工程力學課堂教學軟件教師版薄壁桿件

第5章

開口薄壁截面桿件彈性靜力學清華大學范欽珊2024年2月17日

開口薄壁截面桿件應力變形特征

開口薄壁截面的扇性幾何性質

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

彎曲中心的扇性幾何性質描述

桿上作用有均布扭轉外力偶時的微分方程及其解答

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

靜力等效的影響區(qū)域

結論與討論

開口薄壁截面桿件應力變形特征

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件定義

薄壁桿件與實心截面桿件的比較定義

幾何尺寸滿足下列條件的桿件稱為薄壁桿件(thin-walledmember)

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件定義

－截面壁厚；d－截面的橫向尺寸；

l－桿件的縱向尺寸。

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較相似之處

在沿橫截面均勻分布的軸向載荷的作用下，橫截面上的正應力均勻分布

在平面彎曲(不產生扭轉)，正應力沿高度線性分布

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較相似之處

開口薄壁截面桿件自由扭轉（截面可以自由翹曲），切應力沿厚度方向線形分布(引用狹長矩形截面桿件的扭轉結果)

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較相似之處(狹長矩形截面或圓弧形截面)

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較相似之處

開口薄壁截面桿件自由扭轉（截面可以自由翹曲），切應力沿厚度方向線形分布(引用狹長矩形截面桿件的扭轉結果)

－與截面形狀有關的系數(shù)。(由若干狹長矩形組成的截面)

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較相似之處

開口薄壁截面桿件自由扭轉（截面可以自由翹曲），切應力沿厚度方向線形分布(引用狹長矩形截面桿件的扭轉結果)

－與截面形狀有關的系數(shù)。

在沿橫截面均勻分布的軸向載荷的作用下，橫截面上的正應力均勻分布;

在平面彎曲(不產生扭轉)，正應力沿高度線性分布;

開口薄壁截面桿件自由扭轉（截面可以自由翹曲），切應力沿厚度方向線形分布(引用狹長矩形截面桿件的扭轉結果)

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較相似之處差異

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較

不僅扭轉時截面將發(fā)生翹曲，拉伸和彎曲時也有可能發(fā)生翹曲。差異

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較

不僅扭矩會引起截面翹曲，縱向載荷和彎曲載荷也會引起截面翹曲。沒有腹板時，兩翼緣獨立變形；

腹板剛度很大(其極端情形即為矩形截面)時，基本上不發(fā)生扭轉變形；

有腹板,但腹板剛度很小，腹板與翼緣變形相互牽制，使截面發(fā)生翹曲；

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較差異

由于局部變形，在桿件橫截面上，除了FNx、FQ、My

、Mz

之外,還可能產生的新的內力分量。

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較差異差異

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較

翹曲受到約束，扭轉時不僅會產生切應力還將產生附加正應力；拉伸和彎曲時也會產生正應力，繼而還會產生附加的切應力。

相應地還會出現(xiàn)新的幾何量。差異

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較

翹曲受到約束時，產生扭轉扭轉，這種扭轉稱為約束扭轉(constrainttwist),這種情形下，正應力與切應力的量級將發(fā)生變化。差異

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較

靜力等效定理的適用范圍發(fā)生變化－圣維南原理不適用差異

開口薄壁截面桿件應力變形特征

薄壁桿件與實心截面桿件的比較

不僅扭轉時截面將發(fā)生翹曲，拉伸和彎曲時也有可能發(fā)生翹曲。

由于局部變形，在桿件橫截面上，除了FNx、FQ、My

、

Mz

之外,還可能產生的新的內力分量。

翹曲受到約束，扭轉時不僅會產生切應力還將產生正應力；拉伸和彎曲時也會產生正應力，繼而還會產生附加的切應力。

靜力等效定理的適用范圍發(fā)生變化－圣維南原理不再適用。

翹曲受到約束時，產生扭轉扭轉，這種扭轉稱為約束扭轉

(constrainttwist),這種情形下，正應力與切應力的量級將發(fā)生變化。

開口薄壁截面的扇性幾何性質

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積

對于不同極點的扇性面積之間的關系

薄壁截面的扇性幾何性質

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積薄壁截面壁厚中線－截面中線

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積考察截面中線的一般情形s－中線弧長；ds－弧長微段；O－弧長起點(零點)；P－極點。P

