（教案）第13講：最值問題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁五年級備課教員：×××第十三講最值問題一、教學目標：1.能找出題目中躲藏的限制條件，會運用限制條件去分析最大最小的問題。鍛煉從限制條件中去分析問題的能力，鍛煉知識綜合運用的能力。感觸數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，提高學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心。二、教學重點：1.學會在題目中判斷出限制條件。2.從限制條件中去分析最大最小問題。三、教學難點：1.對所學知識的綜合運用。2.從限制條件中去分析最大最小問題。四、教學決定：PPT五、教學過程：第一課時（50分鐘）導入（5分)師：學生們，芭啦啦綜合教誨小學對米德等人舉行了測試。你們想不想知道他們都得了多少分呢？生：想。師：阿派、米德、歐拉、卡爾、阿爾法五個人的平均分是92分，他們五個人中最低分是75分，阿派是第三名。生：那阿派是幾分呀？師：他們五個人分數(shù)都不同，你們能算出阿派至少是幾分嗎？生：能。師：真棒，那拿起筆試試吧?！景鍟n題：】最值問題二、探索發(fā)現(xiàn)授課（40分）（一）例題1：（13分）三個教師為7位不同的飾演者化妝，這7位學生化妝需要的時光分離為8、12、14、17、18、23、30分鐘。倘若三位教師化妝速度相同，問最少經(jīng)過多少時光完成化妝任務？（PPT出示）師：學生們，倘若不單獨化妝，你們知道理論上需要幾分鐘嗎？生:（8+12+14+17+18+23+30）÷3=40……2(分鐘)，應該是40分鐘的形狀。師：是的，你真棒！師：但是現(xiàn)在因為要單獨化妝，你們認為我們應該怎么分配這三位教師？生：應該使時光最臨近40分鐘，才會使時光最短。師：沒錯，你說得真好！那詳細該怎么分呢？生：18+23=41（分鐘）；30+12=42（分鐘）；8+14+17=39（分鐘）。師：很棒，看來你們都很聰明。板書：（8+12+14+17+18+23+30）÷3=40……2(分鐘)18+23=41（分）；30+12=42（分鐘）；8+14+17=39（分鐘）答：最少經(jīng)過42分鐘完成化妝任務。（PPT出示）練習1：（6分）山姆大叔機床公司需要維修7輛卡車，倘若派一名工人維修，這7輛卡車修復需要的時光分離為12,17,8,18,23,30和40分鐘，現(xiàn)在由3名工作效率相同的維修工各自自立工作，最快多少分鐘可以完成任務？（PPT出示）分析：倘若不單獨維修，理論上需要（12+17+8+18+23+30+40）÷3=49……1（分鐘），現(xiàn)在由3名維修工單獨維修，我們只需將卡車分為3組，使之最臨近49即可。板書：（12+17+8+18+23+30+40）÷3=49……1（分鐘）分為3組，使時光最臨近平均數(shù)：12+40=52（分鐘）；30+18=48（分鐘）；17+8+23=48（分鐘）答：最快52分鐘可以完成任務。（PPT出示）（二）例題2：（13分）把1，2，3，4，5……16這16個數(shù)分離填進圖中16個三角形里，使每邊上7個小三角形內(nèi)的數(shù)的和相等。問這個和的最大值是多少？（PPT出示）師：學生們，我們看大三角形，每個角的兩個數(shù)是不是有兩條邊共用？生：是的。師：那為了使每條邊的和相等且最大，你們認為角上的數(shù)應該怎么填呢？生：填大的數(shù)，并且加起來要相等。師：是的，真棒。那我們看看滿意條件的3組數(shù)是什么呢？生：11和16；12和15；13和14。師：哇，說得真好。這三組的和都為27，我們把它填在三個角的兩個小三角形內(nèi)。師：你們認為1填在哪里呢？生：填在最中間的小三角形內(nèi)。師：沒錯，真有主意。我們再來看看2到10，它們的總和是多少呢？生：54。師：沒錯，那我們就可以知道每邊的平均數(shù)是54÷3=18。生：我知道了，滿意這樣條件的三組數(shù)分離為：(2、6、10),(3、7、8),(4、5、9),將這三組數(shù)分離添入每邊中間的三個小三角形內(nèi)。師：學生們都很會思量，那按照上述主意,每邊和都是72,而且最大。（說明：可能有其它添法,但是滿意相等條件下和最大,這個和絕對是72）板書：11+16+7+9+2+12+15=7216+11+3+10+5+13+14=7215+12+6+8+4+13+14=72答：這個和最大值為72。還有其他的主意，大家想一想。