八年級數(shù)學(xué)下冊第 18章 平行四邊形章末題型過關(guān)卷

第18章平行四邊形章末題型過關(guān)卷

【人教版】

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022春?廣東湛江?八年級期末）如圖，在團(tuán)ABCD中，以4為圓心，4B長為半徑畫弧交4D于F.分

別以點(diǎn)F，B為圓心，大于匏尸長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G,作射線4G交BC于點(diǎn)E,若BF=6,AB=5,則4E的

長為（）

C.8D.10

【答案】C

【分析】如下圖，根據(jù)作圖可得AE與BF相互垂直平分，在Rt回AB。中，利用勾股定理可求得AO的長，從

而得出AE的長.

【詳解】設(shè)AE與BF交于點(diǎn)O,連接EF

由作圖可知，AE與BF相互垂直平分

I2BF=6,配。=3

0AB=5

G）在RtHABO中，A0=4

0AE=8

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的畫法和勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)作圖，判斷出AE與BF相互垂直平分.

2.（3分）（2022春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，平行四邊形4BCD的對角線AC、B0相交于點(diǎn)0,0E//AB

交AD于點(diǎn)E.若。4=2,A20E的周長為10,則平行四邊形4BCD的周長為（）

A.16B.32C.36D.40

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得=CD,AD=BC,OB=OD,證OE是AABD的中位線，則4B=2OE,

AD=2AE,求出AE+OE=8,^iAB+AD=2AE+2OE=16,即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形4BCD是平行四邊形，

???AB=CD,AD=BC,OB=OD,AO=OC,

■■■OE//AB,

AE=DE,

OE是A4BD的中位線，

???AB=2OE,AD=2AE,

???A40E的周長等于10,

???OA+AE+OE=10,

AE+OE=10-OA=10-2=8,

???AB+AD=2AE+2OE=16,

團(tuán)A8CD的周長=2x（AB+AD）=2x16=32.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形

中位線定理，求出4。+AB=16是解題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2022秋?重慶北陪?九年級西南大學(xué)附中?？奸_學(xué)考試）如圖，在矩形4BCD中，在4D上取點(diǎn)E,

連接BE,在BE上取點(diǎn)F,連接4F,將△力BF沿AF翻折，使得點(diǎn)B剛好落在CD邊的G處，若4GFB=90°,AB=

A.3B.5C.2V5D.2^10

【答案】c

【分析】連接BG,根據(jù)折疊得到AG=48=10,BF=GF,根據(jù)勾股定理求出DG,即可得到CG,從而得

到BG,即可得到答案;

【詳解】解：團(tuán)將AABF沿4尸翻折，使得點(diǎn)B剛好落在CD邊的G處，AB=10,

財G=AB=10,BF=GF,

團(tuán)四邊形ABCD是矩形，AB=10,AD=6,

團(tuán)AB=CD=10,AD=BC=6,zD=zC=90°,

fflDG=>JAG2-AD2=V102-62=8,

團(tuán)CG=10—8=2,

Q)BG=y/CG2+BC2=V22+62=2^10,

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，矩形性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形.

4.（3分）（2022?山東泰安?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形4BCD中乙4CC=乙4BC=90。，AD=CD,DPLAB

于點(diǎn)P,若四邊形ABCD的面積是9,則OP的長是（）

A.6B.4.5C.3D.2

【答案】C

【分析】如圖，過點(diǎn)力作DE±BC交BC的延長線于E,先證明四邊形DPBE是矩形，再利用AAS證明AADP三

△COE,得到。E=CP,S^ADP=S^cDE^再由四邊形4BCD的面積=9,得到DP?DE=9,則DP=3.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作。EJ.BC交BC的延長線于￡,

團(tuán)乙ABC=90。，DPLABf

回四邊形DPBE是矩形，

0ZCDE+Z.CDP=90°,Z-ADC=90°,

凱LADP+乙CDP=90°,

團(tuán)乙ADP=乙CDE,

MP1AB,

0Z/1PD=ZF=90°,

在a/WP和△W中，

Z.ADP=Z.CDE

/LAPD=LE,

AD=CD

團(tuán)△40P=△CDE（AAS）,

=

團(tuán)DE=DP,S^ADPS〉CDE

國四邊形4BCD的面積=四邊形DPBE的面積=9,

WP-DE=9,

MP=3,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主?？疾榱司匦蔚男再|(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2022秋?甘肅白銀?九年級校考期末）如圖，菱形4BCD的對角線4C、相交于點(diǎn)。.若AC=6,

BD=8,4E1BC,垂足為E,貝ijAE的長為（）

A

C

A.12B.14C.yD.y

【答案】C

【分析】利用菱形的面積公式：l-ACBD=BCAE,即可解決問題；

【詳解】解：???四邊形4BCD是菱形，

AC1BD,OA=OC=3,OB=OD=4,

：?AB=BC=5,

■.-l.AC-BD=BC.AE,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求線段的長，屬于中考常

考題型.

