高考真題理科數(shù)學(xué)解析分類(lèi)匯編3導(dǎo)數(shù)

2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析分類(lèi)匯編3導(dǎo)數(shù)

一、選擇題

(C)函數(shù)/(%)有極大值/(2)和極小值/(-2)

(D)函數(shù)/(x)有極大值/(一2)和極小值/(2)

【答案】D

【解析】由圖象可知當(dāng)x<—2時(shí)，y=(l-x)/'(x)>0,所以此時(shí)/'(x)>0,函數(shù)遞增.

當(dāng)一2<x<l時(shí)，y=(l—x)_f(x)<0,所以此時(shí)/'(x)<0,函數(shù)遞減.當(dāng)l<x<2時(shí),

y=(l—X)r(X)>0,所以此時(shí)_f(X)<0,函數(shù)遞減.當(dāng)X〉2時(shí)，y=(l-X)/'(X)<0,

所以此時(shí)/,(%)>0,函數(shù)遞增.所以函數(shù)/(%)有極大值/(-2),極小值/(2),選1).

2.12012高考新課標(biāo)理12】設(shè)點(diǎn)P在曲線y，上，點(diǎn)。在曲線y=ln(2x)上，則

最小值為()

(A)l-ln2(B)72(1-In2)(C)l+ln2(D)72(1+In2)

【答案】B

【解析】函數(shù)y=與函數(shù)y=ln(2x)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱

11卜.

函數(shù)y=：/上的點(diǎn)P(x,ge、)到直線y=x的距離為d=..

設(shè)函數(shù)g(x)=；e*-x=g，(x)=ge'—lng(x)minl-ln2

=1—ln2=>d.

minV2

由圖象關(guān)于y=x對(duì)稱得：|PQ|最小值為241bl=V2(l-ln2),

3.12012高考陜西理7］設(shè)函數(shù)/(x)=xe*,則()

A.》=1為/(無(wú))的極大值點(diǎn)B.x=l為/(x)的極小值點(diǎn)

C.x=-l為/(x)的極大值點(diǎn)D.》=一1為/0)的極小值點(diǎn)..

【答案】D.

【解析】?//(x)=xe\:.f'(x)=ex+xe',令/'(x)=0,貝!Ix=-l,當(dāng)時(shí)

/'(x)<0,當(dāng)x>—l時(shí)F'(x)>0,所以x=—l為/(x)極小值點(diǎn)，故選D.

4.12012高考遼寧理12]若xe[0,+8),則下列不等式恒成立的是

1,11

(A)e*,,1+x+x~(B),<1——x+-x2

24

,1

(C)cosx..]--X2(D)ln(l+x)_x—x~

8

【答案】C

【命題意圖】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，是難題.

【解析】法1：驗(yàn)證A,當(dāng)x=3時(shí)，e3>2.73=19.68>l+3+32=13,故排除A；驗(yàn)證B,當(dāng)

尤=」時(shí)，，

2

1V6^,11111339V1521V15361676

,=—,而1--x-+-x-=—=一=-----<-------=——,故排除B；

FT322441648484848

驗(yàn)證C,(x)=cosx-l+x2,g'(x)=-sinx+x,^"(x)=1-cosx,顯然g"(x)>0恒成立

所以當(dāng)X€[0,+8),g'(x)Ng<0)=0,所以xe[0,+8),g(x)=cosx-l+；x2為增函數(shù),

所以

g(x)Ng(0)=0,恒成立，故選C；驗(yàn)證D,令

A(x)=ln(l+x)-%+—x2,/?'(%)=——-1+、=x，3)

,令〃'(x)<0,解得()令<3,所以當(dāng)

「、)8v7x+144(x+l)

0令<3時(shí)，A(x)<A(0)=0,顯然不恒成立,故選C.

法2：設(shè)/(x)=cosx-(l-gx2)=cosx-l+5x2,則g(x)=/'(%)=-sinx+x,

所以g'(=X)—崇：，所以當(dāng)XG[0時(shí)

g(為增函數(shù)，所以='g(2x)=

同理/(x)2/(0)=0,「.cos九一(1一;/)20,即cosx..l-g/,故選c

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式，以及利用導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性與最值來(lái)證明不等式,

考查轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力、以及運(yùn)算能力，難度較大。

5.12012高考湖北理3】已知二次函數(shù))，=/(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面

【答案】B

考點(diǎn)分析：本題考察利用定積分求面積.