（PPT出示）練習2：（8分）將5、6、7、8、9、10六個數(shù)分離填入圓圈內(nèi)，使三角形每條邊上的和相等。這個和最大是多少？（PPT出示）分析：三個角上的數(shù)為兩邊共有，所以應填最大的三個數(shù)，再按照每邊上的和要最大，將5、6、7填入圓圈內(nèi)。板書：8+7+9=9+5+10=8+6+10=24答：這個和最大是24。（PPT出示）三、小結(jié)：（5分）在數(shù)學中，常浮上一些在天然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問題，我們稱之為離散最值問題。解決這類異常規(guī)問題，大致可從以下幾個方面著手：1.著眼于極端情形；從極端情形入手，著眼于極端情形，是求解最值問題的有效手段。2.枚舉比較——決定最值；當我們在有限數(shù)中求最大（或最?。┲禃r，枚舉法是常用的基本主意之一。這種主意的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。第二課時（50分）復習導入（3分）師：學生們，誰能說說在上節(jié)課你有什么收獲？生：通過上節(jié)課的學習，我大致了解了最值問題的解決主意。師：恩，不錯，說明你有學到新知識。生：師：那我們這節(jié)課繼續(xù)學習最值問題，加深對最值問題的理解，好嗎？生：好的?。ǔ鍪綪PT)二、探索發(fā)現(xiàn)授課（42分）（一）例題3：（13分）有8個西瓜，它們的分量分離是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那么，最重的一堆應是多少千克？（PPT出示）師：學生們，題目中說要讓最重的一堆西瓜盡可能輕，另外一個意思是不是就是說分成的三堆分量要盡量平均分呀？生：是的！師：真棒，教師一點撥就理解了。師：我們可以先求出這堆西瓜的總分量，再求出平均分成3堆的分量是多少。生：（2+3+4+4+5+6+8.5+10）÷3=14……0.5（千克）師：也就是說分成3堆，每堆的分量臨近14，而最重的那一堆一定是超過這個值，而又最臨近14對嗎？可以理解嗎？生：可以理解。師：異常好。那么我們可以寫出答案了。板書：（2+3+4+4+5+6+8.5+10）÷3=14(千克)……0.5（千克）2+4+8.5=14.5（千克）3+5+6=14（千克）4+10=14（千克）答：最重的一堆是14.5千克。（PPT出示）練習3：（7分）五位學生捐款，他們捐的錢有3張1元的，4張2元的，3張5元的和3張10元的。這五位學生捐款數(shù)各不相同，問：捐款最多的學生至少捐了多少元？（PPT出示）分析：先求出捐款的平均數(shù)，捐款最多的學生捐的款一定大于平均數(shù)而又最臨近平均數(shù)。板書：（3×1+4×2+3×5+3×10）÷5=11.2（元）因為五個人的捐款各不相同，所以5個人捐款最理想的搭配是：12、11、10、9、8。但是總和小于56。將捐款最多錢數(shù)提高到13元，最理想的搭配是13、12、11、10、9，總和小于56。剩下的一元錢只能加到捐款數(shù)最多的錢數(shù)中，若加到其他人中，就會浮上捐款數(shù)相同的情況。10+2+2=14（元）10+2=12（元）10+1=11（元）5+5=10（元）5+1+1+2=9（元）答：捐款最多的學生至少捐了14元。（PPT出示）（二）例題4：（13分）一次數(shù)學考試滿分100分，6位學生平均分為91分，且6人分數(shù)互不相同，其中得分最少的學生僅得65分，那么排第三名的學生至少得多少分？（分數(shù)取整數(shù)）。（PPT出示）師：要使第三名學生的分數(shù)最少，那么其他學生的分數(shù)要怎么樣？生：其他學生的分數(shù)要最多。師：沒錯，說得很好。我們先求出這6位學生的總分。生：91×6=546（分）。師：是的，其他學生分數(shù)要盡量多，那么你們覺得第一名、第二名是幾分？生：100分和99分。師：很好，現(xiàn)在還剩下哪幾名學生的分數(shù)我們不知道？生：第三名、第四名、第五名。師：沒錯，現(xiàn)在我們看看第三。第四、第五的總分是多少。再求出它們的平均分。生：546－100－99－65=282（分）；282÷3=94（分）。師：那么要讓第四、第五盡量大，分離為94、93，所以第三名是多少呢？生：95分。師：沒錯，真棒。掌聲送給自己。板書：91×6=546（分）546－100－99－65=282（分）282÷3=94（分）答：得分排在第三名的學生至少得95分。（PPT出示）練習4：（7分）一次考試滿分100分，5位學生平均分是90分，且每個人得分是不相同的整數(shù)。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名學生至少得了多少分？（PPT出示）分析：剩余的4人的平均分是93.75，

