高中理科生高考必備工具：數(shù)理化生公式、規(guī)律概念大全

高中理科生高考必備工具：數(shù)理化生公式、

規(guī)律概念大全

一、高中數(shù)學(xué)公式

1.元素與集合的關(guān)系

xeA=xeCb,A,xeCb,A=xeA.

2.德摩根公式

G(API8)=GAUQ?3;G(AU8)=QAAQ.B.

3.包含關(guān)系

AC\B=A^A\JB=B?

=AC=①=GAU8=/?

4.容斥原理

card(A{_)B)-cardA+cardB-card(A[\B)

card(A\JB\JC)-cardA+cardB+cardC-card(AC]B)

—card(AC\B)—card(BAC)-card{CDA)+card{A0BAC).

5.集合地,生,…M,J的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1

個(gè)；非空的真子集有2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)-一般式f{x}=ax2+bx+c(a*0)；

(2)頂點(diǎn)式f(x)-a(x-h)2+k{aH0);

(3)零點(diǎn)式f(x)=a(x-X1)(x-x2)(aH0).

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

-/、M+N,M-N

="(x)———1<-^—Q

11

-------->-------

f(x)-NM-N

8.方程/(x)=0在(勺，右)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與f(kj/(&)<0不等價(jià),前者是后

者的個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程a/+〃*+。=0(。。0)有且只有一個(gè)實(shí)根在

bk+k

內(nèi)也)內(nèi)，等價(jià)于f(k1)f(k)<0,或f(k)=0且匕<———<’—/,或f(k)=0且

2x2a22

k［+hb,

—------<------<k、.

22a2

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/(幻=加+云+c(a/0)在閉區(qū)間［p,g］上的最值只能在光=-2處及區(qū)

2a

間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

bb

⑴當(dāng)a>00t,^x=~—e[p,q]，則/(x)min=/(-丁)，/(尤)max=max{/(P)J⑷}；

2。2a

b

九=一五任[PR,/(?max=n1ax{/(P)，/(4)}，/(^)min=min{/(P)J(4)}.

(2)當(dāng)a<0時(shí),若x=-—e[p,q\,則/(x)min=min{/(p)"(q)},若

尤=一，e[p，司，則/(九)max=max{/(p)"(q)},/(x)min=min{/(p),/(^)}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/(加)/(〃)<0,則方程/(幻=0在區(qū)間(布,〃)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)f(x)=x2+px+q,則

p2-4q>0

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(加,+8)內(nèi)有根的充要條件為/(加)=0或，口；

---->m

I2

/(/?)>0

/(?)>0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(加,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(，")/(〃)<0或_4g20

m<——<n

I2

f(m)=0[/(?)=0

af(n)>0[af(m)>0

p2-4q>0

(3)方程/(x)=0在區(qū)間(一8,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(根)<0或，p.

--<m

I2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(―,+8)的子區(qū)間L(形如(―8,￡],[a,—)不同)上含參數(shù)

的二次不等式/(xj)20(r為參數(shù))恒成立的充要條件是/(Xi".20(xWL).

(2)在給定區(qū)間(—8,+8)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/(xj)20(7為參數(shù))恒成立

的充要條件是0(xeL).

a>0

a<0

(3)/(x)=ax4+bx1+c>0恒成立的充要條件是《/720或v

2

b-4QC<0

O0

12.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有n個(gè)至多有(〃一1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(〃+1)個(gè)

對(duì)所有X,存在某X，

成立不成立p或q「P且一>q

對(duì)任何X,存在某X，

不成立成立p且q-1P或一＞q

14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則〃是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若pnq,且則〃是g充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)%%e[丁,b1石￥x2那么

。一々)"(玉)一/(馬)]>0=/⑻―/(■)>()=/(X)在J,以上是增函數(shù)；

X]-x2

。一%2)"(%)-/(々)]<0=)一<oq/a)在[a,8]上是減函數(shù).

玉一九2

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(幻>0,則/(x)為增函數(shù)；如果

f(x)<Q,則/(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減

函數(shù)；如果函數(shù)丁=/(〃)和〃=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

>=f[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函

數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)丁=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(-x-a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函

數(shù)，則/(x+a)=/(-x+a).

20.對(duì)于函數(shù)丁=/(x)(xeR),/(x+a)=/3一元)恒成立,則函數(shù)/*)的對(duì)稱(chēng)軸是

函數(shù)無(wú)=審；兩個(gè)函數(shù)曠=/*+幻與丁=f(b-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng).

21.若/(X)=—/(—x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)($0)對(duì)稱(chēng)；若

f(x)=-f(x+a)，則函數(shù)y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

n

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx+4Tx"T+…+4的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=/(幻的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)=/(a+x)=/(a-x)

=f(2a-x)=f(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)=f(a+mx)-f(b-mx)

=f(a+b-mx)—f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0(即y軸)對(duì)稱(chēng).

