浙江省寧波市余姚市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

余姚市2023學(xué)年第一學(xué)期初中期末考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題（每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．熟練掌握的頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．由頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷即可．解：由題意知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A．2.若線段，，則a和b的比例中項(xiàng)線段等于（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查了比例中項(xiàng)．熟練掌握比例中項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例中項(xiàng)的定義求解即可．解：設(shè)比例中項(xiàng)線段為，，依題意得，，即，解得，或（舍去），故選：B．3.任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，發(fā)生可能性最大的事件是（）A.朝上一面的點(diǎn)數(shù)大于3 B.朝上一面的點(diǎn)數(shù)小于3C.朝上一面的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù) D.朝上一面的點(diǎn)數(shù)是3的因數(shù)【答案】A【解析】【分析】本題考查了根據(jù)概率公式計(jì)算概率，計(jì)算出各選項(xiàng)的概率即可求解．解：朝上一面點(diǎn)數(shù)大于的概率為：，朝上一面的點(diǎn)數(shù)小于的概率為：，朝上一面的點(diǎn)數(shù)是的倍數(shù)的概率為：，朝上一面的點(diǎn)數(shù)是的因數(shù)的概率為：，故選：A4.已知點(diǎn)A是外一點(diǎn)，且的半徑為5，則的長(zhǎng)可能為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)到圓心的距離大于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓外是解題的關(guān)鍵．由題意知，，然后判斷作答即可．解：由題意知，，故選：D．5.在中，，，，則邊的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了正弦，勾股定理．熟練掌握是解題的關(guān)鍵．如圖，由題意知，，可求，然后根據(jù)勾股定理求即可．解：如圖，由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故選：B．6.如果正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是，則該正多邊形的一個(gè)外角為，再根據(jù)多邊形的外角之和為，即可求出正多邊形的邊數(shù)．解：正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是，該正多邊形的一個(gè)外角為，多邊形的外角之和為，邊數(shù)，該正多邊形的邊數(shù)是故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是知道多邊形的外角之和為．7.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦 B.直徑所對(duì)的圓周角是直角C.平分弦的直徑垂直于弦 D.垂直平分弦的直線必定經(jīng)過(guò)圓心【答案】C【解析】【分析】本題考查了直徑是圓中最長(zhǎng)弦，直徑所對(duì)的圓周角為直角，垂徑定理等知識(shí)．熟練掌握直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，直徑所對(duì)的圓周角為直角，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，直徑所對(duì)的圓周角為直角，垂徑定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：由題意知，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，正確，故A不符合要求；直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確，故B不符合要求；平分弦的直徑不一定垂直于弦，錯(cuò)誤，故C符合要求；垂直平分弦的直線必定經(jīng)過(guò)圓心，正確，故D不符合要求；故選：C．8.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則m的值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是關(guān)鍵．解：由題可得，解得，故選B．9.如圖，矩形的內(nèi)部有5個(gè)全等的小正方形，小正方形的頂點(diǎn)分別落在邊上，若，則小正方形的邊長(zhǎng)為（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)可得，求出，證得，得出，過(guò)點(diǎn)K作于K，可證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出EG，然后求解即可．解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵5個(gè)小正方形全等，∴，在和中，，∴，∴，過(guò)點(diǎn)K作于K，如下圖所示，則四邊形為矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴小正方形的邊長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在中，點(diǎn)D是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)H是線段上一點(diǎn)，，若已知的面積，則一定能求出（）A.的面積 B.的面積 C.的面積 D.的面積【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，同底等高的三角形面積相等等知識(shí)，相似三角形的判定與性質(zhì)并證得是關(guān)鍵．連接，利用平行線的性質(zhì)可得，由中點(diǎn)性質(zhì)即可得，再利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似得到，從而得；利用平行線間的距離相等及同底等高的三角形面積相等即可求解．解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即已知的面積，則一定能求出的面積，故選：B．二、填空題（每小題4分，共24分）11.若兩個(gè)相似三角形的相似比為，則它們對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．由兩個(gè)相似三角形的相似比為，根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，即可求得答案．解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為，∴它們的周長(zhǎng)比為：．故答案為：．12.技術(shù)變革帶來(lái)產(chǎn)品質(zhì)量的提升．某企業(yè)技術(shù)變革后，抽檢某一產(chǎn)品5000件，欣喜發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品合格的頻率已達(dá)到，若在相同條件下，我們可以用頻率估計(jì)該產(chǎn)品合格的概率約為_(kāi)_____．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】【解析】【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性，據(jù)此即可求解．解：由題意得：該產(chǎn)品合格的概率約為，故答案為：13.把函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減．據(jù)此即可求解．解：由題意得：平移后所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：，故答案為：14.如圖所示的圖形叫弧三角形，又叫萊洛三角形，是機(jī)械學(xué)家萊洛首先進(jìn)行研究的．弧三角形是這樣畫(huà)的：先畫(huà)正三角形，然后分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。粽切蔚倪呴L(zhǎng)為，則弧三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠C=60°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出AB的長(zhǎng)，計(jì)算即可．解：∵△ABC是正三角形，∴∠A=∠B=∠C＝60°，∴的長(zhǎng)=（cm），則弧三角形的周長(zhǎng)=，故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算、等邊三角形的性質(zhì)，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．15.如圖，一段拋物線：，記為，它與x軸交于點(diǎn)O，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到……，如此進(jìn)行下去，得到一條連續(xù)的曲線，若點(diǎn)在這條曲線上，則m的值為_(kāi)_____．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到，圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為∶，，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為∶，，則拋物線∶，于是可推出拋物線：，由于，則有在拋物線上，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算的值即可．