那么第一名學生一定是大于平均數(shù)的，題目中要使得第一名學生成績越小，那么其他名次成績要越大，又因為每個人得分是不相同的整數(shù)，若第一名是94分，則剩余的最大是93、92、91，顯然平均分不會大于93.75，若第一名是95分，剩余最大的是94、93、92分，也排除，第一名最少是96分，符合題意，92、93、94、或91、93、95。板書：90×5-75=375（分）375÷4=93.75（分）若第一名是94分，不符合題意。若第一名是95分，也不符合題意。若第一名是96分，符合題意的有：92分，93分，94分或者91分、93分、95分。答：第一名至少得96分。例題5（選講）：A、B、C是三個風景點，從A出發(fā)經(jīng)過B到達C要走18千米，從A經(jīng)過C到B要走16千米，從B經(jīng)過A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個風景點？它們之間相距多少千米？（PPT出示）師：學生們，A、B之間的距離我們用AB表示；那誰能表示B和C以及A和C之間的距離呢？生：BC。生：AC。師：很好。師：那我們看題目，從A出發(fā)經(jīng)過B到達C要走18千米，我們就可以用AB+BC=18來表示。生：我知道了，從A經(jīng)過C到B要走16千米，就可以用AC+BC=16來表示。生：從B經(jīng)過A到C要走24千米，就可以用AB+AC=24來表示。師：學生們都很棒。一點就通。接下來一下我們把三個等式相加，可以得出AB+BC+CA+AB+BC+CA=18+16+24，所以可以得出AB+BC+CA，誰來說說？生：AB+BC+CA=（18+16+24）÷2=29。師：對照這些等式，我們可以求出AB等于多少？生：AB=29－16=13（千米）。師：BC呢？生：BC=29－24=5（千米）。師：CA呢？生：CA=29－18=11（千米）。板書：AB+BC=18（千米）AC+BC=16（千米）AB+AC=24（千米）AB+BC+CA=(18+16+24)÷2=29（千米）AB=29－16=13（千米）BC=29－24=5（千米）CA=29－18=11（千米）答：相距最近的是B、C兩個風景點，距離為5千米。（PPT出示）練習5：米德騎車到A、B、C三個景點去旅游，倘若從A地出發(fā)經(jīng)過B地到C地，共行10千米；倘若從B地出發(fā)經(jīng)過C地到A地，共行13千米；倘若從C地出發(fā)經(jīng)過A地到B地，共行11千米，則距離最短的兩個景點間相距多少千米？（PPT出示）分析：先求出AB+BC+CA的距離和，然后再分離求出三條線段的長度比較即可得出答案。板書：因為，AB+BC=10（千米），BC+CA=13（千米），CA+AB=11（千米）所以，AB+BC+CA=(10+13+11)÷2=17（千米）AB=17－13=4（千米）BC=17－11=6（千米）CA=17－10=7（千米）答：A、B兩個景點之間距離最短，為4千米。（PPT出示）總結(jié)：（5分）在數(shù)學中，常浮上一些在天然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問題，我們稱之為離散最值問題。解決這類異常規(guī)問題，尚無統(tǒng)一的主意，對不同的題目要用不同的策略和主意，就詳細的題目而言，大致可從以下幾個方面著手：著眼于極端情形；從極端情形入手，著眼于極端情形，是求解最值問題的有效手段。枚舉比較——決定最值；當我們在有限數(shù)中求最大（或最小）值時，枚舉法是常用的基本主意之一。這種主意的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。四、隨堂練習：1.在期中測試中，阿派語文和數(shù)學平均成績是96分，數(shù)學和英語平均成績是88分，語文和英語平均成績是86分。求阿派的這三門功課哪門得分最高，是多少分？語文和數(shù)學的總分是：96×2=192（分）語文和英語的總分是：86×2=172（分）數(shù)學和英語的總分是：88×2=176（分）192－172=20（分）英語：（176－20）÷2=78（分）數(shù)學：78+20=98（分）語文：192－98=94（分）答：阿派這三門功課數(shù)學得分最高，得分為98分。把2~9分離填入下圖圓圈