高等數(shù)學(xué)第二章：函數(shù)、極限

第二章函數(shù)極限與連續(xù)性

函數(shù)反映的是客觀世界中各種變量之間的相互依賴關(guān)系，它不

僅是貫穿中學(xué)《代數(shù)》的主線，也是高等數(shù)學(xué)研究對(duì)象的主要對(duì)象,

極限是研究函數(shù)的基本工具，本章將介紹映射、函數(shù)、極限和函數(shù)的

連續(xù)性等基本概念，以及它們的一些性質(zhì).

第一節(jié)函數(shù)

一、數(shù)

數(shù)是一個(gè)用作計(jì)數(shù)、標(biāo)記或用作量度的抽象概念，起源于原始

人類用來(lái)數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)的記號(hào)形成自然數(shù)“數(shù)”的符號(hào)，是人類最偉大的

發(fā)明之一，是人類精確描述事物的基礎(chǔ)。最先認(rèn)識(shí)的當(dāng)然是自然數(shù)

1,2,3,……。從此以后，伴隨著人類文明的發(fā)展，數(shù)的范圍得到了

進(jìn)一步的擴(kuò)張，為什么要擴(kuò)展呢？一方面，為了滿足社會(huì)實(shí)踐的需要,

另一方面與數(shù)的運(yùn)算有關(guān)系，比如，在自然數(shù)范圍之內(nèi)，兩個(gè)自然數(shù)

相乘或者相加仍是自然數(shù)（也稱為對(duì)于加法和乘法運(yùn)算時(shí)封閉的），但

是兩個(gè)自然數(shù)相減還是自然數(shù)嗎？不是，為了保障自然數(shù)對(duì)減法也是

封閉的，引入了負(fù)數(shù)和零，于是人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)就擴(kuò)展到了整數(shù)。然

而兩個(gè)整數(shù)的除法不一定是整數(shù)，為了使整數(shù)對(duì)除法也是封閉的，人

類把整數(shù)拓展到了有理數(shù)。在研究數(shù)學(xué)時(shí)又遇到了這樣的問(wèn)題，一正

方形的面積為2,邊長(zhǎng)為多少？利用面積公式，設(shè)邊長(zhǎng)為x,則有，

r=2,解方程得到，x=&,及是無(wú)理數(shù)，于是把數(shù)的認(rèn)識(shí)拓展到了

無(wú)理數(shù)。把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的全體稱為實(shí)數(shù)。這樣就把有理數(shù)擴(kuò)展到

了實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)不僅對(duì)對(duì)四則運(yùn)算封閉，而且對(duì)開(kāi)方運(yùn)算也是封閉的。

這就是自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)。所有自然數(shù)構(gòu)成的集

合稱為自然數(shù)集，記為N；同理，所有整數(shù)構(gòu)成的集合稱為整數(shù)集，

記為Z；所有有理數(shù)構(gòu)成的集合稱為有理數(shù)集，記為Q；所有實(shí)數(shù)構(gòu)

成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記為R；

什么是集合？

二、集合

1、集合的基本概念

(1)定義：集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象

組成的集體；這些對(duì)象稱為該集合的元素。

(2)性質(zhì)：集合中的元素有三個(gè)特征：1.確定性(集合中的元

素必須是確定的)例如：“身材較高”不能構(gòu)成集合，因

為它的元素不是確定的；2.互異性(集合中的元素互不

相同。例如:集合A={1,a},則a不能等于1)3.無(wú)序

性(集合中的元素沒(méi)有先后之分。)

(3)集合的表示：集合通常用大寫(xiě)字母如A,B,C,D,...表示，而

用小寫(xiě)字母如a,b,c,d,...表示集合的元素。

(4)集合與元素的關(guān)系(屬于關(guān)系)：若〃是集合A中的元素，則

說(shuō)a屬于A,記為aeA;否則說(shuō)a不屬于A,記為〃名4。

2、集合的表示方法

(1)例舉法：將集合中的元素逐一列舉出來(lái)，并用括號(hào)“{}”

括起來(lái)表示集合的方法。

(2)描述法：用集合中所有元素的公共屬性來(lái)表示集合的方法；

2

例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={X|X=2}0

3、集合間的關(guān)系(包含關(guān)系或相等關(guān)系)

(1)子集：設(shè)A,B是兩個(gè)集合，如果A的所有元素都屬于B,即

VaeA,則aeB,則稱A是B的子集，記為Au8,或者BfA,

讀作A包含于B(包含關(guān)系)；

(2)相等：如果兩個(gè)集合A和B的元素完全相同，則稱A與B兩

個(gè)集合相等，記為A=B；

(3)真子集：如果A是B的一個(gè)子集，即但在B中存在一

個(gè)元素c不屬于A,則稱A是B的一個(gè)真子集。

(4)空集：不含任何元素的集合稱為空集，記為0,規(guī)定：空集是

任何集合的子集;

(5)任何集合是自身的子集；

(6)集合包含關(guān)系具有傳遞性：若AuB,BaC,則A.C;

4、集合的基本運(yùn)算

(1)并集：所有屬于集合4的元素或所有5的元素組成的集合稱

為集合A與B的并集，記為AUB,即AUB={x|xeA,orxwB}

(2)交集：所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合稱

為集合A與B的交集，記為ACB,即AnB={x|xeA,andxe8}

(3)補(bǔ)集

(i)全集：如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有

元素，則稱這個(gè)集合為全集，通常記作U。

(ii)補(bǔ)集：設(shè)U是一個(gè)全集，［是U的一個(gè)子集，由U中所

有不屬于A的元素組成的集合稱為集合A在U中的補(bǔ)集(也稱余

集)，記為C“A,即C"={x|xe川。

三、數(shù)軸上的區(qū)間與鄰域(一類特殊的集合)

