模煳數(shù)學(xué)方法漆曉均教案

1Of70模糊數(shù)學(xué)方法2Of70一、模糊集合的定義

（一）普通集合論知識：確定概念→普通集合→特征函數(shù)

1、集合的概念：符合某個(gè)確定概念的對象的全體。常用字母A、B、C

等表示。因此，確定概念可用集合來表示，集合是確定概念的外延。

2、論域：某議題范圍內(nèi)被討論的全部對象。常用字母U、V、X、Y

等表示。論域中的每個(gè)對象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大學(xué)的學(xué)生}就可以成為一個(gè)論域。⑴有限論域：元素個(gè)數(shù)為有限個(gè)或可列個(gè)的論域。⑵無限論域：元素個(gè)數(shù)為無限個(gè)的論域。

3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個(gè)集合。

用A、B、

等表示。如論域U={中南大學(xué)的學(xué)生}，則A={中南大學(xué)的男學(xué)生}就是論域U中的一個(gè)集合。（二）模糊子集的定義：模糊概念→模糊集合→隸屬函數(shù)給定論域

U，稱A是論域

U上的模糊子集(記為?)：如果對x∈U，都有一個(gè)確定的數(shù)

A(x)∈[0,1]與之對應(yīng)。此時(shí)，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)稱為

A的隸屬函數(shù)；數(shù)

A(x)稱為論域U中的元素x對模糊子集A的隸屬度，表示x屬于A的程度。

特例：當(dāng)

A(x)=0、1時(shí)，模糊子集?蛻化為普通集合A；

?的隸屬函數(shù)

A(x)蛻化為A特征函數(shù)CA(x)，即

3Of70

例2-1組成一個(gè)100人的評比小組，對五種商品X1,X2,X3,X4,X5進(jìn)行評比。結(jié)果是：認(rèn)為商品X1“質(zhì)量好”的有81人，占81%=0.81；認(rèn)為商品X2“質(zhì)量好”的有53人，占53%=0.53；認(rèn)為商品X3“質(zhì)量好”的有100人，占100%=1；認(rèn)為商品X4“質(zhì)量好”的有0人，占0%=0；認(rèn)為商品X5“質(zhì)量好”的有24人，占24%=0.24。對論域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限論域)中的每一個(gè)元素均規(guī)定了一個(gè)隸屬度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它們確定了U中的一個(gè)模糊子集A，表示商品“質(zhì)量好”這一模糊概念。

例2-2考查某商店商品銷售利潤的經(jīng)濟(jì)效益論域U=[0，k](無限論域)表示該商品銷售利潤額的范圍，則表示商品銷售利潤的“經(jīng)濟(jì)效益好”這一模糊概念的模糊子集?，用以下隸屬函數(shù)表示：

其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤效益最好時(shí)刻的利潤率。

4Of70

例2-3取年齡為論域U=[0,100]，給出兩個(gè)模糊概念“年輕”和“年老”，表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數(shù)定義為：

0150

100x0125

100x

若你的年齡x=30歲，則

5Of70二、模糊子集的運(yùn)算：?仍記為

A(除非特別申明)

1.關(guān)系運(yùn)算：對論域U

⑴模糊空集：對xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：對xU，均有E(x)=1⑶模糊冪集

(U)：U中的全體模糊子集(含普通子集)構(gòu)成的普通集合(其元素是模糊子集)。⑷A=B：對

xU，均有A(x)=B(x)⑸A

B：對

xU，均有A(x)≤B(x)

2.并、交、余運(yùn)算：對論域U

⑴并(A∪B)：設(shè)A,B(U),對

xU，則A∪B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）⑵交(A∩B)：設(shè)A,B(U),對

xU，則A∩B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）⑶余(Ac)：設(shè)A(U),對

xU，則Ac是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示

“商品質(zhì)量好”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

“商品質(zhì)量差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。則：①表示“商品質(zhì)量或好或差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；②表示“商品質(zhì)量又好又差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；③表示“商品質(zhì)量不好”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；6Of70例2-5年齡論域U=[0,100]，給出兩個(gè)模糊概念“年輕”和“年老”,對應(yīng)的模糊子集Y與O,隸屬函數(shù)為

0150

100x0125

100x

則：表示“又老又年輕”這個(gè)模糊概念的模糊子集為O∪Y：隸屬函數(shù)為

0125

100x

50x*

7Of70

3.運(yùn)算性質(zhì)：⑴對偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc；(

A∩B)c=Ac∪

Bc⑵冪等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺兩極律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻還原律：(

Ac)c=A

⑼不滿足互補(bǔ)律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽偽補(bǔ)律：A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥?