(2)函數(shù)y=/(wu-a)與函數(shù)y=/(匕一〃優(yōu))的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=空2對(duì)稱(chēng).

2m

(3)函數(shù)y=/(幻和丁=/t(無(wú))的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移上移匕個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x-a)+。的圖

象；若將曲線(xiàn)/(x,y)=O的圖象右移。、上移方個(gè)單位，得到曲線(xiàn)/(x—a,y—6)=0的圖

象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=b<^>f~l(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(依+匕)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=」"T(x)-切，并不是

k

y=[/-'(kx+b)，而函數(shù)y=[/-'(fcc+b)是y=~[f(x)-b]的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

⑴正比例函數(shù)f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+=

(2)指數(shù)函數(shù)/(x)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(\)=a^O.

⑶對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=logux,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(。>0,aH1).

(4)幕函數(shù)/(x)=,/(孫)=/(x)/(y),/⑴=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y)，

XTOx

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)/(x)=/(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=O,

或/(x+。)=-7—(/WH0),

/(x)

或/(x+a)=(/(x)￥0),

/(x)

或;+J/(x)_/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,1])，則/(x)的周期T=2a；

(3)/(尤)=1--1—(/(x)WO),則/(幻的周期T=3a；

/(x+a)

⑷/(玉+々)=佇+、華且/⑷=1()(西)?)。1，0<與一々l<2a)，則

1一/(%)/(々)

/(x)的周期T=4a；

⑸/(x)+/(x+a)+/(x+24/(x+3a)+/(x+旬

=f(x)f(x+a)f(x+2ci)f(x+3a)f(x+4a),則f(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=f(x)-f(x+d),P!iJf(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)基

?1

(1)a"--f=(a>0,機(jī),N*,且〃>1).

7ci

-%1

(2)an-——(?>0,m,〃EN*,且〃>1).

fl-

31.根式的性質(zhì)

(1)而)"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，成7=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，9=|a|=<a.a>0

-a,a<0

32.有理指數(shù)零的運(yùn)算性質(zhì)

注：若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)鬲的運(yùn)算

性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)鬲都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

Tog°N=boab=N(a>0,afl,N>0)

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

log4N=——-—(。>0,月.aWl,〃z>0,且N>G).

log,”a

推論logb"--log.b(a>0,且a>1,m,〃>0,且〃2H1,TV>0).

"m

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,貝ij

⑴log?(W)=log0M+logaN;

(2)k)g"S=log“M—log.N;

(3)loguM"-"log“M(〃eR).

2

36.設(shè)函數(shù)/(x)=logm(ax+bx+c)(aH0),記△=〃-4ac.若f(x)的定義域?yàn)?/p>

R,則a>0,且A<0;若/(x)的值域?yàn)镠,則a>0,且ANO.對(duì)于。=0的情形，需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0,Z?>0,x>0,x^—,則函數(shù)y=log“v(/zx)

a

⑴當(dāng)a>。時(shí)，在(0-)和d，+8)上y=log心(bx)為增函數(shù).

aa

.(2)當(dāng)a<b時(shí)，在(0」)和(―,+°°)上y=logat(Z?x)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>m>1，p>0，〃>0,且QHI，則

G)log"”(〃+P)<log,“〃?

、，,.2tn+n

(2)logamlogan<loga.

38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)?于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有

y=N(l+p)x.

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

977=]

P

an=\(數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)的和為=q+a,+…+。“).

[S“一S"T，〃22

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=q+(〃-l)d=dn+ax-d(nsTV*)；

其前n項(xiàng)和公式為

一〃(4+。,,)一〃("T)d

Sa

n-2-"4十2

d2/1ix

="n~+(q-—d)n.

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=a}q"~'=—q"(neN*)；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

"q

navq=\

或$〃={1.q.

na^q-1

42.等比差數(shù)列{%}:an+i=qan+=b(qW0)的通項(xiàng)公式為

0+(〃-l)d,g=1

%=w+(d-W-"

、，q

其前n項(xiàng)和公式為

nb+〃(〃-l)d,(q=1)

dA-qnd/?

(h---)—V+-；—〃，(”1)

l-q<7~1"q

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款x=7)；元(貸款a元,n次還清，每期利率為b).

44.常見(jiàn)三角不等式

(1)若XE(0,2)，PBJsinx<x<tanx.

（2）若XE（0,5）,貝ijl<sinx+cosxW/.