6.（3分）（2022秋?河北保定?九年級統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙兩人分別用一張矩形紙做一個折菱形的游

戲.甲沿BE折疊使得點(diǎn)4落在上，沿DF折疊使得點(diǎn)C落在上，甲說得到的四邊形BED尸為菱形；乙沿MN

折疊使得4B與。C重合，再折出BM,DN,乙說得到的四邊形BMON為菱形；下列說法正確的是（）

A.甲一定成立，乙可能成立B.甲可能成立，乙一定不成立

C.甲一定成立，乙一定不成立D.甲可能成立，乙也可能成立

【答案】B

【分析】由折疊的方法可知，四邊形8ECF和四邊形為平行四邊形；再判斷它們鄰邊是否相等即可得

出結(jié)論;

【詳解】解：團(tuán)四邊形力BCD是矩形

0AB||CDADWBC

SZ.ABD=Z.CDB,

由折疊知：乙EBD=/.ABE,乙FDB=乙CDF

B1乙EBD=Z.FDB

SBE//DF,

團(tuán)四邊形BECF是平行四邊形

當(dāng)BE=DE時，四邊形8EDF是平行四邊形，

S/.EBD=Z.EDB,

又EL4CIIBC,Z.EDB=Z.DBF,

團(tuán)"BD=&ABE=乙DBF=-AABC=30°,

3

故4DBC=30。時，四邊形BEDF為菱形，甲甲可能成立，

而由乙折疊方法可知MN1BC,所以故四邊形BMDN為不可能為菱形.

綜上所述：甲可能成立，乙一定不成立，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的判定以及矩形和菱形的性質(zhì)，翻折變換是一種對稱

變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

7.（3分）（2022秋?貴州六盤水?九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形48co的對角線相交于點(diǎn)。，RtAEOF（兩

直角邊長均大于的長度）繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，與正方形重疊部分的面積（）

C.始終不變D.先由大變小，然后又由小變大

【答案】C

【分析】由條件可得△OHB=△OGC(ASA),從而SAOHS=^AOGC^OHBG=SAOHB+^AOBG=^AOGC+^AOBG=

S&OBC，即可說明重疊面積始終不變?

【詳解】解：；正方形4BCD中，AC1BD,OB=OC,/.OBH=Z.OCG=45°,/.EOF=90°,

4HOB+乙BOF=乙BOF+4Goe=90°,

乙HOB=Z.GOC,

/.HOB=Z.GOC

在AOHB與△OGC中，OB=OC,

/OBH=Z.OCG

△OHBSAOGC（ASA）,

SAOHB=SAOGC，

"SOHBC~S^OHB+SAOBG=^AOGC+^AOBG=SAOBC，

則重疊部分的面枳始終不變，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，利用面積的等量代換是解題關(guān)鍵.

8.（3分）（2022秋?河南鄭州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的一點(diǎn),

點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，則PA+PE最小值是（）

A.V5B.V6C.1+V2D.2V2

【答案】A

【分析】利用軸對稱最短路徑求法，得出4點(diǎn)關(guān)于BZ）的對稱點(diǎn)為C點(diǎn)，再連接EC交BD于點(diǎn)P即為最短路

徑位置，利用勾股定理求出即可.

【詳解】連接AC,EC,EC與BD交于點(diǎn)尸，此時P4+PE的值最小，最小值即為線段CE的長,

團(tuán)正方形4BCC中，AB=BC=2,點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，

=-AB=1,

2

aCE=y/BC2+BE2=V22+l2=V5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及正方形的性質(zhì)和勾股定理,利用正方形性質(zhì)得出A,

C關(guān)于BO對稱是解題關(guān)鍵.

9.（3分）（2022春?八年級單元測試）如圖所示，在四邊形4BCD中，AD=BC,E、尸分別是AB、CD的

中點(diǎn)，AD,8c的延長線分別與EF的延長線交于點(diǎn)H、G,貝弘）

A.Z.AHE>Z.BGEB.乙AHE=（BGE

C.Z.AHE<乙BGED.乙4HE與Z_BGE的大小關(guān)系不確定

【答案】B

【分析】連接BD,取中點(diǎn)I,連接IE,IF,根據(jù)三角形中位線定理得IE=?AD,且平行AD,IF=,BC且平行

BC,再利用AD>BC和IE0AD,求證（3AHE=^EF,同理可證田BGE=I3IFE，再利用IE>IF和EIAHE=（3IEF,0BGE

=0IFE即可得出結(jié)論.

【詳解】連接BD,取中點(diǎn)I,連接IE,IF

EIE,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，

因E,IF分別是AABD,ABDC的中位線,

□IE=iAD,且平行AD,IF=：BC且平行BC,

□AD=BC,

0IE=IF,

團(tuán)IE團(tuán)AD,

00AHE=0IEF,

同理回BGE=I3IFE,

團(tuán)在AIEF中，IE=IF,

03IFE切EF,

00AHE=I3IEF,0BGE=0IFE,

團(tuán)團(tuán)BGE/AHE.

故選：B.

AER

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對三角形中位線定理和三角形三邊關(guān)系等知識點(diǎn)的理解和掌握，有一定的拔高

難度，屬于難題.