；A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤?

例2-6設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

則：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，并且其隸屬度均大于1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，并且其隸屬度均小于1/2

8Of70

4.幾種常用的模糊算子：須同時(shí)滿足對偶律、交換律、結(jié)合律、兩極律⑴普通實(shí)數(shù)乘法

與最大∨算子M(

,∨)：

A∩B(x)=A(x)

B(x)；A∪B(x)=A(x)∨B(x)⑵普通實(shí)數(shù)乘法

與有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∩B(x)=A(x)

B(x)；A∪B(x)=A(x)⊙B(x)

其中有界和⊙：對a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通實(shí)數(shù)乘法

與概率和△算子M(

,△)：

A∩B(x)=A(x)

B(x)；A∪B(x)=A(x)△B(x)

其中概率和△：對a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界積☆與有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∩B(x)=A(x)☆B(x)；A∪B(x)=A(x)⊙B(x)

其中有界積☆：對a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。采用算子M(☆,⊙)，得：則：A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}

9Of70三、模糊集合與普通集合的關(guān)系：模糊集合是普通集合的推廣

1.模糊子集A的水平截集A

給定模糊子集A(U)，對

[0,1]，稱普通集合A

={x|xU,且A(x)≥}為模糊子集A的水平截集。

即：A

由U中哪些隸屬度大于或等于的元素組成，其特征函數(shù)為：1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五種商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“質(zhì)量好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，進(jìn)一步研究：有50%以上的人認(rèn)為“質(zhì)量好”，稱為“合格”，則“合格”商品的集合為

A0.5={X1,X2,X3}，

=0.5

有80%以上的人認(rèn)為“質(zhì)量好”，稱為“優(yōu)良”，則“優(yōu)良”商品的集合為

A0.8={X1,X3}，

=0.8

A0.5與A0.8

均是A按一定水平確定的普通子集(截集)。

10Of70

2.水平截集A

的性質(zhì)

①

(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；③設(shè)

1,2[0,1]，且1≤2，則A1

A2

3.模糊子集A的核A1、支撐架SuppA、邊界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；②A的支撐架SuppA

={x|A(x)＞0}

；③A的邊界SuppA-A1={x|0＜A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五種商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，則

A的核

A1={X3}；

A的支撐架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的邊界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA1111Of704.由A

生成的模糊子集設(shè)A(X)，其水平截集為A

，

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隸屬函數(shù)

結(jié)論：任何模糊數(shù)學(xué)問題，均可通過分解定理用經(jīng)典集合論方法處理；從概念上講，模糊數(shù)學(xué)是經(jīng)典數(shù)學(xué)的推廣和發(fā)展；

A(x)xoA

U112Of70①矩形分布

②尖

分布

③正態(tài)分布

④柯西分布

⑤梯形分布

0

，x≤a-b

1

，a-b＜x≤a+b

0

，x＞a+b

,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

0,x≤a-a2

,a-a2＜x≤a-a11,a-a1＜x≤a+a1

,a+a1＜x≤a+a2

0,x＞a+a2

四、實(shí)數(shù)域上的模糊集

論域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。

13Of70模糊關(guān)系

1、模糊關(guān)系的定義

從普通集合A到普通集合B的一個(gè)模糊關(guān)系R是指：以笛卡爾積

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}為論域的一個(gè)模糊子集

R，

記作R：AB，或R∈(A×B)

其隸屬函數(shù)為

R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關(guān)系R的程度。

R：A×B[0,1](a,b)A(a,b)

若A=B

，則稱R：A×A[0,1](a1,a2)A(a1,a2)

為A上的模糊關(guān)系。

例3-1設(shè)A={質(zhì)量好,質(zhì)量一般,質(zhì)量差}，B={價(jià)格高,價(jià)格中等,價(jià)格低}是兩個(gè)普通集合，則表示“質(zhì)價(jià)相符”這個(gè)模糊關(guān)系R，就是笛卡爾積A×B上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

R價(jià)格高價(jià)格中等價(jià)格低質(zhì)量好10.70質(zhì)量一般0.810.5質(zhì)量差00.6114Of70

例3-3設(shè)X，Y為兩個(gè)坐標(biāo)軸，則表示“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y”這個(gè)模糊關(guān)系R，就是笛卡爾積X×Y上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

0,x≤y

,x＞y

若取x=101，y=1，則x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y的程度是：

例3-2設(shè)A={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}，則表示這五種幾何圖形“相似關(guān)系”