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積s－中線弧長；ds－弧長微段；O－弧長起點(零點)；P－極點。定義：－微段ds對于極點P的扇性面積；－O

s弧段對于極點P的

扇性面積。

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積

A

不僅是弧長s的函數(shù)，而且與極點和零點的位置有關；

A

的正負號規(guī)則：自零點開始，極點到截面中線上點的連線(稱為射線)，繞極點反時針轉動者為正；順時針轉動者為負。

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積

對于確定的極點和零點，可以將截面中線上各點的扇性面積數(shù)值沿著與中線的垂直方向按比例標出，可規(guī)定中線一側為正，另一側為負。扇性面積圖

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積扇性面積圖例題零點極點

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積扇性面積圖例題零點極點00000

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積扇性面積圖例題零點極點00

開口薄壁截面的扇性幾何性質

扇性面積扇性面積圖例題零點極點0

對于不同極點的扇性面積之間的關系

開口薄壁截面的扇性幾何性質

考察同一截面中線，對于不同極點扇性面積之間的關系：

對于極點P1由圖中的幾何關系，得到

對于不同極點的扇性面積之間的關系

開口薄壁截面的扇性幾何性質

對于極點P2，由圖中的幾何關系得到

對于不同極點的扇性面積之間的關系

開口薄壁截面的扇性幾何性質

對于不同極點的扇性面積之間的關系

開口薄壁截面的扇性幾何性質對于不同的極點，自O至S點的扇性面積之間的關系

對于不同極點的扇性面積之間的關系

開口薄壁截面的扇性幾何性質A1－對于極點P1的扇性面積；A2－對于極點P2的扇性面積；y,z－S

點的坐標；y0,z0－O

點的坐標；a－兩極點之間的縱向距離；b－兩極點之間的橫向距離；

對于不同極點的扇性面積之間的關系

開口薄壁截面的扇性幾何性質兩點結論

極點改變時，扇性面積的變化與兩極點的坐標差值a和b有關，并與y、z成線性關系；

零點改變時，積分下限發(fā)生變化，所以扇性面積的變化只與常數(shù)y0、z0的改變有關，兩扇性面積之間只相差一常量：

薄壁截面的

扇性幾何性質

開口薄壁截面的扇性幾何性質定義薄壁截面的扇性靜矩薄壁截面的扇性慣性矩薄壁截面對y軸的扇性慣性積長度4長度6長度5長度5薄壁截面對z軸的扇性慣性積

薄壁截面的

扇性幾何性質

開口薄壁截面的扇性幾何性質定義

對于壁厚處處相等的薄壁截面，若厚度為

，上述積分變?yōu)椋憾x這時的零點稱為“主扇性零點”（或稱為“主零點”）,對應的扇性面積A

稱為“主扇性面積”。

開口薄壁截面的扇性幾何性質

選擇合適的零點，可以使主扇性靜矩等于零：

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質

選擇合適的極點，可以使扇性慣性積等于零：這時的極點稱為“主扇性極點”（或稱為“主極點”），對應的扇性慣性矩I

稱為“主扇性慣性矩”。定義

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質主扇性極點的確定P

在形心C處，建立Cyz坐標系；

以任意點P1(y1,z1)為極點，計算I1y和

I

1z;設主極點為P(y1+a,z1+b);

由兩極點扇性慣性積之間的關系，確定a和b,從而確定主極點的位置

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質主扇性極點的確定

由兩極點扇性慣性積之間的關系，確定a和b,從而確定主極點的位置，由

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質主扇性極點的確定

由兩極點扇性慣性積之間的關系，確定a和b,從而確定主極點的位置：因為C為形心y、z為形心主軸，故有又因為P為主極點，有

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質主扇性極點的確定

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質主扇性面積與主零點的確定根據(jù)對于兩個不同極點扇性面積之間的關系：

