數(shù)學-專項38 二次函數(shù)中的寬高模型（原版）

專題38二次函數(shù)中的寬高模型【模型展示】特點面積處理之“寬高模型”如圖，試探究△ABC面積.如圖1，過點C（定點）作CD⊥x軸交AB于點D，則S△ABC=S△ACD+S△BCD圖1圖2如圖2，過點B作BF⊥CD于點F，過點A作AE⊥CD于點E，過點A作AG⊥x軸于點G，則S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG說明：其中OG表示A、B兩點之間在水平方向上的距離，可稱為△ABC的水平寬，CD可稱為△ABC的鉛垂高，即S△ABC=×水平寬×鉛垂高，可稱為“寬高公式”結論S△ABC=×水平寬×鉛垂高【模型證明】解決方案1、如圖3，過點 A作AD⊥x軸交BC的延長線于點D，則S△ABC=S△ABD-S△ACD

圖3圖4如圖4，過點B作BH⊥AD交于點H，則S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC說明：OC是△ABC的水平寬，AD是△ABC的鉛垂高.2、如圖5，過點B作BD⊥y軸交AC于點D，則S△ABC=S△ABD+S△BCD圖5圖6如圖6，過點C作CH⊥BD于點H，過點A作AG⊥x軸于點G，交BD的延長線于點E，則S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG說明：BD是△ABC的水平寬，AG是△ABC的鉛垂高.3、如圖7，過點 A作AE⊥y軸于點E，延長AE交BC反向延長線于點D，則S△ABC=S△ACD-S△ABD

圖7圖8如圖8，過點C作CF⊥AD交于點F，則S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB說明：AD是△ABC的水平寬，OB是△ABC的鉛垂高.[反思總結]無論點A、B、C三點的相對位置如何，“寬高模型”對圖形面積求解總是適用，其證明方法、證明過程、最終結論都基本一致，利用大面積-小面積或割補法求解，體現(xiàn)出數(shù)學中“變中不變”的和諧統(tǒng)一之美.【題型演練】1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點，若△PAC面積為3，求點P的坐標；

在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：

“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S=ah．

例如：三點坐標分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．

（1）已知點A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三點的“矩面積”為12，求點P的坐標；

②直接寫出A，B，P三點的“矩面積”的最小值．

（2

）已知點E（4，0），F(xiàn)（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．

①若E，F(xiàn)，M三點的“矩面積”為8，求m的取值范圍；

②直接寫出E，F(xiàn)，N三點的“矩面積”的最小值及對應n的取值范圍．3、如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（-4，0），B（2，0），在y軸上有一點E（0，-2），連接AE．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）點D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動點．

①求△ADE面積最大值并寫出此時點D的坐標；

②若tan∠AED=，求此時點D坐標；

（3）連接AC，點P是線段CA上的動點，連接OP，把線段PO繞著點P順時針旋轉90°至PQ，點Q是點O的對應點．當動點P從點C運動到點A，則動點Q所經(jīng)過的路徑長等于（直接寫出答案）4．（2020·浙江杭州·九年級專題練習）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，頂點坐標為．則與的面積之比是（

）．A． B． C． D．5、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．（1）求A、B、C三點的坐標;（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積;

（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似．若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由．6、如圖,在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點，拋物線的頂點為D．（1）求b,c的值；（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外)，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下：①求以點Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由.7、如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（－2，0），連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉120°，得到線段OB.（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.

8、如圖2，拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0)，交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，連結PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.圖圖-2xCOyABD119、如圖，拋物線與x軸交于A(1,0),B(-3，0)兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交