三角函數(shù)公式典型例題大全

高中三角函數(shù)公式大全以及典型例題20XX年07月12日星期日19:27三角函數(shù)公式兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=cot(A+B)=cot(A-B)=倍角公式tan2A=Sin2A=2SinA?CosACos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A=3sinA-4(sinA)3cos3A=4(cosA)3-3cosAtan3a=tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()=tan()==和差化積sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb=2coscoscosa-cosb=-2sinsintana+tanb=積化和差sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]誘導(dǎo)公式sin(-a)=-sinacos(-a)=cosasin(-a)=cosacos(-a)=sinasin(+a)=cosacos(+a)=-sinasin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosatgA=tanA=萬(wàn)能公式sina=cosa=tana=其它公式a?sina+b?cosa=×sin(a+c)[其中tanc=]a?sin(a)-b?cos(a)=×cos(a-c)[其中tan(c)=]1+sin(a)=(sin+cos)21-sin(a)=(sin-cos)2其他非重點(diǎn)三角函數(shù)csc(a)=sec(a)=公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）=sinαcos（2kπ＋α）=cosαtan（2kπ＋α）=tanαcot（2kπ＋α）=cotα公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）=tanαcot（π＋α）=cotα公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六：±α及±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（+α）=cosαcos（+α）=-sinαtan（+α）=-cotαcot（+α）=-tanαsin（-α）=cosαcos（-α）=sinαtan（-α）=cotαcot（-α）=tanαsin（+α）=-cosαcos（+α）=sinαtan（+α）=-cotαcot（+α）=-tanαsin（-α）=-cosαcos（-α）=-sinαtan（-α）=cotαcot（-α）=tanα(以上k∈Z)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}三角函數(shù)

積化和差和差化積公式記不住就自己推，用兩角和差的正余弦：3.三角形中的一些結(jié)論：(不要求記憶)

(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1...........................已知sinα=msin(α+2β),|m|<1,求證tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=msin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ三角函數(shù)典型例題1．設(shè)銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范圍.【解析】:(Ⅰ)由,根據(jù)正弦定理得,所以,由為銳角三角形得.(Ⅱ).2．在中,角A．B．C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC．(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)設(shè)且的最大值是5,求k的值. 【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.(II)=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)設(shè)sinA=t,則t∈.則=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.∵k>1,∴t=1時(shí),取最大值.依題意得,-2+4k+1=5,∴k=.3．在中,角所對(duì)的邊分別為,.I.試判斷△的形狀;II.若△的周長(zhǎng)為16,求面積的最大值.【解析】:I.,所以此三角形為直角三角形.II.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)面積的最大值為.4．在中,a、b、c分別是角A．B．C的對(duì)邊,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求邊AC的長(zhǎng)?【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC邊的長(zhǎng)為5.5．已知在中,,且與是方程的兩個(gè)根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的長(zhǎng).【解析】:(Ⅰ)由所給條件,方程的兩根.∴(Ⅱ)∵,∴.由(Ⅰ)知,,∵為三角形的內(nèi)角,∴∵,為三角形的內(nèi)角,∴,由正弦定理得:∴.6．在中,已知內(nèi)角A．B．C所對(duì)的邊分別為a、b、c,向量,,且?(I)求銳角B的大小;(II)如果,求的面積的最大值?【解析】:(1)2sinB(2cos2EQ\f(B,2)-1)=-EQ\r(3)cos2B2sinBcosB=-EQ\r(3)cos2Btan2B=-EQ\r(3) ∵0<2B<π,∴2B=EQ\f(2π,3),∴銳角B=EQ\f(π,3) (2)由tan2B=-EQ\r(3)B=EQ\f(π,3)或EQ\f(5π,6)①當(dāng)B=EQ\f(π,3)時(shí),已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立) ∵△ABC的面積S△ABC=EQ\f(1,2)acsinB=EQ\f(\r(3),4)ac≤EQ\r(3)∴△ABC的面積最大值為EQ\r(3) ②當(dāng)B=EQ\f(5π,6)時(shí),已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+EQ\r(3)ac≥2ac+EQ\r(3)ac=(2+EQ\r(3))ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=EQ\r(6)-EQ\r(2)時(shí)等號(hào)成立)∴ac≤4(2-EQ\r(3)) ∵△ABC的面積S△ABC=EQ\f(1,2)acsinB=EQ\f(1,4)ac≤2-EQ\r(3)∴△ABC的面積最大值為2-EQ\r(3