令其中的A2為對于主極點和主零點的扇性面積，改寫為A

；A1為對于主極點任意零點的扇性面積，改寫為A0，則有

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質主扇性面積與主零點的確定A

－以主極點為極點、主零點為零點的扇性面積，即主扇性面積；A0－為以主極點為極點、任意點為零點的扇性面積；A

－橫截面面積；S

0－以主極點為極點、任意點為零點的扇性靜矩。

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質主扇性面積與主零點的確定

根據(jù)A0、A、和S

0可以主扇性面積A

圖。主扇性面積圖上A

＝0的點，即為主零點。很多情形下主零點不唯一。

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質A

圖為直線，采用類似于計算莫爾積分的圖乘法，由A

圖自乘，計算上述積分：計算主扇性慣性矩的圖乘法對于周邊為直線、等厚度的薄壁截面根據(jù)定義

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質確定主扇性面積和主扇性慣性矩的過程

任選極點和零點，確定相關的扇性面積A1。

確定A1對截面形心主軸的扇性慣性積I

1y

和

I

1z,截面對形心主軸的慣性矩I

y和

I

z,

應用確定主極點P的坐標。

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質確定主扇性面積和主扇性慣性矩的過程

以主極點、任意點為零點，繪制扇性面積A0圖并由確定主扇性面積A

，并繪制主扇性面積A

圖。

應用圖乘法，由主扇性面積A

圖，以及

確定主扇性慣性矩I

。

主扇性面積與主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

例題

1：壁厚為

的開口薄壁圓環(huán)，半徑為R。以P1

為極點、O為零點求：1.扇性面積并畫出其分布圖；2.S

1

、I

1、I

1y、I

1z;3.主極點的位置。解：1.計算扇性面積并作圖

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題解：1.計算扇性面積并作圖

考察中線上的任意點A，其方位由表示，SS‘'的弧長為ds,極點P1到ds切線的垂直距離為r=2Rcos

－R自O至A的扇性面積為

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題解：1.計算扇性面積并作圖:自O至A的扇性面積為

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題解：2.計算S

1

、I

1、I

1y、I

1z

：

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題解：3.確定主極點的位置：這表明主極點與初始極點P1重合例題

2：均勻壁厚

的開口薄壁截面，若

和d

均為已知，求：截面的扇性主慣性矩。

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題分析思路

任選極點和零點，計算扇性面積A

1；

確定扇性面積的慣性積I1y

和I1z;

在截面形心處、沿著形心主軸方向建立坐標系Cyz,計算形心主慣性矩Iy和Iz；

計算主極點的坐標值；

繪制主扇性面積圖;

繪制以主極點為極點、以初始零點(O)為零點的扇性面積圖;

采用圖乘法，由主扇性面積圖自乘，確定主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

在截面形心處、沿著形心主軸方向建立坐標系Cyz,計算形心主慣性矩Iy和Iz；

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

任選極點和零點，計算扇性面積A

1P,O

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

采用圖乘法確定扇性面積的慣性積I1y

和I1z

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

計算主極點的坐標值

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

繪制以主極點為極點、以初始零點(O)為零點的扇性面積A

O

圖A

O

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

繪制主扇性面積A

圖A

O根據(jù)確定主扇性面積:

