初中升高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)暑假必備-初高中銜接教材含答案

佛山市第三中學(xué)

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

｛新課標(biāo)人教A版｝

典型試題舉一反三

理解記憶成功銜接

第一部分如何做好初高中銜接1-3頁

第二部分現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在的“脫節(jié)”4頁

第三部分初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn)5-9頁

第四部分分章節(jié)講解10-66頁

第一部分，如何做好高'初中數(shù)學(xué)的銜接

?第一講如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)?

初中生經(jīng)過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學(xué)好的愿望。但經(jīng)

過一段時(shí)間，他們普遍感覺高中數(shù)學(xué)并非想象中那么簡單易學(xué)，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節(jié)如聽天書。

在做習(xí)題、課外練習(xí)時(shí).，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當(dāng)部分學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

的“困難期”，數(shù)學(xué)成績出現(xiàn)嚴(yán)重的滑坡現(xiàn)象。漸漸地他們認(rèn)為數(shù)學(xué)神秘莫測，從而產(chǎn)生畏懼感，動(dòng)搖了學(xué)好數(shù)學(xué)的

信心，甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)上的

銜接問題。下面就對造成這種現(xiàn)象的一些原因加以分析、總結(jié)。希望同學(xué)們認(rèn)真吸取前人的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，搞好自己的數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)。

一高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化

1數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變。不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠(yuǎn)，似乎很“玄”。

確實(shí)，初、高中的數(shù)學(xué)語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下

子就觸及抽象的集合語言、邏輯運(yùn)算語言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語言、空間立體幾何等。

2思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立

了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也

對線段相等、角相等，分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的、便于操作的定勢方式。高中

數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進(jìn)的，不

是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗(yàn)型抽

象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。

3知識(shí)內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學(xué)在知識(shí)內(nèi)容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代數(shù)》第一章就有基本

概念52個(gè)，數(shù)學(xué)符號(hào)28個(gè)；《立體幾何》第一章有基本概念37個(gè)，基本公理、定理和推論21個(gè)；兩者合在一起僅基本概

念就達(dá)89個(gè)之多，并集中在高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)，形成了概念密集的學(xué)習(xí)階段。加之高中一年級第一學(xué)期只有七十多課

時(shí)，輔助練習(xí)、消化的課時(shí)相應(yīng)地減少了。使得數(shù)學(xué)課時(shí)吃緊，因而教學(xué)進(jìn)度一般較快，從而增加了教與學(xué)的難度。

這樣，不可避免地造成學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而影響成績的提高。這就要求：第一，要做好課后的復(fù)習(xí)工作，記

牢大量的知識(shí)。第二，要理解掌握好新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使新知識(shí)順利地同化于原有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中。第三，因知識(shí)

教學(xué)多以零星積累的方式進(jìn)行的，當(dāng)知識(shí)信息量過大時(shí)，其記憶效果不會(huì)很好，因此要學(xué)會(huì)對知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形

成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”。如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到

統(tǒng)一；使幾類問題同構(gòu)于同一知識(shí)方法。第四，要多做總結(jié)、歸類，建立主體的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

二不良的學(xué)習(xí)狀態(tài)

1學(xué)習(xí)習(xí)慣因依賴心理而滯后。初中生在學(xué)習(xí)上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分?jǐn)?shù)，初中數(shù)學(xué)教師將各

種題型都一一羅列，學(xué)生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導(dǎo)也是常事。升

入高中后，教師的教學(xué)方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導(dǎo)的能力也跟不上了。許多同學(xué)進(jìn)入高中后，還象

初中那樣，有很強(qiáng)的依賴心理，跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。表現(xiàn)在不定計(jì)劃，坐等上課，課前沒有

預(yù)習(xí)，對老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。

2思想松懈。有些同學(xué)把初中的那一套思想移植到高中來。他們認(rèn)為自己在初一、二時(shí)并沒有用功學(xué)習(xí)，只是在

初三臨考時(shí)才發(fā)奮了一、二個(gè)月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點(diǎn)中學(xué)里的重點(diǎn)班，因而認(rèn)為讀高中也不過如

此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時(shí)再發(fā)奮一、二個(gè)月，也一樣會(huì)考上一所理想的大學(xué)的。