R，就是笛卡爾積A×A上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

R直線園橢圓雙曲線拋物線直線100.10.20.3園010.90.50.4橢圓0.10.910.70.6雙曲線0.20.50.710.8拋物線0.30.40.60.8115Of70

2模糊矩陣一、概念

當(dāng)論域A、B為有限集時(shí)，模糊關(guān)系R可用矩陣表示，記為R=(rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

例如:“質(zhì)價(jià)相符”這個(gè)模糊關(guān)系的模糊矩陣為：

五種幾何圖形“相似”這個(gè)模糊關(guān)系的模糊矩陣為：

特例：當(dāng)隸屬度為0和1時(shí)，模糊矩陣變?yōu)槠胀ň仃?。?16Of70

二、幾種特殊的模糊矩陣：①表示A×B上的“零關(guān)系”的零矩陣O：

(a,b)A×B，

o(a,b)=0。即A與B中任意元素之間具有關(guān)系O的程度為0。

②表示A×A上的“恒等關(guān)系”的恒等矩陣I：

(a,b)A×A，當(dāng)a=b時(shí),I(a,b)=1；當(dāng)a≠b時(shí),I(a,b)=0。即A中任意元素自己與自己具有關(guān)系I的程度為1，與其余元素具有關(guān)系I的程度為0。

③表示A×B上的“全稱關(guān)系”的全矩陣E：

(a,b)A×B，

E(a,b)=1。即A與B中任意元素之間具有關(guān)系E的程度均為1。

17Of70

三、模糊矩陣的運(yùn)算：設(shè)有模糊矩陣R=(rij)n×m

，S=(sij)n×m

①R與S的并：R∪S=(rij∨sij)；②R與S的交：R∩S=(rij∧sij)；③R的余：Rc=(1-rij)；④R與S相等：R=S，

i,j，均有rij=sij

；⑤R包含于S：R

S，

i,j，均有rij≤sij

。

例如：

18Of70

四、模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)：⑴冪等律：R∪R=R，R∩R=R；⑵交換律：R∪S=S∪R，R∩S=S∩R；⑶結(jié)合律：(R∪S)∪T=R∪(S∪T)，(R∩S)∩T=R∩(S∩T)；⑷分配律：(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)，(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)；⑸吸收律：(R∪S)∩S=S，(R∩S)∪S=S；⑹兩極律：O∪R=R，O∩R=O，E∪R=E，E∩R=R；

⑺還原律：(Rc)c=R⑻R

S

R∪S=S，R∩S=R；⑼R

S

Rc

Sc

；⑽R1

S1,R2

S2

(R1∪R2)

(S1∪S2),(R1∩R2)

(S1∩S2)⑾O

RE

五、模糊矩陣R的截矩陣R

：是一個(gè)普通矩陣設(shè)R=(rij)，對

[0,1]，稱R

=(rij(

))為R的截矩陣。

1,rij≥

0,rij＜

六、R

的運(yùn)算性質(zhì)：⑴對

[0,1]，有R

S

R

S

；⑵(R∪S)

=R

∪S

，(R∩S)

=R

∩S

。19Of70

例3-4設(shè)有模糊矩陣：

則：

例3-5商品“質(zhì)價(jià)相符”模糊關(guān)系的模糊矩陣為：

若參加者都認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為100%=1；無人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為0%=0；有70%的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為70%=0.7。而質(zhì)檢和物價(jià)部門確定商品“質(zhì)價(jià)關(guān)系”時(shí)，把全部的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“完全相符”;80%以上的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“相符”;50%以上的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“基本相符”。

取

=1，0.8，0.5得截矩陣：

20Of703模糊關(guān)系的合成

1、模糊關(guān)系合成的概念：

設(shè)有論域X、Y、Z，Q∈(X×Y)、R∈(Y×Z)

，則Q對R的合成Q

R∈(X×Z)，即Q

R是一個(gè)由X到Z的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)定義為：

特例：若X=Y=Z，則對X上的一個(gè)模糊關(guān)系R，記R

R=R2

2、對有限論域，模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的運(yùn)算表示：設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}、Y={y1,y2,…,ym}、Z={z1,z2,…,zl}，

Q=(qij)n×m∈(X×Y)、R=(rjk)m×l∈(Y×Z)

，則Q對R的合成S=Q

R=(sik)n×l∈(X×Z)，并且21Of70

例3-7設(shè)有模糊矩陣：

則：

22Of703、模糊矩陣合成的運(yùn)算性質(zhì)：

⑴(Q

R)

=Q

R

；

例4-8設(shè)有模糊矩陣：取

=0.6

則：

⑵(Q

R)S=Q(RS)

