2023-2024學(xué)年陜西省西安重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年陜西省西安重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線x29?yA.3 B.3 C.4 D.2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnA.350 B.700 C.1752 D.3.下列命題：①y=ln2，則y′=12；②y=cosA.0 B.1 C.2 D.34.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A.25 B.35 C.235.已知點(diǎn)A(2,2)，B(?2,?1)，若點(diǎn)A到直線l的距離為1A.1 B.2 C.3 D.46.如圖是函數(shù)f(x)=x3A.23

B.43

C.83

7.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y=f′A.f(1)<e?f(0)，f(2023)<e8.定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)，若對任意兩個不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>A.①② B.③④ C.②③二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對于直線l1：ax+2y+3aA.直線l2一定過定點(diǎn)(?23,1) B.若l1⊥l2，則a=210.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BCA.直線DC1與BC所成角為90°

B.三棱錐D?BCC1的體積為13

C.二面角

11.函數(shù)f(x)=x2exA.?3 B.?2 C.?112.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，SA.若{an}是等差數(shù)列，則S12=48S4 B.若{an}是等比數(shù)列，則S12=273三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.直線y=2x+1的一個法向量n14.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF與拋物線交于另一點(diǎn)A，設(shè)直線MP，MA的斜率分別為k1，k215.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=6，且an+16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為4cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O，E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點(diǎn)，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)的距離的比是2．

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(218.(本小題12分)

已知曲線f(x)=x3?x，

求(1)曲線在點(diǎn)(?1,19.(本小題12分)

如圖，BC是⊙O的直徑，BC=2，點(diǎn)A是BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作PA垂直⊙O所在的平面，且PA=1．

(1)當(dāng)三棱錐O?PAC體積最大時(shí)，求直線20.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，橢圓的一個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)已知直線y=k(x?1)(k>0)與橢圓C21.(本小題12分)

各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列{an}滿足a2=?2，a7=4，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．

(1)22.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=a?lnxx?2x2，其中a>0．

(1答案和解析1.【答案】C

【解析】解：雙曲線x29?y216=1的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(5,0)，一條漸近線為y=43x，2.【答案】D

【解析】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a13=7，

∴S25=252(a3.【答案】B

【解析】解：①y=ln2，

則y′=0，故①錯誤；

②y=cosx，則y′=?sinx，故②錯誤；

③y4.【答案】B

【解析】解：由題意橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)P在E上，M為AF的中點(diǎn)，PA⊥PF，且|PM|=b，如圖：

而a+c=2b，(a+c)5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，以A為圓心，1為半徑作圓A，以B為圓心，4為半徑作圓B，

點(diǎn)A(2,2)，B(?2,?1)，則|AB|=16+9=5，則圓A與圓B外切，兩圓有3條公切線，

則滿足條件的直線有6.【答案】C

【解析】解：由圖象知f(x)=0的根為0，1，2，∴d=0．

∴f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c)=0．

∴x2+bx+c=07.【答案】B

【解析】不妨設(shè)g(x)=f(x)ex，函數(shù)定義域?yàn)镽，

可得g′(x)=f′(x)ex?f(x)ex(ex)2=f′(x)?f(x)ex，

8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，若函數(shù)為“H函數(shù)”，則對任意兩個不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，

變形可得：(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]>0，

則函數(shù)f(x)為R上是增函數(shù)；

反之，若函數(shù)f(x)為R上是增函數(shù)，必有(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]>0，則函數(shù)為“H函數(shù)”；

由此依次分析所給的4個函數(shù)：9.【答案】AB【解析】解：對于A，直線l2：3x+(a?1)y+3?a=0，即3x?y+3+a(y?1)=0，

令3x?y+3=0y?1=0，解得x=?23y=1，

故直線l2一定過定點(diǎn)(?23,1)，故A正確，

對于B，l1⊥l2，

則10.【答案】AB【解析】解：對于A，在矩形AA1C1C中，因?yàn)锳C=1，AA1=2，

所以DC1⊥DC，又因?yàn)镈C1⊥BD，BD∩DC=D，

所以DC1⊥平面BCD，于是DC1⊥BC，

所以直線DC1與BC所成角為90°，所以A對；

對于B，因?yàn)镈C1⊥BD，再由A知CA、CB、CC1兩兩垂直，

三棱錐D?BCC1與三棱錐B?DCC1的體積相同，

其大小為13?12?2?1?1=13，所以B對；

對于C，取A1B1中點(diǎn)M，連接C1M、11.【答案】AC【解析】解：f′(x)=(x2+2x)ex，

當(dāng)x>0或x<?2時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)?2<x<0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=?2時(shí)，函數(shù)取得極大值，x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值，

