模糊聚類分析的理論、方法與應(yīng)用研究

模糊聚類分析的理論、方法與應(yīng)用研究摘要：在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中常常要按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。對(duì)所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法。由于科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中的分類界限往往不分明，因此采用模糊聚類方法通常比較符合實(shí)際。本文旨在運(yùn)用模糊聚類分析的方法，貫徹其理論，對(duì)具體的例子進(jìn)行分析和研究。關(guān)鍵詞：聚類分析，模糊，應(yīng)用，方法。前言：聚類就是把具有相似性質(zhì)的事物區(qū)分開(kāi)加以分類。聚類分析就是用數(shù)學(xué)方法研究和處理給定對(duì)象的分類，“人以群分，物以類聚”，聚類問(wèn)題是一個(gè)古老的問(wèn)題，是伴隨著人類產(chǎn)生和發(fā)展不斷深化的一個(gè)問(wèn)題。人類要認(rèn)識(shí)世界就必須要區(qū)分不同的事物并認(rèn)識(shí)事物間的，聚類就是把具有相似性質(zhì)的事物區(qū)分開(kāi)加以分類。經(jīng)典分類學(xué)往往是從單因素或有限的幾個(gè)因素出發(fā)，憑經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)對(duì)事物分類。這種分類具有非此即彼的特性，同一事物歸屬且僅歸屬所劃定類別中的一類，這種分類的類別界限是清晰的。隨著著人們認(rèn)識(shí)的深入，發(fā)現(xiàn)這種分類越來(lái)越不適用于具有模糊性的分類間題，如把人按身高分為“高個(gè)子的人’，“矮個(gè)子的人”，“不高不矮的人”。如何判別特定的一個(gè)人的類別便產(chǎn)生了經(jīng)典分類學(xué)解決不了的困難。模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生為上述軟分類提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，由此產(chǎn)生了模糊聚類分析。我們把應(yīng)用普通數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分類的聚類方法稱為普通聚類分析，而把應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析的聚類分析稱為模糊聚類分析。隨著模糊數(shù)學(xué)傳人我國(guó)，模糊聚類分析也傳人了我國(guó)。其應(yīng)用領(lǐng)域已包括了天氣預(yù)報(bào)、氣象分析、模式識(shí)別、生物、醫(yī)學(xué)、化學(xué)等諸多領(lǐng)域。聚類分析和模糊聚類分析聚類分析是將事物根據(jù)一定的特征，并按某種特定要求或規(guī)律分類的方法。由于聚類分析的對(duì)象必定是尚未分類的群體，而且現(xiàn)實(shí)的分類問(wèn)題往往帶有模糊性，對(duì)帶有模糊特征的事物進(jìn)行聚類分析，分類過(guò)程中不是僅僅考慮事物之間有無(wú)關(guān)系，而是考慮事物之間關(guān)系的深淺程度，顯然用模糊數(shù)學(xué)的方法處理更為自然，因此稱為模糊聚類分析。模糊聚類分析的一般步驟1、第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（1）數(shù)據(jù)矩陣設(shè)論域?yàn)楸环诸悓?duì)象，每個(gè)對(duì)象又有個(gè)指標(biāo)表示其性狀，即，于是，得到原始數(shù)據(jù)矩陣為。其中表示第個(gè)分類對(duì)象的第個(gè)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)。（2）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化在實(shí)際問(wèn)題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不同的量綱，為了使不同的量綱也能進(jìn)行比較，通常需要對(duì)數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q。