10.（3分）（2022春?廣東佛山?九年級?？计谀┤鐖D，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為4B上一點(diǎn),

過點(diǎn)E作EFII4D,與AC、OC分別交于點(diǎn)G,F,H為CG的中點(diǎn)，連接。E,EH,DH,FH,下列結(jié)論中結(jié)論

正確的有（）

①EG=OF；（2）AAEH+AADH=180°；③&EHF三&DHC；④若零=|,則35&曲=伊的小其中

結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形ABC。，AC為對角線，EF||AD,可知四邊形4EFD是矩形，由止匕可證AAEG、

△CFG、4HFG、是等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，祭=|,可知△EHD是等腰

直角三角形，由此即可求解.

【詳解】解：結(jié)論①EG=DF,

回正方形ABC。中，4c為對角線，EF||AD,

^EAG=45°,^AEG=90°,

E)AE=4G,四邊形ZEFZ)是矩形，AAEG、△CFG是等腰直角三角形，

EL4E=DF,

回EG=DF,故結(jié)論①正確；

結(jié)論②NAEH+乙ADH=180°,

由結(jié)論①正確可知，△CFG是等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，

0FH1CG,且△HFG、是等腰直角三角形，

EJHF=HG,乙HFD=450+90°=135°,4HGE=180°-45°=135°,

BAHFD=乙HGE,且EG=DF,

OAHFD三AHGE(SAS),

0ZWEG=乙HDF,

團(tuán)乙4EG+乙4OF=乙4EG+AADH+乙HDF=AAEH+乙ADH=180°,故結(jié)論②正確；

結(jié)論③△EHF=△DHC,

回AAEG、△CFG、△HFG、△HFC是等腰直角三角形，△HFC三△HGE(SAS),

BHF=HC/HFG=乙HCF=45°,

回四邊形4EF。是矩形，

SEF=AD=DC,

0AEHFDHC(SAS),故結(jié)論③正確；

結(jié)論④若布=->貝I3SAEDH=13SADHC,

由結(jié)論②正確，可知△HFO三△HGE(SAS)；由結(jié)論③正確可知，△E"?三△OHC(SAS),

且AAEG、4CFG、4HFG、△HGC是等腰直角三角形，

OWE=HD,^EHD=90°,即△EHD是等腰直角三角形，

如圖所示，過點(diǎn)H作HM1于-M,設(shè)貝ijDM=5x,DH=>/26x,CD=6x,

包SADHC=|WM.CD=3X2,SEH=1DH2=13x2,

團(tuán)3SAEDH=13SADHC,故結(jié)論④）正確；

綜上所示，正確的有①②③④，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形與三角形的綜合，主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定

與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，

等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2022秋?貴州六盤水?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形力BCD中，對角線AC,BD的長分別為6,

8,過點(diǎn)A作4EJ.C0于點(diǎn)E,則4E的長為.

【分析】利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出菱形的邊長，利用等積法求出4E的長即可.

【詳解】解：團(tuán)在菱形ABCD中，對角線AC,BD的長分別為6,8,

0/1C1BD,OC=-AC=3,OD=-BD=4,

22

fflCD=y/OC2+OD2=5,

EL4E1CD,

團(tuán)菱形的面積=CD-4E,即：|x6x8=SAE,

24

SUE=Y：

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì).熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分，是解題的關(guān)鍵.

12.（3分）（2022春?八年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)4、B、C、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，4力與BC相

交于點(diǎn)O,小正方形的邊長為1,則A。的長等于.

【答案】2

【分析】連接4E,證明四邊形AEC8是平行四邊形得4E||BC,由勾股定理得AO=5,從而有AD=OE=5,

然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得團(tuán)D4E=E1￡）EA,再利用平行線的性質(zhì)可得團(tuán)D4E=QOC,SDEA=SDCO,從而

可得回DOC=QCO,進(jìn)而可得。O=QC=3,最后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解回如下圖團(tuán)連接AE,

回四邊形AECB是平行四邊形,

EL4E||BC,

0AD=>J32+42=5,DE=5,

0AD=DE=5,

甌。AE二團(tuán)。E4,

包4EIIBC,

^DAE^DOC,團(tuán)OE4二團(tuán)QC0,

aaooc=iaoc。，

?￡>O=OC=3,

EL40=AQ-￡>0=5-3=2,

故答案為132.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條

件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）（2022春?廣東佛山?九年級?？计谀┤鐖D，兩個全等的矩形紙片重疊在一起，矩形的長和寬

分別是8和6,則重疊部分的四邊形周長是.

【答案】25

【分析】先證明四邊形4BCD是菱形，則4B=BC=CO=4D,設(shè)4B=BC=CD=4。=X,則CG=8-x,

在RtACDG中，由勾股定理可得62+（8—x）2=/,解方程求出C。=m，即可得到重疊部分的四邊形周長.