【解析】根據(jù)圖像可得：y=f(x)=-x2+\,再由定積分的幾何意義，可求得面積為

S=(_/+］修=(_；%3+X)：=g.

6.12012高考全國(guó)卷理10】已知函數(shù)y=x?-3x+c的圖像與x恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=

(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或16)-3或1

【答案】A

【命題意圖】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究三次函數(shù)中的極值的運(yùn)用。要是函數(shù)圖像與X軸

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則需要滿足極佳中一個(gè)為零即可。

【解析】若函數(shù)y=d—3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則說(shuō)明函數(shù)的兩個(gè)極值中

有一個(gè)為0,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=3好—3,令y=3x2—3=0,解得x=±l,可知當(dāng)極大值

為/(-l)=2+c,極小值為/(l)=c—2.由/(-1)=2+。=0,解得c=-2,由

/(l)=c-2=0,解得c=2,所以c=—2或c=2,選A.

二、填空題

7.12012高考浙江理16】定義：曲線C上的點(diǎn)到直線1的距離的最小值稱為曲線C到直線1的距

離，已知曲線C：y=x'a到直線l:y=x的距離等于曲線3x、(y+4)J2到直線l:y=x的距離，

則實(shí)數(shù)a=。

9

【答案】-

4

【解析】曲線Cz：x2+(y+4)12到直線l:y=x的距離為4=邛二色—亞=2后—血=血，

7i2+i2

曲線G：y=x?+a對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y=2x,令2》=1得%=；,所以G：y=x?+a上的點(diǎn)

,11,

［［11I———I

為(一,一+。)，點(diǎn)(一,一+a)到到直線1:丫=乂的距離應(yīng)為后，所以24.=叵,解

2424712+12

97

得。=—或。=—(舍去)。

44

8.12012高考江西理11】計(jì)算定積分］"：(—+sinx)dx=

【答案】42

3

【命題立意】本題考查有關(guān)多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)定積分的應(yīng)用.

【解析】jJi+sinx心=(；/一cosx)，］2

3

9.12012高考山東理15］設(shè)。>0.若曲線y=、6與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面

積為則。=

4

【答案】a=-

9

【解析】由已知得S=f,&=*2/-|：=*2。-2=。2,所以。-2=?2，所以4

J。3339

10.【2012高考廣東理12】曲線y=x3-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為

【答案】2x—y+l=0

【解析】y'=3x2_i,當(dāng)x=l時(shí)，y'=2,此時(shí)左=2,故切線方程為y—3=2(x—1),

即2x—y+l=0。

11.12012高考上海理13】已知函數(shù)y=/*)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0)、8(g,5)、

C(l,0),函數(shù)y=4(x)(0<x<l)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為。

【答案】一

4

【解析】當(dāng)0?x4g,線段AB的方程為y=10x,當(dāng);<x〈l時(shí)。線段3c方程為

_010x,0<x<!

=^—整理得y=-10x+10,即函數(shù)y=/(x)={2,所以

5-0--1-10x+10,-<x<l

10x2,0<x<-

2

y=xf(x)=-函數(shù)與x軸圍成的圖形面積為

,1

—1Ox~+1Ox,—<x<1

2

10x2dx+=J；(-1Ox2+1Ox)Jx=yX3I+(-yx3+5x2)；=|o

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的解析式的求解方法、定積分在求解平面圖

形中的運(yùn)用.突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，本題綜合性較強(qiáng)，需要較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的

能力，在以后的練習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，本題屬于中高檔試題，難度較大.

12.12012高考陜西理14】設(shè)函數(shù)/(幻=《，。是由x軸和曲線y=/(x)及

x<0

該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在。上的最大值

為.

【答案】2.

【解析】函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)(1,0)處的切線為y—0=/'(l)(x—1)，即y=x—1.所以D表示

的平面區(qū)域如圖當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)z有最大值,最

大值為z=0-2x(_l)=2.

三、解答題

13.【2012高考廣東理21](本小題滿分14分)

設(shè)a<l,集合A={xe/?|x>0},6={xwR|-3(l+a)x+6a},D=A^\B.

(1)求集合D(用區(qū)間表示)；

(2)求函數(shù)/(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn).

【答案】本題是一個(gè)綜合性問(wèn)題，考查集合與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，考查了學(xué)生綜合解決問(wèn)題的

能力，難度較大.