∵如圖拋物線：，∴圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為∶，，∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，交軸于點(diǎn)，∴拋物線∶，∴將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，交軸于點(diǎn)，…，如此進(jìn)行下去，∴拋物線：，∵，∴拋物線上，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何變換，正確記憶旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，找到圖形變換的規(guī)律是解題關(guān)鍵．16.如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連結(jié)，，，，，，將沿翻折得到，若點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，由折疊的性質(zhì)可知，，，，證明，則，，可得，，證明，則是等腰三角形，，，，，則，可求，證明，則，即，，可求，根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：設(shè)，由折疊的性質(zhì)可知，，，，∵，，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，，即，∵，，∴，∴是等腰三角形，，，∴，，∴，解得，，∵，∴，∴，即，∴，解得，，∴，故答案為：，．三、解答題（第17、18、19題各6分，第20、21、22各8分，第23題10分，第24題12分，共66分）17.計(jì)算：（1）（2）已知，求【答案】（1）1（2）【解析】【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，比例的基本性質(zhì)：（1）將特殊角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)比例式設(shè)，，代入計(jì)算即可．【小問(wèn)1】解：．【小問(wèn)2】解：設(shè)，，原式．18.在一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)只有顏色不同的球，其中1個(gè)白球，3個(gè)紅球．（1）從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，求摸出的球是白球的概率．（2）從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回，搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求兩次摸出的球顏色相同的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，列舉法求概率．正確的畫(huà)樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．（1）利用概率公式計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖，然后求概率即可．【小問(wèn)1】解：由題意知，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率為．【小問(wèn)2】解：記三個(gè)紅球?yàn)?，，，依題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球顏色相同共有種等可能的結(jié)果，∵，∴兩次摸出的球顏色相同的概率為．19.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖．（1）在圖1中，將繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，作出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的．（其中點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．（2）在圖2中，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺找出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心，標(biāo)出圓心O的位置．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，三角形外接圓的圓心．熟練掌握旋轉(zhuǎn)作圖，三角形外接圓的圓心是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)三角形外接圓的圓心為三角形任意兩邊垂直平分線的交點(diǎn)進(jìn)行作圖即可．【小問(wèn)1】解：如圖（1），就是所求作的三角形．圖（1）【小問(wèn)2】解：如圖（2），作線段的垂直平分線，交點(diǎn)O即為所求．圖（2）20.如圖，在中，是角平分線，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且滿足．（1）證明：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）證出．根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案．【小問(wèn)1】證明：∵是角平分線，∴．∵，∴．【小問(wèn)2】解：∵，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)，．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）若在第一象限的二次函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，計(jì)算求解，進(jìn)而可求，當(dāng)時(shí)，，則．（2）如圖，設(shè)與x軸交于點(diǎn)E，則，，待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式為．令，計(jì)算求解，進(jìn)而可求點(diǎn)坐標(biāo)．【小問(wèn)1】解：當(dāng)時(shí)，，解得，，，，；當(dāng)時(shí)，，．【小問(wèn)2】解：如圖，設(shè)與x軸交于點(diǎn)E，∵，，，∴，∴，即，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．將代入得，，解得，，直線的函數(shù)表達(dá)式為．令，解得，，，當(dāng)時(shí)，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與角度綜合等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與角度綜合是解題的關(guān)鍵．22.如圖，四邊形內(nèi)接于，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，．（1）求證：是等腰三角形．（2）若點(diǎn)C是中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓得內(nèi)接四邊形互補(bǔ)，弧、弦、角、距等關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容是解題關(guān)鍵．（1）由得，根據(jù)，得，據(jù)此即可求證；（2）證得，即可求解．【小問(wèn)1】證明：，，四邊形內(nèi)接于，，，，，，是等腰三角形．【小問(wèn)2】解：點(diǎn)C是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，．23.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在函數(shù)（b，c是常數(shù)）的圖象上．（1）若，，求該函數(shù)的表達(dá)式，（2）若，求證：該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（3）已知點(diǎn)，，在該函數(shù)圖象上，若，，試比較，的大小，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3），見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知待定系數(shù)法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；（2）用去表示，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；（3）根據(jù)及拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)可判斷出拋物線對(duì)稱軸所處位置的范圍，再根據(jù)拋物線開(kāi)口方向及，離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1】解：點(diǎn)，在函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象上，，，，解得，該函數(shù)的表達(dá)式為．【小問(wèn)2】解：，，，，時(shí)，，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【小問(wèn)3】解：，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸在直線的右側(cè)，在直線的左側(cè)，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，而拋物線開(kāi)口向上，．24.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．（3）設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和同弧所對(duì)的圓周角相等，能夠推導(dǎo)出，即可證明三角形相似；（2）連接,由題意可得,在中，利用勾股定理求出再由,得到，