1.區(qū)間

(1)定義：介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合稱為稱為

一個(gè)區(qū)間，這兩個(gè)數(shù)稱為區(qū)間端點(diǎn)；

(2)區(qū)間分類：

設(shè)beR,且a<瓦，則

(i)稱數(shù)集{x[a<x<4為開(kāi)區(qū)間，記為5⑼，即：

(a,b)={x[a<x<b^；

(ii)稱數(shù)集{小3〈可為閉區(qū)間，記為[a向，即：

[a,b]={x\a<x<bj;

(iii)稱數(shù)集{x|a〈x叫和何”尤訓(xùn)為閉區(qū)間，記為[a⑼和

3向，即：

[a,b)={x|tzWx<6}和(a,/?]=^x\a<%</>],

其中a與b稱為區(qū)間端點(diǎn)，a稱為左端點(diǎn)，b稱為右端點(diǎn)。

(3)區(qū)間端點(diǎn)的距離稱為區(qū)間的長(zhǎng)度，(2)中區(qū)間的長(zhǎng)度為6-a；

(4)集合{x|x>a}記為[a,4-oo),即[a,+oo)={小2〃},類似的，

(-co./?)=[x\x<。},(。,+8)={x|x>a},(-oo^b]={x\x<h},特別地，把全體實(shí)數(shù)

R記為(-00,4-00),即R=(-00,4-00),這些區(qū)間稱為無(wú)限區(qū)間.

注意：(a)+8(讀作正無(wú)窮大),-8(讀作負(fù)無(wú)窮大)，它們只

是一個(gè)記號(hào)，不是一個(gè)數(shù).

(b)若不區(qū)分區(qū)間類型，任意區(qū)間簡(jiǎn)單稱之為“區(qū)間”，并

常用/表示.

(5)區(qū)間的數(shù)軸表示:

2.鄰域(一個(gè)特殊的開(kāi)區(qū)間)

(1)定義：設(shè)〃與b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且6>0,稱開(kāi)區(qū)間(a-6,a+b)為

點(diǎn)”的6鄰域，記作U(a?),即

U(a,6)={x|a-3cxea+6}<b}

點(diǎn)a稱為該鄰域的中心，b稱為該鄰域的半徑，稱U(a,6)為點(diǎn)a的3鄰

域。

(2)鄰域U(a,b)的數(shù)軸表示

88

------j-------bx?一X

Oa-3aa+5

U(a,3)={x\a-3<x<a+3}

注意：由于卜-司表示點(diǎn)X到點(diǎn)“間的距離，所以領(lǐng)域U(a@)表示

與。點(diǎn)距離小于6的一切點(diǎn)的集合；

(3)點(diǎn)a的6鄰域去掉中心點(diǎn)”后，稱為點(diǎn)a的去心b鄰域，記作

力"}即

U(a?)=(a-b,a)U(a,a+b)={x[o<k-a|<.

88

------1-------o*--^^=>c------------X

Oa-3aa+3

U(a9^)={x|0<|x-a|<^}

其中0<|x-a|表示xxa。以后在不需強(qiáng)調(diào)鄰域半徑時(shí)，鄰域U(a?)簡(jiǎn)單

地記為U(a)和點(diǎn)a的去心b鄰域記作U(a).

四、函數(shù)及其表示方法

引例(1)正方形面積S與邊長(zhǎng)X的關(guān)系為：S=x2,xe(x|x>0};

(2)圓面積S與半徑r的關(guān)系為：S=兀*,re(r|r>0};

上面例子中描述了兩個(gè)變量之間的相互依賴的關(guān)系式子，稱為兩個(gè)變

量的函數(shù)關(guān)系；

1.函數(shù)的概念

(1)定義設(shè)X和)，是兩個(gè)變量，%是一個(gè)非空數(shù)集.如果對(duì)每

個(gè)龍e。/,變量y按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)”X),總有唯一確定的

一個(gè)數(shù)y與x對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記為

y=/(x),xeDf

其中x稱為自變量，y稱為因變量，x的取值范圍外稱為函數(shù)

y=/(x)的定義域(Domain).

(2)通過(guò)上述定義，對(duì)無(wú)…馬時(shí)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系“X),總有唯一

確定的一個(gè)數(shù)為=/(X。)與X。對(duì)應(yīng)，稱/(尤。)為函數(shù)y=/(九)在點(diǎn)/處

的函數(shù)值.因變量與自變量的這種依賴關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系；

(3)函數(shù)值的全體組成的集合稱為函數(shù)y=/(x)的值域

(Range),記為勺，即勺={y|y=/(x),尤e0}

(4)函數(shù)圖形關(guān)系

DfR,

y=f.\

-X-y

對(duì)應(yīng)法則

定義域值域

注意：(i)對(duì)于函數(shù)y=/(x),xeDf,習(xí)慣上將y稱為x的函

數(shù)；

(ii)構(gòu)成函數(shù)三要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域；

(iii)兩函數(shù)相等=定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域全相同;

例研究函數(shù)y=x與函數(shù)y=是否為相同的函數(shù).

函數(shù)丁=%與丫=/3都是定義在(-8,+8)上的函數(shù)，但是當(dāng)

xe(0,+8)時(shí)，函數(shù)y=x的函數(shù)值小于零，而函數(shù)y=的函數(shù)值大

于零，如圖所示

所以函數(shù)y=x與丁=”7是兩個(gè)定義域相同，但對(duì)應(yīng)規(guī)則和值域

都不同的兩個(gè)函數(shù).

(5)函數(shù)分類

(i)如果對(duì)每個(gè)xe。/,只有唯一確定的一個(gè)數(shù)y與x對(duì)應(yīng)，

這種函數(shù)稱為單值函數(shù)；

(ii)如果對(duì)每個(gè)尤e。/對(duì)應(yīng)兩個(gè)或兩個(gè)以上的y值，這種函數(shù)

稱為多值函數(shù)；

本書(shū)所研究的函數(shù)都是單值函數(shù).

