高考沖刺-應(yīng)用題 2

1.如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)4,B及CQ的中點(diǎn)P處.AB=20km,BC=10km.為

了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與4,8等距的一點(diǎn)。處，建造一個(gè)污水處理廠,

并鋪設(shè)三條排污管道A。，BO,P0.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.

(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

⑴設(shè)NA40=。(rad),將y表示成。的函數(shù)；

(ii)設(shè)。P=x(km),將y表示成X的函數(shù)；

(2)請你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的

污水管道的總長度最短。

(I)①由條件知PQ垂直平分AB,若/BAO=6(rad),則。A=生-

cos6

=又OP=10-lOtan。,

COS。

所以y=OA+08+OP=+-^-+10—lOtan(9,

cos0cos0

20-10sin(9

所求函數(shù)關(guān)系式為y----------+1i0n

cos。

②若0P=x(km),貝|J0Q=10—x,所以O(shè)A=0B=^(10-x)2+102=VA:2-20X+200

所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2j》2-20x+200(04x410)

人.-10cos0cos0-(2O-\OsinO)(-sin10(2sin^-l)

(II)選擇函數(shù)模型①，y=---------------\------△-----L=」一7—^

cos2ecos2e

jjrrr

令y=0得sine=—,因?yàn)?<e<—,所以6=上，

246

當(dāng)看時(shí)，y<Q,y是夕的減函數(shù)；當(dāng)可親部寸，y>0,y是6的增函數(shù)，所以當(dāng)6=專時(shí),

ymin=10+1073?這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊寫回km處。

2.某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m）,如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角/ABE=C,

ZADE=p。

⑴該小組已經(jīng)測得一組a、￡的值，tana=1.24,tan/?=1.20,請據(jù)此算出H的值；

（2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m）,使a與/?之差較大，可

以提高測量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問d為多少時(shí),

最大？

(1)—=tany?=>AD=-^—,同理：AB=-^—,h

BD=

ADtan/?tanatan(3

,,HHhhtana4x1.24...

AD—AB=DB,故Z得F1----------=-----,解得：Hrr=-------------------=----------------=124。

tan夕tanatanptan￡—tana1.24-1.20

因此，算出的電視塔的高度H是124m。

(2)由題設(shè)知d=A6,得tana=旦,tan尸=旦=上一=包二白，

dADDBd

HH-h

〃tana-tan夕_dd_hd_h

1+tana.tan/?1?"H-hd?+H(H-h)+H(H-h)

dT~—d~

d+〃),(當(dāng)且僅當(dāng)d=-h)=J125x⑵=552時(shí),取等號)

故當(dāng)d=556時(shí),tan(a—￡)最大。

因?yàn)?＜夕＜。＜工，則0＜a—夕〈工，所以當(dāng)d=55j?時(shí)，e-6最大。

故所求的d是55行m。

3.請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰

直角三角形，再沿虛線折起，使得A6CO四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、

F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm

(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm?)最大，試問x應(yīng)取何值？

(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值。

工I，虺■“匕〃、坂于岡啾H匕〃以腑K頭用“TIB口匕ZL晴刀I”刀.

解:設(shè)包裝盒的高為Mem),底面邊K為。(cm).由已知得

?=41x,h—=72(30-x),0<1<3{).

41

(I)S=4?/i=8.t(3O-x)=-8(x-l5)2+18(X).

所以當(dāng)x=15時(shí).S取得最大優(yōu)

⑵V=a)=2左(-『+3O.J).I"=6立K(20-x).

illr=O得x=O(含)或x=2O.

當(dāng)(0.20)時(shí).r>0；^xe(2O.3O)Hj.V<0.

所以當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值.也是最大值.

此時(shí)"=).即包裝盒的高與底面邊長的比值為

a221.

4.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).己

知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程)，=依$(1+女2)，心0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮

彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)求炮的最大射程；

(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可

以擊中它？請說明理由.

17.本小題主備盜￡一百百￡春募等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)閱讀能力和解決實(shí)際問題

的能力.滿分14分.