但是，即使這樣，得到的數(shù)據(jù)也不一定在區(qū)間上。因此，這里說(shuō)的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，就是要根據(jù)模糊矩陣的要求，將數(shù)據(jù)壓縮到區(qū)間上。通常有以下幾種變換：①平移·標(biāo)準(zhǔn)差變換其中，。經(jīng)過(guò)變換后，每個(gè)變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，且消除了量綱的影響。但是，再用得到的還不一定在區(qū)間上。②平移·極差變換，顯然有，而且也消除了量綱的影響。③對(duì)數(shù)變換取對(duì)數(shù)以縮小變量間的數(shù)量級(jí)。2、第二步：標(biāo)定（建立模糊相似矩陣）設(shè)論域，，依照傳統(tǒng)聚類方法確定相似系數(shù)，建立模糊相似矩陣，與的相似程度。確定的方法主要借用傳統(tǒng)聚類的相似系數(shù)法、距離法以及其他方法。具體用什么方法，可根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，選取下列公式之一計(jì)算。（1）相似系數(shù)法①夾角余弦法。②最大最小法。③算術(shù)平均最小法。④幾何平均最小法。以上3種方法中要求，否則也要做適當(dāng)變換。⑤數(shù)量積法，其中。⑥相關(guān)系數(shù)法，其中，。⑦指數(shù)相似系數(shù)法，其中，而。（2）距離法①直接距離法，其中為適當(dāng)選取的參數(shù)，使得，表示他們之間的距離。經(jīng)常用的距離有●海明距離?！駳W幾里得距離?！袂斜妊┓蚓嚯x。②倒數(shù)距離法。其中為適當(dāng)選取的參數(shù)，使得。③指數(shù)距離法。3、第三步：聚類（求動(dòng)態(tài)聚類圖）（1）基于模糊等價(jià)矩陣聚類方法①傳遞閉包法根據(jù)標(biāo)定所得的模糊矩陣還要將其改造稱模糊等價(jià)矩陣。用二次方法求的傳遞閉包，即=。再讓由大變小，就可形成動(dòng)態(tài)聚類圖。②布爾矩陣法[10]布爾矩陣法的理論依據(jù)是下面的定理：定理2.2.1設(shè)是上的一個(gè)相似的布爾矩陣，則具有傳遞性（當(dāng)是等價(jià)布爾矩陣時(shí)）矩陣在任一排列下的矩陣都沒(méi)有形如的特殊子矩陣。布爾矩陣法的具體步驟如下：①求模糊相似矩陣的截矩陣.②若按定理2.2.1判定為等價(jià)的，則由可得在水平上的分類，若判定為不等價(jià)，則在某一排列下有上述形式的特殊子矩陣，此時(shí)只要將其中特殊子矩陣的0一律改成1直到不再產(chǎn)生上述形式的子矩陣即可。如此得到的為等價(jià)矩陣。因此，由可得水平上的分類（2）直接聚類法所謂直接聚類法，是指在建立模糊相似矩陣之后，不去求傳遞閉包，也不用布爾矩陣法，而是直接從模糊相似矩陣出發(fā)求得聚類圖。其步驟如下：①取（最大值），對(duì)每個(gè)作相似類，且=，即將滿足的與放在一類，構(gòu)成相似類。相似類與等價(jià)類的不同之處是，不同的相似類可能有公共元素，即可出現(xiàn),,.此時(shí)只要將有公共元素的相似類合并，即可得水平上的等價(jià)分類。②取為次大值，從中直接找出相似度為的元素對(duì)（即），將對(duì)應(yīng)于的等價(jià)分類中所在的類與所在的類合并，將所有的這些情況合并后，即得到對(duì)應(yīng)于的等價(jià)分類。③取為第三大值，從中直接找出相似度為的元素對(duì)（即），將對(duì)應(yīng)于的等價(jià)分類中所在的類與所在的類合并，將所有的這些情況合并后，即得到對(duì)應(yīng)于的等價(jià)分類。④以此類推，直到合并到成為一類為止。二、最佳閾值的確定在模糊聚類分析中對(duì)于各個(gè)不同的，可得到不同的分類，許多實(shí)際問(wèn)題需要選擇某個(gè)閾值，確定樣本的一個(gè)具體分類，這就提出了如何確定閾值的問(wèn)題。一般有以下兩個(gè)方法：=1\*GB3①按實(shí)際需要，在動(dòng)態(tài)聚類圖中，調(diào)整的值以得到適當(dāng)?shù)姆诸?，而不需要事先?zhǔn)確地估計(jì)好樣本應(yīng)分成幾類。當(dāng)然，也可由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的專家結(jié)合專業(yè)知識(shí)確定閾值，從而得出在水平上的等價(jià)分類=2\*GB3②用F統(tǒng)計(jì)量確定最佳值。