(6)函數(shù)的定義域

(i)對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定自變量的取值

范圍，比如

正方形面積S與邊長(zhǎng)x的關(guān)系為：S=x2,則自變量xe(0,+oo)

(ii)對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，約定函數(shù)的定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)表

達(dá)式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域有稱為函數(shù)的自然

定義域；

例1

(1)y=G,要使得式子有意義，則M0,即定義域?yàn)椤?[0,y);

(2)y=±要使得式子有意義，則XHO,即定義域?yàn)?/p>

X

。=(-8,03(0,+8)；

(3)y=lnx,要使得式子有意義，則x>0,即定義域?yàn)椤?(0,+8)；

(4)y=arcsinx,要使得式子有意義，則|1Q-1WxW1,即定義域?yàn)?/p>

例2求函數(shù)/(x)=arcsinF+石二二的定義域，并求/(0)與/⑴.

解要使表達(dá)式〃x)有意義，必須

>0

即從而-4<x<6且

-5<x<5.

于是函數(shù)的定義域?yàn)閇T，5].

因?yàn)镺e[Y,5],1GH，5],所以/(0)=-arcsin(+5,/(1)=2面.

2.函數(shù)表示法

(1)公式法(解析式法)：將自變量與因變量之間的關(guān)系用具體

的數(shù)學(xué)表達(dá)式(又稱為解析式)來(lái)表示的方法；

例y=G,

這是公式法表示的y作為x的函數(shù)，它的定義域?yàn)椤?[0,+8);,

值域?yàn)閇0,+8).

(2)表格法：將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列為表格的方法;

例某城市一年里各月的電視機(jī)零售量(單位：百臺(tái))如表2.1

所示

表2.1

月份，123456789101112

零售量S101578875.578899.5

表2.1表示了該城市電視機(jī)零售量S隨月份/而變化的函數(shù)關(guān)系,

它的定義域?yàn)?/p>

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

(3)圖像法：在坐標(biāo)系中用圖像來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法；

(i)函數(shù)圖形的定義：坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{(x,y)|y=/(x),xe0

稱為函y=/(x),xe。的圖像；

例在氣象觀測(cè)站的百葉箱內(nèi)氣溫自動(dòng)記錄儀把某一天的氣溫

變化描繪在記錄紙上，即圖2-5所示的曲線.根據(jù)這個(gè)圖就能知道,

這一天內(nèi)時(shí)間r從0點(diǎn)到24點(diǎn)氣溫T的變化情況.圖2-5是用圖象表

示T是r的函數(shù)，其定義域?yàn)閇0,24],值域?yàn)閇15,30].

(ii)一些常用的函數(shù)

(a)常數(shù)函數(shù)

例函數(shù)y=2,定義域￡)=(-8,內(nèi))，值域％={2},函數(shù)圖像

A

為

y

----------------------，

--------------------------------------------->

0x

一般地，函數(shù)"C,C為常數(shù)，定義域O=(-oo,+8),值域R/={C},

稱此函數(shù)為常數(shù)函數(shù);

(b)絕對(duì)值函數(shù)

x,x>0

例函數(shù)y==|x|=.0,x=0，定義域。=(-8,+oo),值域

-x,x<0

Rf=[0,+oo),稱此函數(shù)為絕對(duì)值函數(shù)；函數(shù)圖像為

X

(C)符號(hào)函數(shù)

1,x>0,

例函數(shù)y=sgnx=<0,x=0,稱為符號(hào)函數(shù)，它的定義域是

-l,x<0,

(-oo,+oo),值域?yàn)閧TO4},函數(shù)圖像為:

y

y-sgnx

i。

0X

對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,下列關(guān)系成立：x=sgnx,|x|.

(d)取整函數(shù)

例設(shè)x為任一實(shí)數(shù)，函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù)，⑶表示不超過(guò)

x的最大整數(shù).例如，

[4.78]=4,[-2.1]=-3,[0.01]=0^.它的定義域?yàn)?一,+8),值域?yàn)槿?/p>

體整數(shù)數(shù)集Z.函數(shù)圖像為：

注：上例中，絕對(duì)值函數(shù)，符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)等，一個(gè)函數(shù)

用幾個(gè)式子表示的函數(shù)，稱此函數(shù)為分段函數(shù);

例設(shè)

0<x<l

/(%)=,

1<x<2'

求函數(shù)/(x+3)的定義域.

0<%<1

解因?yàn)?(%)=<

Kx<25

所以

/(x+3)=[1；0<x+3<l

、一，,1<x+3<2

1,-3<x<2

=<

一2,-2<x<-i

故函數(shù)/(x+3)的定義域?yàn)閇-3,7]

五、建立函數(shù)關(guān)系舉例

用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般先要建立函數(shù)關(guān)系.為此,

先要確定自變量和因變量，再根據(jù)問(wèn)題本身，尋找自變量和因變量

之間所滿足的等式，再將因變量表示為自變量的函數(shù)，這就是要求

的函數(shù)關(guān)系.下面舉幾個(gè)建立函數(shù)的例子.

例1有一個(gè)倒立圓錐形蓄水器，口徑與深度都是8*如果以

每分鐘6川的速度往容器里注水，求容器內(nèi)水深與注水時(shí)間的關(guān)系.

解設(shè)注水時(shí)間為r,既廣0時(shí)開(kāi)始注水.當(dāng)時(shí)間經(jīng)過(guò)/分鐘時(shí),

注入的水為6r立方米.設(shè)此

圖2-9

時(shí)容器內(nèi)水深為俅，則水面半徑為"米如圖2-9所示由

題設(shè)，有

6t=—7r\—h

3(2

解之得

這就是水深力與注水時(shí)間f的函數(shù)關(guān)系，由于容器高為&〃，因此

水深的最大值為8機(jī)，故函數(shù)的定義域?yàn)椤癘Wf瑞乃，，值域?yàn)閇0,8].

例2設(shè)有一等腰直角三角形，見(jiàn)圖2-10,有一直線/開(kāi)始位置

與y軸重合，以勻速V（心0）沿X軸正向平移，求任一時(shí)亥!]/直線/

所掃過(guò)的三角形內(nèi)部的面積（圖2-10中陰影部分的面積）.

