工程數學線性代數(同濟大學第六版)課后習題答案

工程數學線性代數(同濟大學第六版)課后習題答案緒論與基本概念矩陣及其運算向量組的線性相關性線性方程組特征值與特征向量及相似對角化contents目錄緒論與基本概念01向量空間研究向量及其線性組合的性質，包括向量的加法、數乘等運算。線性變換研究向量空間之間的線性映射，即保持向量加法與數乘運算不變的映射。矩陣作為線性變換的表示工具，研究矩陣的運算性質以及與向量之間的關系。行列式研究方陣的性質以及求解線性方程組等問題。線性代數的研究對象行列式的定義與性質行列式的定義由方陣元素按一定規(guī)則組成的數值，表示方陣所代表的線性變換的某種性質。行列式的性質包括行列式與它的轉置行列式相等、互換行列式的兩行（列），行列式變號、行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式等。由數值組成的矩形陣列，表示線性變換在某種基下的矩陣表示。矩陣的概念包括矩陣的加法、數乘、乘法以及轉置等運算，滿足一定的運算律。矩陣的運算矩陣的概念及運算給定向量組和一組標量，將向量組的每個向量乘以對應的標量后相加，所得結果稱為這組向量的線性組合。若向量b可以表示為向量組a1,a2,...,am的線性組合，則稱向量b可以由向量組a1,a2,...,am線性表示。向量的線性組合與線性表示向量的線性表示向量的線性組合三階行列式的計算通過降階法或拉普拉斯展開定理進行計算。特殊的三階行列式對于某些具有特殊性質的三階行列式，可以采用特定的方法進行計算，如范德蒙德行列式。二階行列式的計算直接應用二階行列式的計算公式進行計算。二階與三階行列式由n個數表成的n階方陣所確定的數稱為n階行列式。n階行列式的定義在n階行列式中，不同行不同列的n個數的乘積代數和稱為n階行列式的值。其中數的排列順序對行列式的值有影響，需要確定排列的逆序數。排列與逆序n階行列式的定義03行列式的性質3如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。01行列式的性質1行列式與它的轉置行列式相等。02行列式的性質2互換行列式的兩行（列），行列式變號。行列式的性質行列式的性質5行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。行列式的性質7把行列式某一行（列）的元素乘以一個數后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變。行列式的性質6行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。行列式的性質4行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式。行列式的性質余子式和代數余子式在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij；記Aij=(-1)^(i+j)Mij，Aij叫做元素aij的代數余子式。行列式按行（列）展開法則行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和。即D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin或D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj。行列式按行（列）展開矩陣及其運算0203矩陣的加法與數乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算01矩陣的加法滿足交換律和結合律02數乘矩陣滿足分配律矩陣的加法與數乘123矩陣的乘法不滿足交換律但滿足結合律和分配律矩陣的乘法與數乘可以交換順序單位矩陣在矩陣乘法中起著特殊作用，類似于數的乘法中的1矩陣的乘法矩陣的轉置矩陣的轉置是把矩陣的行換成同序數的列得到的新矩陣矩陣的轉置滿足$(A+B)'=A'+B'$，$(kA)'=kA'$（$k$為常數），$(AB)'=B'A'$方陣的行列式滿足以下性質$|kA|=k^n|A|$（$k$為常數）若方陣$A$可逆，則$|A|neq0$，且$|A^{-1}|=1/|A|$$n$階方陣$A$的行列式記作$|A|$或$det(A)$，是一個數值$|A^T|=|A|$$|AB|=|A||B|$010203040506方陣的行列式及其性質向量組的線性相關性03向量組由若干個同維數的列向量（或行向量）所組成的集合。線性組合設向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$，對于任意一組實數$k_1,k_2,ldots,k_m$，表達式$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$稱為向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$的一個線性組合。向量組及其線性組合VS如果存在不全為零的實數$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性相關。線性無關如果只有當$k_1=k_2=ldots=k_m=0$時，才有$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性無關。線性相關向量組的線性相關性1.$A_0$線性無關。2.向量組$A$中任意$r+1$個向量（如果存在的話）都線性相關。向量組的秩：向量組$A$的極大無關組所含向量的個數稱為向量組$A$的秩，記作$R(A)$。則稱$A_0$是向量組$A$的一個極大線性無關組，簡稱極大無關組。極大線性無關組：設向量組$A$的部分組$A_0:a_{i1},a_{i2},ldots,a_{ir}$滿足向量組的秩向量空間及其基與維數設$V$是數域$P$上的一個非空集合，如果集合$V$對于加法、數乘兩種運算封閉，且滿足八條運算法則，則稱集合$V$為數域$P$上的一個線性空間或向量空間。向量空間設$V$是數域$P$上的一個線性空間，如果存在正整數$n$和$V$中的$n$個線性無關的向量$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$，使得$V$中任意向量$alpha$都可以由它們線性表示，則稱$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$是線性空間$V$的一個基，稱正整數$n$為線性空間$V$的維數，記作$dimV=n$?；c維數線性方程組04求解齊次線性方程組的基本方法01通過高斯消元法或克拉默法則求解齊次線性方程組。齊次線性方程組的解的性質02齊次線性方程組的解構成向量空間，解的性質包括線性組合、數乘封閉性等。齊次線性方程組的基礎解系和通解03基礎解系是齊次線性方程組的一個極大線性無關解組，通解可以表示為基礎解系的線性組合。齊次線性方程組01通過高斯消元法或克拉默法則求解非齊次線性方程組。求解非齊次線性方程組的基本方法02非齊次線性方程組的解不具有向量空間的性質，但滿足疊加原理。非齊次線性方程組的解的性質03特解是非齊次線性方程組的一個解，通解可以表示為特解與對應齊次線性方程組的基礎解系的線性組合。非齊次線性方程組的特解和通解非齊次線性方程組線性方程組的應用舉例線性方程組在幾何中的應用通過求解線性方程組可以確定平面或空間中點的位置、直線或平面的方程等。線性方程組在電路分析中的應用通過求解線性方程組可以確定電路中各支路的電流或電壓。線性方程組在經濟學中的應用通過求解線性方程組可以確定市場均衡價格、消費者均衡等。線性方程組在化學計量學中的應用通過求解線性方程組可以確定化學反應的計量關系、反應進度等。特征值與特征向量及相似對角化05特征值與特征向量的定義設A是n階方陣，如果存在數λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對應于特征值λ的特征向量。特征多項式與特征方程設A是n階方陣，則|λE-A|稱為A的特征多項式，|λE-A|=0稱為A的特征方程。特征方程是一個n次方程，它的n個根就是A的n個特征值（包括重根）。特征值與特征向量的計算步驟首先求出特征多項式并令其等于0，解出特征值；然后將每個特征值代入原方程求出對應的特征向量。特征值與特征向量的概念及計算010405060302相似矩陣的定義：設A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱B是A的相似矩陣，或說A和B相似。相似矩陣的性質相似矩陣具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。若A與B相似，則A與B的行列式相等，即|A|=|B|。若A與B相似，則A與B的秩相等，即r(A)=r(B)。若A與B相似，則A與B具有相同的跡，即tr(A)=tr(B)。相似矩陣的概念及性質矩陣可相似對角化的條件n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。或者說，