（3）|sinx|+1cosx|>1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2^+cos2^=l,tang=si“。,tan0-cot0=1.

cos。

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

..1171：、（-1）2Sina,（n為偶數(shù)）

sin（—+a）=<〃[

[（-1）2cosa,（n為奇數(shù)）

f“（n為偶數(shù)）

,nn、（一l）2cosa,

必（了+0=四（n為奇數(shù)）

（-1）2sina,

47.和角與差角公式

sin（a±尸）=sinacos0±cosasinP；

cos（a±/?）=cosacos/?￥sinasin/7;

,0、tana±tanB

tan（za±/3）=----------J.

1+tancrtan0

sin（a+尸）sin（a-/?）=sii？a-sin20（平方正弦公式）;

cos（a+4）cos（a一4）=cos2a—sin24.

asina+力cosa=』a?+b?sin（a+°）（輔助角0所在象限由點(diǎn)伍力）的象限決

.b、

定，tan8=—）.

a

48.二倍角公式

sin2（7=sinnrcos6Z.

cos2a=cos?a-sin?a=2cos2a-l=l-2sin2a.

2tana

tan2a-

l-tan2a

49.三倍角公式

jrjr

sin3。=3sin。-4sin'8=4sin6sin（y-6）sin（y+0].

cos3。=4cos36—3cos3=4cos^cos（--6）cos（—+8）

3

c八3tantan0八/萬(wàn)八、/兀八、

tan36=--------；---=tan0tan（---0）tan（—+夕）.

l-3tan~^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（0x+9）,x￡R及函數(shù)、=cos（0x+°）,x￡R（A,3,°為常數(shù)，且A#0,

27r7T

3>0）的周期T=——；函數(shù)丁=tan（Gx+3）,x+—Z（A,3,夕為常數(shù)，且A

co2

WO,3>0）的周期T=X.

CD

51,正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA;

b2=c2+a1-2cacosB;

c2=/-2abcosC.

53.面積定理

(1)S==gb/%=(ha>hb>用,分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=—absinC=-hcsinA=—easinB.

222

⑶SA%礪|)2-(方?礪)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在A(yíng)ABC中，有A+8+C=^C=乃—(A+B)

=_|q—A|l￡=2C=2%—2(A+B).

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinx=4=x=%乃+(-1/arcsina(keZ9\a\<1).

cosx=a<^>x=2k7r±arccosa(kGZ,\a\<\).

tanx=a=>x=攵乃+arctana*eZ,tze7?).

特別地,有

sina=sin/?=a=攵乃+(-l)"，(ZwZ).

cosa=cos0=a=2k?！?3(keZ).

tana=tan夕na=)萬(wàn)+隊(duì)kGZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinx>a(|a區(qū)1)=x￡Qk兀+arcsina,2k7T+■兀-arcsina),keZ.

sinx<a(|〃區(qū)1)=x￡(2k"一萬(wàn)一arcsina,2k兀+arcsina),keZ.

cosx>a(\a|<1)xe(2k7V-arccosa,2k兀+arccosa),keZ.

cosx<a(\a|<1)<=>XGQk兀+arccos〃，2攵萬(wàn)+24一arccosa),ksZ.

兀

tanx>a(aeR)=>XG(k7t-\-arctana,k7T+kGZ.

7T

tanx<Q(QCR)=xe(k7r--,k7r^arctana),kGZ.

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)人、U為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律:[(口a)=(入u)a;

(2)第一分配律：(入+4)好入a+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(Aa)?b=A(a*b)=2a*b=a?(Ab);

(3)(9b)?c=a?c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)3、3,使得a=A?i+3ez.

不共線(xiàn)的向量已、。叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(X],y)，b=(X2,>2)，且b，0,貝Ua[]b(bH0)ox[%-々%=。.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a,b-ab|cos0.

61.a,b的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度間與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=(龍，1b)4=*2，為)，則a+b=(X]+x2,yi+y2).

⑵設(shè)a=(x,,y),b=(馬，%)，則a-b=(內(nèi)一/，X-％)?

(3)設(shè)A(jq,y),B(x2,y2),則AB=08-0A=(々一3,當(dāng)一乂)一

(4)設(shè)a=(x,y),AeR,則2a=(Ax,Ay).

(5)設(shè)a=(M,y),b=(犬2,%)，則a?b=(%/+K%)?

63.兩向量的夾角公式

cos3=(a=(XQ|),b=(%,必))?

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAJi=\AB\=ylABAB

=J(%2一%了+⑴一行(A(3,X)，B(Z,必))?

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(%，x),b二(工2，%)，且bWO,則

Abob=人axxy2-x2y{=0.

a_Lb(aW0)<=>a?b=0=x]x2+y]y2=0.

