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文檔簡介
河北雄安新區(qū)博奧高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”2.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導(dǎo)函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個(gè)正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.4.已知函數(shù),若時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.5.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.6.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線7.已知函數(shù),若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則實(shí)數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.28.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時(shí),(為實(shí)數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.9.已知函數(shù),若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.10.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.12.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3,則正視圖的的值__________.14.已知平面向量、的夾角為,且,則的最大值是_____.15.將底面直徑為4,高為的圓錐形石塊打磨成一個(gè)圓柱,則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________.16.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延長線交BC邊于點(diǎn)F,若,則____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點(diǎn)為1;(2)若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.18.(12分)2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:(i)得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于則只有1次:(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下:贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列.附:,若,則,.19.(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.20.(12分)4月23日是“世界讀書日”,某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求這2人來自同一個(gè)小組的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.22.(10分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:,可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.3、B【解析】
采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A;通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?,其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選A排除;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.4、D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因?yàn)闀r(shí),恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),所以,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、B【解析】
先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于??碱}.6、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)椋?,所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.7、B【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),因?yàn)閒′(x)a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計(jì)算能力.8、A【解析】
先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時(shí),.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9、D【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個(gè)不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面,梯形上下邊長為和,高為,如圖所示,平面,所以底面積為,幾何體的高為,所以其體積為.點(diǎn)睛:在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),要從三個(gè)視圖綜合考慮,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí),一般是以正視圖和俯視圖為主,結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)體積公式求解.14、【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),可得,進(jìn)而可得出,,由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù),利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè),,以、為鄰邊作平行四邊形,則,設(shè),則,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,則,當(dāng)時(shí),取最大值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計(jì)算,將問題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于難題.15、【解析】
由題意欲使圓柱側(cè)面積最大,需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為r,則,將側(cè)面積表示成關(guān)于的函數(shù),再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大,需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為r,則,所以.∴,當(dāng)時(shí),的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.16、【解析】
過點(diǎn)做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【詳解】解:如圖,過點(diǎn)做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,由題意作出是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間有兩解,令通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解:(1)證明:因?yàn)?,?dāng)時(shí),,,所以在區(qū)間遞減;當(dāng)時(shí),,所以,所以在區(qū)間遞增;且,所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為1(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間有兩解,令,則令,則,所以在單調(diào)遞增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,且,又因?yàn)?,所以,方程關(guān)于的方程在有兩個(gè)零點(diǎn),由的圖象可知,,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo),零點(diǎn)存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.18、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和,再利用正態(tài)分布的對(duì)稱性進(jìn)行求解.(2)寫出隨機(jī)變量的所有可能取值,利用互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式,再列表得到其分布列.【詳解】解:(1)從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值為∵由于得分Z服從正態(tài)分布,(2)設(shè)得分不低于分的概率為p,(或由頻率分布直方圖知)法一:X的取值為10,20,30,40;;;;所以X的分布列為X10203040P法二:2次隨機(jī)贈(zèng)送的話費(fèi)及對(duì)應(yīng)概率如下2次話費(fèi)總和203040PX的取值為10,20,30,40;;;;所以X的分布列為X10203040P【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)第(1)問,轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第(2)問,先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所?因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,,所以平?又平面,所以.因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以平?因?yàn)榉謩e為,的中點(diǎn),所以,所以平面(2)設(shè),由(1)得平面.由,,得,.過點(diǎn)作,與的延長線交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,如圖所示,又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因?yàn)闉槠叫兴倪呅危?,所以平?又因?yàn)椋云矫?因?yàn)?,所以平面平?由(1),得平面,所以平面,所以.因?yàn)?,所以平面,所以是與平面所成角.因?yàn)?,,所以平面,平面,因?yàn)椋云矫嫫矫?所以,,解得.在梯形中,易證,分別以,,的正方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,由,及,得,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得m=(3,1,2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得.所以又因?yàn)槎娼鞘氢g角,所以二面角的余弦值是.20、(1)(2)見解析,【解析】
(1)采用分層抽樣的方法甲組抽取4人,乙組抽取3人,丙組抽取2人,丁組抽取3人,從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,基本事件總數(shù)為,這兩人來自同一小組取法共有,由此可求出所求的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人,所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題設(shè)易得,問卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4,3,2,3(人),從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有(種),抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有(種),所以,抽取的兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率為(2)由(1)知,在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中,來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人,所以,抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,因?yàn)樗噪S機(jī)變量的分布列為:012所求的期望為【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識(shí),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.2
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