初中數(shù)學八年級上冊 閱讀材料 勾股定理史話

閱讀材料勾股定理史話

勾股定理是一個基本的幾何定理，傳統(tǒng)上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。埃及稱為埃及三角形。這個定理在中國又稱為"商高定理"，在外國稱為"畢達哥拉斯定理"。

實際上，早在蔣銘祖之前，許多民族已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個事實，而且巴比倫、埃及、中國、印度等的發(fā)現(xiàn)都有真憑實據(jù)，有案可查。相反，畢達哥拉斯的著作卻什么也沒有留傳下來，關(guān)于他的種種傳說都是后人輾轉(zhuǎn)傳播的?？梢哉f真?zhèn)坞y辨。這個現(xiàn)象的確不太公平，其所以這樣，是因為現(xiàn)代的數(shù)學和科學來源于西方，而西方的數(shù)學及科學又來源于古希臘。古希臘流傳下來的最古老的數(shù)學著作是歐幾里得的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在畢達哥拉斯的頭上。他常常被推崇為“數(shù)論的始祖”，而在他之前的泰勒斯被稱為“幾何的始祖”，西方的科學史一般就上溯到此為止了。

至于希臘科學的起源只是公元前近一二百年才有更深入的研究。因此，畢達哥拉斯定理這個名稱一時半會兒改不了。不過，在中國，因為我們的老祖宗也研究過這個問題，因此稱為商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。中國古代對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵?！比绻f大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當?shù)摹?/p>

“勾三股四弦五”的由來：勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史.遠在公元前三千年的巴比倫人就知道和應(yīng)用它了.我國古代也發(fā)現(xiàn)了這個定理.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，商高（公元前1120年）關(guān)于勾股定理已有明確的認識，《周髀算經(jīng)》中有商高答周公的話：“勾廣三，股修四，徑隅五.”同書中還有另一位學者陳子（公元前六七世紀）與榮方（公元前六世紀）的一段對話：“求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日”從而就有了“勾三股四弦五”的說法1.趙爽的證明方法：

我國最早的證明方法是三國時期的趙爽在《周髀算經(jīng)》中記載到，用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。如圖所示

以弦C為邊長得到正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形GHBF組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b－a，則面積為（b－a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）＋（b－a）2＝c2化簡后便可得：2鄒元治證明：據(jù)記載在西方國家畢達哥拉斯是第一個證明出勾股定理的簡稱“畢氏定理”他的證明方法如右圖所示：大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形

趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。3總統(tǒng)證法：加菲爾德于1881年當選美國總統(tǒng)，加菲爾德是美國歷史上唯一一位數(shù)學家出身的總統(tǒng)，在數(shù)學方面的貢獻主要是提供了勾股定理一種簡潔證明方法。他的方法簡潔易懂?！救ぢ劇浚涸?876年一個周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法。4歐幾里得證法5、相似三角形證法

6.利用切割線定理證明7.直角三角形內(nèi)切圓8.多列米定理

勾股定理曾引起很多人的興趣，世界上對這個定理的證明方法很多.1940年盧米斯（E.S.Loomis）專門編輯了一本勾股定理證明的小冊子――《畢氏命題》，作者收集了這個著名定理的370種證明，其中包括大畫家達?芬奇和美國總統(tǒng)詹姆士????阿?加菲爾德（JamesAbramGarfield,1831~1881）的證法.勾股定理是一條古老而又應(yīng)用十分廣泛的定理.例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率.據(jù)說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差.勾股定理以其簡單、優(yōu)美的形式，豐富、深刻的內(nèi)容，充分反映了自然界的和諧關(guān)系.人們對勾股定理一直保持著極高的熱情，僅定理的證明就多達四百多種，甚至著名的大物理學家愛因斯坦也給出了一個