山東省萊蕪市牛泉鎮(zhèn)劉仲瑩中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

山東省萊蕪市牛泉鎮(zhèn)劉仲瑩中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．某運動員進(jìn)行賽前訓(xùn)練，如果對他30次訓(xùn)練成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，判斷他的成績是否穩(wěn)定，則需要知道這10次成績的（）．A．眾數(shù) B．方差 C．平均數(shù) D．中位數(shù)2．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是A． B． C． D．3．一家鞋店對上周某一品牌女鞋的銷售量統(tǒng)計如下：尺碼/厘米2222.52323.52424.525銷售量/雙12511731該鞋店決定本周多進(jìn)一些尺碼為23.5厘米的該品牌女鞋，影響鞋店決策的統(tǒng)計量是（）A．方差 B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．眾數(shù)4．下列說法正確的是（）A．順次連接任意一個四邊形四邊的中點，所得到的四邊形一定是平行四邊形B．平行四邊形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形C．對角線相等的四邊形是矩形D．只要是證明兩個直角三角形全等，都可以用“HL”定理5．在某中學(xué)理科競賽中，張敏同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)得分(單位：分)分別為84，88，92，若依次按照4：3：3的比例確定理科成績，則張敏的成績是()A．84分 B．87.6分 C．88分 D．88.5分6．某個函數(shù)自變量的取值范圍是x≥-1，則這個函數(shù)的表達(dá)式為（）A．y=x+1 B．y=x2+1 C．y= D．y=7．下列描述一次函數(shù)y＝﹣2x+5圖象性質(zhì)錯誤的是（）A．y隨x的增大而減小B．直線與x軸交點坐標(biāo)是（0，5）C．點（1，3）在此圖象上D．直線經(jīng)過第一、二、四象限8．下列二次根式中，不能與合并的是（）A． B． C． D．9．如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，若EF=2，則菱形ABCD的周長為（）A．16 B．8 C． D．410．如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，若，，則對角線AC的長為()A．5 B．7.5 C．10 D．1511．在一個四邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個數(shù)最多有()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個12．如圖，，，雙曲線經(jīng)過點，雙曲線經(jīng)過點，已知點的縱坐標(biāo)為-2，則點的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．將長為20cm、寬為8cm的長方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來，粘合部分的寬為3cm，設(shè)x張白紙粘合后的總長度為ycm，y與x之間的關(guān)系式為_______．14．在菱形ABCD中，M是AD的中點，AB＝4，N是對角線AC上一動點，△DMN的周長最小是2+，則BD的長為___________．15．若m+n=3，則2m2+4mn+2n2-6的值為________．16．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，那么CH的長是______．17．如圖，把一張矩形的紙沿對角線BD折疊，若AD=8，AB=6，則BE=__．18．已知一組數(shù)據(jù)3、x、4、5、6，若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，則x的值是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）請從不等式﹣4x＞2，，中任選兩個組成一個一元一次不等式組．解出這個不等式組，并在數(shù)軸上表示出它的解集．20．（8分）如圖，每個小正方形的邊長均為1，求證：△ABC是直角三角形．21．（8分）某校共有1000名學(xué)生，為了了解他們的視力情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生的視力，并將調(diào)查的數(shù)據(jù)整理繪制成直方圖和扇形圖.（1）這次共調(diào)查了多少名學(xué)生？扇形圖中的、值分別是多少？（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)的學(xué)生占對應(yīng)被調(diào)查學(xué)生的比例如下表：視力0.35～0.650.65～0.950.95～1.251.25～l.55比例根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計該校有多少學(xué)生在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)？22．（10分）如圖，在銳角中，點、分別在邊、上，于點，于點，（1）求證：；（2）若，，求的值．23．（10分）已知某實驗中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草坪，經(jīng)測量∠A=90°，AC=3m，BD=12m，CB=13m，DA=4m，若每平方米草坪需要300元，間學(xué)校需要投入多少資金買草坪?24．（10分）如圖1，正方形中，點、的坐標(biāo)分別為，，點在第一象限．動點在正方形的邊上，從點出發(fā)沿勻速運動，同時動點以相同速度在軸上運動，當(dāng)點運動到點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為秒．當(dāng)點在邊上運動時，點的橫坐標(biāo)(單位長度)關(guān)于運動時間(秒)的函數(shù)圖象如圖2所示．（1）正方形邊長_____________，正方形頂點的坐標(biāo)為__________________；（2）點開始運動時的坐標(biāo)為__________，點的運動速度為_________單位長度/秒；（3）當(dāng)點運動時，點到軸的距離為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（4）當(dāng)點運動時，過點分別作軸，軸，垂足分別為點、，且點位于點下方，與能否相似，若能，請直接寫出所有符合條件的的值；若不能，請說明理由．25．（12分）如圖，點N(0，6)，點M在x軸負(fù)半軸上，ON＝3OM.A為線段MN上一點，AB⊥x軸，垂足為點B，AC⊥y軸，垂足為點C．(1)寫出點M的坐標(biāo)；(2)求直線MN的表達(dá)式；(3)若點A的橫坐標(biāo)為－1，求矩形ABOC的面積．26．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AD、BC邊上，且AE=CF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形BFDE是平行四邊形．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的概念分析．【題目詳解】眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，只有方差是反映數(shù)據(jù)的波動大小的，故為了判斷成績是否穩(wěn)定，需要知道的是方差．故選：B．【題目點撥】本題考查統(tǒng)計量的選擇，明確各統(tǒng)計量的概念及意義是解題關(guān)鍵．2、A【解題分析】