存有這種思想的同學(xué)是大錯(cuò)特錯(cuò)的。有多少同學(xué)就是因?yàn)楦咭?、二不努力學(xué)習(xí)，臨近高考了，發(fā)現(xiàn)自己缺漏了很多知

識(shí)再彌補(bǔ)后悔晚矣。

3學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識(shí)的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點(diǎn)難點(diǎn)，突出思想方法。而一部

分同學(xué)上課沒能專心聽課，對要點(diǎn)沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆；課后又不能及時(shí)鞏固、總結(jié)、

尋找知識(shí)間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機(jī)械模仿，死記硬背。還有些

同學(xué)晚上加班加點(diǎn)，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。

4不重視基礎(chǔ)。一些“自我感覺良好”的同學(xué)，常輕視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，經(jīng)常是知

道怎么做就算了，而不去認(rèn)真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高鷲遠(yuǎn)，重“量”輕“質(zhì)”，

陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯(cuò)就是中途“卡殼”。

5進(jìn)一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識(shí)的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必

須掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值

的求法、實(shí)根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運(yùn)用、空間概念的形成、排列組合應(yīng)用題及實(shí)際應(yīng)用問

題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補(bǔ)救措施，查缺補(bǔ)漏，就必然會(huì)跟不上高中學(xué)習(xí)的要求。

三科學(xué)地進(jìn)行學(xué)習(xí)

高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會(huì)學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，才能變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)

學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)習(xí)成績。

1培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。反復(fù)使用的方法將變成人們的習(xí)慣。什么是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣？良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定

計(jì)劃、課前自學(xué)、專心上課、及時(shí)復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個(gè)方面。

(1)制定計(jì)劃使學(xué)習(xí)目的明確，時(shí)間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動(dòng)主動(dòng)學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動(dòng)力。

但計(jì)劃一定要切實(shí)可行，既有長遠(yuǎn)打算，又有短期安排，執(zhí)行過程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。

(2)課前自學(xué)是上好新課、取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。課前自學(xué)不僅能培養(yǎng)自學(xué)能力，而且能提高學(xué)習(xí)新課的興趣,

掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。自學(xué)不能走過場，要講究質(zhì)量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點(diǎn)，突

破難點(diǎn)，盡可能把問題解決在課堂上。

(3)上課是理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?！皩W(xué)然后知不足”，課前自學(xué)過的同學(xué)上課更

能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。

(4)及時(shí)復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。通過反復(fù)閱讀教材，多方面查閱有關(guān)資料，強(qiáng)化對基本概念知識(shí)體系的理

解與記憶，將所學(xué)的新知識(shí)與有關(guān)舊知識(shí)聯(lián)系起來，進(jìn)行分析比效，一邊復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)成果整理在筆記本上，使對

所學(xué)的新知識(shí)由“懂”到“會(huì)”。

(5)獨(dú)立作業(yè)是通過自己的獨(dú)立思考，靈活地分析問題、解決問題，進(jìn)一步加深對所學(xué)新知識(shí)的理解和對新技能的

掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗(yàn)，通過運(yùn)用使對所學(xué)知識(shí)由“會(huì)”到“熟”。

(6)解決疑難是指對獨(dú)立完成作業(yè)過程中暴露出來對知識(shí)理解的錯(cuò)誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點(diǎn)撥使思路

暢通，補(bǔ)遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯(cuò)的作業(yè)再做一遍。對錯(cuò)誤的地方要反復(fù)思考。實(shí)在

解決不了的要請教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯(cuò)的知識(shí)拿來復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老師問同學(xué)獲得的

東西消化變成自己的知識(shí)，使所學(xué)到的知識(shí)由"熟“到"活”。

(7)系統(tǒng)小結(jié)是通過積極思考，達(dá)到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識(shí)和發(fā)展認(rèn)識(shí)能力的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基

礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料?，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到對所學(xué)知識(shí)融

會(huì)貫通的目的。經(jīng)常進(jìn)行多層次小結(jié)，能對所學(xué)知識(shí)由“活”到“悟”。

(8)課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書籍與報(bào)刊，參加學(xué)科競賽與講座，走訪高年級同學(xué)或老師交流學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)

是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不僅能豐富同學(xué)們的文化科學(xué)知識(shí)，加深和鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識(shí)，而且能夠滿足和發(fā)展

