2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題04 不等式與不等關(guān)系（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題04不等式與不等關(guān)系目錄一覽①2023真題展現(xiàn)考向一線性規(guī)劃考向二由函數(shù)的單調(diào)性解不等式②真題考查解讀③近年真題對比考向一線性規(guī)劃考向二基本不等式及其應(yīng)用考向三比較大小④命題規(guī)律解密⑤名校模擬探源⑥易錯易混速記考向一線性規(guī)劃1．（2023·全國乙卷文數(shù)第15題）若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】8【詳解】作出可行域如下圖所示：，移項得，聯(lián)立有，解得，設(shè)，顯然平移直線使其經(jīng)過點，此時截距最小，則最大，代入得，故答案為：8.

2．（2023·全國乙卷理數(shù)第14題）若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】15【詳解】作出可行域，如圖，

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，有最大值，由可得，即,所以.故答案為：15考向二由函數(shù)的單調(diào)性解不等式1．（2023·全國乙卷理數(shù)第16題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【命題意圖】1．二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題（1）會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.（3）會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.2．基本不等式：（1）了解基本不等式的證明過程.（2）會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.【考查要點】線性規(guī)劃這部分內(nèi)容主要是以課程學(xué)習(xí)情境為主，備考以常見的簡單題型為主；基本不等式這部分內(nèi)容在全國卷主要以選做題的形式出現(xiàn)，在2020年的新高考中為多選題，題目難度為中等難度，在備考中以中等難度題型為主訓(xùn)練思維的靈活性，同時注意三個正數(shù)的算數(shù)—幾何平均不等式這一題型；絕對值不等式這部分內(nèi)容在全國卷中通常為選做題，考查的頻率較高，題目的難度為中等難度，在備考中要注意與函數(shù)知識相結(jié)合【得分要點】高頻考點：線性規(guī)劃中頻考點：基本不等式、比較大小低頻考點：利用函數(shù)單調(diào)性解不等式考向一線性規(guī)劃一、單選題1．（2022·全國乙卷理數(shù)第5題）若x，y滿足約束條件則的最大值是（

）A． B．4 C．8 D．12【答案】C【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，可得當(dāng)直線過點時，直線截距最小，z最大，所以.故選：C.2．（2021·全國乙卷文數(shù)第5題）若滿足約束條件則的最小值為（

）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點時,取最小值，此時.故選：C.考向二基本不等式及其應(yīng)用一、單選題1．（2021·全國乙卷文數(shù)第8題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當(dāng)，，D不符合題意．故選：C．二、填空題1．（2022·全國甲卷理數(shù)第16題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．【答案】【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.考向三比較大小一、單選題1．（2022·全國甲卷文數(shù)第12題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.線性規(guī)劃內(nèi)容在近年的全國卷中考查的頻率很高，屬于基礎(chǔ)性內(nèi)容。大多屬于課程學(xué)習(xí)為情境，具體是數(shù)學(xué)運算學(xué)習(xí)情境，應(yīng)用線性規(guī)劃可以求簡單的最值問題。這類題目主要考查考生的運算求解能力，難度較低?；静坏仁郊捌鋺?yīng)用在高考中的考查大部分屬于綜合性題目，屬于課程學(xué)習(xí)情境，具體是數(shù)學(xué)運算學(xué)習(xí)情境。這類題目主要考查邏輯思維能力和運算求解能力。從近年的頻率來看本部分知識考查有減少的趨勢，難度通常為中上等難度?？枷蛞痪€性規(guī)劃一、單選題1．（2023·河南開封三模）若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（

）A．5 B．9 C．10 D．12【答案】C【詳解】由題意畫出可行域，如圖所示，由圖可知在點A處取到最大值，因為此處的直線的截距最大，

聯(lián)立，可得，即，所以的最大值為10.故選:C.2．（2023·陜西咸陽三模）若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（

）A． B．（1,5） C．（2,6） D．【答案】D【詳解】由不等式組，作出可行域，如圖，令，則，作直線，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點B時，z取得最小值，當(dāng)直線經(jīng)過點A時，z取得最大值，又，此時，由，解得，即，此時，所以的取值范圍為.故選：D.3．（2023·四川自貢三模）已知x，y滿足不等式組，則z＝2x＋y的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【詳解】畫出可行域，如圖陰影部分所示，當(dāng)時，畫出初始目標(biāo)函數(shù)表示的直線，平移目標(biāo)函數(shù)后，當(dāng)直線過點時，取得最小值.故選：B4．（2023·河南·校聯(lián)考三模）若x，y滿足約束條件則的最大值為（