最簡二次根式滿足的條件是:被開方數(shù)不含能開方的因數(shù)或因式;被開方數(shù)不能是小數(shù)或分?jǐn)?shù);分母中不能出現(xiàn)二次根式.【題目詳解】根據(jù)最簡二次根式滿足的條件可得:是最簡二次根式,故選A.【題目點撥】本題主要考查最簡二次根式的定義,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握滿足最簡二次根式的條件.3、D【解題分析】

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量；方差、標(biāo)準(zhǔn)差是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量．銷量大的尺碼就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．【題目詳解】解：由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故應(yīng)最關(guān)心這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)．故選：D.【題目點撥】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．4、A【解題分析】

根據(jù)三角形中位線定理可判定出順次連接任意一個四邊形四邊的中點，所得到的四邊形一定是平行四邊形；平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；對角線相等的平行四邊形是矩形；證明兩個直角三角形全等的方法不只有HL，還有SAS，AAS，ASA．【題目詳解】A．順次連接任意一個四邊形四邊的中點，所得到的四邊形一定是平行四邊形，說法正確；B．平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，原說法錯誤；C．對角線相等的平行四邊形是矩形，原說法錯誤；D．已知兩個直角三角形斜邊和直角邊對應(yīng)相等，可以用“HL”定理證明全等，原說法錯誤．故選A．【題目點撥】本題考查了中心對稱圖形、直角三角形全等的判定、矩形的判定、中點四邊形，關(guān)鍵是熟練掌握各知識點．5、B【解題分析】

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法進(jìn)行計算即可得出答案.故選B.【題目詳解】解：（分）.【題目點撥】本題考查了加權(quán)平均數(shù).理解“權(quán)”的含義是解題的關(guān)鍵.6、C【解題分析】

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0分別求出各選項的函數(shù)的取值范圍，從而得解．【題目詳解】解：A、自變量的取值范圍是全體實數(shù)，故本選項錯誤；B、自變量的取值范圍是全體實數(shù)，故本選項錯誤；C、由x+1≥0得，x≥-1，故本選項正確；D、由x+10得，x-1，故本選項錯誤．故選：C．【題目點撥】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．7、B【解題分析】

由于k=-2＜0，則y隨x的增大而減小可知A正確；把x=0，x=1分別代入直線的解析式可判斷B、C的正誤；再由b＞0，則直線經(jīng)過第一、二、四象限，故D正確．【題目詳解】A、因為k＝﹣2＜0，則y隨x的增大而減小，所以A選項的說法正確；B、因為x＝0，y＝5，直線與y軸交點坐標(biāo)是（0，5），所以B選項的說法錯誤；C、因為當(dāng)x＝1時，y＝﹣2+5＝3，所以點（1，3）在此圖象上，所以C選項的說法正確；D、因為k＜0，b＞0，直線經(jīng)過第一、二、四象限，所以D選項的說法正確．故選：B．【題目點撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）是一條直線，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小；圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，b）是解答此題的關(guān)鍵．8、C【解題分析】

先化簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)是否與相同，可得答案．【題目詳解】A、＝，故A能與合并；