【詳解】解：如圖所示，

由題意得，矩形BFDE三矩形BHDG,

0ZG=90°,DG=DE=6,BG||DH,BE||DF,BG=8,

團(tuán)四邊形4BCD是平行四邊形，

團(tuán)平行四邊形的面積=4DxDG=CDxDE,

^AD=CD,

團(tuán)四邊形48CD是菱形，

財B=BC=CD=AD,

設(shè)4B=BC=CD=AD=x,則CG=8—x,

在RtZiCDG中，由勾股定理可得，DG2+CG2=CD2,

則62+(8-x)2=x2,

解得x=

即CD=交，

4

回四邊形4BCD的周長=4CD=4x迫=25.

4

故答案為：25

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明四邊形4BCD是菱形是解題的

關(guān)鍵.

14.（3分）（2022春?江蘇南京?八年級南京外國語學(xué)校仙林分校校考開學(xué)考試）如圖,長方形4BC。中,AB=3,

BC=4,點(diǎn)E是8c邊上任一點(diǎn)，連接4E,把沿4E折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)夕處，當(dāng)CE的長為時,

△CEB'恰好為直角三角形.

【答案】1或|

【分析】當(dāng)ACE）為直角三角形時，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)夕落在矩形內(nèi)部時，當(dāng)點(diǎn)8'落在4。邊上時，利用

矩形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)ACEB，為直角三角形時，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B'落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示.

答圖I

連接4C,

在RtAABC中，AB=3,BC=4,

AC=>]AB2+BC2=5,

???NB沿4E折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處,

AAB'E=LB=90°,

當(dāng)4CEB，為直角三角形H寸，只能得到/EB'C=90°,

.?.點(diǎn)4、B'、C共線，即NB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線4c上的點(diǎn)B'處,

???EB=EB',AB=AB'=3,

???CB'=5—3=2,

設(shè)BE=x,則EB'=x,CE=4-x,

在RtACE8'中，

???EB'2+CB'2=CE2,

x2+22=(4-x)2,解得x=I，

33q

ABE=CE=4--="；

222

②當(dāng)點(diǎn)夕落在4D邊上時，如答圖2所示.

BE=AB=3,

..CE=BC-BE=4-3=1,

綜上所述：星=1或右

故答案為：1或|.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形與折疊問題，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，正確理解矩形的性質(zhì)及勾股定理

的計(jì)算，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

15.（3分）（2022春?八年級課時練習(xí)）如圖，矩形ABCD的面積為128cm2,對角線交于點(diǎn)0；以AB,

AO為鄰邊做平行四邊形AOCrB,對角線交于點(diǎn)。［；以AB,AOr為鄰邊做平行四邊形AOrC2B-,???；依

此類推，則平行四邊形AO6C7B的面積—.

【答案】lcm2

【分析】如圖：過點(diǎn)。向4B作垂線，垂足為E,平行四邊形40GB的面積為48XOE,根據(jù)矩形的性質(zhì)。E=

（皿即平行四邊形40C1B的面積為4BX*。=匏四邊形.CD；同理：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：。/=

\0E=^AD,即AOQB面積#四邊形.CD，依此類推，即可得到平行四邊形4。6c7夕的面積.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)。向AB作垂線，垂足為E,過點(diǎn)5向4B作垂線，垂足為尸，

國乙DAB=Z.OEB,

WEWA,

團(tuán)0為矩形4BCD的對角線交點(diǎn),

WB=0D

WE=-AD.

2

團(tuán)矩形ABCD的面積ABxCD=128cm2

回平行四邊形AOC/B的面積=ABxOE=ABx^AD=1

同理：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：OrF=\0E=^AD,

平行四邊形力?！?面積ABX舁。=#四邊形Me。，

依此類推：

平行四邊形4。6。78的面積=ABx^ADxS四邊形=六x128=1cm2.

故答案為lcm?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到面積的變

化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

16.（3分）（2022秋?浙江杭州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E在邊BC上（不與點(diǎn)8,C重

合），點(diǎn)F在邊CD的延長線上，DF=BE,連接EF交4。于點(diǎn)G,過點(diǎn)4（乍川V1EF于點(diǎn)M,交邊CD于點(diǎn)N.若

DN=2CN,BE=3.則CN=,AM=.

【答案】53m

【分析】連接4E,AF,EN,由正方形的性質(zhì)可得48=力。，BC=CD,Z.ABE=/.BCD=^ADF=90°,

可證△ABE=△ADF（SAS）,可得乙BAE=^DAF.AE=AF,進(jìn)而得到4E4F=90°,根據(jù)等腰三角形三線合

一的性質(zhì)可得點(diǎn)M為EF中點(diǎn)，由4N1EF,可證△4EM三△AFM（SAS）,△EMN=△FM/V（SAS）,可得EN=

FN,設(shè)CN=x，則DN=2CN=2x,則BC=CO=3x,已知BE=3,則FN=2x+3,根據(jù)勾股定理解得

x=5,可得CN=5,由勾股定理得4E=3回，從而可得AM=EM=FM=3內(nèi)，即可求解.