[11]設(shè)論域?yàn)闃颖究臻g（樣本總數(shù)為），而每個(gè)樣本有個(gè)特征：，。于是得到原始數(shù)據(jù)矩陣，如下表所示，其中，稱為總體樣本的中心向量。樣本指標(biāo)12km設(shè)對(duì)應(yīng)于值的分類數(shù)為，第類的樣本數(shù)為，第類的樣本記為：，第類的聚類中心為向量，其中為第個(gè)特征的平均值，即，，作統(tǒng)計(jì)量，其中為與間的距離，為第類中第個(gè)樣本與其中心間的距離。稱為統(tǒng)計(jì)量，它是遵從自由度為，的分布。它的分子表征類與類之間的距離，分母表征類內(nèi)樣本間的距離。因此，值越大，說(shuō)明類與類之間的距離越大;類與類間的差異越大，分類就越好。三、基于模糊聚類分析的實(shí)際應(yīng)用成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)問(wèn)題一、問(wèn)題的提出某高中高二有7個(gè)班級(jí)，學(xué)生成績(jī)的好與差，沒(méi)有明確的評(píng)定界限，并且班級(jí)間成績(jī)好壞的表現(xiàn)具有一定的模糊不確定性。二、問(wèn)題的分析解決上述問(wèn)題可運(yùn)用模糊聚類分析方法?，F(xiàn)以7個(gè)班級(jí)某次其中考試的四門(mén)主課成績(jī)?yōu)橐罁?jù)，對(duì)7個(gè)班級(jí)成績(jī)好壞的相關(guān)程度分類。設(shè)7個(gè)班級(jí)組成一個(gè)分類集合：分別代表1班到7班。每個(gè)班級(jí)成績(jī)均是四門(mén)基礎(chǔ)課(語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、綜合)作為四項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，即有這里表示為第個(gè)班級(jí)的第門(mén)基礎(chǔ)課指標(biāo)。這四項(xiàng)成績(jī)指標(biāo)為：語(yǔ)文平均成績(jī)，數(shù)學(xué)平均成績(jī)，英語(yǔ)平均成績(jī)，綜合平均成績(jī)。各班級(jí)成績(jī)指標(biāo)值見(jiàn)表1。表17個(gè)班4門(mén)基礎(chǔ)課的成績(jī)指標(biāo)三、問(wèn)題的解決1、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化采用極差變換，（1）式中是第i個(gè)班級(jí)第門(mén)基礎(chǔ)課平均成績(jī)的原始數(shù)據(jù)，和分別為不同班級(jí)的同一門(mén)基礎(chǔ)課平均成績(jī)的最大值和最小值。為第個(gè)班級(jí)第門(mén)基礎(chǔ)課平均成績(jī)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。表2平均成績(jī)指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值2、用最大最小法建立相似矩陣計(jì)算模糊相似矩陣R，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值建立各班級(jí)之間四門(mén)基礎(chǔ)課成績(jī)指標(biāo)的相似關(guān)系矩陣，采用最大最小法來(lái)計(jì)算：其中是表示第個(gè)班級(jí)與第個(gè)班級(jí)在四門(mén)基礎(chǔ)課成績(jī)指標(biāo)上的相似程度的量。取，=0，其余運(yùn)算量可以通過(guò)MATLAB編程運(yùn)算。得相似矩陣:3、改造相似關(guān)系為等價(jià)關(guān)系進(jìn)行聚類分析矩陣滿足自反性和對(duì)稱性，但不具有傳遞性，為求等價(jià)矩陣，要對(duì)進(jìn)行改造，只需求其傳遞閉包。由平方法可得最后可得到。故傳遞閉包為,它就是模糊等價(jià)矩陣。用其可對(duì)7個(gè)班級(jí)進(jìn)行聚類分析。令由1降至0，寫(xiě)出，按分類元素和歸同一類的條件是取=1，則有U可分7類，，，，，，。降低置信水平，對(duì)不同的作同樣分析，得到取=0.77，U可分6類，，，，，。取=0.73，U可分5類，，，，。取=0.69，U可分4類，，，。取=0.61，U可分3類，，。取=0.36，U可分2類，。