專題4.1指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)（十二個(gè)重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題4.1指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1根式1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.（1）當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),這時(shí),的次方根用符號(hào)表示.（2）當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),記為,負(fù)數(shù)沒有偶次方根.（3）0的任何次方根都是0,記作.式子叫做根式,其中,且叫做根指數(shù),叫做被開方數(shù).2.根式的性質(zhì)根據(jù)次方根的意義,可以得到:（1）.（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí),;當(dāng)是偶數(shù)時(shí),溫馨提示:中當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù)時(shí),,而中.知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)冪1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義溫馨提示：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可以理解為個(gè)相乘．（2）對(duì)于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，規(guī)定其底數(shù)是正數(shù)．2．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）; （2）;（3）.3．無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪(是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．溫馨提示：（1）對(duì)于無(wú)理指數(shù)冪，只需了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）是正無(wú)理數(shù))．（3）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪后，冪的指數(shù)由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．重難點(diǎn)1根式的化簡(jiǎn)與求值1．化簡(jiǎn)：（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】.故選：A.2．（多選）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】將分式方程化為整式方程，結(jié)合解一元二次不等式求得x的范圍，根據(jù)根式的化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】由題意知，即，即，故或，則，故選：AC3．化簡(jiǎn)（其中）.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.故答案為：.4．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】，，解得.故答案為：.5．若，求的取值范圍．【答案】【分析】化簡(jiǎn)方程左邊根式，解絕對(duì)值方程，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，∵，由可知，∴．故a的取值范圍為．6．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列根式（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則，求解各小題，即得答案.【詳解】（1）；（2）；（3）．重難點(diǎn)2指數(shù)冪的化簡(jiǎn)7．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】.故選：A.8．已知，則．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)求值即可.【詳解】，因?yàn)?，所以原式故答案為?．計(jì)算與化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【答案】110【分析】利用指數(shù)冪運(yùn)算即可得出結(jié)論.【詳解】（1）原式．（2）原式．故答案為：110；10．化簡(jiǎn)或計(jì)算下列各式：(1)(2)【答案】(1)(2)18【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）.11．計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用根式與指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，計(jì)算化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】（1）原式（2）由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化運(yùn)算可得，12．計(jì)算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)100(3)3(4)【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則，化簡(jiǎn)計(jì)算各式的值.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.重難點(diǎn)3條件求值問題13．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則直接求解即可.【詳解】，，.故選：D.14．已知，則等于（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】A【分析】把已知等式兩邊平方即可求得答案．【詳解】由，兩邊平方得：，即，．故選:A．15．已知，則的最小值為【答案】32【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.16．已知，且，求的值．【答案】【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)求值【詳解】已知，有，，，，則.17．已知，求的值．【答案】9【分析】對(duì)平方后求得，再平方后求得，代入即可求得結(jié)果.【詳解】由，故可得，即；由，故可得，即，故.18．已知且，，，則，．【答案】/【分析】應(yīng)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及根式和指數(shù)式的互化即可.【詳解】依題：，故答案為：；知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)闇剀疤崾荆褐笖?shù)函數(shù)解析式的3個(gè)特征：（1）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．（2）自變量的位置在指數(shù)上，且的系數(shù)是1.（3）的系數(shù)是1.知識(shí)點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖形及性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域定點(diǎn)過定點(diǎn)單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的增函數(shù)溫馨提示：（1）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的．（2）指數(shù)函數(shù)且)的圖象恒過點(diǎn)，只要確定了這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可快速地畫出指數(shù)函數(shù)且)的大致圖象．2．圖象位置關(guān)系底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低．（1）在軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，“底大圖高”．作出直線，與圖象的交點(diǎn)從上至下即為底數(shù)從大到小的排列順序．（2）在軸左側(cè)，圖象正好相反．如圖所示的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的大小關(guān)系為.重難點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)的辨析與求值19．給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義，對(duì)所給函數(shù)逐一判斷即可.【詳解】①中，的系數(shù)是－1，故①不是指數(shù)函數(shù)；②中，的指數(shù)是x＋1，不是自變量x，故②不是指數(shù)函數(shù)；③中，的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有一項(xiàng)，故③是指數(shù)函數(shù)；④中，的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù)．