解：(1)令y=0.得由實(shí)際意義和施設(shè)條件知*>0」>°，

故竺=10.當(dāng)且僅當(dāng)&=1時(shí)取等號-

,+iu-L2

k

所以炮的最大射程為10千米?

(2)因?yàn)閍>0,所以

炮彈可擊中目標(biāo)=存在*M.使3.2“斗1+犬"成立

。關(guān)于k的方程a,V-20ai+a,+64=0有正根

=判別式3=(-20a)'-4a'(a,64)N0

c^aW6?

所以當(dāng)a不超過6(千米)時(shí).可擊中目標(biāo).

如圖，實(shí)線部分DE,DF,EF是某風(fēng)景區(qū)設(shè)計(jì)的游客觀光路線平面圖，其中曲線部分EF是以AB為直徑的半

圓上的一段弧，點(diǎn)0為圓心，AABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，其中AB=2千米，

NEOA=NFOB=2x］。<x<?）若游客在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應(yīng)的線段或弧的長度成正比,

且“留戀度”與路線DE,DF的長度的比例系數(shù)為2,與路線EF的長度的比例系數(shù)為1,假定該風(fēng)景區(qū)整體

的“留戀度”y是游客游覽所有路線“留戀度”的和.

（I）試將y表示為x的函數(shù)；

（II）試確定當(dāng)x取何值時(shí)，該風(fēng)景區(qū)整體的“留戀度”最佳？

解：(I)因?yàn)長EOA=LFOB=2x(0<x<^)，所以EF的長為宣-4%連結(jié)0。，則由

OD=OE=OF=1,LFOD=￡EOD=y+2x,............................2分

所以DE-DF=^,11+1-2cos(2x+y)=、/2+2sin2x=^2(sinx+coax),...4分

/.y=4^(3inx+cosz)+K-4X(0<x<^).............................6分

(口)因?yàn)橛伞?4v2(cosx-sinx)-4=0，解得cos(x+：)=卜即工=、

又當(dāng)「（0靖）時(shí),y'〉0,所以此時(shí)）?在ze（0貨）上單調(diào)遞增，...........8分

當(dāng)*e哈，：）時(shí)，F(xiàn)<0,所以此時(shí)）,在xe喳,：）上單調(diào)遞減，...........10分

故當(dāng)w="時(shí)，函數(shù)y有最大值，

即當(dāng)z=微時(shí)，該風(fēng)景區(qū)整體的“留戀度”最佳..............................12分

6.某投資公司計(jì)劃投資A、8兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤y與投資量x成正比例，其

關(guān)系如圖1,8產(chǎn)品的利潤y與投資量x的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖2,(注：利潤與投資量單位：萬

元)

(1)分別將A、8兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式:

(2)該公司已有10萬元資金，并全部投入A、8兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬

元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？'

解(1)設(shè)投資為x萬元，A產(chǎn)品的利潤為/(x)萬元，6產(chǎn)品的利潤為g(x)萬元.

由題意設(shè)/(x)=&x,g(x)-k24x.由圖知/⑴=《，：.乙=(

又g(4)=1.6,.?"=:從而｛)=3心。)—(')\?("0)8分

(2)設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元，則3產(chǎn)品投入10—x萬元，設(shè)企業(yè)利潤為y萬元.

y=f(x)+g(10-x)=—+—VlO-x(0<x<10)

令J10-X=f,則)，=+=—g(f—2)2+y(0<r<V10)

14

當(dāng)，=2時(shí)，Vmax=1=2.8,此時(shí)X=1O—4=615分

答:當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬元，則8產(chǎn)品投入4萬元時(shí)，

7.某地發(fā)生特大地震和海嘯，使當(dāng)?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴?，某部門對水質(zhì)檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈

化水質(zhì)。已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足

^X-+2(0<x<4)

y=時(shí)(外,其中/(x)=?當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化;

-^(x>4)

當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化。

（I）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4,試問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（II）如果投放的藥劑質(zhì)量為m,為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化，試確

定該投放的藥劑質(zhì)量m的值。

x+8(0<x<4)

解(1)當(dāng)m=4時(shí)，y=4/(x)=〈24

(x>4)