【解析】（1）對(duì)于方程2f-3（l+a）x+6a=0

判別式△=9(1+a)?—48a=3(。-3)(34-1)

因?yàn)閍<1,所以。一3<0

①當(dāng)l>a〉—時(shí)，A<0,此時(shí)8=/?,所以Z)=A；

3

②當(dāng)時(shí)，A=0,止匕時(shí)8={x|x#l},所以0=(0,1)(l,+oo)；

當(dāng)時(shí)，△>(),設(shè)方程2d-3(l+a)x+6a=0的兩根為七,%2且王<赴，則

3(1+a)—,3(a-3)(3a-1)3(1+a)+J3(a-3)(3a-1)

%=4，"4

B={x［x<x^x>x2}

13

③當(dāng)0<。<1時(shí)，+x2=—(1+?)>0,%/=3〃>0,所以％>0,尢2>。

此時(shí)，￡>=(x,%)(x2,+oo)

①3(l+a)-j3(a-3)(3a-l))(3(l+a)+，3(a-3)(3a-l)⑷

44

④當(dāng)QKO時(shí)，xw=3a<0，所以X1<0,九2>。

此時(shí)，0=(均土)=(巴g叵逆亙,+00)

4

(2)f\x)=6x2-6(l+a)x+6?=6(x-l)(x-a),a<1

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,1］上為減函數(shù)，在區(qū)間(-8,0和［1,+8)上為增函數(shù)

①x=1是極點(diǎn)=leBo'cacl

3

②x=a是極點(diǎn)=awA,ae8=0<a<l

得：a<0時(shí)，函數(shù)無(wú)一(x)極值點(diǎn)，0<a4；時(shí)，函數(shù)/(x)極值點(diǎn)為a,

；<a<l時(shí)，函數(shù)/(x)極值點(diǎn)為1與a

14.［2012高考安徽理191(本小題滿分13分)

設(shè)fM=ae'+-^―+b(a>0)。

aex

（I）求了⑴在［0,+8）上的最小值;

3

(II)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))的切線方程為y=/x；求a,6的值。

【答案】本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基本方法，考查

分類(lèi)討論思想，代數(shù)恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

【解析】(D設(shè)f=e'(/21)；則)=3+-!-+〃=y'=a--二”尸,

atatar

①當(dāng)a21時(shí)，y'>O=>y=m+，+/?在上是增函數(shù)，

at

得：當(dāng)，=l(x=O)時(shí)，/(工)的最小值為Q+L+人。

a

②當(dāng)0v。<1時(shí)，y=at+—+b>2+bf

at

當(dāng)且僅當(dāng)〃=1(，=e"=L,x=-in時(shí)，/(x)的最小值為b+2。

a

(II)f(x)——ae*H-----Fb/'(x)——ae*-----，

ae'aex

21,a[2

/(2)=3ae+―+o=3a=—：-

由題意得：\3=<ae"一e

八2)=不

15.【2012高考福建理20】(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-ex,aGR.

(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(D)處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)試確定a的取值范圍，使得曲線y=f(x)上存在唯一的點(diǎn)P,曲線在該點(diǎn)處的切線與

曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P.

【答案】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查推理論證能力、基本運(yùn)算能力、抽象概括能力，以及分類(lèi)與整合思想、數(shù)形結(jié)合思

想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解答：

(I)f(x)=ex+ax2-ex=>f\x)=ex+2ax-e

由題意得：/?)=e+2a—e=0=a=0

/'(x)=e*-e>0ox>1,/'(x)<0u>x<1

得：函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1)

(II)設(shè)P(x0,/(x0))；則過(guò)切點(diǎn)P的切線方程為y=r(x0)(x-x0)+/(x0)

令g(x)=/(x)-/'(%)(》一工0)-/(/)；則g(%))=0

切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P=g(x)=0只有一個(gè)根不

xx

g'(x)=f'(x)-f'(x0)=e-e°+2a(x-xa)，且=。

(1)當(dāng)a20時(shí)，g'(x)>0ox>x(),g'(x)<0ox<x()

得：當(dāng)且僅當(dāng)X=Xo時(shí)，gOOn^n=g(x())=。

由小的任意性，aNO不符合條件(IbyIfx)

(2)當(dāng)a<0時(shí)，令

h(x)=e*-e%+2a(x-%)=h'(x)=e*+2a=0ox=x'=ln(-2a)