；⑶Rm+n=Rm

Rn

；⑷Q

R

QS

RS

；

Q

R

SQ

SR

；

Q

RQn

Rn⑸O

R=RO=O

；I

R=RI=R；

23Of70⑹(Q∪R)

S=(Q

S)∪(R

S)，S

(Q∪R)

=(S

Q)∪(S

R)；

⑺(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)，S

(Q∩R)

≠(S

Q)∩(S

R)；

例3-9設(shè)有模糊矩陣：

則:(Q∩R)

S

(Q

S)∩(R

S)

(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)

⑻Q

R≠R

Q；

例3-10設(shè)有模糊矩陣：

則:

Q

R≠R

Q

24Of70

4幾種常見的模糊關(guān)系

1、模糊倒置關(guān)系：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到

Y上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，則RT∈(Y×X)，是Y到

X上的模糊關(guān)系，稱為R的倒置關(guān)系，其隸屬函數(shù)定義為：

特例，對有限論域X、Y，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，則RT的模糊矩陣為RT=(rji)n×m

例3-11商品“質(zhì)價(jià)相符”模糊矩陣為：則商品“價(jià)質(zhì)相符”模糊矩陣為：2、模糊對稱關(guān)系：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對x1,x2

X

，均滿足

則稱R是模糊對稱關(guān)系。特例，對有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若滿足RT=R，則R為模糊對稱矩陣。

例3-12模糊矩陣

則由RT=R，知R為模糊對稱矩陣。25Of703、模糊自反關(guān)系：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對xX

，均滿足

則稱R是模糊自反關(guān)系。特例，對有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R主對角線上的元素均為1，則模糊矩陣R為模糊自反矩陣。

例3-13模糊矩陣

則R為模糊自反矩陣。4、模糊相似關(guān)系：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若R既是對稱關(guān)系又是自反關(guān)系，則稱R是X上的模糊相似關(guān)系，其隸屬函數(shù)滿足：對x1,x2,xX

，均有

特例，對有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R對稱且主對角線上的元素均為1，則R為模糊相似矩陣。26Of70

例3-14論域U={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}上的模糊矩陣因?yàn)镽既是模糊對稱矩陣又是模糊自反矩陣，所以R為U上五種幾何圖形間的模糊相似矩陣。

轉(zhuǎn)置模糊矩陣運(yùn)算性質(zhì)：⑴(RT)T=R；⑵(R∪Q)T=RT∪QT

，(R∩Q)T=RT∩QT

；

⑶

R

Q

RT

QT

；⑷(RT)

=(R

)T；⑸(Q

R

)T=QT

RT，(Rn)T=(RT)n；⑹對

模糊矩陣R：R∪RT必是對稱矩陣,

且R∪RT被所有包含R的對稱矩陣所包含。

27Of705、模糊傳遞關(guān)系：⑴普通傳遞關(guān)系R：對x,y,zX，若(x,y)

R,(y,z)

R

(x,z)

R

如幾何中的平行關(guān)系就普通傳遞關(guān)系：若ab,bcac⑵模糊傳遞關(guān)系R：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞關(guān)系，其隸屬函數(shù)滿足：對x1,x2,x3

X

，均有

特例，對有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)n×n，其隸屬度為rij

，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞矩陣，其隸屬度滿足：

例3-15影響企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的主要因素構(gòu)成論域

U={銷售額(X1),購銷費(fèi)用(X2),零售利潤(X3)},

它們彼此影響的模糊關(guān)系矩陣為：即RR

R，所以R為模糊傳遞矩陣。28Of70⑶模糊關(guān)系R的截關(guān)系

R

：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到Y(jié)上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，

對

[0,1]，R的截關(guān)系R

是X到Y(jié)上的普通關(guān)系，其特征函數(shù)為

特例，當(dāng)X=Y時(shí)，稱R

是X上的截關(guān)系。1,

R(x,y)

≥

0,

R(x,y)

＜

⑷模糊傳遞關(guān)系與普通傳遞關(guān)系的聯(lián)系：

[定理]：設(shè)R∈(X×X)，即R是X到X上的模糊關(guān)系，則：

R是模糊傳遞關(guān)系

對

[0,1]，R的截關(guān)系R

均是普通傳遞關(guān)系。29Of706、模糊等價(jià)關(guān)系：⑴普通等價(jià)關(guān)系R：若普通關(guān)系R同時(shí)具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是普通等價(jià)關(guān)系。⑵模糊等價(jià)關(guān)系R：若模糊關(guān)系R同時(shí)具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是模糊等價(jià)關(guān)系。特例，對有限論域，模糊等價(jià)關(guān)系R可表示為模糊等價(jià)矩陣R=(rij)n×n，