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題A

O

繪制主扇性面積A

圖

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

采用圖乘法，由主扇性面積圖自乘，確定主扇性慣性矩

開口薄壁截面的扇性幾何性質

例題

采用圖乘法，由主扇性面積圖自乘，確定主扇性慣性矩

彎曲中心的扇性幾何性質描述

彎曲中心的扇性幾何性質描述

橫向彎曲時，薄壁截面上的切應力回顧

彎曲中心概念的回顧

用扇性幾何性質描述薄壁截面的彎曲中心

彎曲中心的扇性幾何性質描述

橫向彎曲時，薄壁截面上的切應力回顧y、z為形心主軸

切應力沿著截面周邊切線方向；

切應力沿著薄壁厚度方向均勻分布；

切應力由下式計算：

彎曲中心的扇性幾何性質描述

彎曲中心概念的回顧合力

彎曲中心的扇性幾何性質描述

彎曲中心概念的回顧向彎曲中心簡化的結果向截面形心簡化的結果

彎曲中心的扇性幾何性質描述

用扇性幾何性質描述薄壁截面的彎曲中心

考察任意薄壁截面，任選極點P1，截面上所有的力

dA=ds,對P1之矩為：

彎曲中心的扇性幾何性質描述

用扇性幾何性質描述薄壁截面的彎曲中心

彎曲中心的扇性幾何性質描述

用扇性幾何性質描述薄壁截面的彎曲中心利用分部積分可以證明

彎曲中心的扇性幾何性質描述

用扇性幾何性質描述薄壁截面的彎曲中心

對于任意的FQy、FQz，若要求只彎曲而不發(fā)生扭轉，即Mx=0,則必然有：

這既是確定彎曲中心位置的條件，又是確定主極點位置的條件。這表明：主極點與彎曲中心重合。

彎曲中心的扇性幾何性質描述

用扇性幾何性質描述薄壁截面的彎曲中心

主極點與彎曲中心重合，二者與初始極點之間的距離均為：其中：Iy、Iz－截面對于形心主軸的慣性矩；I

1y

、I

1z

－截面對于任意極點和任意零點的扇形慣性矩。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

基本假定

扭轉中心與扭轉翹曲位移

自由扭轉與約束扭轉

翹曲應力分析

扭轉角變化率微分方程及其解答

邊界條件

約束扭轉引起的自相平衡力系－雙力矩

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

基本假定

截面形狀不變假定（剛周邊假定）：僅管截面在受扭轉后發(fā)生縱向位移，而且各點各不相同，即發(fā)生翹曲，但在其自身平面內的投影，仍保持形狀不變。

中面(截面中線)上各點切應變?yōu)榱悖哼@一假定對于自由扭轉完全正確。但在約束扭轉中，由翹曲引起的中面切應變并不為零，但忽略這一切應變對于分析的結果影響很小。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移

薄壁截面桿扭轉的特點：截面各自繞某一不動點轉動，這一不動點稱為“扭轉中心”(torsioncenter)。

翹曲位移：由于截面繞扭轉中心轉動，各點產生縱向位移；又因為是開口的，故各點縱向位移不等，這樣便產生翹曲，這時的位移稱為“翹曲位移“”(warpingdisplacement)。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移

翹曲位移：由于截面繞扭轉中心轉動，各點產生縱向位移；又因為是開口的，故各點縱向位移不等，這樣便產生翹曲，這時的位移稱為“翹曲位移“”(warpingdisplacement)。

由于是薄壁截面，可以用中面的位移代替截面的縱向位移

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移翹曲引起的縱向位移的計算

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移翹曲引起的縱向位移的計算P－扭轉中心，極點；d

－dx微段兩相鄰截面繞P的相對扭轉角；ABCD－微段上變形前的微元；A

B

C

D

－微段上變形后的微元。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移翹曲引起的縱向位移的計算微元的切應變

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移翹曲引起的縱向位移的計算微元的切應變應用第二個假設滿足右手定則的扭矩和轉角均為正

與弧長s無關

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉中心與扭轉翹曲位移翹曲引起的縱向位移的計算這表明截面縱向位移與扇形面積A

成正比。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉自由扭轉:開口薄壁桿件各截面上所承受的扭矩均相等;而且支承條件不限制端面的翹曲，則扭轉角變化率

沿軸線x方向保持不變，各截面產生相同的翹曲位移，而且是自由的。這種扭轉稱為自由扭轉(unconstrainttorsion).

例如，僅桿兩端作用有扭矩，而且端面翹曲是自由的，這時的扭轉便是自由扭轉。自由扭轉自由扭轉時，由于縱向位移沿軸線x方向保持不變，因而不產生縱向正應變，所以橫截面上只有切應力，不產生正應力。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉自由扭轉自由扭轉時，扭轉角變化率

由下式計算：

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉自由扭轉自由扭轉時，橫截面上

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉

切應力沿著截面周邊切線方向；

切應力沿著薄壁厚度方向線性分布,周邊邊緣處切應力最大，；自由扭轉

切應力由下式計算：

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉(狹長矩形截面或圓弧形截面)自由扭轉

切應力由下式計算：

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉(由若干狹長矩形組成的截面)自由扭轉約束扭轉

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉約束扭轉－若桿件上沿軸線方向作用有分布不均勻的扭矩，或支承處的約束限制了截面的自由翹曲，這時的扭轉稱為“約束扭轉”(constrainttorsion)。約束扭轉

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉約束扭轉

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉縱向翹曲位移受到約束縱向應變

附加正應力(翹曲正應力)約束扭轉

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

自由扭轉與約束扭轉各處翹曲所受的約束各不相同各截面上的正應力不同附加切應力(翹曲切應力)

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

翹曲應力分析

翹曲正應力分析應用胡克定律

稱為翹曲正應力或扇性正應力(sectorialnormalstress).