①當(dāng)x'=x()時(shí)，，'(x)>0ox>%,h'(x)<0ox</

當(dāng)且僅當(dāng)％時(shí)，8'(X)28'(毛)=0=8。)在》€(wěn)R上單調(diào)遞增

og(x)=0只有一個(gè)根毛

②當(dāng)x'>小時(shí)，"(X)>0=x>x',h'(x)<0=x<x'

得：g'(x')<g'(為)=0,又x->+oo,g'(x)-?+oo,x->9,g'(x)->”

存在兩個(gè)數(shù)x()<x"使，g'(Xo)=g'(x")=O

得：g'(X)<0"/<X<X*=>g(x")<g(JQ))=OXX->-H20,->+co

存在％>x"使g(x")=0,與條件不符。

③當(dāng)無(wú)'〈天時(shí)，同理可證，與條件不符

從上得：當(dāng)。<0時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P(ln(—2a)J(ln(—2a))使該點(diǎn)處的切線與曲線只

有一個(gè)公共點(diǎn)P

16.12012高考全國(guó)卷理20】(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,xG[0,Jt].

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)f(x)Wl+sinx,求a的取值范圍.

【命題意圖】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一就是函數(shù)中有三角函數(shù)，要利用

三角函數(shù)的有界性，求解單調(diào)區(qū)間。另外就是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題的構(gòu)造函數(shù)思想的運(yùn)

用。

解：/'(x)=a—sinx。

(I)因?yàn)閤e[0,乃],所以()<sinxV1。

當(dāng)。時(shí)，r（x）>o,/⑴在xw。加上為單調(diào)遞增函數(shù);

當(dāng)。4（）時(shí)，/r（x）<0,/（X）在XW［0,1］上為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)0vqv1時(shí)，由/'（X）=0得sin尤=a,

由/'（九）>0得0￡xvarcsin。或九一arcsina<x<7i；

由/'（龍）〈。得arcsina<x<7u-arcsina。

所以當(dāng)OVQVI時(shí)在Oarcsina］和［%—arcsina,i］上為為單調(diào)遞增函數(shù)；在

［arcsina,兀一arcsina］上為單調(diào)遞減函數(shù)

(II)因?yàn)?(x)<1+sinxax4-cosx<14-sinx<=>ox<1+sinx-cosx

當(dāng)x=()時(shí)，()Kl+sin()—cos()=0恒成立

“八，一—.，1+sinx-cosx"l+sinx-cosx、

當(dāng)0<尢<乃時(shí)，QX?1+sinx—cosx<^>a<------------oa<［---------------］

xxmin

人/、l+sinx-cosx/八,、皿

令g(%)=-------------(0<X<7T),則

X

(cosx+sinx)x-1—sinx+cosx(1+x)cosx+(x—l)sinx-l

g'(x)=

x2X2

又令c(x)=(l+x)cosx+(x—l)sinx—1,則

cz(x)=cosx—(l+x)sinx4-sinx+(x—1)cosx=—x(sinx+cosx)

34

則當(dāng)尢￡(0,——)時(shí)，sinx+cosx>0,故c'(x)<0,c(x)單調(diào)遞減

4

3萬(wàn)

當(dāng)了￡(——，乃］時(shí)，sinx+cosx<0,故c'(x)N0,c(x)單調(diào)遞增

4

所以c(x)在xe(0,萬(wàn)］時(shí)有最小值c(包)=-拉-1,而

4

limc(x)=(1+0)cos0+(0-1)sin0-1=0,limc(x)=c(乃)=一(1+")一1<0

x->0+x—?h

綜上可知%￡(0,乃］時(shí)，c(x)v0=>g(x)v0,故g(x)在區(qū)間(0,乃］單調(diào)遞

所以［gOOlmin=gS)=2

71

2

故所求。的取值范圍為。K—

71

2

另解：由/(x)<l+sinx恒成立可得/(^)a7T-\<\<^>a<—

71

2712

令g(x)-sinx---x(0<x<-),則g'(x)=cosx---

71271

當(dāng)xw(0,arcsin2)時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x￡(arcsin2,工)時(shí)，g<x)<0

71712

又g(0)=g(乙)=。，所以g(x)20,即2x?sinx(0(九〈生)

2712

22

故當(dāng)—時(shí)，W/(x)<—x+cosx(IbyIfx)