【詳解】連接4E,AF,EN,

團(tuán)四邊形48CD是正方形，

[?L4B=AD=BC=CD,乙ABE=乙BCD=I.ADF=90°,

團(tuán)BE=DF,

團(tuán)△ABE=Ai4DF(SAS),

團(tuán)乙BAE=Z.DAF.AE=AF,

國乙EAF=90°,

0AEAF是等腰直角三角形，

團(tuán)AN1EF,

團(tuán)EM=FM.LEAM=LFAM=45°,

AEM=△4FM(SAS),△EMN=△FMN(SAS),

0E/V=FN,

設(shè)CN=%,則DN=2CN=2x,

國BC=CD=3%,

團(tuán)BE=3,

團(tuán)EN=FN=2%+3,CE=BC-BE=3x-3,

在RtAECN中，

0C/V2+CE2=E/V2,

2

取2+(3X-3)2=(2x+3)

解得：%i=5,%2=。(舍)，

0C/V=5,

包48=BC=CD=DA=15,

在RtzXABE中,

AE=7AB2+BE2=V152+32=3回，

0FF=y/2AE=65/13,

EL4M=EM=FM=3V13,

故答案為：5；3-713；

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，解

題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形解決問題.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2022秋?貴州六盤水?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

BEIIAC交。C的延長線于點(diǎn)E.

⑴判斷四邊形ABEC的形狀，并說明理由；

（2）若NDBC=30°,BO=6,求四邊形4BED的面積.

【答案】（1）四邊形ABEC為平行四邊形；理由見解析

⑵54k

【分析】（1）根據(jù)矩形得出48IICZ）,再根據(jù)BEIIAC即可得出四邊形4BEC為平行四邊形；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，求出CD=6,BC=6V3,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出

EC=6,最后根據(jù)梯形面積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：四邊形4BEC為平行四邊形：理由如下：

團(tuán)四邊形4BCD為矩形，

SABWCD,

SBE\]AC,

團(tuán)四邊形4BEC為平行四邊形;

（2）解：團(tuán)四邊形ABCO為矩形,

[?L4B||CD,BO=DO,AB=CD,乙BCD=9。。,

團(tuán)BO=6,

BBD=12,

0ZDBC=30°,

0CD=-BD=6,

2

⑦BC=yjBD2-CD2=6>/3,AB=CD=6,

團(tuán)四邊形48EC為平行四邊形，

0EC=AB=6,

團(tuán)DE=12,

05四邊形ABED=家6+12）x6百=54Vl

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法.

18.（6分）（2022春?浙江杭州?八年級?？计谥校┤鐖D1,RtAABC中,乙4cB=90。，BC=4,zABC=60°,

點(diǎn)尸、Q是邊AB,BC上兩個動點(diǎn)，且BP=4CQ,以BP,BQ為鄰邊作平行四邊形BPDQ,PD,QD分別交4C

于點(diǎn)E,F,設(shè)CQ=m.

圖I圖2

⑴當(dāng)平行四邊形BPDQ的面積為6次時，求〃?的值；

（2）求證：△DEF=△QCF；

⑶如圖2,連接AD,PF,PQ,當(dāng)4D與APQ尸的一邊平行時，求APQF的面積.

【答案】（l）m的值是1

（2）證明見解析

（3）APQF的面積為^^或今之

【分析】（1）如圖1,過點(diǎn)P作PMLBC于M,表示BQ=4-m,PM=2y/3m,根據(jù)平行四邊形BPDQ的

面積為6次，列等式可得，〃的值，由48=8,可確定巾=1：

（2）先計(jì)算DE=CQ=m,再由平行線的性質(zhì)和對頂角相等結(jié)合AAS證明△CEF三△QCF；

（3）分兩種情況：①如圖2,ADWPF,證明四邊形APFD是平行四邊形，根據(jù)PE=ED列方程可得加的值,

并計(jì)算APQF的面積：②如圖3,ADWQ,證明四邊形4PQD是平行四邊形，AP=PB,列方程可解答.

【詳解】（1）解：如圖1,過點(diǎn)尸作PM1BC于M,

⑦BP=4CQ,CQ=m,

⑦BP=4m,

Rt"BM中，乙B=60°,

團(tuán)乙BPM=30°,

@BM=；BP=2m,PM=25/3m,

@FC=4,CQ=m,

⑦BQ=4—m,

團(tuán)平行四邊形BPDQ的面積為6舊，

S1BQ-PM=673,即(4-m)-2s/3m=6痘,

解得：nij=1,m2=3,

RtAABC中，Z.A=30°,

BAB=2BC=2x4=8,

當(dāng)zn=1時，BP=4m=4,

當(dāng)m=3時，BP=4m=12>8,不符合題意，舍去;

綜上，，〃的值是1;

(2)證明：團(tuán)四邊形BPOQ是平行四邊形，

0PDIIFC,

0ZD=乙CQF,

由(1)知：BM=2m,

團(tuán)PE=CM=4—2m,

0FD=PD-PE=BQ—PE=4—711—(4—2m)=m,

團(tuán)CQ=mf

團(tuán)CQ=ED,

團(tuán)乙EFD=乙CFQ,

0ADEF=△QCF(AAS)；

(3)解：分兩種情況:

