH,故①③正確，

,/ZAEB+ZABE=90",

.".2ZAEB+2ZABE=180°,

VZDEC+ZAEC=180",NAEC=2/AEB,

.".ZDEC+2ZAEB=180°,

/.ZDEC=2ZABE,故②正確，

VFH平分NEFG,

/EFH=45°,

VZFEH=90°,

，AB=EF=EH,

VEH>HM=CH,

.,.CH<AB,故④錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查性質(zhì)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

6.B

解析：B

【分析】

連接BD，，過(guò)D，作MN_LAB,交AB于點(diǎn)M,CD于點(diǎn)N,作D，P_LBC交BC于點(diǎn)P,先

利用勾股定理求出MD\再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【詳解】

如圖，連接過(guò)。作交AB于點(diǎn)M,C￡)于點(diǎn)N,作DPLBC交BC于點(diǎn)P

:點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在NA8C的角平分線上，

：.MD'=PD',

設(shè)則PD=BM=x,

；.AM=AB-BM=7-x,

又折疊圖形可得AO=A〃=5,

x2+(7-x)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RdEN。中，設(shè)ED'=a,

①當(dāng)MD'=3時(shí),AM=7-3=4,￡)'N=5-3=2,EN=4-a,

a2=22+(4-a)2,

解得r?=—,BPDE=—,

22

②當(dāng)MDr=4時(shí),AM=7-4=3,￡W=5-4=1,EN=3-a,

/.a2=l2+(3-a)2,

解得a=—,即DE=—.

33

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換(折疊問(wèn)題)，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理與折疊問(wèn)題.解

決本題的關(guān)鍵是依據(jù)題意分別表示RdAMD和RmEND'的三邊,利用勾股定理解直角三

角形.

7.A

解析：A

【分析】

設(shè)ZB=x,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ND=NB=x,ZBAD=180°-x,AB=CD,

再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得x=45°,然后根據(jù)等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理可得A8=2及，從而可得CD=26，最后利用平行四邊形的面積

公式即可得.

【詳解】

設(shè)=

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZD=ZB=x,NBAD=180°-ZB=180°-x,AB=CD,

AG±BC,AH±CD,

ZBAG=90°-ZB=90°-x,ADAH=90°-NO=90°—x,

又々BAG+/GAH+ADAH=NBAD=180°-x,ZGAH=45°,

.?.9()°-x+45°+9()o-x=180o-x,

解得x=45。，

即48=45°,

.-.RtABG是等腰直角三角形，

.-.BG=AG=2,AB=ylAG2+BG2=2A/2>

:.CD=25/2，

,平行四邊形ABCD的面積是4〃.CO=3x2夜=6夜，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.C

解析：c

【分析】

首先證明四邊形AEPF為矩形，可得AM=；AP,最后利用垂線段最短確定AP的位置，利

用面積相等求出AP的長(zhǎng)，即可得AM.

【詳解】

在ZkABC中，因?yàn)锳B2+AC2=BC2,

所以aABC為直角三角形，NA=90。，

又因?yàn)镻E_LAB,PF_LAC,

故四邊形AEPF為矩形，

因?yàn)镸為EF中點(diǎn)，

所以M也是AP中點(diǎn)，即AM=^AP,

2

故當(dāng)AP_LBC時(shí)，AP有最小值，此時(shí)AM最小，

1112

由S=—xA8xAC=—xBCxAP，可得AP=—，

ABC225

16..

AM=—AP=—=1.2

25

故本題正確答案為C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的判定和性質(zhì),確定出AP1BC時(shí)AM最小是解題關(guān)鍵.

9.B

解析：B

【分析】

首先證明AB=AF=AD,然后再證明/AFG=90°,接下來(lái)，依據(jù)HL可證明4ABG絲Z\AFG,

得至I」BG=FG,再利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,進(jìn)而求出BG即可.

【詳解】

解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD,ZD=ZB=ZBCD=90°,

?.?將4ADE沿AE對(duì)折至aAFE,

，AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

，AB=AF,/B=NAFG=90°,

又：AG=AG,

在RtAABG和RtAAFG中，

AG=AG

AB=AF

.".△ABG^AAFG(HL)；

；.BG=FG(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)，

設(shè)BG=FG=x,則GC=6-x,

：E為CD的中點(diǎn)，

；.CE=EF=DE=3,

/.EG=3+x,

...在RtACEG中，32+(6-x)2=(3+x)2(勾股定理)，

解得x=2,

/.BG=2,

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了勾股定理的綜合應(yīng)用、三角形全的判定和性質(zhì)以及翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)

翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段相等是解題關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

①先證明AABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明4AED彩△DFB;

②證明NBGE=60o=/BCD,從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此NBGC=NDGC=60。；

③過(guò)點(diǎn)C作CM±GB于M,CN±GD于N.證明△CBM^^CDN,所以S四邊彩BCDG=S四邊彩質(zhì)N,易求后者

的面積；

④NBGE=/BDG+/DBF=/BDG+/GDF=60。，故為定值.