⑤中，底數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．綜上，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為1，故選：B.20．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由，得，所以.故選：A.21．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，從而，對(duì)，討論，分別代入分段函數(shù)即可求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】∵函數(shù)，，，，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解，即滿足條件的不存在，當(dāng)時(shí)，，解得．∴．故選：A．22．（多選）下列函數(shù)中，不是指數(shù)函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可判斷．【詳解】對(duì)于A，中底數(shù)，指數(shù)是自變量，指數(shù)式的系數(shù)為，所以是指數(shù)函數(shù)，故A不合題意；對(duì)于B，中指數(shù)不是自變量，所以不是指數(shù)函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，中底數(shù)必須滿足且時(shí)，才是指數(shù)函數(shù)，故C符合題意；對(duì)于D，中指數(shù)式的系數(shù)不為1，所以不是指數(shù)函數(shù)，故D符合題意，故選：BCD．23．已知函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故答案為：重難點(diǎn)5求指數(shù)函數(shù)的解析式24．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，解得.故選：C.25．（多選）已知指數(shù)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出的解析式，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)（且），于是，即，因此，函數(shù)，A正確，B錯(cuò)誤；顯然，C正確；又，因此D正確.故選：ACD26．如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，，則.故選：D27．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為．【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為指數(shù)函數(shù)，則，解得.故答案為：.28．函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則.【答案】【分析】代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，從而求出函數(shù)解析式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以.故答案為：29．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：①；②.則滿足條件的的一個(gè)解析式為.【答案】【分析】利用抽象函數(shù)關(guān)系式，可知常見函數(shù)類型中的指數(shù)函數(shù)符合題意.【詳解】由，可知符合該性質(zhì)的函數(shù)可以為指數(shù)函數(shù)（且），又因?yàn)?，解得，所以滿足條件的的一個(gè)解析式為.故答案為：.重難點(diǎn)6求指數(shù)（型）函數(shù)的定點(diǎn)問題30．已知函數(shù)（，）恒過定點(diǎn)，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】∵，∴恒過定點(diǎn)，∴，，∴，其圖象不經(jīng)過第四象限，故選：D.31．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是冪函數(shù)且在上單調(diào)遞增，求出的值，代入中，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)，求圖象過的定點(diǎn).【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即的圖象過定點(diǎn)．故選：A32．函數(shù)恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到過定點(diǎn)【詳解】指數(shù)函數(shù)（且）過定點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)的值恒為2，即過定點(diǎn)，故選：B33．已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的曲線，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.【詳解】曲線且中，由，得，因此該曲線過定點(diǎn)，即，于是，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16.故選：C34．函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)是.【答案】【分析】先求出時(shí)，為定值，從而求出函數(shù)圖象所過定點(diǎn).【詳解】當(dāng)，即時(shí)，為定值，此時(shí)，故（且）的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：35．若函數(shù)（且的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則.【答案】16【分析】先求出函數(shù)所過定點(diǎn)坐標(biāo)，再將其代入冪函數(shù)中，求出冪函數(shù)解析式，得到答案.【詳解】恒過點(diǎn)，故，將其代入中，，解得，故，所以.故答案為：16重難點(diǎn)7指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用36．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)和特值法對(duì)不符合題意的選項(xiàng)加以排除，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，定義域?yàn)椋灰驗(yàn)?，所以，故，所以為奇函?shù)，排除B，當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，、均趨向于正無(wú)窮大，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除D，由，，則，排除C.故選：A.37．已知指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)討論的關(guān)系，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)得其圖象即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：，若均為正數(shù)，則，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得此時(shí)函數(shù)圖象過一、二、三象限，即C正確；若均為負(fù)數(shù)，則，此時(shí)函數(shù)過二、三、四象限，由選項(xiàng)A、D可知異號(hào)，不符合題意排除，選項(xiàng)B可知圖象過原點(diǎn)則也不符合題意，排除.故選：C38．函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．39．函數(shù)與的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用排除法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象特征分析判斷即可.【詳解】顯然．由，知①是函數(shù)的圖象，②是函數(shù)的圖象．由函數(shù)的圖象可知，排除A，B．由②知，函數(shù)在時(shí)有意義，排除C，故選：D．40．（多選）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論．【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)C.故選：AC.41．（多選）已知，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】通過特值法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，通過的取值，判斷函數(shù)的圖象的形狀，推出結(jié)果即可.【詳解】由于當(dāng)時(shí)，，排除B，C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的圖形可能為A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的的圖形可能為D.故選：AD.42．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，，.已知函數(shù)的圖象如圖所示，求a，b的取值范圍.