①如圖2,4011P凡

圖2

0PDIIFC,

^AEP=Z.C=90°,

Rt/MEP中，Z.PAE=30°,

團(tuán)PE=171P=|(8-4m)=4-2m,

財Pll",AD\\PFf

團(tuán)四邊形4PFD是平行四邊形，

⑦PE=ED,

04—2m=m,

團(tuán)m=一4，

3

444

團(tuán)PE=4-2x-=-,CQ=

33x3

國PE=CQ,

0PEHCQ,ZC=90°,

團(tuán)四邊形CQPE是矩形，

回乙CQP=90°,

團(tuán)SNFQ=：PQCQ=gx2V3mxm=V3x^=等;

團(tuán)ADIIPQ,APWDQ,

國四邊形4PQD是平行四邊形，

?AP=DQ,

0PB=DQ,

胤4P=PB,

08—4m=4m,

團(tuán)m=1,

國S^PFQ=SAABC-S4APF—S&BPQ一S^CFQ

1111

=-x4x4V3--xlx<3--x（4百-V3）x2--x3x2V3

3V3

=-

綜上，△PQF的面積為岬叵或今

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了含30。的直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性

質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線，三角形的面積等知識點(diǎn)的應(yīng)用，七要考查學(xué)生綜合運(yùn)用

性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，還用了分類討論思想.

19.（8分）（2022春?湖北武漢?八年級武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，

48=4C,點(diǎn)P為AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PEINC交4B于點(diǎn)E,PF||48交8c于點(diǎn)D,交AC于

點(diǎn)F.

⑴如圖1,若點(diǎn)P在BC邊上，此時PD=0,直接寫出PC、PE、PF與4B滿足的數(shù)量關(guān)系;

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在AABC內(nèi)，猜想并寫出PD、PE、PF與4B滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想;

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在△ABC外，猜想并寫出PD、PE、PF與滿足的數(shù)量關(guān)系.（不用說明理由）

【答案】(1)PD+PE+PF=AB

(2)PD+PE+PF=AB

(3)PE+PF-PD=AB

【分析】（1）證平行四邊形PE4F,推出PE=4F,PF=AE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出NB=4C=tEPB,

推出PE=BE即可；

（2）過點(diǎn)P作MNIICB分別交48、AC于M、N兩點(diǎn)，推出PE+PF=AM,再推出MB=PD即可；

（3）過點(diǎn)P作MNIICB分別交4B、4c于M、N兩點(diǎn)，推出PE+PF=4M,再推出MB=PD即可.

【詳解】（1）結(jié)論是P0+PE+PF=48,

證明：'：PE\\AC,PFWAB,

四邊形PEAF是平行四邊形，

PF=AE,

■■■AB=AC,

???乙B=Z.C,

團(tuán)PEMC,

：?乙EPB=Z.C,

二乙B=乙EPB,

??,PE=BE,

vAE-VBE=AB,

APE+PF=AB,

,??P。=0,

:.PD+PE+PF=AB.

(2)結(jié)論是PD+PE+PF=AB,

證明：過點(diǎn)P作MNIICB分別交AB、4c于M、N兩點(diǎn),

???四邊形BOPM是平行四邊形，

MB—PD,

：.PD+PE+PF=AM+MB=AB.

(3)結(jié)論是PE+PF-PD=AB.

證明：過點(diǎn)P作MNIICB分別交48、AC延長線于M、N兩點(diǎn),

由（1）得：PE+PF=AM,

?.?四邊形BDPM是平行四邊形,

MB=PD,

二AB=AM-MB=PEPF-PD.

即PE+PF—PD=AB

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)性質(zhì)進(jìn)

行推理和證明，題目含有一定的規(guī)律性，難度不大，但題型較好.

20.（8分）（2022春?安徽滁州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）四邊形4BCD中，ACLCD,對角線AC,B。相交

于點(diǎn)E.

⑴如圖1,若BD1AB,BC=DC,求證：乙CBD=LCAB；

（2）如圖2,若AC平分NBAD,點(diǎn)E是4C的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作8F1AC,垂足為八點(diǎn)G為8。的中點(diǎn)，連接FG,CG.

①求證：FG=CG；

②連接4G,試判斷四邊形4BCG的形狀，并證明.

【答案】⑴見解析

（2）①見解析；②四邊形4BCG是平行四邊形，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等，可得/a4B=/CCE,再由BC=Z）C,可得ZCBD=4CDE,即可；

（2）①延長BF交4。于點(diǎn)M,延長4B,DC交于點(diǎn)”，可證明A4BF三△4MF,可得BF=FM,從而得到尸G

是^BMD的中位線，進(jìn)而得到FGIIDM,繼而得到zMFG=AAMF,同理△HAC=△DAC,可得HC=CD/H=

^ADC,從而得到。。是4BHD的中位線，進(jìn)而得到CGIIBH,繼而得到NH=ZGCD,再由可得乙4M尸=

Z.ADC,從而得到4GCC=4AMF=4MFG,進(jìn)而得到/CFG=NFCG,即可；②證明△48E三△CGE,可得

48=CG,再由ABIICG,即可.