—2

當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化

...當(dāng)0<xW4時(shí)，y=x+8>4,得x=4

24

當(dāng)尤>4時(shí)，y=——>4,解得4<x?8

x-2

故自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)5天

（2）為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化

即前4天和后3天的自來水達(dá)到最佳凈化

X

.?.當(dāng)0<xW4時(shí)，4（：+2）<10在0<x?4恒成立，得

16

m>----

“+8在o<x44恒成立，：.2<m<—

403

m<----

x+8

6團(tuán)10

當(dāng)4<x?7時(shí)，44」竺410在4<xW7恒成立，同理得加=>

x-23

即投放的藥劑質(zhì)量ni的值為應(yīng)

3

8.如圖所示，一科學(xué)考察船從港口。出發(fā)，沿北偏東a角的射線OZ方向航行，而在離港口J萬。為正常數(shù)）

海里的北偏東廣角的A處有一個(gè)供給科考船物資的小島，其中tana=；,cos尸=義2.現(xiàn)指揮部需要緊急征

V13

7

調(diào)沿海岸線港口。正東加（機(jī)＞—a）海里的8處的補(bǔ)給船，速往小島4裝運(yùn)物資供給科考船，該船沿84方

3

向全速追趕科考船，井在C處相遇.經(jīng)測算當(dāng)兩船運(yùn)行的航向與海岸線0B圍成的三角形OBC的面積最小時(shí),

這種補(bǔ)給最適宜.

⑴求S關(guān)于，〃的函數(shù)關(guān)系式5（/n）；

⑵應(yīng)征調(diào)〃，為何值處的船只，補(bǔ)給最適宜.

⑴以。為原點(diǎn)，。8所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則直線0Z方程為y=3x.

/__3/2

設(shè)點(diǎn)4(見，乂))，貝IIX。=sin夕=Ji3a?-7==3a,=V13acosP-713a-=la,

V13V13

即A（3a,2a）,又B（m,O）,所以直線A8的方程為y=—&—（x-

3a-m

上面的方程與y=3x聯(lián)立得點(diǎn)C(2am6am)

3m-la3m-7a

arn

:.S(m)=—OB\yc1=-L—(加>2.。)

23m-la3

,7、49a21414、28?2

⑵S(，w)=a+---------+—a>a(2+—a)=----

33

749〃214

當(dāng)且僅當(dāng)加一,。=時(shí)，即加=—〃時(shí)取等號,

37、3

9(/7?--a)

答：S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S（/n）=^0B\yc1=g"]-（加＞g"）

⑵應(yīng)征調(diào)加二二14〃為何值處的船只，補(bǔ)給最適宜.

3

9.如圖，某興趣小組測得菱形養(yǎng)殖區(qū)ABCD的固定投食點(diǎn)4到兩條平行河岸線卜4的距離分別為

4m、8m,河岸線與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)D的距離為1m,1與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)B的距離為2m.

(1)如圖甲，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)A的右側(cè)，若該小組測得/BA￡>=60',請據(jù)此算出養(yǎng)殖區(qū)的面積；

(2)如圖乙，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)A的兩側(cè)，試在該小組未測得NBA。的大小的情況下，估算出養(yǎng)

殖區(qū)的最小面積.

【解】(1)如圖甲，設(shè)4。與4所成夾角為則A8與4所成夾角為60。-a,

3_6也

對菱形ABC。的邊長“算兩次”得知。sin(600-a))解得‘一…手，

5=-sin600=9(1+—^)sin60'=426(m2)

所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積1Sina,\tan-a/；

⑵如圖乙，設(shè)AO與4所成夾角為a,NBA0='?120，180),則AB與4所成夾角為

(18(r-0+a)

3_6.八

---------/sin(7

對菱形A8C。的邊長“算兩次”得“版sin(180-0+a)解得也"2+cos。，

S=(.)-sin0=9(1+——\—).sin8=9(5+4cos6)

所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積kina,\tan-a)\sin?)

S'=9(5+4COS61‘二45COS4+4)=OCOS0=一^

由\sin/\sin26>>得

經(jīng)檢驗(yàn)得,當(dāng)8回一5時(shí),養(yǎng)殖區(qū)的面積黑山=27(0?).

