初中數(shù)學(xué)九年級上冊 正多邊形的有關(guān)計(jì)算-“江南聯(lián)賽”一等獎

正多邊形的有關(guān)計(jì)算活動一復(fù)習(xí)引入1.什么叫正多邊形？各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.正多邊形是軸對稱圖形，不一定是中心對稱圖形，邊數(shù)是奇數(shù)邊的如正三角形、正五邊形就不是中心對稱圖形.2.從身邊舉出兩三個正多邊形的實(shí)例，正多邊形是軸對稱圖形、中心對稱圖形嗎？對稱中心是哪一點(diǎn)？活動二實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)1.觀察實(shí)驗(yàn)：如下圖，正六邊形ABCDEF，連接AD，CF交于一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，那么肯定B，C，D，E，F(xiàn)都在這個圓上.結(jié)論：正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓n等分，就可以作出這個圓的內(nèi)接正n邊形，圓就是正n邊形的外接圓.活動二實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)

活動二實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)證明：∵AB=BC=CD=DE=EF=AF，︵︵︵︵︵︵∴AB=BC=CD=DE=EF=AF.∴∠BAF=∠ABC.

同理∠ABC=2CD的度數(shù).︵︵︵︵

=2BC的度數(shù).︵︵︵又∵六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)都在⊙O上,∴六邊形ABCDEF是⊙O內(nèi)接正六邊形，

⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓.同理可證：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠AFE=∠BAF.活動二實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)活動二實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)3.正多邊形的有關(guān)概念:(1)正多邊形外接圓的圓心叫做正多邊形的中心；(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角；(4)中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.活動二實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)4.正多邊形的性質(zhì)：正多邊形的一個內(nèi)角等于；中心角：正多邊形的中心角等于外角的度數(shù).活動二實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)5.正多邊形的畫法：以畫正六邊形為例.方法一：首先畫一個圓，然后對圓六等分，順次連接各點(diǎn)得正六邊形；方法二：正六邊形的邊長和圓的半徑相等，可以在圓上順次截取等于半徑的弦.

思考：怎么畫正三角形？正十二邊形？活動三應(yīng)用深化

例1.如圖，有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.

活動三應(yīng)用深化∵六邊形ABCDEF為正六邊形，解：連接OB，OC.過O作OP⊥BC，垂足為P.∴中心角等于60°，△OBC為等邊三角形.∴正六邊形的邊長等于它的半徑，周長l=6×4=24(m).

亭子地基的面積：S=活動四鞏固練習(xí)1.矩形是正多邊形嗎?菱形呢?正方形呢?為什么?矩形不是正多邊形，因?yàn)樗母鬟叢灰欢ㄏ嗟?菱形不是正多邊形，因?yàn)樗母鹘遣灰欢ㄏ嗟?正方形是正多邊形，因?yàn)樗母鬟呄嗟龋鹘且蚕嗟?活動四鞏固練習(xí)2.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎?各角

相等的圓內(nèi)接多邊形呢?如果是，說明為什么；

如果不是，舉出反例.都是正多邊形，理由：因?yàn)檫叺?，則對的弧等，那么圓周角（各角）等；反之，如果各角等，則弧等，那么弦（各邊）等，所以是正多邊形.活動四鞏固練習(xí)3.分別求半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距和面積.正三角形ABC:邊長：AB=R;邊心距：OD=R;面積：S=R2

.正方形ABCD:邊長：AB=R;邊心距：OE=R;面積：S=R2.活動五師生小結(jié)

1.

概念：(1)正多邊形的中心：正多邊形外接圓的圓心；(2)正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑；(3)