浙江省杭州市蕭山區(qū)第六高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

蕭山六中2023級(jí)高一數(shù)學(xué)12月月考一、單選題（每題3分，共24分）1.學(xué)校開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)是參加100米跑的同學(xué)}，是參加200米跑的同學(xué)}，是參加400米跑的同學(xué)}．學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽．請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的含義求解即可.【詳解】學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽，故沒有同學(xué)參加三項(xiàng)比賽，即.故選：D2.二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)且）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)開口方向、對(duì)稱軸的位置、在縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的正負(fù)判斷的正負(fù)性，再結(jié)合反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象特征逐一判斷即可.【詳解】由二次函數(shù)的圖象可知：開口向上，因此；對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，；因?yàn)椋苑幢壤瘮?shù)的圖象在二、四象限，排除BC；因?yàn)?，，所以一次函?shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故排除D，故選：A3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋缘牧泓c(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.4.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過N年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，該生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半衰期的定義，建立指數(shù)函數(shù)模型，從而得到函數(shù)關(guān)系式.【詳解】設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，將剛死亡生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，

根據(jù)經(jīng)過N年衰減為原來的一半，則，即，

生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，

所以生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為，即．

故選：D．5.已知函數(shù)，且，則（）A.7 B.5 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用湊配法求函數(shù)的解析式，代入即可求解.【詳解】,.,解得．故選：A.6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，都有恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，都有恒成立，則在上單調(diào)遞增，有，又函數(shù)是偶函數(shù)，，，，所以.故選：A7.已知函數(shù)，且，那么等于（）A.－18 B.－26 C.－10 D.10【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】設(shè)，則，∴是奇函數(shù)，又，所以，，故選：B．8.已知函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，則最小值為（）A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，假設(shè)后可代入函數(shù)中，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.【詳解】由得：在上單調(diào)遞增，在也單調(diào)遞增，由，不妨設(shè)，則有，故有，，令，即，即，，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.二、多選題（每題4分，共16分，錯(cuò)選多選不選得0分，少選得2分）9.下列函數(shù)中，值域?yàn)榈挠校ǎ〢. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的值域即可求解．【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的值域?yàn)椋蔄符合；對(duì)于B，因?yàn)榉帜干系模?，即函?shù)的值域?yàn)?，故B符合；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，即函?shù)的值域?yàn)?，故C符合；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)椋蔇不符合.故選：ABC.10.若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，，B.C.當(dāng)時(shí)，D.二次函數(shù)的零點(diǎn)為2和3【答案】ABD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，解方程即可判斷選項(xiàng)A，有實(shí)數(shù)根，，且，根據(jù)即可判斷選項(xiàng)B，數(shù)形結(jié)合由圖像與圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)可判斷選項(xiàng)C，由展開得：，先利用韋達(dá)定理求出代入可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，的根為2，3，故A正確；對(duì)于B,設(shè)，因?yàn)榈膱D像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，的圖像由的圖像向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由展開得：，利用韋達(dá)定理求出代入可得，所以二次函數(shù)的零點(diǎn)為2和3，故D正確．故選:ABD．11.下列說法不正確的是（）A.命題“，都有”的否定是“，使得”B.集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為C.方程有一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1的充要條件是D.若存在使等式上能成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】ABD【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定，集合的運(yùn)算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式解的存在性問題對(duì)選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，命題“，都有”的否定是“，使得”，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足題意，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令，由題意得，即，所以，故C正確，對(duì)于D，令，二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以時(shí)，y有最小值，則，解得，故D錯(cuò)誤，故選：ABD12.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意首先由基本不等式確定，由此即可判斷A，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、運(yùn)算性質(zhì)即可判斷BCD三個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因，所以，且等號(hào)不成立，即，故A正確；而，所以，故C正確、D錯(cuò)誤；令，再令，所以，從而，即，所以，所以，故B正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是首先判斷出，其他選項(xiàng)就根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性去估算即可.三、填空題（每題4分，共16分）13.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則__________．【答案】【解析】【分析】直接由冪函數(shù)定義即可得解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得滿足題意.故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義域的對(duì)稱性列式求解.【詳解】由題意可得：，解得.故答案為：1.15.不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為同底的指數(shù)不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求答案.【詳解】原不等式可化為：根據(jù)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)得：解得：，故答案為：16.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，由函數(shù)最小值為1可得，再按結(jié)合的取值情況求解即得.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，即有，依題意，，即，又，則有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，有，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：(1)分段函數(shù)問題中參數(shù)值影響變形時(shí)，往往要分類討論，需有明確的標(biāo)準(zhǔn)、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求．四、解答題（第17題8分，第18題，19題每題10分，第20、21、22題每題12分，共64分）17.計(jì)算：（1）；（2）.【答案】（1）11（2）4【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)求值；（2）利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)求值.【小問1詳解】；【小問2詳解】.18.已知函數(shù)．（1）若，，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求a取值范圍；（2）若的解集為，求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）由題意一元二次不等式恒成立等價(jià)于，解不等式組即可.（2）由題意的解集為等價(jià)于，從而不等式等價(jià)于，解一元二次不等式即可.【小問1詳解】由題意對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立恒成立，，解不等式組得，所以a的取值范圍為.【小問2詳解】由于即解集為，所以，即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集為．19.為促進(jìn)旅游事業(yè)的發(fā)展，我市某著名景點(diǎn)推出“一費(fèi)全包，團(tuán)體打折”的團(tuán)體票方案：（1）只要一次購(gòu)票即可游玩景點(diǎn)內(nèi)所有項(xiàng)目且能當(dāng)天無限次乘坐園內(nèi)觀光車；（2）當(dāng)團(tuán)體不超過40人時(shí)，人均收費(fèi)100元；超過40人且不超過m人時(shí)，每增加1人，人均收費(fèi)降低1元；超過m人時(shí)，人均收費(fèi)都按照m人時(shí)的標(biāo)準(zhǔn).設(shè)景點(diǎn)接待有x名游客的某團(tuán)隊(duì)時(shí)，收取總費(fèi)用為y元.（i）當(dāng)時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（ii）若m設(shè)置不合理，有可能出現(xiàn)團(tuán)體人數(shù)增加而收取的總費(fèi)用反而減少這一現(xiàn)象.要令收取的總費(fèi)用總隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（i）對(duì)x分類討論求解即可；（ii）結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，則，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減?。痪C上所述，當(dāng)時(shí)，景點(diǎn)收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)增加而增加.20.已知函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，證明：在上有唯一零點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先計(jì)算得出，再分組求和得出函數(shù)值即可；（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得證.【小問1詳解】因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，所以，即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).21.設(shè)函數(shù)（且，），是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)．（1）求的值，判斷當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義法證明；（2）若，函數(shù)，求的值域．【答案】（1），在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，可求得的值，即可得函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，即可證得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)的值，可以求得，即可得的解析式，利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得值域.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，x2∈R由于，,則，，得，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，得，，令，由（1）知為增函數(shù)，，，設(shè)，所以的值域?yàn)椋?2.設(shè)函數(shù)且．（1）解關(guān)于的不等式；（2）若恒成立，則是否存在實(shí)數(shù)，令時(shí)，恒有？若存在，求實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合定義域?qū)懗霾坏仁浇M，由此求解出解