7171

JI2

①當(dāng)OWxW—時(shí)，一九Wsinx,cosx<1,所以J(x)Wl+sinx

271

兀227C

②當(dāng)一4x47時(shí)，/(x)<—x+cosx=l+—(x--)-sin(x---)<1+sinx

27i22

2

綜上可知故所求a的取值范圍為a4—。

n

【點(diǎn)評(píng)】試題分為兩問(wèn)，題詞面比較簡(jiǎn)單，給出的函數(shù)比較新穎，因?yàn)槔锩孢€有三角函數(shù)，

這一點(diǎn)對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)有點(diǎn)難度，不同于平時(shí)的練習(xí)題，相對(duì)來(lái)說(shuō)做得比較少。但是解決的

關(guān)鍵還是要看導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求解單調(diào)區(qū)間。第二間中，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想，證明不等式,

一直以來(lái)是個(gè)難點(diǎn)，那么這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找到合適的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明最值大于或者小

于零的問(wèn)題得到解決。

17.［2012高考北京理18】(本小題共13分)

已知函數(shù)/(x)=(VC+1(tz>0),g(x)-xi+bx.

(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(l,c)處具有公共切線，求。，分的值;

(2)當(dāng)/=48時(shí)，求函數(shù)/(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(YO,-1］上的最大值.

解：(1)由(1,c)為公共切點(diǎn)可得：

f(x)=ax2+l(6f>0),則/(x)=2ax,k、=2a,

3f2

g(x)=x+bx9則f(x)=3x+b,h=3+b,

2a=3+b

又/(l)=a+l,g⑴=l+b,

(a=3

a+l=l+/?,即a=b,代入①式可得：\.

，=3

(2)a2=4h設(shè)/z(x)=/(x)+g(x)=V+ax2+—a1x+1

f4

則”(x)=+2ax+/a?,令”(x)=0,解得：X1=~~f￡=一(；

aa

a>0f2<-6

.?.原函數(shù)在1-00,-熱單調(diào)遞增，在層，-［J單調(diào)遞減，在［4,+8)上單調(diào)遞增

①若即后2時(shí)，最大值為版

②若即2<a<6時(shí)，最大值為“-勺=1

26I2）

③若q-看時(shí)，即心6時(shí)，最大值為〃（',I.

綜上所述：

當(dāng)?！辏?,2］時(shí)，最大值為力⑴=。-■—；當(dāng)〃￡（2,+8）時(shí)，最大值為"-雪=1.

18.12012高考新課標(biāo)理21】（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/⑴滿足滿足/⑴“'⑴萬(wàn)一/（。）》夫2；

（1）求/。）的解析式及單調(diào)區(qū)間;

1)

(2)若/(工)之/尤2+以+〃，求(a+1)〃的最大值.

【答案】⑴/(x)=/^De'-1-f(Q)x+^x2=>f'(x)=-/(0)+x

令x=l得：/(O)=1

/(x)=/⑴ei—x+gV=/(0)=/⑴/=1=/⑴=e

得：/(x)-ex-x+-^x2=>g(x)-f'(x)=ex-1+x

gf(x)=ev+1>0=>y=g(x)在xwR上單調(diào)遞增

ffM>0=f(0)o]>0,f\x)<0=尸(0)oXv0

得：/(x)的解析式為/(x)=/-x+gx2

且單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,0)

(2)f(x)-~x2+ax+b<^>/z(x)=e*-(a+l)x-Z?20得〃'(x)=e'-(a+1)

①當(dāng)Q+1<0時(shí)，〃'(％)>()=>y=/z(x)在R上單調(diào)遞增

x—>-oo時(shí)，/?(元)--oo與h(x)20矛盾

②當(dāng)a+1>0時(shí)，〃'(x)>0<=>x>ln(a+1),h'(x)<0<=>x<ln(a+1)

得：當(dāng)x=ln(a+l)時(shí)，/?(x)niin=(6z+1)—(?+1)ln(6z+1)—Z?>0

(a+1)/?<(a+1)2-(a+1)2ln(a+l)(a+l>0)

令F(x)-x2—x2Inx(x>0)：則F(x)=x(l-2Inx)

F'(x)>0o0<x<y/e,F\x)<0ox>&

當(dāng)％=&時(shí)，F(xiàn)(x)max=|

當(dāng)。=五一1,。=及時(shí)，(a+l)b的最大值為上

2

19.12012高考天津理20】本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=x-ln(x+tz)的最小值為0,其中。>0.