例3-16上例中的模糊關(guān)系矩陣：為模糊自反、對稱、傳遞矩陣。故R為模糊等價(jià)矩陣。[定理]模糊矩陣R是模糊等價(jià)矩陣

對

[0,1],R的截矩陣R

均是普通等價(jià)矩陣。30Of70模糊綜合評判

1模糊綜合評判數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用一、綜合評判數(shù)學(xué)模型

設(shè)有二個(gè)論域：X={X1,X2,…,Xn}表示綜合評判多種因素的集合，

Y={Y1,Y2,…,Yn}表示評語集合，

R(X×Y)，是X到Y(jié)上的模糊關(guān)系矩陣；

A是X上的模糊子集，即各評判因素的權(quán)重，則模糊變換AR=B稱為綜合評判數(shù)學(xué)模型。其中：B是Y上的模糊子集，即評判結(jié)果。二、綜合評判步驟

1、確定R：對因素集X中各個(gè)因素，用各種可行方法分別作出對評語集Y中各個(gè)評語的單因素評判，進(jìn)而得到一個(gè)實(shí)際上表示X和Y間模糊關(guān)系的模糊矩陣R。

2、確定A：對因素集X中各個(gè)因素，確定其在被評判事物中的重要程度(權(quán)重)，且權(quán)重之和為1。

3、確定B：作模糊變換B=AR，則B正好表示被評判事物在評語集Y上的綜合評判結(jié)果。R輸入A輸出BAR=B31Of70

例4-1市場調(diào)查與銷售預(yù)測時(shí)，欲知某商品受歡迎的程度?，F(xiàn)確定顧客從質(zhì)量、價(jià)格、花色、式樣、包裝五個(gè)方面評判該商品受歡迎的程度。取評判因素集為X={質(zhì)量、價(jià)格、花色、式樣、包裝}，取評語集為Y={很受歡迎、較受歡迎、不大受歡迎、不受歡迎}，試就這五個(gè)因素對該商品受歡迎程度作出綜合評判。

解：①確定R：對該商品進(jìn)行單因素評判用隨機(jī)抽樣的方法，組成一個(gè)100人的有各方代表人物參加的評判小組，讓他們各自獨(dú)立對該商品“質(zhì)量”作出獨(dú)立評判，結(jié)果是：有60人表示該商品“很受歡迎”，有30人表示該商品“較受歡迎”，有10人表示該商品“不大受歡迎”，無人表示該商品“不受歡迎”。于是得：A質(zhì)=(0.6，0.3，0.1，0)

同理有：A價(jià)=(0.2，0.4，0.3，0.1)A花=(0.5，0.3，0.2，0)A式=(0.4，0.3，0.2，0.1)A包=(0.1，0.2，0.4，0.3)

這樣就可得模糊矩陣：32Of70②確定A：確定五項(xiàng)單因素在總評判中的權(quán)重經(jīng)分析研究確認(rèn)，對這100名代表人物，該商品受歡迎程度的五項(xiàng)因素中：

“質(zhì)量”占30%，“價(jià)格”占25%，“花色”占20%，“式樣”占20%，“包裝”占5%，于是得因素權(quán)重：A=(0.3，0.25，0.2，0.2，0.05)(帶主觀因素，隨時(shí)間、場合和對象不同而變化)

③確定B：進(jìn)行綜合評判，采用算子M(⊙,)，可將結(jié)果歸一化

結(jié)論：對該商品，顧客表示“很受歡迎”的比重為41.5%；顧客表示“較受歡迎”的比重為32%；顧客表示“不大受歡迎”的比重為20.5%；顧客表示“不受歡迎”的比重為6%；

33Of70模糊聚類分析1普通分類(分類是硬性的，非此即彼)

一、集合的劃分對集合

X的一個(gè)劃分，是指把X分成若干個(gè)子集X1,X2,…,Xn，使得滿足下列二個(gè)條件：①X1∪X2∪…∪Xn=X，且對

i≠j

，②Xi∩Xj=

，(i,j=1,2,…,n)

二、普通等價(jià)關(guān)系設(shè)R∈(X×X)，稱R是X上一個(gè)等價(jià)關(guān)系，若R滿足下列三個(gè)條件：①自反性：

x∈X，有(x,x)∈R；②對稱性：

x,y∈X，若(x,y)∈R，有(y,x)∈R；③傳遞性：x,y∈X，若(x,y)∈R，(y,z)∈R，有(x,z)∈R。例6-1對集合(論域)X={人}，則關(guān)系R=“年齡相同”就是X上的一個(gè)普通等價(jià)關(guān)系，因?yàn)闈M足下列三個(gè)條件：