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

翹曲應力分析

翹曲正應力分析關于周向應力

s的討論應用廣義胡克定律根據(jù)剛周邊假定

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

翹曲應力分析

翹曲切應力分析

與自由扭轉引起的切應力不同的是，由約束扭轉引起的翹曲切應力沿著壁厚方向均勻分布，應用類似于彎曲切應力的方向方法，由局部平衡條件得到

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

翹曲應力分析

翹曲切應力分析由

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答翹曲應力分析所得到的結論以及尚待解決的問題

＝？

A

是以扭心作為極點P的，弧長起點是任意的，扭心在哪里，起點的影響如何考慮？因而需要應用平衡條件。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答平衡條件的應用

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答重要結論

這是主極點和主零點的條件。據(jù)此可以得到下列重要結論：

在主極點確定的前提下，零點的選擇不能是任意的。為了滿足這些條件，可先假設一初始零點，求得A0；再由A0與A

之間的關系求得A

。

翹曲應力公式中的A

為主扇形面積；

薄壁截面的主極點、彎曲中心、扭轉中心三者重合；

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答自由扭矩與約束扭矩總扭矩自由扭矩約束扭矩

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答自由扭矩與約束扭矩自由扭矩約束扭矩Mx1Mxt＝Mx1＋Mx2Mx2產生自由扭轉切應力

1產生翹曲切應力

2扭轉角變化率微分方程

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答Mxt＝Mx1＋Mx2其中令：

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答扭轉角變化率微分方程

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

扭轉角變化率微分方程及其解答扭轉角變化率微分方程的解這一微分方程的解為：

為非齊次方程的特解，與Mxt

有關；常數(shù)C1

和

C2由邊界條件確定。

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

邊界條件鉸支端－支承處截面不能繞桿件軸線轉動，但是可以自由翹曲，故有固支端－支承處截面既不能繞桿件軸線轉動，也不能發(fā)生翹曲，因而有自由端－支承處截面既可以繞桿件軸線轉動，也可以自由翹曲，因而有

z例題

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題已知：T=12kN.m，b=100mm，

h=200mm，

=10mm，

l=1000mm，E=200GPa，

=0.3。求：

1.桿內最大翹曲正應力

max

;2.桿內最大翹曲切應力

2max。解：第一步，計算各種幾何性質

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題截面自由扭轉慣性矩C,P,O

將極點與弧長零點均設在彎曲中心（與形心重合）P處，P即為極點，由此得到的扇性面積圖就是主扇性面積圖。解：第一步，計算各種幾何性質

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題主扇性面積解：第一步，計算各種幾何性質

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題截面的主扇性慣性矩

由圖乘法求得：截面的主扇性慣性矩解：第一步，計算各種幾何性質

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題截面主扇性面積的靜矩S

分布圖解：第二步，確定微分方程的特解和全解

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題因為由嘗試法，微分方程的特解為方程的全解為解：第三步,利用邊界條件確定積分常數(shù)

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題方程的全解為邊界條件：固定端處自由端處解：第三步,利用邊界條件確定積分常數(shù)

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題

解：第四步，計算翹曲正應力首先計算利用

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題

解：第四步，計算翹曲正應力最大值發(fā)生在固定端處的截面上

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題

解：第四步,計算翹曲正應力

最大值發(fā)生在固定端處截面的四個角點上：

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題

解：第四步,計算翹曲正應力橫截面上的翹曲正應力分布

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題解：第五步，計算翹曲切應力產生自由扭轉和約束扭轉的扭矩分別為：在固定端處的截面上：發(fā)生在腹板與翼緣交界處在自由端處的截面上：

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題解：第五步，計算翹曲切應力

開口薄壁截面桿件的約束扭轉例題

例題小結

－約束扭轉問題的分析步驟

第一步，計算各種幾何性質，包括：截面自由扭轉慣性矩，主扇性面積，主扇性慣性矩，扇性面積的靜矩S

分布圖。第二步，確定微分方程的特解和全解第三步,利用邊界條件確定積分常數(shù)第四步,計算翹曲正應力第五步，計算翹曲切應力

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

約束扭轉引起的自相平衡力系－雙力矩約束扭轉引起的新的內力分量－自相平衡力系：雙力矩(bimoment)

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

約束扭轉引起的自相平衡力系－雙力矩定義雙力矩是與翹曲正應力相對應的廣義內力分量。由

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

約束扭轉引起的自相平衡力系－雙力矩組成雙力矩的力偶之力偶矩A1、A2分別為上、下翼緣的面積

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

約束扭轉引起的自相平衡力系－雙力矩上、下翼緣的主扇性面積為

開口薄壁截面桿件的約束扭轉

約束扭轉引起的自相平衡力系－雙力矩

雙力矩在數(shù)值上等于自相平衡的力偶之力偶矩與其作用面之間距離的乘積。

雙力矩的正負號規(guī)則：若A

>0處作用有拉應力

>0，或A

<0處作用有壓應力

<0

，則雙力矩為正，

>0；反之為負。

桿上作用有均布扭轉外力偶時的微分方程及其解答

桿上作用有均布扭轉外力偶時的微分方程及其解答這一節(jié)留給同學們自己去研究(參閱工程力學教程IIpp.126-127)