【詳解】

解:①；ABCD為菱形，

；.AB=AD,

VAB=BD,

.二△ABD為等邊三角形，

.?.ZA=ZBDF=60°

又：AE=DF,AD=BD,

.'.△AED^ADFB(SAS),

故本選項(xiàng)正確；

②：/BGE=NBDG+NDBF=/BDG+/GDF=600=ZBCD,

即/BGD+/BCD=180°,

.?.點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，

.,.ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°,

.".ZBGC=ZDGC=60°,

故本選項(xiàng)正確；

③過(guò)點(diǎn)C作CM_LGB于M,CN_LGD于N(如圖)，

SHii?CMG\=2S△aic>

VZCGM=60°,

/.GM--CG,CM=—CG,

22

?,?S四邊彩魏疏=254。|0=2X77XkCGXCGCG-,

2224

故本選項(xiàng)正確；

?V/BGE=NBDG+NDBF=ZBDG+ZGDF=60°,為定值，

故本選項(xiàng)正確；

綜上所述,正確的結(jié)論有①②③④，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是

掌握菱形的性質(zhì).

二、填空題

11.2小

【詳解】

由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，所以如果連接DE,交AC于點(diǎn)P,那PE+PB的值最小.在

RSCDE中，由勾股定理先計(jì)算出DE的長(zhǎng)度，即為PE+PB的最小值.連接DE,交AC于點(diǎn)

P,連接BD.

??,點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，

DE的長(zhǎng)即為PE+PB的最小值,

AB=4,E是BC的中點(diǎn)，

CE=2,

在RtACDE中，DE=2x/5.

考點(diǎn)：（1）、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；（3）、正方形的性質(zhì).

12.4百或4

【解析】

分析：當(dāng)AA,EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)NA，EF=90。時(shí)，如圖1,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和平行線可得：A，C=A，E=4,根據(jù)直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)得：BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)；

②當(dāng)NA'FE=90。時(shí)，如圖2,證明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

詳解：當(dāng)aZEF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：

VAA'BC與AABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱,

，A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

?.?點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，

；.D、E是AABC的中位線，

.,.DEZ/AB,

AZCDE=ZMAN=90",

.\ZCDE=ZA'EF,

.,.ACZ/A'E,

AZACB=ZA'EC,

r.ZA'CB=ZA'EC,

.?.A'C=A'E=4,

RtAA'CB中，；E是斜邊BC的中點(diǎn),

.,.BC=2A'E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

???AB*—42=46；

,1?/ADF=NA=NDFB=90°,

/.ZABF=90",

?.?△A，BC與AABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，

，NABC=NCBA'=45°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

；.AB=AC=4；.

綜上所述，AB的長(zhǎng)為4百或4；

故答案為46或4.

點(diǎn)睛：本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判

定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問(wèn)題.

13.200m

【分析】

如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)HK交AE于F,延長(zhǎng)NJ交FH于M,則四邊形EDHF,

四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形，4ABC是等邊三角形，由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】

如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)HK交AE于F,延長(zhǎng)NJ交FH于M

E

由題意可知，四邊形EDHF,四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形

：/A=/B=60°

NE=18()-ZA—ZB=60

???△ABC是等邊三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

"九曲橋"的總長(zhǎng)度是AE+EB=2AB=200m

故答案為：200m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行

四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

14.①③④

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=NBCD=NADC=90°,AC=BD,由角平分

線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得NF=NFAD=45。，可得AD=DF=BC,可判斷①；通過(guò)證明

△DCG^ABEG,可得/BGE=NDGC,BG=DG,即可判斷②③；過(guò)點(diǎn)G作GH_LCD于H,設(shè)

AD=4X=DF,AB=3X,由勾股定理可求BD=5X,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

HG=CH=FH=-X,DG=GB=X1X,由三角形面積公式可求解，可判斷④.