①自反性：任何人與自己是“年齡相同”的；②對稱性：我與你年齡相同，你與我年齡也相同；③傳遞性：我與你年齡相同，你與他年齡相同，我與他年齡也相同。三、普通分類一個(gè)普通等價(jià)關(guān)系決定一個(gè)普通分類。34Of70一、建立X={X1,X2,…,Xn}

上的模糊關(guān)系矩陣R(叫標(biāo)定)

其中rij[0,1]，表示元素Xi

與Xj

間的相似程度，i,j=,1,2,…,n，

2模糊聚類(分類是有彈性的，亦此亦彼)

方法(一).評定打分法：請專家或有經(jīng)驗(yàn)的專業(yè)人員組成評定小組進(jìn)行打分評定獲得rij

。

例：組成一個(gè)100人的評比小組，對X={X1,X2,X3}上的3個(gè)元素的相似性進(jìn)行評價(jià)。結(jié)果是：認(rèn)為X1與X1“相似”的有100人,占100%,r11=1；認(rèn)為X1與X2“相似”的有81人,占81%=1,r12=0.81；認(rèn)為X1與X3“相似”的有53人,占53%,r13=0.53；認(rèn)為X2與X3“相似”的有24人,占24%,r23=0.24；此時(shí)r22=1，r33=1，r21=0.81，r31=0.53，r32=0.24。從而X上的模糊關(guān)系矩陣為：35Of70

方法(二).統(tǒng)計(jì)指標(biāo)法：一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系決定一個(gè)模糊分類---叫聚類。分類的集合

X={X1,X2,…,Xn}，由n個(gè)元素組成，對其中每一個(gè)元素，采用不同的m個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：對元素X1

，采用統(tǒng)計(jì)指標(biāo)x1=(x11,x12,…,x1m)；對元素X2

，采用統(tǒng)計(jì)指標(biāo)x2=(x21,x22,…,x2m)；

…………………

對元素Xn

，采用統(tǒng)計(jì)指標(biāo)xn=(xn1,xn2,…,xnm)；

(xij為第i個(gè)元素Xi的笫j項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)值)

將每個(gè)元素各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化：常用極值標(biāo)準(zhǔn)化公式=36Of70

經(jīng)過上步標(biāo)準(zhǔn)化后的Xi

與Xj的各統(tǒng)計(jì)指標(biāo)按下列方法中的任一種計(jì)算rij

。

1.歐氏距離法：2.數(shù)量積法：其中M是個(gè)適當(dāng)選擇的常數(shù)，3.夾角余弦法：37Of704.相關(guān)系數(shù)法：5.指數(shù)相似系數(shù)法：其中sk

是個(gè)適當(dāng)?shù)恼?shù)6.最大最小法：7.算術(shù)平均最小法：8.幾何平均最小法：38Of709.絕對值數(shù)法：10.絕對值倒數(shù)法：其中M是個(gè)適當(dāng)?shù)恼?shù)，使得

0≤rij≤111.絕對值減數(shù)法：其中C是個(gè)適當(dāng)?shù)恼?shù)，使得

0≤rij≤1

二、進(jìn)行聚類

分模糊等價(jià)關(guān)系(矩陣)與模糊相似關(guān)系(矩陣)二種情況進(jìn)行。39Of703模糊等價(jià)關(guān)系(矩陣)與聚類分析一、原理因?yàn)?模糊矩陣R是模糊等價(jià)矩陣對∈[0,1]，R的截矩陣R

均是普通等價(jià)矩陣。所以:可通過R

對

X上的元素進(jìn)行聚類。二、定理

若水平

1,2滿足0≤1≤2≤1，則按2分出的每一類必是按1分出的一類的子類。

例6-2設(shè)論域X={X1,X2,X3,X4,X5}，經(jīng)過標(biāo)定后得模糊關(guān)系矩陣為

易證R是X上的模糊等價(jià)矩陣，因此可從R出發(fā)對X中的元素進(jìn)行模糊聚類。解：方法(一)：直接分類

40Of70②取0.85＜

≤0.9，得：按該水平，r35=r53=1，可將X3,X5

歸為一類，其余元素各自成一類，共分成四類：

X={X1}∪{X2}∪{X3,X5}∪{X4}③取0.8＜

≤

0.85

，得：按該水平，r23=r32=r25=r52=r35=r53=1，可將X2,X3,X5歸為一類，其余元素各自成一類，共分成三類：

X={X1}∪{X2,X3,X5}∪{X4}①取0.9＜

≤1，得：可將X1,X2,X3,X4,X5

各自成一類，共分成五類：

X={X1}∪{X2}∪{X3}∪{X4}∪{X5}41Of70④取0.2＜

≤

0.8

，得：按該水平，r12=r21=r13=r31=r15=r51=r23=r32=r25=r52=r35=r53=1，可將X1,X2,X3,X5歸為一類，其余元素各自成一類，共分成二類：