興趣愛好，培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)和工作的能力，激發(fā)求知欲與學(xué)習(xí)熱情。

2循序漸進(jìn)，防止急躁。由于同學(xué)們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學(xué)容易急躁。有的同學(xué)貪多求快，囪冏

吞棗；有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點(diǎn)成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學(xué)們要知道，

學(xué)習(xí)是一個(gè)長期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學(xué)三年而不是三天！許

多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績，其中一個(gè)重要原因是他們的基本功扎實(shí)，他們的閱讀、書寫、運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或

半自動(dòng)化的熟練程度。

3注意研究學(xué)科特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點(diǎn)是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求

較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。對課本知識(shí)既要能鉆進(jìn)去，

又要能跳出來，結(jié)合自身特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。華羅庚先生倡導(dǎo)的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學(xué)習(xí)過程就是

這個(gè)道理。方法因人而異，但學(xué)習(xí)的四個(gè)環(huán)節(jié)（預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)）和一個(gè)步驟（歸納總結(jié)）是少不了的。

第二部分，現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)”

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對

三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用

的解題技巧。

4.初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。

配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等

是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此

類題目僅限于簡單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)

化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、

右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對稱問題必須掌握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。

方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦

定理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。

第三部分初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn)

1絕對值：

⑴在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。

a{a>0)

⑵正數(shù)的絕對值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)，0的絕對值是0,即時(shí)=<03=0)

-a(a<0)

⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小

⑷兩個(gè)絕對值不等式：|x|<a(a>0)<^>-a<x<a；\x\>a(a>0)oxv-Q或x>o

2乘法公式：

⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

(3)立方和公式：o'+b3-(a+b)(a2-ab+b2)

⑷完全平方公式：(?+b)2-a2+2ah+b2,

(a+/7+c)—-ci~+b~+c~+2ab+2cic+2bc

⑸完全立方公式：(a±6)3+~icrb+3ah2土b，

3分解因式：

⑴把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②運(yùn)用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。

⑶關(guān)于方程辦=。解的討論

b

①當(dāng)aHOEI寸，方程有唯一解x=2；

a

②當(dāng)a=0,時(shí)，方程無解

③當(dāng)a=0,8=0時(shí)，方程有無數(shù)解；此時(shí)任一實(shí)數(shù)都是方程的解。

5二元一次方程組：

(1)兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

(2)適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

(3)二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。

(4)解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。

6不等式與不等式組

(1)不等式：

①用符不等號(hào)(＞、W、＜)連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

(4)一元一次不等式組：

①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

7一元二次方程：ax2+bx+c-O(.a0)

①方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根O△-4ac>0

A>0

②方程有兩根同號(hào)。

C八

XxX2=_>()

-Cl

A>0

③方程有兩根異號(hào)。

C八

x}x2=—<0

<~a

bc

④韋達(dá)定理及應(yīng)用：%----,X|X2=—

a-----a

yjb2-4ac

2VZ

Xj+=(X]+/)2—2須入2，W一12〔二+12)2-4XjX2

同同

X：+E=(XJ+%2)(%：—玉工2+%；)=(%+%2)[(玉+/)2

8函數(shù)

(1)變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

(2)一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量y,x間的關(guān)系式可以表示成丁二"+8(〃為常數(shù)，%不等于0)的形式，則稱y是x

的一次函數(shù)。②當(dāng)6=0時(shí)，稱y是X的正比例函數(shù)。

（3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個(gè)函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn)，

所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)y=Zx的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)女<0,b<0,則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)k<0,匕>0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)k>3b<0

時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)&>0,b>0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。

④當(dāng)女>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)左<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減少。

（4）二次函數(shù)：

①一般式：y=ax2+Z?x+c=<7（x+—）2——（4/^0）,對稱軸是1=--—,

2a4。2a

b4ac-b2

頂點(diǎn)是（———

2a4a

②頂點(diǎn)式：y=。。+機(jī)）2+攵（QWO）,對稱軸是％=—以頂點(diǎn)是（一切，女）；

③交點(diǎn)式：y=a（x-x｝）（x-x2）（tz^O）,其中（玉,0）,（x2,0）是拋物線與x軸的交點(diǎn)