解設(shè)在時(shí)亥卜直線/所掃過(guò)的三角形內(nèi)部的面積為S,并設(shè)在

時(shí)刻/直線/與x軸的交點(diǎn)為x,則x=”.從圖2To可見(jiàn)，

當(dāng)時(shí)一，即時(shí)一，S=-x2^-v2t2,

v22

當(dāng)a<x42a時(shí)，即LctwL2a時(shí)，

S=_ci~4—[〃+(2a—x)](x_ci)——ci~H—(3Q—vt^yt—Q).

當(dāng)a<x<2a時(shí)，即2a時(shí)，也可以這樣理解（大三角面積減

VV

去小三角面積）

S=a，2a,ci—5(2Q-x)(2a-x)=——x**+2ax-Q~=+2,civt-a~

1八1

-vt,0<t<-a,

所以2v

g/+；(3。一vr)(W-Q),—a<t<—2a.

這就是面積S與時(shí)間r的函數(shù)關(guān)系，它是一個(gè)分段函數(shù)，其定義

域?yàn)?,2。，值域?yàn)椋郏ǎ?/］.

VJ

六、函數(shù)的基本性質(zhì)

1.函數(shù)的有界性

引例

從圖中可以看出，對(duì)于函數(shù)戶sinx,xeR,

⑴任意xeR,有sinxWl,我們稱函數(shù)y=sinx,xeR有上界］,即

函數(shù)y=sinx,xe/?不大于1；同理，

（2）任意xeR,有sinxN-l,我們稱函數(shù)y=sinx,xeR有下界T,

即函數(shù)），=sinx,xeR不小于1；

⑶把⑴與⑵合在一起，我們發(fā)現(xiàn)-IWsinxWl,BP|sinx|<l,我

們稱函數(shù))=5畝羽》€(wěn)H是有界的;

(1)定義：設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)榍?，?shù)集XU。/,則

(a)如果存在常數(shù)M,使得對(duì)一切xwX有

則稱/(x)在X內(nèi)是有上界M.

(b)如果存在常數(shù)K,使得對(duì)一切xeX有

f(x)2K,

則稱/(x)在X內(nèi)是有下界M.

(c)如果存在正常數(shù)M〉0,使得對(duì)一切xeX有

則稱/(x)在X內(nèi)是有界函數(shù).若這樣的正數(shù)M不存在，則稱/(x)在

X內(nèi)是無(wú)界函數(shù).

注意：(i)有界函數(shù)的圖像總位于某兩條水平直線之間；

(ii)/(x)在X內(nèi)是有界函數(shù)o/(x)在X內(nèi)既有上界也有

下界；

2.函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)/⑴在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)

XI~zJ工2，

（1）當(dāng)王＜w時(shí)一，恒有

/（項(xiàng)）＜/（々），

則稱函數(shù)/（x）在區(qū)間/上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)玉＜々時(shí)，恒有

/（耳）＞/U2），

則稱函數(shù)/（X）在區(qū)間/上單調(diào)遞減.

（3）單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

（4）單調(diào)遞增函數(shù)的圖象是沿橫軸正向上升的曲線（圖

2-11）,單調(diào)遞減函數(shù)的圖象是沿橫軸的正向下降的曲線（圖

2-12）.

3.函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù)/⑴的定義域巧關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（1）如果對(duì)于任意的恒有

/(一x)=/(x)

則稱函數(shù)/(X)為偶函數(shù);

(2)如果對(duì)任意的xe。/,恒有

/(-6=-/(九)

則稱函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

(3)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(圖2-13)；奇函數(shù)的圖象關(guān)

2-14

4.函數(shù)的周期性

對(duì)于定義域?yàn)榍傻暮瘮?shù)/(x),如果存在正數(shù)T,使得對(duì)一切

xw巧有(x±T)e巧，且

/(x+T)=/(x)，

則稱函數(shù)/(x)為周期函數(shù).稱T為了⑴的周期。

注意：(1)周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期.

例如，sinx,cos尤是以2%為周期的函數(shù)，tanx,cotx是以"為周期的

函數(shù).

(2)周期函數(shù)在其定義域的每個(gè)長(zhǎng)度為T(mén)的區(qū)間內(nèi)具有

相同的圖象.因此，只要作出一個(gè)周期內(nèi)的圖象，將其沿x軸的正負(fù)

兩方向平移，就可得到函數(shù)在其它周期內(nèi)的圖象.

補(bǔ)充：

存在無(wú)最小正周期的周期函數(shù)，如：狄利克雷函數(shù)

1,XGQ

￡)(%)=\

[O,XEQC

任意有理數(shù)都是。(x)的周期，且0(。(幻)=1;

七、反函數(shù)

引例

半徑為「的球的體積V=g初二這里半徑;?是自變量，V為因

變量，體現(xiàn)了體積隨半徑變化的關(guān)系.反之，如果要從體積V來(lái)確定

球的半徑r時(shí)一，有

[3V

r=W，

這是自變量為V,因變量為，的函數(shù)，體現(xiàn)了半徑隨體積變化的關(guān)系.

稱”:任為丫,加3的反函數(shù).

(1)定義:設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)榍桑涤驗(yàn)樯?，如果?duì)任

意的一個(gè)ye%,%中總有唯一的x滿足y=/(6，則得到一個(gè)定義

域?yàn)樯?，自變量為y的函數(shù)x=p(y),稱函數(shù)x=0(y)為y=/(x)的反函

數(shù)，記為x=_Tb).習(xí)慣上，用x代表自變量，y代表因變量，因此

函數(shù)y=/⑴(稱為直接函數(shù))的反函數(shù)常記為丁=廣心).

(2)函數(shù)y=/(x)的定義域與值域分別是其反函數(shù)的值域和定義

域.

⑶/(尸(y))=y

(4)一一對(duì)應(yīng)是反函數(shù)存在的充要條件

(5)在同一坐標(biāo)系下，y=/(x)與其反函數(shù)>=廣3)的圖象關(guān)于

直線y=x對(duì)稱.