X={X1,X2,X3,X5}∪{X4}⑤取0≤

≤

0.2

，得：按該水平，可將X1,X2,X3,X4,X5歸為一類，共分成一類：

X={X1,X2,X3,X4,X5}模糊聚類過程是一個(gè)動態(tài)過程，隨水平由小到大，集合X的分類越來越細(xì)。

42Of704模糊相似關(guān)系(矩陣)與聚類分析一、原理經(jīng)標(biāo)定得的模糊關(guān)系(矩陣)R不是模糊等價(jià)關(guān)系(矩陣)，它只具備自反性和對稱性，不具備傳遞性，即R只是模糊相似關(guān)系(矩陣)。要利用R對X中的元素進(jìn)行聚類，須將R改造成模糊等價(jià)關(guān)系(矩陣)。二、定理

設(shè)R是模糊相似矩陣，進(jìn)行如下復(fù)合運(yùn)算：

RR2=RRR4=R2R2

……R2k=RkRk

……

若存在正整數(shù)k，使得：R2k=Rk，則R2k是模糊等價(jià)矩陣，這樣:可通過R2k對

X上的元素進(jìn)行聚類。

例6-4對以下五種物質(zhì)進(jìn)行模糊聚類，設(shè)論域X={白色乒乓球X1,面包X2,黃色排球X3,白犁X4,黃橙X5}，用評定打分法標(biāo)定X上的模糊關(guān)系矩陣為：

顯然R具備自反性和對稱性，43Of70

由定理知R16是模糊等價(jià)矩陣，利用R16對X中的元素進(jìn)行聚類，用編網(wǎng)法：

44Of70②取0.8＜

≤0.9

，得：X={X1,X3}∪{X2}∪{X4}∪{X5}①取0.9＜

≤1

，得：X={X1}∪{X2}∪{X3}∪{X4}∪{X5}45Of70②取0.7＜

≤

0.8

，得：

X={X1,X3}∪{X2,X5}∪{X4}③取0.6＜

≤

0.7

，得：

X={X1,X3}∪{X2,X4,X5}④取0≤

≤

0.6

，得：

X={X1,X2,X3,X4,X5}46Of70模糊模式識別

1模糊子集的內(nèi)積和外積一、內(nèi)積和外積的定義設(shè)A,B∈(X)，其隸屬函數(shù)為

A(x),B(x)，則稱：

為A與B的內(nèi)積；

為A與B的外積。

例5-1A1、A2是實(shí)數(shù)域R上兩個(gè)正態(tài)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

xo1

a1a2C(小中取大，故為交點(diǎn)C)(大中取小，故為0)47Of70

二、有限論域內(nèi)積和外積定義

設(shè)X是有限論域，且A,B∈(X)，A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，則稱：

為A與B的內(nèi)積；

為A與B的外積。

例5-2設(shè)A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

則A·B=(0.4∧0.1)∨(0.6∧0.7)∨(0.3∧0.5)∨(0.5∧0.2)=0.1∨0.6∨0.3∨0.2=0.6A

B=(0.4∨0.1)∧(0.6∨0.7)∧(0.3∨0.5)∧(0.5∨0.2)=0.4∧0.7∧0.5∧0.5=0.4

三、性質(zhì)

1、(A·B)c=Ac

Bc

，(A

B)c=Ac

·Bc

2、對任意模糊向量A均有：A·Ac≤1/2，A

Ac≥1/248Of70

四、模糊向量的笛卡爾積設(shè)模糊向量A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，

則稱A×B=ATοB為A與B的笛卡爾積(是一個(gè)模糊矩陣)。

例5-3設(shè)A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

49Of70

五、A·B與A×B

幾何意義

1、A·B=AοBT：表示同一個(gè)論域X上二個(gè)模糊概念與的相關(guān)程度(模糊關(guān)系)。

A可看成是由單元素論域{

}到論域X上的模糊關(guān)系：ABT

可看成是由論域X到單元素論域{

}到上的模糊關(guān)系：BT

由模糊關(guān)系合成定義：AοBT

表示由{

}到{

}到上的模糊關(guān)系：AοBT2、A×B=ATοB：表示用兩個(gè)不同論域X與Y表現(xiàn)同一個(gè)模糊概念時(shí)，X與Y(元素)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。模糊概念