）A．2 B．5 C．8 D．10【答案】C【詳解】畫出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得，即，由圖可知當(dāng)直線過點時，z取得最大值，最大值為8．故選：C.5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰三模）已知x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A．1 B． C．-2 D．【答案】D【詳解】

由約束條件作出可行域如圖，表示可行域內(nèi)的點與點連線的斜率，聯(lián)立方程，得交點坐標(biāo)，由圖得，當(dāng)過點時，斜率最小為，所以的最小值為.故選：D.6．（2023·四川遂寧三模）已知實數(shù)，滿足則的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)，聯(lián)立，解得，當(dāng)直線過點時，取得最小值，，故最小值為.故選：A7．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知x，y滿足約束條件則的最大值為（

）A．4 B．9 C．11 D．12【答案】C【詳解】作出可行域，如圖中陰影部分所示，由可得，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，取最大值.由解得所以.故.故選：C.8．（2023·四川綿陽三模）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】作出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，轉(zhuǎn)化為，令，則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域的點，經(jīng)過時，所以，解得，所以.此時取得最小值，即．故選：C.二、填空題9．（2023·陜西安康三模）已知滿足約束條件,則的最大值是.【答案】1【詳解】如圖,可行域為圖中陰影部分,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移至點時,取得最大值1.故答案為:1.10．（2023·四川資陽三模）已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為.【答案】5【詳解】畫出可行域，當(dāng)直線，即經(jīng)過時，z取得最大值，且最大值為.故答案為：511．（2023·江西·江西師大附中三模）已知實數(shù)滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為．【答案】0【詳解】作出可行域如圖，設(shè)，平移可得經(jīng)過點時，取到最大值；由得，所以的最大值為.故答案為：012．（2023·四川成都三模）已知，則的最大值為【答案】2【詳解】不等式組所表示的陰影部分如圖所示，

因為與y軸的交點為，所以當(dāng)直線平移至點時，取得最大值為2.故答案為：2.13．（2023·四川瀘州三模）已知x，y滿足約束條件則的最小值為．【答案】【詳解】作出可行域，如圖，內(nèi)部（含邊界），作直線，在直線即中，為直線的縱截距，因此直線向上平移時，減小，由得，即，平移直線，當(dāng)它過點時，取得最小值．故答案為：．14．（2023·河南駐馬店三模）已知實數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】1【詳解】根據(jù)已知畫出可行域(如圖所示陰影部分)，移動直線，當(dāng)直線經(jīng)過點A時，最小，即最大，對直線，令，則，即，故此時．

故答案為：15．（2023·廣西玉林三模）設(shè)滿足約束條件，則的最小值為．【答案】【詳解】根據(jù)約束條件，作出可行域，如圖：因為表示點與點之間的距離的平方，由圖可知，的最小值是到直線的距離的平方，由點到直線的距離公式得到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：16．（2023·四川成都三模）已知實數(shù)x，y滿足不等式組，且的最大值為，則實數(shù)m的值為.【答案】【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，且點，，，.由題意，知在點C處取得最大值，即，解得.故答案為：考向二基本不等式及其應(yīng)用一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱三模）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18【答案】D【詳解】由題意正實數(shù)滿足，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取得等號，即的最小值是18，故選：D2．（2023·山東淄博三模）若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【詳解】由為偶函數(shù)可得，即，所以．因為，且，，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值4．故選：A3．（2023·四川涼山·三模）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點M是橢圓上任意一點．當(dāng)點M不在x軸上時，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為m，外接圓半徑為n，則的最大值為（

）．A． B． C． D．1【答案】C【詳解】如圖，由得，則，由正弦定理得，即，所以.設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,連接,則到的距離均為.所以，又因為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最大值為.故選：C4．（2023·河北石家莊三模）已知直線經(jīng)過圓的圓心，其中且，則的最小值為（

）A．9 B． C．1 D．【答案】A【詳解】圓的圓心為，依題意，，即，由，知，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值9.故選：A5．（2023·湖南長沙三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，所以，又三點共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：B.6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰三模）已知函數(shù)，若方程有解，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取等號）∴，故選：C.7．（2023·廣東珠海三模）已知一個圓錐的內(nèi)切球的體積為，則該圓錐體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖如圖所示，點為球心，為切點，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，圓錐的底面圓的半徑為，高為，所以，則，易知，所以，則，即，圓錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選:A8．（2023·新疆阿勒泰三模）在中，平分，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】如圖，記，