若函數(shù)f(x12.【答案】AB【解析】解：根據(jù)題意，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則S4、S8?S4、S12?S8也成等差數(shù)列，

則有2(S8?S4)=S4+(S12?S8)，又由S8=17S4，

則有2×16S4=S4+(S12?17S4)，變形可得S12=48S4，故A正確，

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由S8=17S13.【答案】(?2,【解析】解：直線y=2x+1的方向向量為a=(1,2)，而n??a=0，14.【答案】0

【解析】解：設(shè)過F的直線x=my+1交拋物線于P(x1,y1)，A(x2,y2)，M(?1,0)，

聯(lián)立方程組x=my+1y2=4x，得：y15.【答案】2016

【解析】【分析】

本題考查了構(gòu)造方法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”方法、“裂項(xiàng)求和”方法、取整數(shù)函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

構(gòu)造bn=an+1?an，則b1=a2?a1=4，由題意可得(an+2?an+1)?(an+1?an)=bn+1?bn=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：bn=an+1?an=2n+2，再利用“累加求和”方法可得an?a1=16.【答案】165【解析】解：如圖所示，連結(jié)OG交CD于點(diǎn)M，則OG⊥DC，且點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，

連接OC，△OCM為直角三角形，

設(shè)正方形的邊長為2x，由圓的性質(zhì)可知OM=x，

圓的半徑為4，則MG=4?x，

如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，G，H重合于點(diǎn)P，

則PM=MG=4?x>x，

則0<x<2，高PO=(4?x)2?x2=16?817.【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y)，

∵動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)的距離的比是2，

∴|PA||PB|=2，即|PA|=2|PB|，

則(x?1)2+y2=2(x?4)2+y2，

化簡得x2+y2?10x+21=0，

所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x?5)2+y2=4；

(2)由(1)【解析】(1)直接利用條件求出點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓的定義即可求解；

(2)直線18.【答案】解：由f(x)=x3?x，得f′(x)=3x2?1．

(1)f′(?1)=2，則曲線在點(diǎn)(?1,0)處的切線方程為y=2(x+1)，即2x?y+2=0；

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03?x0)，則f′(x【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′(?1)，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；

(219.【答案】解：(1)因?yàn)锽C是⊙O的直徑，BC=2，所以O(shè)A=1．

VO?PAC=VP?OAC=13?S△OAC?PA=13?12?OA?OC?sin∠AOC?PA=16sin∠AOC．

當(dāng)∠AOC=π2時(shí)，VO?PAC有最大值，此時(shí)點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)．

因?yàn)镻A垂直于⊙O所在平面，所以PA⊥AB．

因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以AC⊥AB．

又因?yàn)镻A，AC?平面PAC，AC∩PA=A，所以AB⊥平面PAC．

如圖①，取AC的中點(diǎn)E，連接OE，PE，則OE/?/AB，所以O(shè)E⊥平面PAC，

所以∠OPE為直線PO與平面PAC所成的角，

此時(shí)AB=2，所以O(shè)E=12AB=22．

又因?yàn)樵赗t△PAO中，PA=1，OA=1，所以PO=2，

所以sin∠OPE=OEPO=12，故∠OPE【解析】(1)當(dāng)O?PAC體積最大時(shí)，由體積公式確定此時(shí)點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，再由幾何方法確定OE⊥平面PAC，所以∠OPE20.【答案】解：(Ⅰ)∵e=ca=22，

∴a2=2c2，代入a2=b2+c2

得b=c．

又橢圓的一個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，

即12b×2c=2，即bc=2，以上各式聯(lián)立解得a2=4，b2=2，

則橢圓方程為x24+y22=1．

(Ⅱ)(ⅰ)直線y=k(x?1)與x軸交點(diǎn)為M(1,0)，與y軸交點(diǎn)為N(0,?k)，

聯(lián)立x【解析】(Ⅰ)根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出a2=4，b2=2，則橢圓方程可得，

(Ⅱ)21.【答案】解：(1)設(shè)前6項(xiàng)的公差為d，

所以a3=a1+d=?2，a5=a1+4d，a6=a1+5d，

因?yàn)閺牡?項(xiàng)起依次成等比數(shù)列，

所以4(a1+4d)=(a1+5d)2，a1+d=?2，

化簡可得(4d?3)(d?1)=0，所以d=1或34，

又因?yàn)閧an}各項(xiàng)均為整數(shù)，所以d為整數(shù)，所以d=1，

當(dāng)1≤n≤4，an=a2+(n?2)d=n?4，

當(dāng)n≥5時(shí)，【解析】(1)由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

(222.【答案】解