一般載荷作用下

開口薄壁截面桿件的應力計算

疊加法及其前提

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化

算例

開口薄壁桿件同時承受軸力、彎矩、剪力、扭矩（自由扭轉與約束扭轉）、雙力矩等兩種或兩種以上內力分量時，在下列前提下，其位移和應力都可以由疊加法求得：

疊加法及其前提

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

線彈性材料，而且在彈性范圍內加載；

小變形；

建立平衡方程時，略去微小變形。

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化使開口薄壁桿件產生扭轉的載荷

外加扭轉力偶

作用線不通過截面扭轉中心（彎曲中心）的橫向集中力或分布力。向形心簡化的結果為：一個力與一個力偶。

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化使開口薄壁桿件產生扭轉的載荷

作用線不通過截面上主扇形面積零點的縱向力。

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化使開口薄壁桿件產生扭轉的載荷

作用線不通過截面上主扇形面積零點的縱向力。

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化使開口薄壁桿件產生扭轉的載荷外力雙力矩內力雙力矩

FNi

為

dA

的合力，即截面上的縱向內力。

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化使開口薄壁桿件產生扭轉的載荷z

作用面不通過扇形面積零點的外加彎曲力偶。這種力偶可認為由大小相等、方向相反的兩個縱向力組成（縱向力不通過扇形面積零點）。

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化使開口薄壁桿件產生扭轉的載荷z

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化使開口薄壁桿件產生扭轉的載荷

作用面不通過扇形面積零點的外加彎曲力偶。這種力偶可認為由大小相等、方向相反的兩個縱向力組成（縱向力不通過扇形面積零點）。

作用線不通過截面上主扇形面積零點的縱向力。

作用線不通過截面扭轉中心（彎曲中心）的橫向集中力或分布力。向形心簡化的結果為：一個力與一個力偶。

外加扭轉力偶

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化載荷簡化方法作用在開口薄壁截面桿件的一般載荷可以簡化為：

過形心的軸向載荷（拉壓）

過扭轉中心的橫向載荷，且沿主軸方向（彎曲）

繞扭轉中心的扭轉力偶（扭轉）

繞截面形心主軸的彎曲力偶（彎曲）

外力雙力矩

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算

載荷的簡化載荷簡化方法

橫向力－

向截面的扭轉中心簡化，再沿主軸方向分解為約束扭轉與一個平面彎曲或兩個平面彎曲的組合。

縱向力－向截面形心簡化，使問題變?yōu)檩S向拉壓與單向或雙向彎曲以及約束扭轉（外力雙力矩）的組合。

算例

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算zC已知：b、h、、zC、e、Fx、Fy、l、EI

、GIx

等求：中間截面(x=l/2處)上的內力分量。CA

算例

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算解：1.外力簡化橫向力Fy扭轉中心PFy

，T=Fy(b+e-zC)縱向力Fx截面形心CFx，Mey=-Fx(b-zC)Mez=-Fx(h/2)Be=FxA

AACA

算例

一般載荷作用下開口薄壁截面桿件的應力計算解：2.內力分析軸力：FNx=

Fx;剪力FQy=－Fy

；扭矩：

Mxt=T=Fy(b+e-zC)彎矩：

My＝Mey=-Fx(b-zC)，

Mz＝Mez+Fy(l/2)=-Fx(l/2－h(huán)/2)雙力矩：B

(l)＝Be=FxA

A

B

(l/2

)＝?

B

(l/2

)與約束扭轉有關(參閱<工程力學教程(II)>pp.130-131)

靜力等效的影響區(qū)域

對于實心截面，應用力系簡化結果，對應力和變形計算的影響僅限于加力點附近區(qū)域，距加力點稍遠處，靜力等效的影響便可忽略不計－圣維南原理。

靜力等效的影響區(qū)域

圣維南原理？

靜力等效的影響區(qū)域

靜力等效的影響區(qū)域

對于薄壁桿件：縱向力F的作用線若不通過截面的主扇形面積零點，將產生外力雙力矩，從而產生翹曲應力，圣維南原理不再適用。怎樣應用約束扭轉理論分析

靜力等效的影響區(qū)域

靜力等效的影響區(qū)域

靜力等效的影響區(qū)域上下翼緣上的兩對力偶組成外力雙力矩總扭矩Mxt=0，特