答(1)養(yǎng)殖區(qū)的面積為42Gm:(2)養(yǎng)殖區(qū)的最小面積為27m2.

10.某企業(yè)在第1年初購買價(jià)值為120萬元是設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年

初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年起，每年初M的價(jià)值是上年初價(jià)值的75%.

(1)求第n年初M的價(jià)值a”的表達(dá)式；

(2)設(shè).=<+"2+”.+4,若A“大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新，求須在第幾

n

年初對M更新。

解(I)當(dāng)〃W6時(shí)，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為120,公差為—10的等差數(shù)列.

3

a,=120—10(〃—1)=130—10〃;當(dāng)〃26時(shí)，數(shù)列｛4｝是以4為首項(xiàng)，公比為1為等比數(shù)列，又4=70,所以

氏=70x(；)f

120-10(n-l)=130-10/7,n<6

因此，第〃年初，M的價(jià)值%的表達(dá)式為%=<3

an=70X(；)"-6,〃N7

(H)設(shè)S,表示數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得

當(dāng)時(shí)，Sn=120n-5n(n-1),=120-5(w-1)=125-5/1；

333

S〃=$6+(%+%+…+”,)=57。+7。xjx4x[1—(w)"6]=780—210x(-)n-6

當(dāng)〃27時(shí),3

780-210x(-)"-6

4=----------i―-

n

因?yàn)椋?,｝是遞減數(shù)列，所以｛AJ是遞減數(shù)列，又

33

780-210x(-)8-6780—210x(二)"6

4=---------------=82—>80,A)=---------------=76—<80,

%8648996

所以須在第9年初對M更新.

11.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形,

按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為亍立方米，且假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形

部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c（c>3）千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y

千元.

（1）寫出>關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的，

由題意可知乃廠2/+粵，=與乃（，22廠），即/=則0<rW2.

,804,

容器的建造費(fèi)用為y=2萬〃x3+4萬廠xc=67”--——廣）+4萬廠c,

3r23

即y=160萬一8兀尸+4》r2c,定義域?yàn)閧r|0<r<2}

r

、.160〃_A,C/口20

(2)y=------16〃r+8萬r。,令)'=0,得尸=0

7=2

令r=J2。=2,即c-4.5，

Vc-2

J衛(wèi)22,當(dāng)。<Y2,

(1)當(dāng)3<cW4.5時(shí),y'<o,函數(shù)y為減函數(shù)，當(dāng)「=2時(shí)y有最小值;

Vc-2

20.業(yè)八20

(2)當(dāng)c>4.5時(shí),A,----<2,當(dāng)0<r<3----,y'<0；當(dāng)時(shí)y'>0,

c—-22Vc-2Vc-2

此時(shí)當(dāng)r=時(shí)>有最小值

Vc-2

12.如圖，海岸線MAN,NA=28,現(xiàn)用長為/的攔網(wǎng)圍成一養(yǎng)殖場，其中BeMACeNA.

(1)若BC=/，求養(yǎng)殖場面積最大值；

(2)若8、。為定點(diǎn)，BC<1,在折線M3CN內(nèi)選點(diǎn)。，使8。+。。=/,求四邊形養(yǎng)殖場。8AC的最大

面積.

(1)設(shè)AB=x,AC=y,x>0,y>0.

I2=x2+y2-2xycos20>2xy-2xycos20,

I2I2

*2-2cos204sin20

S=-xysin20<-—―-2sin<9cos0=\

2-24sin2^4sin。

所以，△ABC面積的最大值為ag,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取到.

4sin。

(2)設(shè)43=〃z,AC=〃(〃?，〃為定值).8C=2c(定值)，

由。B+DC=/=2a,a=-^l,知點(diǎn)。在以8、C為焦點(diǎn)的橢圓上，

5MBC=-mnsin2。為定值.