(6)如果函數(shù)y=.Rx)是單值，單調(diào)函數(shù)，則它一定存在反函數(shù),

且單調(diào)性相同.

八、復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=/(〃)的定義域?yàn)椤?，函數(shù)"=夕3的值域?yàn)?，且

RqUDf,則任意xe%,有y=與之對(duì)應(yīng)，稱函數(shù)y=八夕⑴］為

由函數(shù)＞=/(〃)與"=°(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).x稱為自變量，y稱

為因變量，“稱為中間變量.

例函數(shù)y=sin(x+l)可看作由函數(shù)y=sin“與〃=x+l復(fù)合而成的函

數(shù).這是因?yàn)檠?$皿,的定義域R與"=x+l的值域A,RucDy;

注意：(1)構(gòu)成符合函數(shù)的條件■不可少；

(2)不是任意兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，例

=〃與M=2+/就不可能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，這是因?yàn)?/p>

2

y-arcsinu的定義域與〃-2+x的值域［2,+g］,R“CDv.

(3)復(fù)合函數(shù)也可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成.例如

y=sin2-Jl—x2可以看作由y=“2,u=sinv,v=4w,w=1-x2四個(gè)函數(shù)復(fù)

合而成，其中〃，匕卬都是中間變量.

例1設(shè)=f+3，求〃x).

例

2設(shè)

g-e

求/[g(x)]和

l,ev<lfl,x<0,

解/[g(x)]=/(e")=<O,e*=l=<0,x=0,

—1,e'>1—1,x>0.

、i

g[/(x)]=e"')='中|=1,

e-l,|x|>1.

九、初等函數(shù)

定義：將六類函數(shù)常值函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

(一)常值函數(shù)y=C.

它的定義域?yàn)?-8,+8),其圖象是平行于X軸，且在y軸上的截距

為c的一條直線，如圖2.15所示.

(二)塞函數(shù)y=x〃(a為常數(shù)).

(1)定義域：基函數(shù)的定義域要看。是什么數(shù)而定，例如當(dāng)

4=1時(shí)，y=x,其定義域?yàn)?-8,+8),而當(dāng)。=-1時(shí)，丁=尤-|=，它的定

X

義域?yàn)?-8,0)U(0,+8).但不論。為何值，它在(0,+8)內(nèi)總有意義，并

且圖象總通過(guò)點(diǎn)(1,1).

⑵圖像走勢(shì)：“正拋(。＞0),大縱(a〉l)小橫("1)”，“負(fù)

雙("0)”

(二)指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)(。>0,且“，1).

它的定義域?yàn)?-8,+8),值域?yàn)?0,+8),其圖象總在X軸上方，且

通過(guò)點(diǎn)(0,1),當(dāng)4>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，如圖2-16所示，當(dāng)0<”1

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，如圖2T6所示.特別地，以無(wú)理數(shù)e=2.7182818…

為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)記為'=0，；

(三)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log。x(?>0,且aW1).

它的定義域?yàn)?0,+8),值域?yàn)?-8,+8),其圖象總通過(guò)點(diǎn)(1,0).當(dāng)

4>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，如圖2-17所示；當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減,

如圖2-17所示.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

2-17

特別地，以無(wú)理數(shù)e=2.7182818…為底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)記為＞=lnx。

注意：

,,,,log.a

log“％r=rlog"x,log.av=%,log,/=—,

log,,b

*g“x-%,m/=%（%〉0）,elnx=%（%〉0）

(五)三角函數(shù)

常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)和余切函

數(shù).

正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx的定義域都是(-8,+8),值域都是

[-1,1];它們都是以2萬(wàn)為周期的周期函數(shù)；正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函

數(shù)是偶函數(shù).

由于cosx=sin(x+^],所以把正弦函數(shù)的圖象沿x軸向左平移

即得余弦函數(shù)的圖象，如圖2-20所示

正切函數(shù)tanx與余切函數(shù)cotx都是以乃為周期的函數(shù)，它們都是

奇函數(shù)，值域都為（-叫+oo）.

正切函數(shù)的定義域是＜xxw〃4+匹,〃eZ,,如圖2~21所不；余切

2

函數(shù)的定義域是{小?！?〃ez},如圖2-22所不.

圖2-21圖2-22

（六）反三角函數(shù)常用的反三角函數(shù)有反正弦函數(shù)，反余弦函

數(shù)，反正切函數(shù)和反余切函數(shù).

反正弦函數(shù)arcsinx是正弦函數(shù)smx在主值區(qū)間不上的反函

數(shù)，因此反正弦函數(shù)的定義域是卜川,值域是44?反正弦函數(shù)

是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，見(jiàn)圖2-23.

反余弦函數(shù)arccosx是余弦函數(shù)cosx在主值區(qū)間［0,乃］內(nèi)的反函數(shù),

因此反余弦函數(shù)的定義域是［-川，值域是反余弦函數(shù)是單調(diào)

遞減函數(shù)，如圖2-24所示.

反正切函數(shù)arctanx是正切函數(shù)tan尤在主值區(qū)間(-不高內(nèi)的反函

數(shù)，因此反正切函數(shù)的定義域是(-8,+8),值域是卜L).反正切

函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，如圖2-25所示.

反余切函數(shù)a/rcotx是余切函數(shù)cotx在主值區(qū)間（0,4）內(nèi)的反函數(shù)，

因此其定義域是（-8,+8）,值域是（0/）.反余切函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),

如圖2-26所示.

（七）初等函數(shù)的定義：由六類基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)

算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示出來(lái)的函數(shù),

稱為初等函數(shù).

例

y=log,(2+tan2x)

x2+1

y=arctan

3x+4

都是初等函數(shù).

注意：不能用一個(gè)式子表示出來(lái)的函數(shù)不是初等函數(shù)；如分段函

2??[2x4-3,x>1,

如y=x+3x+1,y=J

X2+1,X<I.