22

【詳解】

解：...四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90\AC=BD,

???AE平分/BAD,

.\ZBAE=ZDAE=45°,

AZF=ZFAD,

AAD=DF,

???BC=DF,故①正確；

VZEAB=ZBEA=45°,

AAB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90°,

/.△CEF是等腰直角三角形，

?；點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

；.CG=EG,NFCG=45°,CG±AG,

AZBEG=ZDCG=135\

在ADCG和ABEG中，

"BE=CD

<NBEG=NDCG,

CG=EG

.,.△DCG^ABEG(SAS).

.".ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

/.ZDGC=ZBGE<45°,

ZCGF=90",

.".ZDGF<135°,故②錯(cuò)誤；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

/CGA=NDGB=90°,

.-.BG±DG,故③正確；

過(guò)點(diǎn)G作GH±CD于H,

3

AB^-AD,

4

.?.設(shè)AD=4x=DF,AB=3x,

CF=CE=x,BD=JAB、A/)?=5%>

?.?△CFG,ZXGBD是等腰直角三角形，

1C

.,.HG=CH=FH=—x,DG=GB=1^—x,

22

.1,125,

??SADGF=—xDFxHG=x2,SZ\BDG=—DGxGB=—x2

224

25

,,SBDG=SFDG9故④正確；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練

掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.4

【分析】

根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，

得EF=AP,則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于

直角三角形A8C斜邊上的高.

【詳解】

解:連接AP,

?在AABC中，A8=3,AC=4,8c=5,

AB2+AC2=BC2,

即NBAC=90°.

X'.'PEA.AB于E,PFLAC于F,

四邊形AEPF是矩形，

EF=AP,

■■■AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，

設(shè)斜邊上的高為h,

貝S^c^-BCh=-ABAC

22

1u,1…

—x5-/i=—x3x4

22

，h=2.4,

???EF的最小值為2.4,

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，要能夠把

要求的線段的最小值轉(zhuǎn)化為便于求的最小值得線段是解此題的關(guān)鍵.

16.3君或3或H

2

【分析】

△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平

行四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：當(dāng)寸，如圖，過(guò)點(diǎn)力作A/7J,所于，,

圖1

石是A3的中點(diǎn)，

AE=-AB=3,

2

AE=AF,AHLEF，ZA=120°,

.-.ZAEF=ZAFE=30°,FH=EH，

:.AH=-AE=-,EH=yf?>AH=—,

222

：.EF=2EH=3y/3，

當(dāng)4尸=砂時(shí)，如圖2,

過(guò)點(diǎn)A作ANJ.CD于N,過(guò)點(diǎn)/作于M,

在平行四邊形A8C￡>中，AB=6,BC=4,ZA=120°,

.?.AD=BC=4,ZA￡)C=60%

:.ZDAN=30°,

:.DN=；AD=2,AN=6DN=28，

AB//CD,ANICD，F(xiàn)MLAB，

AN=MF=2B

AF=EF，F(xiàn)M±AB，

3

AM=ME=-,

2

EF=4MEr+MF'=J12+-=空；

V42

當(dāng)AE=EF=3時(shí)，如圖3,

F

圖3

:.EF=3f

綜上所述：族的長(zhǎng)為36或3或字.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問(wèn)

題是本題的關(guān)鍵.

17.①②④⑤

【分析】

根據(jù)NB=90。，AB=BE,4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAHD,可得AABE三AAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形，有/ADC=90。，NHDC=45°,由

①有DE平分/HDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證NOHE=/HEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確；

利用AAS證明ADHEWADCE,則有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的/DHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形,并DHHHF,即有:CDxHF,所以③錯(cuò)誤；

根據(jù)4ABE是等腰直角三角形，M_LJE,：J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過(guò)H作HJ_LBC于J,并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,得LI_LAD,I是AD的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，

H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

【詳解】

VRtAABE41./B=90°,AB=BE,

AZBAE=ZBEA=45°,

又?.?將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到AAHD,

.,.△ABE^AAHD,并且AABE和AAHD都是等腰直角三角形，

.../EAD=45°,AE=AD,ZAHD=90°,

/ADE=NAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=45°+45°=90°,

AAD//BC,

.".ZADE=ZDEC,

.\ZAED=ZDEC,

XVDCIBC,

AZDCE=ZDHE=90°

...由三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確；

：/DAB=NABC=NBCD=90°,

四邊形ABCD是矩形，

AZADC=90°,

AZHDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=—x450=22.5°,

22

VZBAE=45",AB=AH,

ZOHE=NAHB=J(18CT-NBAE)=；x(180°-45°)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.50=22.5°