只需\DBC面積最大，需此時(shí)點(diǎn)。到BC的距離最大，即。必為橢圓短軸頂

點(diǎn).b=4『-C。='：一。2,SABCO面積的最大值為—,2c?/?=(:?Jg-c),

因此,四邊形ACOB面積的最大值為,〃??〃?sin20+c-J---c2

2V4

13.由一個(gè)小區(qū)歷年市場行情調(diào)查得知，某一種蔬菜在一年12個(gè)月內(nèi)每月銷售量產(chǎn)⑺（單位：噸）與上市時(shí)間f（單

位：月）的關(guān)系大致如圖（1）所示的折線ABCOE表示，銷售價(jià)格。。）（單位：元/千克）與上市時(shí)間，（單

位:月）的大致關(guān)系如圖（2）所示的拋物線段表示（”為頂點(diǎn)）.

（I）請分別寫出P（f）,。⑺關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？

（II）圖（1）中由四條線段所在亶線圍成的平面區(qū)域?yàn)椤?，?dòng)點(diǎn)P（x,y）在“內(nèi)（包括邊界），求z=x-5y

的最大值；

（III）由（H）,將動(dòng)點(diǎn)P（x,y）所滿足的條件及所求的最大值由加法運(yùn)算類比到乘法運(yùn)算（如l42x-3yW3類

比為他\?3）,試列出P（x,y）所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值.

y

(圖2)

-t+50<r<3,

3<t<6,

解（I）尸⑴一

-z+116<t<9,

t—79<t<\2

。?)=——(r-4)2+6(0<t<12).

16

1

P6。⑴=(?-1)［-77Q-4)29+6］(3<?<6)

16

3、

(尸。>。。))=一一［。-3)2-33］〉0在te(3,6］恒成立,所以函數(shù)在（3,6］上遞增

16

當(dāng)仁6時(shí)，［P（f）Q（f）］max=34.5.；.6月份銷售額最大為34500元.

5<x+y<11

l<x-y<7

A+B^lA=—2

令x—5y=A(x+y)+B(x—y),則，=-

A-B=-5B=3

??z=x—5y=-2(x+y)+3(x-j).由—22V—2(x+y)W-10,3<3(x—y)<21,

；.一194z?ll,貝I」⑵,”<u=ll.

5＜xy＜l\

(HI)類比到乘法有已知＜1＜工＜7，求Z=2的最大值.由2=（孫）A?（'）B

yyyy

A+B=l]A=-21,1,

一<（盯）<<—,1<（xy）3<343

A-B=-5^\B=312125

?1v<343.則⑵〃*3愛43

??—Sz3-------

12125

14.已知某種稀有礦石的價(jià)值》(單位：元)與其重量。(單位：克)的平方成正比，且3克該種礦石的價(jià)值為5400()

兀。

⑴寫出y(單位：元)關(guān)于。(單位：克)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若把?塊該種礦石切割成重量比為1：3的兩塊礦石，求價(jià)值損失的百分率；

⑶把一塊該種礦石切割成兩塊礦石時(shí)，切割的重量比為多少時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大。

|S有價(jià)侑現(xiàn)有價(jià)值

(注：價(jià)值損失的百分率=少1rH.巴風(fēng)X100%:在切割過程中的重量損耗忽略不計(jì))

原有價(jià)值

解⑴依題意設(shè)丁=攵療(。>0),又當(dāng)/=3時(shí)，y=54000,...女=6000,

故y=60004(0〉0)。

⑵設(shè)這塊礦石的重量為?？?，由⑴可知，按重量比為1:3切割后的價(jià)值

為6000(；。尸+6000(：of,價(jià)值損失為6000a2-(6000(^-a)2+6000(|?)2),

6000a2-[6000(-a)2+6000(-a)2]

價(jià)值損失的百分率為---------------J-------4—xlOO%=37.5%。

6000/

⑶解法1：若把一塊該種礦石按重量比為加：〃切割成兩塊，價(jià)值損失的百分率應(yīng)為

-2

+(—^—)2]=2*,又2"〃?----2__=1,當(dāng)且僅當(dāng)加=”時(shí)取等號，即重量比為1:1

m+nm+n(tn+n)(m+n)~(tn+n)2

時(shí)，價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大。

解法2：設(shè)一塊該種礦石切割成兩塊，其重量比為x:l,則價(jià)值損失的百分率為

1-[(—)2+(―)2]=—，又x>0,.?"+122工，

l+x1+xX2+2X+\

故2x—W2xJ1，等號當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)成立。

+2x+12x+2x2

答：⑴函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=6000#(0〉0)；⑵價(jià)值損失的百分率為37.5%；

⑶故當(dāng)重量比為1:1時(shí)，價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大。

15.某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開發(fā)，且要

求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上)，公共設(shè)施邊界為曲線fM=l-ax\a>0)的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的

邊界交于點(diǎn)M、N,交曲線于點(diǎn)P,設(shè)P(f,/(f))

(1)將AOMN(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S表示成f的函數(shù)S(r)；

(2)若在f處，SQ)取得最小值，求此時(shí)a的值及SQ)的最小值.