均不是初等函數(shù).

（八）雙曲函數(shù)

由指數(shù)函數(shù)/與e-x經(jīng)四則運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù)

.ex+e~x

shx=----------clvc=----------

22

分別稱為雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)，它們?cè)诠?/p>

程技術(shù)中經(jīng)常用到.容易驗(yàn)證它們有和三角函數(shù)類似的公式

sh(x±y)=shxchy±chxshy,chx(x±y)=chxchy±shxshy,

ch2x-sh2x=].,thx=.

chx

圖2-28

雙曲正弦S桁的定義域是(-8,+8),它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且

為奇函數(shù)，如圖2-27所示.

雙曲余弦函數(shù)C/ZX的定義域是(-8,+8),它是一個(gè)偶函數(shù)，如圖

2-27所示.

雙曲正切函數(shù)的的定義域是(-8,+8),值域是(—1,1),它在定義域

內(nèi)單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，如圖2-28所示.

十、多元函數(shù)

引例

(1)矩形的面積公式，它描述了矩形的面積S和長(zhǎng)x與寬y這兩

個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，即：

S=xy,(x,y)G{(x,y)|x>0,j>0},

函數(shù)S由兩個(gè)變量確定；

(2)三角形面積的海倫公式，它描述了三角形面積S和三邊長(zhǎng)

。，dC這三個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，即

S=1P(P-a)(P-b)(P-c),(a,b,c)e{(a,b,c)\a>Q,b>Q,c>0}

函數(shù)S由三個(gè)變量確定；

這種由二個(gè)、三個(gè)或者、四個(gè)自變量確定的函數(shù)分別稱為二元、

三元、四元函數(shù)，統(tǒng)稱為多元函數(shù)；

實(shí)際上，多元函數(shù)就是一元函數(shù)的拓展，從一個(gè)自變量與一個(gè)因

變量的函數(shù)關(guān)系拓展到了多個(gè)自變量與一個(gè)因變量的函數(shù)關(guān)系，自變

量增加了。他們之間存在差異，也有相同的地方。對(duì)于多元函數(shù)，我

們重點(diǎn)研究二元函數(shù)。

由于二元函數(shù)的自變量是兩個(gè)，兩個(gè)變量取了定值，如

(x,y)=(%,%)它對(duì)應(yīng)的是平面上的點(diǎn)，所以兩個(gè)變量的取值范圍是平面

上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，即平面點(diǎn)集，故我們先看平面點(diǎn)集的相關(guān)概念：

1、平面上的點(diǎn)集

(1)平面點(diǎn)集

由平面解析幾何知道，當(dāng)在一個(gè)平面上引入一個(gè)直角坐標(biāo)系后，

平面上的點(diǎn)與有序二元數(shù)組(x,y)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。于

是，我們常把有序?qū)崝?shù)組(x,y)與平面上的點(diǎn)等同的，這種建立了坐

標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面；

(1)平面點(diǎn)集的定義：坐標(biāo)面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合稱為

平面點(diǎn)集，記為

E={(x,y)|(x,y)具有性質(zhì)P};

例:

(1)平面上以原點(diǎn)為中心,r為半徑的圓內(nèi)的所有點(diǎn)構(gòu)成的

集合可以表示為：

2

C={(x,y)|尤2+>2<r}；

若以P表示點(diǎn)(x,y),IOPI表示點(diǎn)P到原點(diǎn)0的距離，則集合

C可以重新表示為：

C^{P\\OP\<r}；

(2)全平面上的點(diǎn)組成的點(diǎn)集可以表示為：

R~=RxR={(x,y)|XGR,yeR]={(x,y)|—<?<x<+8,—8<y<+??}；

注意：將有序?qū)崝?shù)組(x,y)所構(gòu)成的集合

{(x,y)I-o°<x<+°o,-oo<y<+°°)稱為二維空間，記為R?或RxR；

⑶點(diǎn)集8=表示對(duì)應(yīng)邊平行于坐標(biāo)軸

的矩形及其內(nèi)部所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為[。向與匕町的直積或笛

卡爾積，也記為8=[a,b]x[c,d]

2、平面上的領(lǐng)域(特殊平面點(diǎn)集)

(1)定義：設(shè)為)為直角坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，6>0，點(diǎn)集

22

{P||PK|<6}={(x,刈J(x-x0)+(y-y0)<3}

稱為以點(diǎn)《為心，b為半徑的圓領(lǐng)域，簡(jiǎn)稱4的3領(lǐng)域，記為U(%b)；

實(shí)際上，此領(lǐng)域是以點(diǎn)《為心，b為半徑的圓的內(nèi)部;

(3)在4的b領(lǐng)域中去掉中心兄后的點(diǎn)集，稱為《的去心b領(lǐng)域,

記作⑶,即

6(%b)={Pio<iPEi<3}

注意：(i)以后在不需強(qiáng)調(diào)鄰域半徑時(shí)，鄰域u(4，b)簡(jiǎn)單地記為

U(4)和點(diǎn)穌的去心6鄰域“4,6)簡(jiǎn)單記為“4)；

(ii)拓展到三維空間：

空間點(diǎn)集

222

{PIIPP.\<3]={(x,y,z)17(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)<3}

稱為以點(diǎn)《為心，3為半徑的球領(lǐng)域，簡(jiǎn)稱綜的6領(lǐng)域，記為U(%b)；

(4)方領(lǐng)域

平面點(diǎn)集{(x,>)||x—%\<3,\y-y01<8}=U(4》)稱為以點(diǎn)此為心8

方領(lǐng)域。

y

p一五

-X

O

顯然，任何圓形內(nèi)必含有方形領(lǐng)域；任何方形內(nèi)必含有圓形領(lǐng)域；即

方中有圓，圓中有方;

3、平面區(qū)域的概念(點(diǎn)與集合間的關(guān)系)

設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，即EuR?,點(diǎn)P是平面上的一個(gè)點(diǎn),