（5）二次函數(shù)的性質(zhì)

①函數(shù)、=依2+法+，3聲0）的圖象關(guān)于直線％=-2對稱。

2a

h

②。>0時(shí)，在對稱軸（x=—）左側(cè)，y值隨X值的增大而減少；在對稱軸（x=——）右側(cè)；y的值隨X值

2a2a

h4QC—護(hù)

的增大而增大。當(dāng)天=——時(shí)，y取得最小值*——

2a4a

bb

③QVO時(shí)，在對稱軸（x=——）左側(cè)，y值隨X值的增大而增大；在對稱軸（x=——）右側(cè)；y的值隨X值

2a2a

的增大而減少。當(dāng)工二-h二時(shí)，y取得最大值4QC—b~

2a4a

9圖形的對稱

(1)軸對稱圖形：①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)確定的線段被對稱軸垂直平分。

(2)中心對稱圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做

中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對稱中心平分。

10平面直角坐標(biāo)系

(1)在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系?水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫

做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)。稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對稱點(diǎn)：設(shè)例(西，乂)，M'(乙,當(dāng))是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，

①若M和AT關(guān)于y軸對稱，則有「―一”。

〔弘=必

②若M和M'關(guān)于x軸對稱，則有1“一七。

X.=-

③若M和關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有2。

[X=f

④若M和M'關(guān)于直線y=x對稱，則有1%=%。

1%=工2

_x.=2a—[x=2a-x,

⑤若“和AT關(guān)于直線x=a對稱，則有，2或《217

11統(tǒng)計(jì)與概率：

(1)科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成4x10"的形式，其中A大于等于1小于10,N是正整數(shù)。

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖：①用圓表示總體，圓中的各個(gè)扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分

比的大小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。②扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應(yīng)的扇形圓心角

的度數(shù)與360度的比。

(3)各類統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚反映事物的變化

情況；③扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

1-

(5)平均數(shù)：對于N個(gè)數(shù)%,馬，，公,我們把一(玉+々++4)叫做這個(gè)N個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為X。

N

(6)加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一

個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。

(7)中位數(shù)與眾數(shù)：①"個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這個(gè)組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參

加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計(jì)算簡單，受極端

值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義。

(8)調(diào)查：①為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成

總體的每一個(gè)考察對象稱為個(gè)體。②從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的

一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個(gè)體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間，

人力，物力和財(cái)力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要主要樣本

的代表性和廣泛性。

(9)頻數(shù)與頻率：①每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連

續(xù)取值時(shí)，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。

(10)數(shù)據(jù)的波動(dòng)：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平

均數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來說，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。

(11)事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會(huì)發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不

會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會(huì)不會(huì)發(fā)生，

這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。

(12)概率：①人們通常用1(或100%)來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游

戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1,記作P(必然事件)=1；不可能事件發(fā)生的

概率為0,記作P(不可能事件)=0；如果A為不確定事件，那么0<P(A)<l

第四部分分章節(jié)突破

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1絕對值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=a*+6x+c的圖像和性質(zhì)

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

2.2.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

2.3.2一元二次不等式解法

3.1相似形

3.1.1.平行線分線段成比例定理

3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2幾種特殊的三角形

3.3圓

3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系

3.3.2點(diǎn)的軌跡

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1,絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零.即

a,〃>0,

|止0,〃=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對值的幾何意義：|a-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)。之間的距離.

例1解不等式:|x-l|+|x-3|>4.

角平法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可變?yōu)椤?x—1)—(x—3)>4,

即一2x+4>4,解得xVO,

又x<l,

.,.x<0；

②若l?x<2,不等式可變?yōu)?lt;-1)-(x-3)>4,

即1>4,

,不存在滿足條件的X；

③若XN3,不等式可變?yōu)?x—l)+(x—3)>4,

即2x—4>4,解得x>4.

又這3,/.X>4.

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,卜-1|表示x軸上坐標(biāo)為光的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離照即照|

=|x-l|；|%一3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|,即|PB|=|元一3|.

所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的幾何意義即為

\PA\+\PB\>4.^731

由H同=2,可知PCABD

點(diǎn)尸在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P―1-~1-----------+~~1-----?在點(diǎn)。(坐標(biāo)為4)的右

側(cè).34x

尤<0,或x>4.|x—1|

練習(xí)圖1.1一1

1.填空：

(1)若兇=5,則x=；若兇=卜4卜則x=.