(1)y'=-2ax,切線的斜率為-2at,二切線，的方程為y-(l-ad)=-2a￡(xT)

1—成~1—點(diǎn)'+2以d_1+aP

令丁=0,得了=------\-t=-----------

2at2at2at

?I17,2

-----.0),令￡=0,得_7=1-成2+2成2=1+成2―耿0,1+或2)

2at

**，八"廿二如皿、11+成2?2、(1+成2)2

..AMON的面積S(￡)=-------(1+8)=--------

22〃Aat

3門+2〃2_1(M+LT)

⑵s⑺=--------------=-----------------

4at~4ar

a>0,z>0,由S'Q)=0,得—1=0,得/=,—

J3a

當(dāng)3a/一1>0,即f〉」=時(shí)，S\t)>0

yJ3a

當(dāng)3a*—1<0,即0<f<-j=時(shí),S'(t)<0

>J3a

1114

已知在f=一處，S⑺取得最小值，故有=-,.-.a=-

2y/3a23

411唱力2

故當(dāng)。時(shí),S?)min=S(,)=

4.113

32

16.某公司為了應(yīng)對金融危機(jī)，決定適當(dāng)進(jìn)行裁員.已知這家公司現(xiàn)有職工2m人（60<m<500,且m為10的整數(shù)倍），

每人每年可創(chuàng)利100千元.據(jù)測算，在經(jīng)營條件不變的前提下，若裁員人數(shù)不超過現(xiàn)有人數(shù)的20%,則每裁員

1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利1千元；若裁員人數(shù)超過現(xiàn)有人數(shù)的20%,則每裁員1人，留崗員工每人

每年就能多創(chuàng)利2千元.為保證公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的75%.為保障被裁員

工的生活，公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費(fèi).

（I）設(shè)公司裁員人數(shù)為x,寫出公司獲得的經(jīng)濟(jì)效益y（元）關(guān)于x的函數(shù)（經(jīng)濟(jì)效益=在職人員創(chuàng)利總額一

被裁員工生活費(fèi)）；

（II）為了獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？

(1)解：設(shè)公司裁員人數(shù)為x,獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y元，

則由題意得當(dāng)0<Jx2ni時(shí)。y-(2/??-x)(100+x)-20x

當(dāng)g加y=(2m-x)(100+2x)-20x

.)

一［x?-2(m-60)xJ+200m,0<x<—m^LxeN①

y=J5,

，7i

-2^x2—2(m-30)xJ+200m,—m<x<—m,x&N②

(2)由①得對稱軸x=m-60>0,

當(dāng)0<〃?—60W100,即604100時(shí)，%=〃?一60時(shí)，丫取最大值弘=機(jī)2+80〃?+3600,當(dāng)100<用<500時(shí),

1m時(shí)，y取最大值%=石〃/+152團(tuán)

由②得對稱軸x=m-30,，/60<m<500,/.m-30>—m

2

.二當(dāng)昨？X得最大值為+140機(jī)

,/當(dāng)6?物<100

%—必=0.5m2+60/W-3600=0.5(加+60)2-5400>0.5x1202-5400=1800>0

當(dāng)?shù)?<加<500

43/43、

y3-y2=—-12m=ml—A/Z-12I>0,即當(dāng)60<敲忒500y3

即當(dāng)公司應(yīng)裁員數(shù)為』"?，即原有人數(shù)的L時(shí)，獲得的經(jīng)濟(jì)效益最大。

24

17.某地有三個(gè)村莊，分別位于等腰直角三角形｛比1的三個(gè)頂點(diǎn)處，已知4廬4白6km,現(xiàn)計(jì)劃在a1邊的高力。上一

點(diǎn)尸處建造一個(gè)變電站.記尸到三個(gè)村莊的距離之和為y.