【詳解】（1）證明：^AC1CD,BD1AB,

回乙48。=/-ACD=90°,

團(tuán)ZJ1EB=乙DEC,

團(tuán)zZ\4B=Z.CDE,

團(tuán)BC=DC,

0Z.CBD=乙CDE,

國乙CBD=Z-CAB；

(2)①證明：如圖，延長BF交4。于點(diǎn)M,延長48,0C交于點(diǎn)H,

EL4c平分4B4D,

回乙BAF=乙FAM,

團(tuán)BF1AC,

^AFB=LAFM=90°,

在a/B尸和A/MF中，

Z.BAF=LMAF

AF=AF,

/AFB=Z.AFM

0AABF=△AMF.

MF=FM,

團(tuán)點(diǎn)G為8。的中點(diǎn)，

團(tuán)FG是△BM。的中位線，

□FGHDM,

團(tuán)乙MFG=4AMF,

同理△HAC三ADAC,

國HC=CD,乙H=KADC,

田CG是△BHO的中位線，

0CGHBH,

□ZW=乙GCD,

^BFLAC^DLAC,

MFIIHD,

^AMF=Z.ADC.

團(tuán)乙GCD=UMF=乙MFG,

回乙MFG+乙CFG=LGCD+zFCG=90°,

0ZCFG=乙FCG,

0FG=CG；

②解：四邊形4BCG是平行四邊形，證明如下：

團(tuán)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

團(tuán)4E=CE,

0CGIIBH,

團(tuán)乙BAE=乙ECG,

在△48￡和^CGE中，

Z.BAE=乙ECG

AE=CE,

Z.AEB=Z.GEC

0AABE=△CGE,

EL4B=CG,

回幽ICG,

團(tuán)四邊形4BCG是平行四邊形，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形中位線定理，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形中位線定理，等腰三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2022春?四川成都?八年級校考期中）已知，菱形ZBCD中，4]=60°,E、P分別是邊BC和CD上

的點(diǎn)，且/E4P=60°.

⑴求證：BC=EC+CP.

（2）如圖2,尸在G4延長線上，且FE=FB,求證：AF=EC.

⑶如圖3,在（2）的條件下AF=4,BE=6,點(diǎn)。是FB的中點(diǎn)，求04的長.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

⑶g

【分析】（1）連接4C,如圖1,根據(jù)菱形的性質(zhì)得4B=BC,即可判定△ABC為等邊三角形，得到NBAC=60°,

AC=AB,然后利用ASA可證明AAEB三△?!「（：，即可解答；

（2）過點(diǎn)尸作FHII48,交C8的延長線于點(diǎn)H,利用平行線的性質(zhì)求得4FHC是等邊三角形，得到CF=CH=

FH,然后利用AAS定理求得△HBF三ZkCEF,從而問題得解；

（3）過點(diǎn)8作BKIIFC,交H尸于點(diǎn)K,根據(jù)兩組對邊分別平行求得四邊形KB4尸是平行四邊形，從而求得。4=

\AK,FK=10,A作AM1FH,然后利用含30。的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得MF==2,AM=

>JAF2-MF2=2V3,即有KM=FK-MF=10-2=8,在Rt△4KM中，利用勾股定理可得4K=2回,

問題隨之得解.

【詳解】（1）連接4C,如圖1,

團(tuán)四邊形4BCD為菱形,

EL4B=BC,

⑦4B=60°,

E1A4BC為等邊三角形,

^BAC=60°,AC=AB,

回NB4E+/.EAC=60°,

SZ.EAP=60°,即4EAC+/.CAP=60°,

^Z.BAE=/.CAP,

^ABWCD,

^BAC=/.ACP=60°,即Z71CP=60°=NB,

^BAE=4CAP

在△AE8和△力PC中,AB=AC

乙B=Z-ACP

團(tuán)△AEB三△APC,

?BE=CP,

團(tuán)BC=EC+BE=EC+CP；

(2)過點(diǎn)尸作尸Hll/B,交CB的延長線于點(diǎn)”，如圖2,

HBEC

圖2

在(1)中已證△ABC為等邊三角形，

團(tuán)NH=(ABC=60°=ZC,

0A尸HC是等邊三角形，

0CF=CH=FH,

乂團(tuán)△4BC是等邊三角形，

UGA=CB,

?AF=BH,

又防B=FE,

?乙FEB=乙FBE,^LFBH=乙FEC,

(乙FBH=乙FEC

在a“8尸和4CEF中心FHB=乙FCE，

(FH=FC

HBF^△CEF,

MH=EC,

財F=EC；

(3)過點(diǎn)8作BKIIFC,交HF于點(diǎn)K,如圖3,

F

HB-EC

圖2

SBKWFC,FH\\AB,AF=4,BE=6,

回四邊形KB4F是平行四邊形，

EJKB=AF=EC=4,

回點(diǎn)。是FB的中點(diǎn)，

0OA=-2AK,

@FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=10,

過點(diǎn)A作力MJ.FA,

由（2）可知，ZCFH=60°,

團(tuán)在RtziAMF中，Z.MAF=30°,

22顯,

OMF=-2AF=2,AM=^AF-MF=2

團(tuán)KM=FK-MF=10—2=8,

在RtAAKM中，AK=\/AM2+MK2=J（2V3）Z+82=2V19,

WA=^AK=V19.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30。

角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點(diǎn).