即PeR"則點(diǎn)P與平面點(diǎn)集E之間存在以下三種關(guān)系:

(1)內(nèi)點(diǎn)：若存在點(diǎn)P的某領(lǐng)域U(P),使得U(P)uE,則稱點(diǎn)

P為E的內(nèi)點(diǎn),

顯然，E的內(nèi)點(diǎn)屬于點(diǎn)集￡,即

(2)外點(diǎn)：若存在點(diǎn)P的某領(lǐng)域U(P),使得U(P)nE=0,則

稱點(diǎn)P為E的外點(diǎn)，

顯然，E的外點(diǎn)不屬于點(diǎn)集E,即尸任E;

(3)邊界點(diǎn)：若點(diǎn)P的任何領(lǐng)域內(nèi)既含有屬于E的點(diǎn)，又含有

不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為E的邊界點(diǎn),

E的邊界點(diǎn)的全體，稱為E的邊界，記作拓；

注意：E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E;

（4）聚點(diǎn)：若對(duì)任意給定6>0,點(diǎn)尸的6去心領(lǐng)域6（P,力內(nèi)衣總含

有屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為E的聚點(diǎn)。E的全體聚點(diǎn)組成的集合

稱為E的導(dǎo)集，記作￡;

注意：E的聚點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E（因?yàn)榫埸c(diǎn)可能是

界點(diǎn)）；

（5）孤立點(diǎn)：若P點(diǎn)屬于￡,但不是聚點(diǎn)，即存在某一正數(shù)40,

使得

u（p?）nE=0,則稱點(diǎn)P為E的孤立點(diǎn)。

例：設(shè)平面點(diǎn)集為E={(x,y)|l<x2+y242},試求集合E的內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，

聚點(diǎn)(導(dǎo)集)。

解(1)滿足條件I<x2+y2<2的一切點(diǎn)(x,y)都是E的內(nèi)點(diǎn)；

(2)滿足條件x2+)，2=1或者x2+y2=2的一切點(diǎn)(x,y)都是E的

界點(diǎn)，

即：dE={(x,y)|x2+y2=l,x2+y2=2}

而且滿足條件V+)2=1的界點(diǎn)不屬于E,滿足條件/+產(chǎn)=2的

界點(diǎn)屬于E;

(3)全體聚點(diǎn)構(gòu)成的集合，即導(dǎo)集為￡={?刈1?/+丫2<2}

4、平面區(qū)域上的開(kāi)集，閉集和區(qū)域(特殊平面點(diǎn)集)

(1)開(kāi)集：若點(diǎn)集E的所有點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)集E為開(kāi)集;

(2)閉集：若點(diǎn)集E的所有聚點(diǎn)都屬于E,即則稱點(diǎn)集￡

為閉集；

例：判斷下列點(diǎn)集是開(kāi)集還是閉集；

(1)E={(x,y)11cx2+/<2}

(2)￡={(%,y)|l<x2+/<2}

(3)￡={(%,y)H<x2+/<2}

注意：⑴沒(méi)有聚點(diǎn)的點(diǎn)集為閉集，因?yàn)椤?0uE；

(ii)空集0既是開(kāi)集也是閉集；“空集的內(nèi)點(diǎn)是空集，所有點(diǎn)

都是內(nèi)點(diǎn)，故為開(kāi)集，空集的聚點(diǎn)為空集，空集包含于空集，空集

為閉集”

(iii)全平面齊既是開(kāi)集也是閉集；

(3)連通集：若集合E中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于E的折線相

連，則稱集合E是連通集；

(4)區(qū)域(開(kāi)區(qū)域)：連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或者開(kāi)區(qū)域;

(5)閉區(qū)域：開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起構(gòu)成方點(diǎn)集稱為閉區(qū)域;

例：判斷下列點(diǎn)集是區(qū)域還是閉區(qū)域;

(i)點(diǎn)集￡1={(.刈1</+/<2}

(ii)E={(x,y)|x+y>0}

(iii)E={(x,y)|l<x2+y2<2}

(6)有界集：對(duì)于平面點(diǎn)集E,若存在某個(gè)正數(shù)廣，使得

EuU(O,r)

其中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)集E稱有界集；否則稱為無(wú)界集;

例：

⑴點(diǎn)集￡={(陽(yáng)刈1</+、2<2}為有界開(kāi)區(qū)域；

(ii)點(diǎn)集E={(x,y)|14f+y242}有界閉區(qū)域;

(iii)點(diǎn)集E={(x,y)|x+y>0}為無(wú)界開(kāi)區(qū)域;

(iv)點(diǎn)集E={(x,y)||x|>l}為開(kāi)集，但不是區(qū)域

5〃維空間的概念

(1)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)x一—對(duì)應(yīng)，全體實(shí)數(shù)記為R，稱為一維空

間；

(2)坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)組(x,y)一—對(duì)應(yīng)，有序數(shù)組(x,y)的

全體記為我，稱為二維空間；

(3)空間中的點(diǎn)與有序數(shù)組(x,y,z)一—對(duì)應(yīng)，有序數(shù)組(x,y,z)的全

體記為Ri稱為三維空間；

于是R,RL內(nèi)就分別對(duì)應(yīng)于數(shù)軸，平面和空間；

(4)一般地，設(shè)〃為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱〃元有序數(shù)組

⑶士,…,x,)的全體為〃維空間，記為而稱每個(gè)〃元有序數(shù)組

(菁,生…,凡)為”維空間的點(diǎn)。R"中的點(diǎn)即秘…,x“)有時(shí)也用單個(gè)字母來(lái)

表示，即

x=(x,,x2,???,%?)