(I)求。的值；

(II)若對(duì)任意的xe[0,+8),有成立，求實(shí)數(shù)女的最小值:

〃2

(III)證明-----ln(2n+l)<2(〃eN*).

【答案】

(1)函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?-a,+0。)

f(x)=x-ln(x+a)=>f'(x)=1------=-------=0=x=]-a>-a

x+ax+a

f\x)>00x>1-aJ'(x)<0=-a<x<l-a

得：％=1—4時(shí)，/(x)而n=/(l—a)ol—a=0oa=l

(2)設(shè)g(x)=kx2—f(x)—kx2—x+ln(x+l)(x>0)

則g(x)20在X€[0,+CO)上恒成立og(x)min20=g(0)(*)

g⑴=&-l+ln2N0nA>0

g'(x)=2kx-\+—=宜2履+2"-1)

|1-2k

①當(dāng)2左一1<0(左<一)時(shí)，g'(x)40=04xW-----=Xo=>g(x())<g(O)=O與

(*)矛盾

②當(dāng)女Ng時(shí)，g'(x)>0=>g(x)nyin=g(0)=0符合(*)

得：實(shí)數(shù)々的最小值為工

2

(3)由(2)得：x-ln(九+1)<5/對(duì)任意的x>()值恒成立

222

取>口(1,2,3,八0-口*-1)]<罰

〃2

當(dāng)〃=1時(shí)，2-ln3<2得：——ln(2〃+l)<2

；=i2/—1

211

當(dāng)iN2時(shí),------Z-<------------

(2/-1)22"32/-1

〃21

得：y[------ln(2z+l)+ln(2z-l)]<2-ln3+l-------<2。

M2i-12n-l

【點(diǎn)評(píng)】試題分為三問(wèn)，題面比較簡(jiǎn)單，給出的函數(shù)比較常規(guī)，因此入手對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)沒(méi)

有難度，第二問(wèn)中，解含參數(shù)的不等式時(shí)，要注意題中參數(shù)的討論所有的限制條件，從而做

到不重不漏；第三問(wèn)中，證明不等式，應(yīng)借助于導(dǎo)數(shù)證不等式的方法進(jìn)行.

20.【2012高考江蘇18](16分)若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱與

為函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)。

已知a,〃是實(shí)數(shù)，1和一1是函數(shù)/。)=丁+雙2+加的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求a和b的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=/(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn)；

⑶設(shè)〃(x)=f(/(x))-c,其中ce[-2,2],求函數(shù)y=〃(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】解：(1)由/(刈:金+分之+加，得/*)=3/+2公+力。

-1和-1是函數(shù)/⑴=金+加+法的兩個(gè)極值點(diǎn)，

./(l)=3+2a+6=0,/(-l)=3-2a+Z>=0,解得a=0,b=-3.

(2)由(1)得，/(x)=x3-3x,

f

.^(x)=/(^)+2=^-3x+2=(x-l)*(x+2),解得玉=苫2=1,x3=-2?

?當(dāng)xv-2時(shí)，g'(x)<()；當(dāng)-2<x<l時(shí)，g'(x)>(),

.x=-2是g(x)的極值點(diǎn)。

?當(dāng)-2<x<l或x>l時(shí)，g，(x)>0,，x=l不是g(x)的極值點(diǎn)。

1-g(x)的極值點(diǎn)是一2。

⑶令f(x)=t,則h(x)=f(t)-co

先討論關(guān)于x的方程〃x)=d根的情況：de[-2,2]

當(dāng)同=2時(shí)，由(2)可知，/(x)=—2的兩個(gè)不同的根為I和一2,注

意到/(x)是奇函數(shù)，...f(x)=2的兩個(gè)不同的根為一和2。

當(dāng)同<2時(shí)，???f(-i)-d=f(2)-d=2-d>0,

f(\)-d=f(-2)-d=-2-d<Q,

，一2,-1,1,2都不是/(x)=d的根。

由(1)知/(x)=3(x+l)(x-l)o

①當(dāng)》?2,+00)時(shí)，八用乂，于是/(幻是單調(diào)增函數(shù)，從而

/U)>/(2)=2。

此時(shí)/")=〃在(2+8)無(wú)實(shí)根。

②當(dāng)xe(l,2)時(shí).八幻>0,于是/(幻是單調(diào)增函數(shù)。

又???/⑴—4<0,/(2)—d>0,—d的圖象不間斷，

Af(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根。

同理，/*)=〃在(一2,—I)內(nèi)有唯一實(shí)根。

③當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，f(x)<0,于是/(x)是單調(diào)減兩數(shù)。