可看成是單元素論域{

},在論域X與Y上分別表現(xiàn)為模糊向量A與B：AT

可看成是由論域X到單元素論域{

}上的模糊關(guān)系：ATB可看成是由單元素論域{

}到論域Y上的模糊關(guān)系：B由模糊關(guān)系合成定義：ATοB表示X到Y(jié)上的模糊關(guān)系：ATοB50Of70

例5-4判斷企業(yè)經(jīng)營管理好壞，取五個(gè)評判因素構(gòu)成論域X={產(chǎn)值、產(chǎn)量、費(fèi)用、利潤、資金周轉(zhuǎn)}。在X上有“企業(yè)管理好”、“企業(yè)管理較好”、“企業(yè)管理差”三個(gè)模糊概念，分別用模糊向量表示：A=(0.7，0.9，0.8，1，0.8)，

B=(0.5，0.6，0.5，0.7，0.8)，

C=(0.1，0.2，0，0.3，0.4)。

則：①X上“企業(yè)管理好”與“企業(yè)管理較好”這兩個(gè)模糊概念的相關(guān)程度是：

②X上“企業(yè)管理較好”與“企業(yè)管理差”這兩個(gè)模糊概念相關(guān)程度是：

51Of70

例5-5企業(yè)“經(jīng)濟(jì)效益好”這個(gè)模糊概念，在論域“利潤”與論域“費(fèi)用”上分別表現(xiàn)為模糊向量：

A=(0.5，0.9，0.3，0.2)，B=(0.1，0.8，0.4)，

則：“經(jīng)濟(jì)效益好”這個(gè)模糊概念，在兩個(gè)論域“利潤”與“費(fèi)用”之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

52Of70

2模糊子集的貼近度一、貼近度的定義設(shè)A,B∈(X)，即A、B是論域X上的二個(gè)模糊子集，則稱：為A與B的貼近度。

例5-6A1、A2是實(shí)數(shù)域R上兩個(gè)正態(tài)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

xo1

a1a2C

例5-7設(shè)A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),

B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

因?yàn)锳·B=0.6，A

B=0.4

53Of70

二、貼近度的性質(zhì)

1、(A,A)=1，當(dāng)存在0、1隸屬度時(shí)。2、(A,B)=(B,A)≥03、若ABC，即

x∈X，A(x)≤B(x)≤C(x)

則(A,C)≤(B,C)54Of70

三、貼近度的其它定義設(shè)X是有限論域，且A,B∈(X)，A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，1、2、3、

例5-8設(shè)有模糊子集A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)①、②、③、55Of703最大隸屬原則和擇近原則一、最大隸屬原則設(shè)A1,A2,…,An∈(X)，x0∈X是論域X上的一個(gè)確定元素，

則認(rèn)為x0相對隸屬于模糊子集為Ai

。說明：是模式識別的直接方法，即模型是模糊的(A1,A2,…,An是模糊子集)，而被識別的對象x0是確定的，判別x0相對隸屬于A1,A2,…,An中的哪一個(gè)。

例5-9由五種商品組成論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，定義商品“質(zhì)量好”的模糊子集為A=(0.81，0.53，1，0，0.24)，

“質(zhì)量差”的模糊子集為B=(0.05，0.21，0，0.86，0.57)

用最大隸屬原則判定

A(X1)=Max{A(X1),B(X1)}，即0.81=Max{0.81,0.05}

知商品Xl相對隸屬于A

，即相對隸屬于“質(zhì)量好”；同理知商品X2、X3相對隸屬于A

，即相對隸屬于“質(zhì)量好”；商品X4、X5相對隸屬于B

，即相對隸屬于“質(zhì)量差”。56Of70

例5-10識別三角形：取論域U={(A,B,C)|A+B+C=

，A≥B≥C≥0}，其中A,B,C為三角。定義以下幾個(gè)模糊子集，并給出其隸屬函數(shù)：

①近似等腰三角形I：

②近似直角三角形R：

③近似正三角形E：

④近似直角等腰三角形IR=I∩R：

⑤非典型三角形O=Ic∩Rc∩Ec

：

解：

57Of70

例5-11取年齡為論域U=[0,100]，給出兩個(gè)模糊概念“年輕”和“年老”，表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數(shù)定義為：

0150

100x0125

100x

若你的年齡x=55歲，問：這個(gè)人相對來說是屬于“年輕”還是“年老”?

所以這個(gè)人相對來說是屬于“年老”。

58Of70

二