(1)設(shè)NP80=a,把y表示成a的函數(shù)關(guān)系式；

(2)變電站建于何處時(shí)，它到三個(gè)小區(qū)的距離之和最小？

【解】(1)在RtA/108中，AB=6,所以。B=。A=3&.所以NA8C=弓

4

由題意知OWaW4...............2分

4

所以點(diǎn)尸到A、B、。的距離之和為

y=2PB+/>/l=2x^1+(372-372tana)=372+3V2x^^................6分

cosacosa

故所求函數(shù)關(guān)系式為)，=3&+3五*之匈包(04。4二)................7分

cosa\4/

(2)由⑴得y'=3我x型號二1.令y'=0即sina=L又04a4?,從而a=巴................9分.當(dāng)0>a<』

cos2a-2466

時(shí)，y'<0：當(dāng)一<a?—時(shí)，y*>0.

?64.

所以當(dāng)a=￥時(shí)，y=4+3夜x2-sm.取得最小值,.............13分

6cosa

此時(shí)OP=3旅tan—=^(km),即點(diǎn)P在0A上距。點(diǎn)后km處.

6

【答】變電站建于距。點(diǎn)而km處時(shí)，它到三個(gè)小區(qū)的距離之和最小.15分

18.某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長為左米的圓.在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的

支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連.經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為弘元/根，且當(dāng)兩相鄰的

座位之間的圓弧長為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為(1024也+20"+2上元。假

100

設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為y元。(1)

試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域：

(2)當(dāng)女=100米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？

解：(1)設(shè)摩天輪上總共有〃個(gè)座位，則犬=人即〃=&

nx

kM(1024?+20)X',,2(1010244+201

yOK--1-+-2---k--=--k°----—---+-----------

xx100X100)

定義域6分

2x

(2)當(dāng)k=100時(shí)，令y=10()1^^+10244+20

,,、wooir?、wooJ.i

f(x)-----F1024jx,貝n!]f(x)=-----F512--j=

xr7x

—1000+512戶

x1

2

125V25

—,(10分)

6416

2525

當(dāng)XE(0,—)時(shí),fr(x)<0,即/(x)在xw(0,一)上單調(diào)減，

1616

2525

當(dāng)xw(—,50)時(shí)，/(x)>0,即/(x)在工￡(一,50)上單調(diào)增,

1616

兒)山在％=”時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為整=64個(gè)。..........

15分

1625

16

19.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1m的四分之一圓弧，AB、DC分別與圓弧

BC相切于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，EF//AB,GH//CD,且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是Im,

(1)若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P,設(shè)

NCMN=8(rad),試用。表示木棒MN的長度/(。)；

(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，則求木棒長度的最大值。

(1)如圖，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為。，過。點(diǎn)作C0垂線，垂足為點(diǎn)T,跤MN或其延長線與于S,并連接PQ,

再過N點(diǎn)作TQ的垂線，垂足為W.

在R/&VWS中，因?yàn)镹W=2,ZSNW=0,

2

所以NS=——.

cos。

因?yàn)镸N與圓弧尸G切于點(diǎn)尸，所以PQJ.MN,

在RtZ\QPS,因?yàn)镻Q=1,^PQS=0,

所以。S—,QT-QS^2———

cos6cos0

①若S在線段TG匕則TS^QT-QS,

在RfA5TM中，MS=^-=Q7-公

sin。)sin。

QT-QS

因此MN=NS+MS=NS+

sin。

②若S在線段GT的延長線上，則TS=QS—

在RrASTM中，知5=且匚=/二"

sin。>sin。

QS-QT_!QT-QS

因此MN=NS—MS=NS—NS

sin。sin。

s+*=』21

)

sin6sin6cos夕

=2(sine+cos6)T(0<e<3.....................................8分

sin。cos。2

產(chǎn)_i

(2)設(shè)sine+cos6=r(1<，W后)，則sin6cos6=~---，

2

4f—2