22.（8分）（2022春,江蘇南京?八年級?？计谥校┤鐖D1,0是平行四邊形4BCD對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)。作

OH1AB,OM1BC,垂足分別為H,M,若OHNOM,我們稱4="是平行四邊形ABCD的心距比.

MC

圖1

⑴如圖2,四邊形4BC。是矩形，AB=3,BC=4,貝以=

圖2

⑵如圖3,四邊形4BCD是平行四邊形，4=1,求證：四邊形4BCD是菱形.

⑶已知如圖，在△4BC中，NB=75。，點(diǎn)E、F、G分別在45、AC.BC邊上，若存在一個四邊形BEFG是平

行四邊形，且4=近，請通過尺規(guī)作圖作出一個點(diǎn)F.（不寫作法，但保留作圖痕跡；如若有必要，可簡述

作圖思路）

圖4

【答案】明

⑵證明見解析

⑶作圖見解析

【分析】（1）由面積法可得=即可求解;

（2）由角平分線的性質(zhì)可得乙4BD=lCBD,由平行線的性質(zhì)可得N4DB=乙CBD=4ABD,可得4B=AD,

可得結(jié)論；

(3)如圖4,以點(diǎn)C為圓心，C8為半徑作弧，交48尸點(diǎn)。，作BC的垂直平分線交C。于0,連接BQ,并延

長交4c于點(diǎn)尸，則點(diǎn)F為所求點(diǎn).

【詳解】(1)解：回四邊形4BCD是矩形，

囪乙4BC=90°,0A=0C,

WH1AB,OM1BC,

-OH=^BC-OM,

mOHBC4

團(tuán)--=--=-f

OMAB3

4

團(tuán)a=

3

(2)0/1=1,

脛=1,

OM

WH=OM,

又回OHLAB,OM1BC,

團(tuán)乙ABD=乙CBD,

團(tuán)四邊形48co是平行四邊形，

胤40I8C,

團(tuán)ZJlDB=Z.CBD—乙ABD,

團(tuán)AB=AD,

團(tuán)四邊形ABC。是菱形；

(3)如圖，以點(diǎn)C為圓心，C8為半徑作弧，交于點(diǎn)。，作BC的垂直平分線交C。于Q,連接BQ,并延長

交4C于點(diǎn)兒則點(diǎn)尸為所求點(diǎn).

理由如下：過F作FEIIBC交B4于E,過F作FGIIAB交BC于G,連接EG,交BF于。，過。作。H148于H,過。作

OM1BC于M,

由作圖可得：CD=CB,而乙4BC=75。，

田乙CDB=Z.CBD=75°,乙DCB=30°,

由作圖可得：作BC的垂直平分線交CD于Q,

團(tuán)QB=QC,

⑦乙QCB=乙QBC=30°,

國乙HBO=45°,

在中，OM=-OB,

RtZkBMO2

在山△BOH中，OH==OB,

2

=魚，即入=夜.

2

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，基本作圖等知識，

理解新定義，并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

23.（8分）（2022春?遼寧沈陽?九年級沈陽市第一二六中學(xué)校考開學(xué)考試）在正方形ABC。中，4E1MN,

點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、。重合），垂直于4E的一條直線MN分別交AB,AE,CD于點(diǎn)M,P,N.

圖1圖2

P'

A一-1二八D

N

M

BEC

圖4

⑴①如圖1,判斷線段4E與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖2,若垂足P為AE的中點(diǎn)，連接BD,交MN于點(diǎn)Q,連接EQ,則乙4EQ=

⑶若垂足P在對角線BD上，正方形的邊長為8.

①如圖3,若BM=1,BE=|,則BP=

②如圖4,連接4N,將A4PN沿著AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處，4。的中點(diǎn)為S,則P'S的最小值為

【答案】(1)4E=MN；理由見解析

(2)45°

⑶①乎；②2位

【分析】(1)過點(diǎn)以乍BFIIMN分別交AE、C。于點(diǎn)G、F,證出四邊形MBFN為平行四邊形，得出MN=BF,

證明三△BC尸得出4E=BF,即可得出結(jié)論；

(2)連接AQ,過點(diǎn)Q作H/IIAB,分別交4。、BC于點(diǎn)H、/,證出△OHQ是等腰直角三角形，HD=HQ,AH=QI,

證明由△AHQ=RtAQ/E得出41QH=NQE/,得出△AQE是等腰直角三角形，得出ZEAQ=41EQ=45。,

即可得出結(jié)論；

(3)①過點(diǎn)P分別作PG1BC,PHJ.4B垂足分別為G,H,則zPEG=NPHM=90。，證明三APEG

(AAS),設(shè)GE=MH=x,根據(jù)MB+MH=BE-GE,求得x=工，即可得出BP=§魚；

44

②連接4c交BD于點(diǎn)0,則AAPN的