.,.OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

?\ZAED=g(180°-ZEAD)=x(180°-45°)=67.5°,

NOHE=NHEO=67.5°,

.*.OE=OH,

；.OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<ZHDE=NCDE,

DE=DE

.,.ADHE=ADCE(AAS),

；.DH=DC,ZHDE=ZCDE=-X45°=22.5\

2

：OD=OH,

/DHF=22.5°,

/.ZDFH=180<,-ZHDF-ZDHF=1800-45o-22.5o=112.5%

ZiDHF不是直角三角形，并DHwHF,

即有：CDxHF,所以③不正確；

如圖，過(guò)H作HJ_LBC于J,并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,

「△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

；.JH=JE,

又YJ是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn),

，2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

，2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正確：

VAD//BC,

/.IJ1AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中點(diǎn)，

:四邊形ABCD是矩形,HJ1BC,

AJ是BC的中點(diǎn)，

...H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

18.3公

【詳解】

解析：?.?在正方形ABCD中，AC=6夜，

；.AB=AD=BC=DC=6,ZEAD=45°

設(shè)EF與AD交點(diǎn)為0,。是AD的中點(diǎn)，

.\AO=3

以AD為對(duì)角線的所有QAEDF中，當(dāng)EF_LAC時(shí)，EF最小，

即aAOE是直角三角形，

VZAEO=90°,ZEAD=45°,0E=—0A=^—,

22

-,.EF=2OE=3V2

19.13+8及

【分析】

如圖所示，延長(zhǎng)CD交FN于點(diǎn)P,過(guò)N作NK_LCD于點(diǎn)K,延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)Q,交NS于

點(diǎn)R,首先利用正方形性質(zhì)結(jié)合題意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后進(jìn)一步根據(jù)菱形性質(zhì)得出

DE=EF=DG=2,再后通過(guò)證明四邊形NKQR是矩形得出QR=NK=J^,進(jìn)一步可得

FN2=F/?2+A^/?2=13+872）再延長(zhǎng)NS交ML于點(diǎn)Z,利用全等三角形性質(zhì)與判定證

明四邊形FHMN為正方形，最后進(jìn)一步求解即可.

【詳解】

如圖所示，延長(zhǎng)CD交FN于點(diǎn)P,過(guò)N作NK_LCD于點(diǎn)K,延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)Q,交NS于

點(diǎn)R,

VABCD為正方形，

/.ZCDG=ZGDK=90°,

?.,正方形ABCD面積為1,

；.AD=CD=AG=DQ=1,

；.DG=CT=2,

?.?四邊形DEFG為菱形，

，DE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

VZEFG=45°,

AZEDG=ZSCT=ZNTK=45",

VFE/7DG,CT〃SN,DG1CT,

/.ZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°,

DQ=EQ=TK=NK=72，F(xiàn)Q=FE+EQ=2+0，

VZNKT=ZKQR=ZFRN=90°,

二四邊形NKQR是矩形，

，QR=NK=V^,

，F(xiàn)R=FQ+QR=2+2狡，NR=KQ=DK-DQ=&+1-&=1,

FN2=FR2+NR2=13+8夜，

再延長(zhǎng)NS交ML于點(diǎn)乙易證得：ZXNMZ三△FNR(SAS),

；.FN=MN,NNFR=NMNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

/.ZMNZ+ZFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：ZNFH=ZFHM=90°,

.,?四邊形FHMN為正方形，

二正方形FHMN的面積=13+8及，

故答案為：13+8及.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形和矩形性質(zhì)與判定及與全等三角形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，熟練掌

握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

20.5

【分析】

先判斷四邊形8CEE的形狀，再連接fM、FC,利用正方形的性質(zhì)得出AEG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)得出即可.

2

【詳解】

四邊形ABCP是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//BC,

四邊形3CE尸是矩形，

■:PE=1，

CE=3,

連接FM、FC，如圖所示：

???四邊形ABCP是正方形，

???N84C=45，AEG是等腰直角三角形，

,/M是AG的中點(diǎn)，即有AM^MG,

：.FM1AG，F(xiàn)MC是直角三角形，

又丫N是FC中點(diǎn)，MN=-FC,

2

FC=JBF2+BC。=5

MN=2.5,

故答案為：2.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在

于合理作出輔助線，通過(guò)直角三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解.

三、解答題

21.(1)AG2=GE2+GF2,理由見(jiàn)解析；(2)包坯.

6

【分析】

(1)結(jié)論：AG2=GE2+GF2.只要證明GA=GC,四邊形