初中數(shù)學九年級上冊1 圓的有關性質(zhì)

24.1圓的有關性質(zhì)一、圓的有關概念二、垂徑定理●OABCDM└③AM=BM,重視：模型“垂徑定理直角三角形”

若①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

1.定理

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.垂徑定理及推論直徑(過圓心的線)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分優(yōu)弧.知二得三注意:“平分弦的直徑垂直于弦.”這句話對嗎?()●OABCDM└●OAB┓DA′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒

⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′三、圓心角、弧、弦、弦心距的關系

在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.四、圓周角定理及推論

90°的圓周角所對的弦是

.●OABC●OBACDE●OABC

定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這弧所對的圓心角的一半.

推論:直徑所對的圓周角是

.直角直徑判斷:(1)相等的圓心角所對的弧相等.(2)相等的圓周角所對的弧相等.(3)等弧所對的圓周角相等.(×)(×)(√)四、圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補

鞏固：已知ABC三點在圓O上，連接ABCO，如果∠

AOC=140

°，求∠

B的度數(shù)．考點1圓周角與圓心角之間關系（考查頻率：★★★★★）

命題方向：同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系．1．（2013山東泰安）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，則∠BOC等于（

）A．60° B．70°C．120° D．140°2．（2013山東濱州）如圖，在⊙O中圓心角∠BOC＝78°，則圓周角∠BAC的大小為（

）A．156°B．78°C．39°D．12°3．（2013吉林長春）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝71°，∠CAB＝53°點D在⊙O上，則∠ADB的大小為（）A．45° B．53° C．56° D．71°4．（2013海南）如圖，在⊙O中，弦BC＝1，點A是圓上一點，且∠BAC＝30°，則⊙O的半徑是（

）5.已知如圖,OA=OB=OC,∠AOB=2∠BOC,∠BAC=25°則,∠ACB=考點2圓內(nèi)接三角形和圓內(nèi)接四邊形（考查頻率：★★★☆☆）命題方向：（1）圓內(nèi)接三角形的邊角關系；

（2）圓內(nèi)接四邊形的計算問題．6、如圖，點A、B、C、D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD=▲°.7、如圖，已知A，B，C，D

是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E．若BC＝BE．求證：△ADE是等腰三角形.證明∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE．∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE．∴∠A＝∠E．∴AD＝DE．∴△ADE是等腰三角形.考點3直徑所對的圓周角（考查頻率：★★★☆☆）命題方向：（1）利用“直徑所對的圓周角等于90°”進行角度的計算；（2）利用“直徑所對的圓周角等于90°”證明一個三角形是直角三角形．8、如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC，AD，BD，CD的長考點4垂徑定理（考查頻率：★★★★☆）命題方向：（1）已知半徑、弦長、弦心距中的兩個量，求第三個量的值；（2）利用垂徑定理進行有關證明．9、如圖，M是CD的中點，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，則CED所在圓的半徑為_____________．10、如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm，水的最大深度為2cm，則該輸水管的半徑為（）A．3cm

B．4cm

C．5cm

D．6cm例1：圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB，CD的距離是______．第一種情況：兩弦在圓心的同側(cè)時，已知CD=10cm，∴由垂徑定理得DE=5．∵OD=13，∴利用勾股定理可得：OE=12．同理可求OF=5，∴EF=7．第二種情況：只是EF=OE+OF=17．其它和第一種一樣．例2：⊙O為△ABC的外接圓，∠BOC=100°則∠A=___.分為兩種情況：當O在△ABC內(nèi)部時，根據(jù)圓周角定理得：∠A=∠BOC=×100°=50°；當O在△ABC外部時，如圖在A′時，∵A、B、A′、C四點共圓，∴∠A+∠A′=180°，∴∠A′=180°﹣50°=130°，故答案為：50°或130°．例3：（2013四川瀘州）已知⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝8cm，則AC的長為（

）例1、如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判斷

ABC的形狀：______________；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；

（3）當點P位于⊙O

的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積