初中八年級數(shù)學(xué)課件-最短路徑問題“黃岡賽”一等獎

人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十三章軸對稱玉林市育才中學(xué)任教教師：徐玉生最短路徑問題新課導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點A關(guān)于直線l的對稱點？AlA′知識講解1、牧馬人飲馬問題“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”.AB①②③PlABCD

如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl問題1

現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB,與直線l相交于一點C.問題2

如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？Al利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.BB′作法：（1）作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C例1

如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）

A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B

總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.課堂訓(xùn)練1、如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMCP