初中數(shù)學(xué)八年級下冊 利用勾股定理解決平面幾何問題-“黃岡杯”一等獎(jiǎng)

利用勾股定理解決平面幾何問題

在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，有時(shí)會遇到多種情況，稍不留神就會丟解或造成錯(cuò)解。利用分類討論思想對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解。為幫助同學(xué)們解決這類問題，現(xiàn)將勾股定理中需用到分類的問題為同學(xué)們分類淺析。一、課堂小測：1、勾股定理內(nèi)容：在直角三角形中，如果

，那么_________

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=b=5，則c=_____ （2）若a=1，c=2，則b=_____（3）若a=2，∠A=30°，則b=______問題引入：如果一個(gè)長方形，有4個(gè)角，剪掉一個(gè)角，剩下的圖形有多少個(gè)角？答案：____________________二、例題分析（1）按直角邊、斜邊分類例1、如果三條線段的長分別為3、x、5，這三條線段恰好能組成一個(gè)直角三角形，則x等于______解：（1）當(dāng)以3、x為直角邊，5為斜邊時(shí)，則有：52＝32＋x2，x＝4；（2）當(dāng)以3、5均為直角邊時(shí)，則有：32＋52＝x2，x＝,因此，x為4或練習(xí)：1、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4，則第三邊長是（）A、5B、25C、D、5或2、一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別為3和4，則第三邊長是（）A、5B、25C、D、5或（2）按等腰三角形的腰與底分類例2、在等腰三角形ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，則△ABC的面積為________解：（1）當(dāng)5cm為腰，6cm為底時(shí)，則AB＝AC＝5cm，過A點(diǎn)作AD⊥BC，所以CD＝3，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，所以AD2＝52－32，AD＝4，因此S△ABC＝6×4/2＝12cm2．（2）當(dāng)6cm為腰，5cm為底時(shí)，則BC＝AC＝6cm，過C點(diǎn)作CD⊥AB于點(diǎn)D，所以AD＝5/2，在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2，所以，CD＝，因此：cm2

所以：△ABC的面積為12cm2或cm2練習(xí)3、已知△ABC是等腰三角形，其中一邊長是10，另一邊長是8，則底邊上的高為（）A、B、C、或D、以上都不是（3）按高的位置分類例3、在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長為________解:(1)當(dāng)△ABC的高在三角形內(nèi)時(shí)，如圖3．由題意可知，BD2＝AB2－AD2＝152－122=81，BD＝9，CD2＝AC2－AD2＝132－122=25，CD＝5，所以BC＝9＋5＝14，因此△ABC的周長為9＋5＋15＋13＝42．（2）當(dāng)△ABC的高在三角形外時(shí)，如圖4．由題意可知，BD2＝AB2－AD2＝152－122=81，BD＝9，CD2＝AC2－AD2＝132－122=25，CD＝5，所以BC＝9－5＝4，因此△ABC的周長為4＋15＋13＝32．所以：△ABC的周長為32或42練習(xí)4、等腰三角形的腰長為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長的正方形的面積為（）

A、40B、80C、40或360D、80或360三、鞏固練習(xí)：1、若一直角三角形的兩邊長為6，8，則第三邊長為（）

A、10B、14C、

D、10或2、若直角三角形的三邊長分別為3，6，，則的值為（）

A、45B、27C、18D、45或273、若一直角三角形的三邊長分別為2，3，，則以為邊長的正方形的面積是()A、13B、5C、13或5D、無法確定4、（黃岡）在三角形ABC中，AB=13，AC=20，BC邊上的高為12，則的面積為（