在中，，則，在中，，則,∵平分，∴，∴，∴，∴∴，∴∴，∴，∴或，當(dāng)時，為等腰三角形，∴，，∴；當(dāng)時，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∵，∴的最小值為.故選：C.二、填空題9．（2023·寧夏銀川三模）若圓（）被直線平分，則的最小值為．【答案】【詳解】由，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，因為圓被直線平分，所以圓心在直線上，因此有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號故答案為：10．（2023·河南新鄉(xiāng)三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為．【答案】6【詳解】由得，當(dāng)時，，，…，，將這個式子累加得，則，時也適合，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：6.11．（2023·安徽阜陽三模）已知A，B分別為圓與圓上的點，O為坐標(biāo)原點，則面積的最大值為.【答案】【詳解】設(shè)M：，則半徑為1；圓N：，則，半徑為2.以O(shè)N為直徑畫圓，延長BO交圓于F，連接FE，NE，NF，如圖:

則，又，所以F為BO的中點，由對稱性可得，，及，所以，故當(dāng)最大時，最大，故轉(zhuǎn)化為在半徑為1的內(nèi)接三角形OEF的面積的最大值問題，對于一個單位圓內(nèi)接三角形的面積，，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即三角形為等邊三角形時等號成立，此時，所以，即三角形OEF的面積的最大值為，所以最大值為.故答案為：12．（2023·上海黃浦三模）關(guān)于x的不等式的解集是，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【詳解】因為關(guān)于x的不等式的解集是，所以在上恒成立，令，易知為偶函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，當(dāng)時，由，得到，當(dāng)時，由，得到，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．（2023·新疆阿勒泰三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．【答案】【詳解】設(shè)，因為為邊上的中線，則，可得，即，整理得，設(shè)，則，可得，整理得，關(guān)于的方程有正根，則有：①當(dāng)，即時，則，解得；②當(dāng)，即時，則，解得或（舍去），符合題意；③當(dāng)，即時，則，解得；綜上所述：，即的取值范圍是.故答案為：14．（2023·新疆烏魯木齊三模）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是．【答案】【詳解】由題意可得將等式變形成,又因為都是正數(shù)，所以,可構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，因此的最小值是.故答案為：15．（2023·湖北武漢三模）已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于、兩點，在處的切線與的準(zhǔn)線交于點，連接．若，則的最小值為．【答案】【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，拋物線的焦點為，如下圖所示：設(shè)點、，接下來證明出拋物線在點處的切線方程為，聯(lián)立可得，可得，所以，拋物線在點處的切線方程為，所以，直線的方程為，若與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，在直線的方程中，令可得，可得，即點，，，所以，，即，因為，當(dāng)時，因為，則，則；當(dāng)軸時，則，直線的方程為，聯(lián)立可得，解得，取點、，此時，直線的方程為，即，在直線的方程中，令可得，即點，所以，，則，則，此時，.綜上所述，，.因為，則，又因為，所以，，所以，，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.16．（2023·河北滄州三模）若存在實數(shù)a，b，使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是.【答案】【詳解】令，得.當(dāng)且時，原命題等價于恒成立，由恒成立可知，又當(dāng)時，，所以不存在a，使得該不等式恒成立.當(dāng)，且時，由，得.設(shè)，令，解得當(dāng)，，此時在上單調(diào)遞增，當(dāng)，此時在上單調(diào)遞減，，得.等價于，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，則，解得，所以b的最大值是.故答案為：.考向三比較大小一、單選題1．（2023·北京密云三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，，所以.故選：B2．（2023·山東聊城三模）設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由單調(diào)遞減可知：.由單調(diào)遞增可知：，所以，即，且.由單調(diào)遞減可知：，所以.故選：D3．（2023·江西九江三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解析：，，，.故選：C.4．（2023·河南·襄城三模）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，，，所以，故.故選：A．5．（2023·北京大興三模）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為在上單調(diào)遞減，所以，，又，即，所以.故選：D6．（2023·江西九江三模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，∴．故選：A．7．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，，，，，，故選：B.8．（2023·山西晉中三模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】只需比較，，的大??；令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增，又，故，即；故選：A.9．（2023·北京通州三模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且，所以，化簡得；因為在上單調(diào)遞減，且，所以，化簡得；因為在上單調(diào)遞增，且，所以，化簡得；綜上，可知.故選：A10．（2023·湖南益陽三模）已知，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，又，，因為，，，所以，則，即，所以.故選：B11．（2023·遼寧沈陽三模）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∵，∴，則．∵，∴，，，則，∵，∴，則，故．故選：C．12．（2023·天津濱三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，又，則.綜上，.故選：A13．（2023·上海普陀三模）已知實數(shù)，，且滿足，則下列關(guān)系式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C