(2)如果同+帆=5,且a=—l,貝股=；若|1一［=2,貝ijc=.

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=同，則a=b(B)若時(shí)〉網(wǎng)，則a>b

(C)若a<b,則同<網(wǎng)(D)若同=網(wǎng)，則a=±b

3.化簡：|x-5|-|2x-13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+/?)(a—份=〃一〃；

(2)完全平方公式(a±bj=d±2abi-.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a-ah-2b)=3<z+；

(2)立方差公式(o―b)(五+ah-~b)—a—；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+bj—d+3aZM-3a力+；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=一301b+3ab?-b3.

對上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計(jì)算：(X+1)(%-l)(x2-x+l)(x2+X+1).

解法一：原式=，一l)[(f+l)2一工2]

=(x2-l)(x4+x2+l)

=?-l.

解法二：原式=(x+l)(%2-x+l)(x—1)(爐+》+])

=(x3+l)(x3-l)

=?-l.

例2已知a+0+c=4,ab+bc+ac=4,求/+〃+/的值.

解:a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.

練習(xí)

1.填空：

1,1,11

(1)-a2一一b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4m+)2=16m2+4/n+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4Z?2+c2+().

2.選擇題：

(1)若f+■!〃a+%是一個(gè)完全平方式，則左等于

()

2

(A)m2(B)—m2(C)-JTI2(D)-m2

4316

(2)不論a,〃為何實(shí)數(shù)，〃+從一2?！?人+8的值)

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如G(a20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為

無理式.例如3a+yja2+b+2h,Ja。+〃等是無理式,而夜》2+乎》+1,x2+yf2xy+y2,J/等是有

理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理

化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)

式互為有理化因式，例如0與0,3后與6+在與6-瓜,2百-30與2百+3血，等等.一

般土也，a五與五，ayfx+hyfy-^ay/x-by/y,a&+力與—力互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子有理

化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

8亞=向心0力20)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行

運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式.

2.二次根式"的意義

"=時(shí)=卜a",

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)VI赤(2)7?^(?>0)；(3)44/6y(x<0).

解:(1)712^=2^；

(2)\la2h--a>Jb(a>0')；

(3)J?，)，=2M4=-2_?4(》<0).

例2計(jì)算:百十(3-6).

解法一：V3-(3-V-3=且=百

3-V3V3(V3-D

_行(3+?1

(3--)(3+我V3—1

G+i

_3A/3+3

(V3-l)(^+l)

9-3

3(73+1)73+1

62

6+1

2

解法二：73-(3-V"3="^

3-V3

例3試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)灰-而和而-如；(2)高和2尺庭?

y/l2-y/U(厄-而)(厄+而)

解：⑴vVi2-Vn

1V12+V11A/12+VTI，

70-VTo?Vo-)(MTI10)

mr,

ivn+n。

又疵+而>而7麗,

/.Vi2->/n<Vn-Vio.

(2)...2￡_.R=2近一娓=(20-卡)(20+")=2

->"―1-272+76-272+765

又4>2也，

.,.加+4>冊+2隹

?*.-7=<2,y/2.--\/6.

V6+4

例4化簡：產(chǎn)<6-6產(chǎn).

解：(6+&y4?(6-尤產(chǎn)5

=(6+V2)2004.(百-④嚴(yán)04.(石一及)

=^(A/3+V2),(-^3—V2)J?(-^—V2)

=12004-(73-5/2)

=73-72.

例5化簡：(1)79-475；(2)X2+-^-2(0<X<1).

解：(1)原式=，5+4石+4

=7(>/5)2+2x2x75+22

VO<x<l,

=J(2一⑹2

>1>x?

=|2-V5|=75-2.X

所以，原式=1-X.

X

已知《，

例6x=^W，"4±求3爐-5盯+3丁的值.

V3+V2V3-V2

V3-V2V3+V2

解：(V3-行)2+(百+夜)2=10,

_V3-V2V3+V2

孫=百五京萬

，3x2-5Ay+3y2=3(x+y)2-1lAy=3x102-11=289.