數(shù)％稱為點(diǎn)X的第i個(gè)坐標(biāo)。當(dāng)％=0,i=l,2,…,〃時(shí)，即點(diǎn)(0,0,…,0),稱

其為R"空間的坐標(biāo)原點(diǎn)，記為。；

(5)〃維空間R"中的兩點(diǎn)尤=(#],蒼，…,X.)與>=的距離規(guī)定為

222

p(x,y)=yl(x,-yt)+(x2-y2)+■■■+(xn-yn)

記為p(x,y)或者||x-y||;

(6)R"中的點(diǎn)〃的3領(lǐng)域規(guī)定為：

U(a,3)={x\p(x,y)<3,xeR"}

3、多元函數(shù)的概念

(1)定義：設(shè)。是平面心上的非空點(diǎn)集，若對(duì)于。內(nèi)的任一點(diǎn)

P(x,y),按照某種對(duì)應(yīng)法則/(x,y),都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與點(diǎn)

P(x,y)對(duì)應(yīng)，則稱/(x,y)是定義在。上的二元函數(shù)，它在點(diǎn)尸(x,y)

處的函數(shù)值記為/(x,y),即

z=/(x,y)或z=j\P),PwD

其中稱為自變量，z稱為因變量.

(2)定義域：點(diǎn)集。稱為該函數(shù)的定義域;

注意：二元函數(shù)的定義域分為自然定義域和實(shí)際定義域，與

一元函數(shù)類似；

(3)值域：數(shù)集｛2|2=/(*,/),(國(guó)”。｝或者｛2|2=/(尸)40稱為

函數(shù)z=/(x,y)的值域；

(4)類似地，可以定義三元及三元以上的函數(shù)。當(dāng)自變量個(gè)數(shù)〃超

過(guò)二時(shí)，”元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)；

例求函數(shù)/*,乃="普士9的定義域。

解要使得函數(shù)以X,y)=吧*3-X：二爐)有意義,則

白-產(chǎn)

13—X?-y-區(qū)1—1<3—x~-y2工12Wx?+y?44

<Q彳=1

x-y27>0[x-y2>0[x>y2

所以所求定義域?yàn)椤?｛(%,刈%>憑2w叱+》2“｝

(5)二元函數(shù)的圖像

在函數(shù)z=/(x,y)的定義域。中任意取一點(diǎn)P(x,y)w。，對(duì)應(yīng)函數(shù)

值為z=/(x,y),這樣x,y,z的值確定了三維空間的一個(gè)點(diǎn)Af(x,y,z),

當(dāng)P點(diǎn)在。中變化時(shí)，點(diǎn)M(x,y,z)就描繪出空間的一個(gè)確定的點(diǎn)集

｛(x,y,z)|z=f(x,y),(尤,y)e。｝,

這樣的點(diǎn)集構(gòu)成一張曲面，稱其為二元函數(shù)z=/(x,y)的圖像;

例畫(huà)出二元函數(shù)有導(dǎo)的圖像。

22

例已知函數(shù)/—)=會(huì)，求/(x,y)

u+v

x=------

x+y=u2

解設(shè)n,則

x-y=vu-v

V=-----

2

H+V2_H-V2

，,、222uv

/(〃，v)=--------------=----v

N+V2/f2W+V-

所以/a,y)=哥

習(xí)題2-1

1.求下列函數(shù)的定義域

(1)y=(4--,(2)y=arccos(4x2

(4)y=V3-x+arccot—,(5)y—

x

(7)y=716-X2+Insinx,(8)y-.

G—X—6

2.判斷下列各對(duì)函數(shù)是否相同，為什么？

v2

⑴/(x)=x,g(九),(2)/(x)=lgx2,g(x)=2班，

(3)/(x)=x-|M，g(x)=F,2：,(4)/(x)=x+l,.?(x)=

-x,x<0.

3.已知/(x)=/一3x+2,求/(O)"⑴+

4.已知/(x)=[2,-lWx<l,求/(O)J(-3),/⑵.

3x+4,x<-L

5,已知0(x+l)=卜

求夕(x).

2x,1<x<2,

6.作出下列函數(shù)的圖象

⑴>=［右外產(chǎn)，⑵|sinx|,|A-|<—,

y=<3,(3)/(x)是以2為周期

X—1,1<因<2,叫吟

的函數(shù)，且當(dāng)XW[0,1]時(shí)，f(x)=x2.

7.在溫度計(jì)上，攝氏0。對(duì)應(yīng)華氏32。，攝氏100。對(duì)應(yīng)華氏212。，求攝

氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系.

8.設(shè)生產(chǎn)與銷(xiāo)售某產(chǎn)品的總收益是產(chǎn)量的二次函數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得知：

當(dāng)產(chǎn)量分別為0,2,4時(shí)，總收益分別為1,3,7.試確定總收益隨

產(chǎn)量變化的函數(shù)關(guān)系.

9.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角0=45。(圖2-29所示).當(dāng)

過(guò)水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S。時(shí)，求L(L=AB+BC+CD)與水深〃之間的

函數(shù)關(guān)系.

BC

圖2-29

10.從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形，將剩下的部分做成

一個(gè)無(wú)底圓錐，試將無(wú)底圓錐的容積表示為扇形中心角的函數(shù).

11.跳傘運(yùn)動(dòng)員在4秒內(nèi)自由降落，然后打開(kāi)降落傘，并按勻速%米

/秒降落4秒，試將他所經(jīng)過(guò)的路程表示為時(shí)間/的函數(shù).

12.函數(shù)/⑴的圖象為2-30所示，試寫(xiě)出/⑴的表達(dá)式.

圖2-30

13.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性

(1)y=1+3/,(一8,0),(2)y=x+lgx,(0,+8),

(3)y=2x+sinx,(—8,+8).

14.判別下列函數(shù)中那些是偶函數(shù)，那些是奇函數(shù)，那些是即非奇

函數(shù)又非偶函數(shù)

(1)/(x)=3x—%3,(2)/(JC)=xex,(3)/(x)=(1—x)3+(1+x)3,

(4)/(x)=In(x+Jl+x?),(5)f(x)=xCl+,(a>0,<21).

a'-1

15.求下列函數(shù)的反函數(shù).

(1)/(x)=yla-x",(x>0),(2)/(x)=l+ln(x+2),