取=0.15，U可分1類。按不同的置信水平對(duì)7個(gè)班級(jí)進(jìn)行模糊聚類，將會(huì)得到不同的分類結(jié)果雨量站問(wèn)題一、問(wèn)題的提出某地區(qū)設(shè)置有11個(gè)雨量站，其分布圖見(jiàn)圖1，10年來(lái)各雨量站所測(cè)得的年降雨量列入表1中?，F(xiàn)因經(jīng)費(fèi)問(wèn)題，希望撤銷幾個(gè)雨量站，問(wèn)撤銷那些雨量站，而不會(huì)太多的減少降雨信息？圖1雨量站分布圖表1各雨量站10年間測(cè)得的降雨量年序號(hào)12763241594132922583113031752433202251287349344310454285451402307470319243329056347950222122032041123242462322432812673102733152853273525291311502388330410352267603290292646615822417816420350232024027835072583274324013613813014134021994218453365357452384420482228360316252915827141030828341020117943034218510324406235520442520358343251282371二、問(wèn)題的分析應(yīng)該撤銷那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人員，設(shè)備等眾多因素。我們僅考慮盡可能地減少降雨信息問(wèn)題。一個(gè)自然的想法是就10年來(lái)各雨量站所獲得的降雨信息之間的相似性，對(duì)全部雨量站進(jìn)行分類，撤去“同類”（所獲降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。問(wèn)題求解假設(shè)為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，特作如下假設(shè)①每個(gè)觀測(cè)站具有同等規(guī)模及儀器設(shè)備；②每個(gè)觀測(cè)站的經(jīng)費(fèi)開(kāi)支均等；具有相同的被裁可能性。分析：對(duì)上述撤銷觀測(cè)站的問(wèn)題用基于模糊等價(jià)矩陣的模糊聚類方法進(jìn)行分析，原始數(shù)據(jù)如上。三、問(wèn)題的解決求解步驟：1、數(shù)據(jù)的收集原始數(shù)據(jù)如表1所示。2、建立模糊相似矩陣?yán)孟嚓P(guān)系數(shù)法，構(gòu)造模糊相似關(guān)系矩陣，其中＝其中＝，＝1，2，…,11。＝，＝1，2，…,11。取，代入公式得=0.839，得到模糊相似矩陣1.0000.8390.5280.8440.8280.7020.9950.6710.4310.5730.7120.8391.0000.5420.9960.9890.8990.8550.5100.4750.6170.5720.5280.5421.0000.5620.5850.6970.5710.5510.9620.6420.5680.8440.9960.5621.0000.9920.9080.8610.5420.4990.6390.6070.8280.9890.5850.9921.0000.9220.8430.5260.5120.6860.5840.7020.8990.6970.9080.9221.0000.7260.4550.6670.5960.5110.9950.8550.5710.8610.8430.7261.0000.6760.4890.5870.7190.6710.5100.5510.5420.5260.4550.6761.0000.4670.6780.9940.4310.4750.9620.4990.5120.6670.4890.4671.0000.4870.4850.5730.6170.6420.6390.6860.5960.5870.6780.4871.0000.6880.7120.5720.5680.6070.5840.5110.7190.9940.4850.6881.000對(duì)這個(gè)模糊相似矩陣用平方法作傳遞閉包運(yùn)算，求即。3、聚類注：是對(duì)稱矩陣，故只寫(xiě)出它的下三角矩陣取＝0.996，則在置信水平為0.996的閾值下相似度為1，故同屬一類，所以此時(shí)可以將觀測(cè)站分為9類{，},{}，{}，{},{},{}，{}，{},{}。降低置信水平，對(duì)不同的