【答案】a，b的取值范圍分別為【分析】從圖象獲取關(guān)鍵信息即可求解.【詳解】由題圖可知函數(shù)單調(diào)遞增，即，所以的取值范圍為；由圖可知當(dāng)時(shí)，有，解得，所以的取值范圍為.重難點(diǎn)8求指數(shù)（型）函數(shù)的定義域問題43．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分母不等于，解出即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：44．函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由偶次方根的被開方數(shù)必須大于等于零，建立不等式可解.【詳解】由題意得所以，即，又指數(shù)函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，所以，解得.故選：C.45．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)解析式，列出使解析式有意義條件，解出x的取值范圍.【詳解】由題意可得，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.46．函數(shù)的定義域是．【答案】.【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和分式的分母不為零，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?47．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)?2)定義域?yàn)?；值域?yàn)椤痉治觥浚?）根據(jù)二次根式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）要使函數(shù)式有意義，則，即．因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以．故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，所以，即函?shù)的值域?yàn)?；?）定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，又，所以函?shù)的值域?yàn)椋?8．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）利用函數(shù)有意義列出不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)求解即得.【詳解】（1）函數(shù)有意義，則，所以的定義域?yàn)?（2）函數(shù)有意義，則，解得，所以的定義域?yàn)?（3）函數(shù)有意義，則，即，解得，所以的定義域?yàn)?（4）函數(shù)有意義，則，即，解得，所以的定義域?yàn)?重難點(diǎn)9指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性問題49．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于,函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，不具有奇偶性，故錯(cuò)誤；對(duì)于,函數(shù)是二次函數(shù)，定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于,函數(shù)為冪函數(shù)型函數(shù)，定義域?yàn)?，且，故函?shù)為奇函數(shù)，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)易知，函數(shù)為上的減函數(shù)；故正確；對(duì)于,函數(shù)為反比例函數(shù)，定義域?yàn)椋字獫M足，為奇函數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性，故錯(cuò)誤，故選：50．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由題意有，若是上的減函數(shù)，故只需當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而列出不等式組，解不等式組即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，且最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不符題意，又注意到是上的減函數(shù)，故只能拋物線的開口向下即，其對(duì)稱軸為，則由題意有，解得．故選：A.51．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷的區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍.【詳解】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增，又在上單調(diào)遞減，故，則.故答案為：52．已知奇函數(shù)在R上為增函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】為奇函數(shù)，則，解出，驗(yàn)證奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】解：因?yàn)樵赗上為奇函數(shù)，則，即，解得或.時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)镽，由函數(shù)和都在R上為增函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，且，滿足函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，，在R上為減函數(shù)，不合題意.所以.故選：A.53．設(shè)，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】變形得到和，構(gòu)造，由函數(shù)單調(diào)性得到，求出答案.【詳解】由題意得，方程兩邊同除以得，，同理同時(shí)除以得，，即，設(shè)，則，，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故，所以.故選：B54．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】C【分析】變換，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)和的單調(diào)性得到函數(shù)單調(diào)性，得到答案.【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?，函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，，函數(shù)單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故函數(shù)在上是減函數(shù).故選：C.55．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則是上的增函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：設(shè)，對(duì)稱軸為，∵是上的增函數(shù)，∴要使在區(qū)間單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A．重難點(diǎn)10指數(shù)冪比較大小及解不等式56．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，即；因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以，即；所以.故選：A.57．已知，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“1”分析判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，可得，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，可得，所以.故選：A.58．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性得到，得到答案.【詳解】因?yàn)?，，故．故選：A．59．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷奇偶性，再根據(jù)單調(diào)性求解不等式.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)．當(dāng)時(shí)，，易知此時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，解得或，故選：C60．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出參數(shù)的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且定義域?yàn)椋?，解得，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，由，即，所以，解得．