XVf{-V)-d>0,<0,y=/(x)-d的圖象不間斷，

〃幻=4/在(一1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。

因此，當(dāng)⑷=2時(shí)，f(x)=d有兩個(gè)不同的根由，X?滿足|xj=l,|々|=2；當(dāng)

p|<2時(shí)

/(x)=d有三個(gè)不同的根演，X],x5,滿足㈤<2,[=3,4,5。

現(xiàn)考慮函數(shù)y=〃(x)的零點(diǎn)：

(i)當(dāng)卜|=2時(shí),f(f)=c有兩個(gè)根卬I，滿足間=L,2.2。

而/(x)="有三個(gè)不同的根，/(刀尸2有兩個(gè)不同的根，故y=〃(x)有5個(gè)

零點(diǎn)。

(11)當(dāng)同＜2時(shí)，/(。=，有三個(gè)不同的根tyt4,t5,滿足

用＜2,i=3,4,5。

而/(x)=Mi=3,4,5)有三個(gè)不同的根，故y=/z(x)有9個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)\c\-2時(shí)，函數(shù)y=/?(x)有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)問(wèn)＜2時(shí)，函數(shù)y=h(x)

有9個(gè)零點(diǎn)。

【考點(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【解析】(1)求出y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和-1是函數(shù)y=/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方

程組求解即可。

(2)由(1)得，f(x)=x3-3x,求出g'(x),令g'(x)=O,求解討論即可。

(3)比較復(fù)雜，先分同=2和同＜2討論關(guān)于x的方程/(x)=d根的情況；再考

慮函數(shù)y=/?(x)的零點(diǎn)。

21.【2012高考遼寧理21】本小題滿分12分)

設(shè)f(x)—ln(x+l)+為常數(shù))，曲線y=f(x)與

直線y=在(0,0)點(diǎn)相切。

(I)求。力的值。

Qr

(ii)證明：當(dāng)o＜無(wú)＜2時(shí)，yu)＜——。

x+6

【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的切線及恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力,是難題.

【解析】(1)由產(chǎn)/'(X)的圖像過(guò)(0,0)點(diǎn)，代入得6=-1

3(11\

由y=f(x)在(0。)處的切線斜率為了又吐=o=一+—f=+a—+a,得

2

7A=0

。二()…3分

(2)(證法一)由均值不等式，當(dāng)x＞0時(shí),2"(犬+1)l<r+l+l=x+2,故Jx+lv,+l

記,則

=x5

H(X\-----/-T-

x+2y[x(x+)1&}(…(x)儡)

(x+6)3-216(x+l)

,令g(x)=(x+6p-216(x+l),則當(dāng)0<xv2時(shí),

4(x+l)(x+6)2

g'(x)=3(x+6)2-216<0(IbyIfx)

因此g(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)，又由g(0)=0,得g(x)<0,所以“(x)<0

因此"(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù),又由〃(())=(),得〃(x)<0,

Qv

于是當(dāng)0<x<2時(shí)，/(%)<——???

x+6

12分

(證法二)_______

由(1)知(rH寸曲-1,由均值不等式，當(dāng)工>()時(shí)，2^(x+1)l<x+l+l=x+2,

故A/X+1<—+1

2

i_x

令M%)=ln(x+l)-x,貝!)攵(0)=0,2(元)=一^-1=[^<0,故Z(x)v0,即ln(x+l)<x,

3

由此得，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<-x,記/z(x)=(x+6)/(x)-9x,則當(dāng)0a<2時(shí)，

"(x)于,(x)+(x+6)7(%)-9<|x+-9

=——13x(x+l)+(x+6)(2+Jx+1)-18(x+l)<-13x(x+l)+(x+613+撲8(x+l)

2(x+l)[

=—^-(7%-18)<0

4(x+l>7

Qv

因此人(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)，又由〃(0)=0,得〃(x)<0,即

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用。本

題容易忽略函數(shù)/(x)的定義域，根據(jù)條件曲線y=/(x)與直線y=在(0,0)點(diǎn)相切，

9Y

求出a,》的值，然后，利用函數(shù)的單調(diào)性或者均值不等式證明f(x)<------即可。從近幾年

x+6

的高考命題趨勢(shì)看，此類(lèi)型題目幾乎年年都有涉及，因此，在平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練。本題屬于中

檔題。

22.[2012高考重慶理16](本小題滿分13分，(I)小問(wèn)6分，(II)小問(wèn)7分.)

