數(shù)學-專項3 二次根式分母有理化與分子有理化的技巧（原版）

專題3二次根式分母有理化與分子有理化的技巧（原卷版）第一部分典例精析+變式訓練類型一分母有理化技巧1一般法：如果分母只含一個根號，先把分母化為最簡二次根式，再將分子分母同乘分母的根號部分即可。典例1（2021秋?曲陽縣期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b變式訓練1．（2022春?東莞市期中）化簡：18=2．（2021春?龍山縣期末）把122a化成最簡二次根式，結果是技巧2平方差公式法：如果分母是兩個根號的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春?乳山市期末）【材料閱讀】把分母中的根號化去，將分母轉化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．例如：化簡12解：12上述化簡的過程，就是進行分母有理化．【問題解決】（1）化簡12?3的結果為：（2）猜想：若n是正整數(shù)，則1n+1+n進行分母有理化的結果為：（3）若有理數(shù)a，b滿足a2?1+b2變式訓練1．（2022秋?寶山區(qū)期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡方法，化簡：12+52．（2022秋?牡丹區(qū)期末）若13?7的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則a2+（1+7）ab＝

技巧3分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后約分化簡典例3化簡：變式訓練：1.化簡：技巧4分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后約分化簡。典例4（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）先化簡，再求值x?yx+y+x?2xy針對訓練：化簡：（1）（2）技巧5裂項相消法：將分子化為分母中兩式子的和或差的形式，在約分。24．觀察下面式子的化簡過程：26化簡410變式訓練：1．化簡：

類型二分子有理化典例6（2020秋?梁平區(qū)期末）閱讀下述材料：我們在學習二次根式時，熟悉了分母有理化及其應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”：與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和6?5的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢阂驗?+6＞再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當x＝2時，分母x+2+x?2有最小值2，所以解決下述問題：（1）比較32?4和23（2）求y=1+x針對訓練1．（青羊區(qū)校級期中）已知a=2?1，b＝3﹣22，c=3?2，則aA．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b2．（2020秋?武侯區(qū)校級月考）計算：（1）比較15?14和（2）求y=x+1

專題提優(yōu)訓練1．（2022秋?綏化期末）化簡213的結果是2．（2021秋?陽城縣期末）化簡820的結果是3．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）化簡：1x?3?1=4．（2021春?寧陽縣期末）化簡12=，15．（2012秋?珙縣校級月考）化簡：12?36．（2021春?江城區(qū)期末）化簡?3227的結果是7．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）已知：x=3+23?2，y=3?28．（2022春?普陀區(qū)校級期末）計算：1059．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）計算：1?310．（2021秋?赫山區(qū)期末）“分母有理化”是我們常見的一種化簡的方法．如：2+12?1除此之外，我們也可以平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)．如：化簡2+3解：設x=2+3?2?3由于x2＝（2+3?2?3）2＝2+3解得x=2，即根據(jù)以上方法，化簡：3?22

11．（2022春?大連月考）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：（2+3）（2?3）＝1，（5+2）（5?解決問題：（1）4+7的有理化因式可以是，232（2）計算：①11+②已知：x=3?13+1，y=3+1312．（2022春?鋼城區(qū)期末）閱讀下列解題過程：1213請回答下列問題：（1）歸納：觀察上面的解題過程，請直接寫出下列各式的結果．①17+6=；（2）應用：求12（3）拓廣：13?1?1

13．（2021春?廣饒縣期中）【閱讀材料】材料一：把分母中的根號化去，使分母轉化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達到化去分母中根號的目的．例如：化簡1解：1材料二：化簡a+2b的方法：如果能找到兩個實數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么a±2b=m例如：化簡3±2解：3±22【理解應用】（1）填空：化簡5+35（2）計算：①7?210②12

14．（2020春?安慶期中）閱讀材料：我們在學習二次根式時，熟悉了分母有理化及其應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和6?5的大小可以先將它