故選：B61．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，問題轉(zhuǎn)化為，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解即可得解.【詳解】，，，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，解得，所以原不等式的解集為.故選：A.62．已知為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷并用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析；(3)或.【分析】（1）由奇偶性知求參數(shù)，注意驗(yàn)證是否為奇函數(shù)；（2）由函數(shù)單調(diào)性定義求證單調(diào)性即可；（3）根據(jù)（2）所得單調(diào)性有，即可求解集.【詳解】（1）由是奇函數(shù)，則，解得，所以且定義域?yàn)镽，，綜上，.（2）在R內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，而，而，故，即，所以函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由在上遞增，令，解得，令，解得，所以原不等式等價(jià)于，所以，故解集為或.重難點(diǎn)11求指數(shù)（型）函數(shù)的值域問題63．函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出指數(shù)的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】函數(shù)，是由和，復(fù)合而成，因?yàn)閷?duì)稱軸為，開口向上，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，，時(shí)，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以函數(shù)，的值域是.故選：C.64．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】分與兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到方程組，求出答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，無(wú)解，綜上可知.故選：B65．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為.【答案】3【分析】根據(jù)圖象的變換得到函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)圖象求即可.【詳解】

作出函數(shù)的圖象如圖，函數(shù)在上單減，在上為增函數(shù)，又，，，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù).故答案為：3.66．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定義域，值域?yàn)榍?2)定義域?yàn)?，值域?yàn)?3)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?4)定義域?yàn)镽，值域?yàn)椤痉治觥浚?）由得定義域，求出的范圍，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得值域；（2）由被開方數(shù)非負(fù)得定義域，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合二次根式得值域；（3）定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，求出的最小值（取值范圍后，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得值域）；（4）配方得，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】（1）要使函數(shù)式有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)榍?（2）由題意知，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)的值域?yàn)?（3）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)镽.因?yàn)椋?，又，所以函?shù)的值域?yàn)?（4）由題意易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)椋?，所以，故函?shù)的值域?yàn)?67．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)1；(3)0.【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）及題設(shè)知，即可求參數(shù)值；（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)確定參數(shù)值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）令，，由于有最大值3，所以應(yīng)有最小值，因此必有．解得，即有最大值3時(shí)，a為1．（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使的值域?yàn)?，?yīng)使的值域?yàn)镽，因此只能（因?yàn)槿簦瑒t為二次函數(shù)，其值域不可能為R），故a的值為0．68．已知指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)．求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義和單調(diào)性可解；（2）令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解可得.【詳解】（1）是指數(shù)函數(shù)，，解得或，又因?yàn)樵谄涠x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，；（2），，令，，，，的值域?yàn)椋?9．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的值域；(2)若在上最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的解析式，令，設(shè)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求值域；（2）先求出的解析式，令，設(shè)，對(duì)稱軸為，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，可得最小值，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，記，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?（2），令，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，記，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，解得，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，解得或舍去；綜上可得，.重難點(diǎn)12恒成立問題70．已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先利用方程組法求出、的解析式，再判斷的單調(diào)性，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，參變分離求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因?yàn)?，①所以，所以，②①②得，，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以，所以的取值范圍為.故選：B．71．已知函數(shù)(其中是常數(shù))．若當(dāng)時(shí)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】令，將原指數(shù)度等式的問題可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問題進(jìn)行處理.【詳解】，令，由于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，于是問題轉(zhuǎn)化為：時(shí)，恒成立，下只需求時(shí)的最大值.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)遞減，上遞增，而端點(diǎn)和相比距離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，故，于是.故答案為：72．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1