13

設(shè)/(x)=alnx+」-+2x+l,其中aeR,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線垂直

2x2

于>,軸.

(I)求a的值；

(H)求函數(shù)/(x)的極值.

解：(1)因/(x)=alnxH----1—x+\,故/'(尤)=------rd—

'/2x2v7Xlx12

由于曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0,即/'(1)=0,

13

從而。1—=0,解得a=-1

22

13

(2)由(1)知/(x)=-In光+—1~5工+1(工>0),

/(司=_：_133x2—2x—1

2x222x2

(3x+l)(x-l)

r(x)=

2x2

令r(x)=o,解得否=i，w=-g(因X2=-；不在定義域內(nèi)，舍去)，

當(dāng)工?0,1)時(shí)，，(力<0,故〃X)在(0,1)上為減函數(shù);

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/>(X)>0,故/(X)在(1,+8)上為增函數(shù);

故/(X)在x=l處取得極小值"1)=3。

2312012高考浙江理22](本小題滿分14分)已知a>0,beR,函數(shù)/(x)=4/-加?一a+8.

(I)證明：當(dāng)OWxWl時(shí)，

(i涵數(shù)/(x)的最大值為|2“一+a-,

(ii)/(A)-\-\la—b\+a>0；

(II)若-lW/(x)W1對(duì)xe[O,1]恒成立，求〃+人的取值范圍.

【命題立意】本題主要考查不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)、線性規(guī)劃等知

識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用能力，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力。

【答案】本題主要考察不等式，導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，

(I)(i)f'(x)=l2ax2-2b.

當(dāng)bWO時(shí)，/(力=12加一%>0在OWxWl上恒成立，

此時(shí)/(x)的最大值為：f(\)=4a—2b—a+b=3a—b—\2a—b\+a；

當(dāng)b>0時(shí)，/'(x)=12o?-%在OWxWl上的正負(fù)性不能判斷，

此時(shí)/(x)的最大值為：

/、，、/、\b-a,b>2a

*(x)=max"(0),/(D}=max{(?,(3"功=武2〃寸…+〃；

綜上所述：函數(shù)f(x)在OWxWl上的最大值為|2“一臼+4；

(ii)要證/(x)+\2a-b\+GO,即證g(x)=-f(x)W|2“一+a.

亦即證g(x)在OWxWl上的最大值小于(或等于)|2a—"+a,

g^x')=—4ax3+2bx+a—b,

.,.令g，(x)=-12紗2+2b=0=x=?

當(dāng)bWO時(shí)，811)=-1〃？+2人〈0在0?;<<1上恒成立，

此時(shí)g(x)的最大值為：g(0)=a-i><3a-i>—\2a—b\+a-,

當(dāng)b<0時(shí)，g'(x)=—12以2+處在OWxWl上的正負(fù)性不能判斷,

+a-b,b<6a

W|2。一臼+a；

綜上所述：函數(shù)g(x)在OWxWl上的最大值小于(或等于)|2a—"+a.

即/'(A)+|2a—b\+a》。在OWxW1上恒成立。

(11)由(1)知：函數(shù)/(x)在OWxWl上的最大值為|2a—臼+a,

且函數(shù)/(x)在0Wx〈I上的最小值比-(|2〃一例+a)要大.

???一]W"x)Wl對(duì)xe[O,1]恒成立,

'.\2a~b\+aW1.

取b為縱軸，。為橫軸.

則可行域?yàn)椋篬歸2”和目標(biāo)函數(shù)為z=a+4

p-a<1[3a-b<1

作圖如下：

由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z=a+b過(guò)P(l,2)時(shí)，有2^=3.

...所求a+匕的取值范圍為：(ro,3].

24.12012高考山東理22](本小題滿分13分)

Inx*+左

已知函數(shù)/(%)=-------(k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)

e

在點(diǎn)(1,/(I))處的切線與x軸平行.

(I)求女的值；

(H)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(HI)設(shè)冢%)=(攵+%)尸?,其中rc為/(%)的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意

0,g(xX上至.

解：