B、＝2，故B能與合并；

C、＝2，故C不能與合并；D、能與合并故選C【題目點撥】本題考查了同類二次根式，被開方數(shù)相同的最簡二次根式是同類二次根式．9、A【解題分析】

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出BC，再根據(jù)菱形的周長公式列式計算即可得解．【題目詳解】解：∵E、F分別是AB、AC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周長＝4BC＝4×4＝1．故選A．【題目點撥】本題主要考查了菱形的四條邊都相等，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，求出菱形的邊長是解題的關(guān)鍵．10、C【解題分析】分析：根據(jù)矩形對角線的性質(zhì)可推出△ABO為等邊三角形．已知AB=5，易求AC的長．詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵AO=AC，BO=BD，∴AO=BO．又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AO=AB=5，∴AC=2AO=1．故選C．點睛：本題考查的是矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟記矩形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11、B【解題分析】

根據(jù)四邊形的外角和等于360°可判斷出外角中最多有三個鈍角，而外角與相鄰的內(nèi)角是互補(bǔ)的，因此，四邊形的內(nèi)角中最多有3個銳角.【題目詳解】因為多邊形的外角和是360度，在外角中最多有三個鈍角，如果超過三個則和一定大于360度，多邊形的內(nèi)角中就最多有3個銳角．故選：B．【題目點撥】本題考查了四邊形的外角和定理和外角與內(nèi)角的關(guān)系，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化成外角問題是解答的關(guān)鍵.12、A【解題分析】

過點作軸于點，過點作延長線于點，交軸于點,證明，得到，，再根據(jù)B點坐標(biāo)在上取出k的值.【題目詳解】解析：過點作軸于點，過點作延長線于點，交軸于點.∵∴.∴.∵在上，∴且，∴，∴.∵，∴.∵在上，∴，解得，（舍）.∴.【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三線合一性質(zhì).通過構(gòu)造全等三角形，用含的式子來表示點坐標(biāo)，代入點坐標(biāo)求得值.難度中等，計算需要仔細(xì).二、填空題（每題4分，共24分）13、y=17x+1【解題分析】

由圖可知，將x張這樣的白紙粘合后的總長度=x張白紙的總長-(x-1)個粘合部分的寬，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入化簡即可得到所求關(guān)系式．【題目詳解】解：由題意可得：y=20x-1(x-1)=17x+1，即：y與x間的函數(shù)關(guān)系式為：y=17x+1．故答案為：y=17x+1．【題目點撥】觀察圖形，結(jié)合題意得到：“白紙粘合后的總長度=x張白紙的總長-（x-1）個粘合部分的寬”是解答本題的關(guān)鍵．14、4【解題分析】

根據(jù)題意，當(dāng)B、N、M三點在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+，由DM=，則BM=，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，則得到△ABD為等邊三角形，即可得到BD的長度.【題目詳解】解：如圖：連接BD，BM，則AC垂直平分BD，則BN=DN，當(dāng)B、N、M三點在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+，∵AD=AB=4，M是AD的中點，∴AM=DM=，∴BM=，∵，∴△ABM是直角三角形，即∠AMB=90°；∵BM是△ABD的中線，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=AD=4.故答案為：4.【題目點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及三線合一定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到△ABD是等邊三角形.15、1【解題分析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=1．16、【解題分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CHAF．在Rt△AMF中，根據(jù)勾股定理求出AF即可．【題目詳解】∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M．連接AC、CF，則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°．∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°．∵H為AF的中點，∴CHAF．在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF，∴CH．故答案為．【題目點撥】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，并求出AF的長和得出CHAF，有一定的難度．17、【解題分析】試題解析：∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，又∠EBD=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，又BC′=BC=AD，∴EA=EC′，在Rt△EC′D中，DE2=EC′2+DC′2，即DE2=（8-DE）2+62，解得DE=．18、1【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)的定義進(jìn)行求解即可得答案．【題目詳解】解：這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是1，即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為：1，故x=1，故答案為1．【題目點撥】本題考查了眾數(shù)的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．三、解答題（共78分）19、見解析（答案不唯一）【解題分析】

分別求出各不等式的解集，然后根據(jù)不同的組合求出公共部分即可得解．【題目詳解】由﹣4x＞2得x＜﹣①；由得x≤4②；由得x≥2③，∴（1）不等式組的解集是x＜﹣；（2）不等式組的解集是無解；（3）不等式組的解集是【題目點撥】此題考查解一元一次不等式組，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確解不等式，熟記不等式組解的四種不同情況正確得到不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.20、答案見詳解．【解題分析】