練習(xí)

1.填空:

1-V3

(1)

1+V3'

(2)若,(5-3)2=(X—3)F：,則％的取值范圍是

(3)4724-6A/54+3演-2V150=

,,yf5r"+1-Jx—1"V%+1+yjX—1

(4)右X=，貝U-/---/H/---/—____

25/%+1+yjx—l\/X+\-\/x—\

2.選擇題:

等式成立的條件是()

(A)X。2(B)x>0(C)x>2(D)0Vxe2

c—]+J]—Q-7〃/士

3.若。=----------------,求的值.

a+\

4.比較大小：2f.一小一5（填或

1.1.4.分式

1.分式的意義

AAA

形如一的式子，若B中含有字母，且BwO,則稱一為分式.當(dāng)跖笫時(shí)，分式一具有下列性質(zhì):

BBB

A_AxM_

~B~BxM

AA^M

~B~

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像y.安這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d

n+p

5r+4AR

例1若工土=在+上，求常數(shù)A3的值.

x(%+2)xx+2

..ABA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4

解:?—i-------=-----------------=-----------------=---------

xx+2x(x+2)x(x+2)M%+2)

.加3=5,

>?V

2A=4,

解得A=28=

1

例2(1)試證：———（其中〃是正整數(shù)）;

〃(〃+1)n〃+1

(2)計(jì)算：----1-------FH--------

1x22x39x10

1I1I

(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)〃,有------1--------FH----------<一?

2x33x4/?(/?+1)2

..11(n+l)-n

(1)證明:一,

nn+1幾(〃+1)〃("+1)

111

（其中"是正整數(shù)）成立.

n〃+1

(2)解：由(1)可知

111

-----+----+

lx22x3￥

44)+

9

=1-—=

1010

⑶證明”為+乙++高

1111

=(/一§)+(§_/++

nn+l

11

2n+1

又n>2,且〃是正整數(shù),

.1一定為正數(shù),

??〃+1

.111

-------1--------FH--------------<2?

2x33x4n(n+l)

例3設(shè)e=￡,且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2c2—5^+2a2=0兩邊同除以屋，得

2e2~5e+2=0,

.\(2e-l)(e-2)=0,

<1,舍去；或e=2.

.".e=2.

練習(xí)

1.填空題：

對任意的正整數(shù)"，一?—=—(-一一—)；

〃(及+2)n〃+2

2.選擇題：

若-----=則一=()

x+y3y

54(D)|

(A)1(B)一(C)-

45

3.正數(shù)%,丁滿足》2—)，2=2孫，求匕的值.

x+y

111

4.計(jì)算-----H-------F-------F...+

1x22x33x499x100

習(xí)題1.1

A組

1.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x—2|<7；

(3)|x-l|-i-|x4-l|>6.

2.已知x+y=l,求V++3D的值.

3,填空：

(1)(2+V3),8(2-V3)19=；

(2)若J(l_a)2+J(l+a)2=2,則a的取值范圍是

I]]]]

(3)

1+V2V2+V3V3+V4V4+V5亞+瓜

B組

1.填空:

…3a2-ab

(1)a=-，h=-則------------------

233/+5時(shí)一2〃2

(2)若V+孫_2/=0,則x=+?芝、'：)'[=________

x+y

2.已知：x——,y——,求廠—廠的值.

2-3y/x-yJy\lx+y]y

C組

1.選擇題：

(1)若J-q—b—=\/—b~yj—cif則()

(A)a<h(B)a>b(C)a<h<0(D)h<a<0

(2)計(jì)算aJI]等于

()

(A)(B)4a(C)—\l-Cl(D)—y/ci

11

2.解方程2(x92+—)-3(x+-)-l=0.

X~X

計(jì)算：—L+—L+-L+1

3.H-----------

1x32x43x59x11

11

4.試證：對任意的正整數(shù)〃，有--------------F---------------Fd------------<7

1x2x32x3x4〃(〃+l)(〃+2)4

1.1.1.絕對值

1.(1)±5；±4(2)±4；—1或32.D3.3x-18

1.1.2.乘法公式

1.(1)—ah(2)(3)4ab—2ac—4hc

32254

2.(1)D(2)A

1.1.3.二次根式

1.(1)y/3-2(2)3<x<5(3)-8#(4)也.

2.C3.1