根據(jù)勾股定理計算出、、，再根據(jù)勾股定理逆定理可得是直角三角形．【題目詳解】證明：，，，，是直角三角形．【題目點撥】此題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形．21、（1）200名，a=18%,b=20%;(2)見解析;(3)270名【解題分析】

（1）根據(jù)第四組的頻數(shù)與其所占的百分比求出被調(diào)查的學(xué)生數(shù)．（2）根據(jù)各組所占的百分比分別計算他們的頻數(shù)，從而補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖．（3）首先計算各組在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)的學(xué)生數(shù)，再根據(jù)被抽取的學(xué)生數(shù)所占的比例進(jìn)行估算該校有多少學(xué)生在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)．【題目詳解】（1）這次共調(diào)查的學(xué)生為：（名）...（2）0.35～0.65的頻數(shù)為：；0.95～1.25的頻數(shù)為：.補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：（3）各組在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)的學(xué)生總數(shù)為：（名）.該校學(xué)生在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)的有：（名）.【題目點撥】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．22、（1）詳見解析；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解；（2）有（1）得，所以，由（1）可知，證得，即可求解.【題目詳解】（1）證明：（1）∵，，∴，∵，∴∵，∴（2）由（1）可知：，∴由（1）可知：，∵，∴∴【題目點撥】本題主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是關(guān)鍵.23、學(xué)校需要投入10800元買草坪【解題分析】

連接CD，在直角三角形ACD中可求得CD的長，由BD、CB、CD的長度關(guān)系可得三角形DBC為一直角三角形，BC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ACD和Rt△DBC構(gòu)成,然后求直角三角形的面積之和即可.【題目詳解】解：連接CD，在RtΔACD中，在ΔCBD中，，而即所以∠BDC=90°則=5所以需費用36×300=10800(元).答：學(xué)校需要投入10800元買草坪..【題目點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，通過勾股定理判定三角形直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵.24、（3）30，（35.2）；（2）（3，0），3；（3）d＝t﹣5；（5）t的值為3s或s或s．【解題分析】

（3）過點B作BH⊥y軸于點H，CF⊥HB交HB的延長線于點F交x軸于G．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）根據(jù)題意，易得Q（3，0），結(jié)合P、Q得運動方向、軌跡，分析可得答案；（3）分兩種情形：①如圖3﹣3中，當(dāng)0＜t≤30時，作PN⊥x軸于N，交HF于K．②如圖3﹣2中，當(dāng)30＜t≤20時，作PN⊥x軸于N，交HF于K．分別求解即可解決問題．（5）①如圖5﹣3中，當(dāng)點P在線段AB上時，有兩種情形．②如圖5﹣2中，當(dāng)點P在線段BC上時，只有滿足時，△APM∽△PON，利用（3）中結(jié)論構(gòu)建方程即可解決問題．【題目詳解】解：（3）過點B作BH⊥y軸于點H，CF⊥HB交HB的延長線于點F交x軸于G．∵∠ABC＝90°＝∠AHB＝∠BFC∴∠ABH+∠CBF＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠BAH＝∠CBF，∵AB＝BC，∴△ABH≌△BCF．∴BH＝CF＝8，AH＝BF＝3．∴AB＝＝30，HF＝35，∴OG＝FH＝35，CG＝8+5＝2．∴所求C點的坐標(biāo)為（35，2）．故答案為30，（35，2）（2）根據(jù)題意，易得Q（3，0），點P運動速度每秒鐘3個單位長度．故答案為（3，0），3．（3）①如圖3﹣3中，當(dāng)0＜t≤30時，作PN⊥x軸于N，交HF于K．易知四邊形OHKN是矩形，可得OH＝KN＝5，∵PK∥AH，∴，∴，∴PK＝（30﹣t），∴d＝PK+KN＝﹣t+30．②如圖3﹣2中，當(dāng)30＜t≤20時，作PN⊥x軸于N，交HF于K．同法可得PK＝（t﹣30），∴d＝PK+KN＝t﹣5．（5）①如圖5﹣3中，當(dāng)點P在線段AB上時，有兩種情形：當(dāng)時，△APM與△OPN相似，可得，解得t＝3．當(dāng)時，△APM與△OPN相似，可得，解得t＝．②如圖5﹣2中，當(dāng)點P在線段BC上時，只有滿足時，△APM∽△PON，可得：∠OPN＝∠PAM＝∠AOP，∵PM⊥OA，∴AM＝OM＝PN＝5，由