66.線(xiàn)段的定比分公式

設(shè)￡(乙,%)，P(x,y)是線(xiàn)段4鳥(niǎo)的分點(diǎn)，力是實(shí)數(shù)，且跳=4班，則

X4-AX

x=}2

1+4OP,+XOP2

Q0P=

X+%>21+2

y=

1+/i

—-―■―-1

=0P=/0[+(l7)02(r=——).

1+A

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X[,%)、B(X2,y2),C(x3,丫3),則AABC的重心的坐

標(biāo)是G(W+；+"弋+%)

68.點(diǎn)的平移公式

x=x+hx=x-h—；——；

<,oOP=0P+PP.

y=y+&[y=y-k

注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形尸’上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸’(總y),且而的

坐標(biāo)為(九外.

69.“按向量平移”的兒個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P\x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(/2,A)平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式

為y=f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(〃,公平移后得到圖象C,若。的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函數(shù)

解析式為3=f(x+h)-k.

(4)曲線(xiàn)C:/(x,y)=O按向量a=(/2,Q平移后得到圖象C',則C'的方程為

f(x-h,y_k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(九A)平移后得到的向量仍然為m=(九,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A4BC所在平面上一點(diǎn)，角A,8,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為仇c,則

--2—2—2

(1)。為的外心=。4=。3一=。。~.

(2)。為A4BC的重心o蘇+無(wú)+反=0.

(3)。為AA8C的垂心Q礪?麗=麗?玩=反?礪.

(4)。為A4BC的內(nèi)心=a礪+/?而+c了=0.

(5)O為A48。的NA的旁心況=匕赤+c反.

71.常用不等式：

(1)a,beRna2+h2>2ah(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào)).

(2)&,。€7?+=>”2?而(當(dāng)且僅當(dāng)@=1)時(shí)取“=”號(hào)).

2

(3)a3+b3+c3>3abe(a>O,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|a|—|Z?|<|a+<|a|+|i>|.

72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積孫是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2折；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積xy有最大值,52.

4

推廣已知?jiǎng)t有(x+y)2=(x-y)2+2孫

(1)若積砂是定值，則當(dāng)最大時(shí),|x+y|最大;

當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|x+)|最小.

(2)若和|x+y|是定值，則當(dāng)定-田最大時(shí),|孫|最??；

當(dāng)|x-y|最小時(shí),|町|最大.

73.一元二次不等式ax2+兒:+。>0(或<0)(。。0,4=/?2一4訛>0),如果a與

ar?+云同號(hào)，則其解集在兩根之外：如果。與af+Zzx+c異號(hào)，則其解集在兩根之

間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

X[<X<尤2=(X一玉)(x-尤2)<°(X1<犬2)；

X<X],或X>/Q(X—%])(%—x2)>0(玉<x2).

74.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

兇<aaF<。-a<x<a.

\j^>ax1>crx>a<-a.

75.無(wú)理不等式

|7(x)?o

(1)"(X)>Jg(x)Q,g(x)2o

J(x)>g(x)

7(x)>0

⑵y/f(x)>g(x)<=>\g(x)>0或￡?一，?

lf(x)>[g(x)]2M

/W>o

⑶"(x)<g(x)Q<gOO>o

j(“)<[g(x)r

76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

⑴當(dāng)a>1時(shí)，

afM>ag(x)=f(x)>g(尤);

7U)>O

log"/(x)>bg“g(x)="g(x)>0.

J(x)>g(x)

(2)當(dāng)0<a<l時(shí),

〃*)>小=/(x)<g(x)；

7U)>0

log0/(尤)>log“g(x)Q,g(x)>o

f(x)<g(x)

77.斜率公式

k=J?'([(%,yj、6(%，%)).

x2—xi

78.直線(xiàn)的五種方程

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=A(x—%)(直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)6(%,y),且斜率為攵).

(2)斜截式y(tǒng)="+b(b為直線(xiàn)/在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式'"(>戶(hù)，)(6(玉，X)、8(%，%)(玉

必一乂超一九?

(4)截距式二+上=1(%。分別為直線(xiàn)的橫、縱截距，a、0H0)

ab

(5)一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同時(shí)為0).

79.兩條直線(xiàn)的平行和垂直

⑴若/i：y=/x+4，l2'-y-k2x+b2

①/]||4=(K。仇；

②(U=2=-L

(2)若4:Ax+4y+G=0,：4》+82)+。2=0,且A|、A]、B(.B2都不為零,

①41%03=2/6；

12

AB2C2

②4U=44+4與=°；

80.夾角公式

(l)tana=|/I-

1+A2Al

(Zj:y=k}x+b],l2'.y=k2x+b2,k]k2^-1)

4用一?

(2)tana=|

44+B]B?

(4:Ax+4y+G=0,/2:^x+B2y+C2=0,44+8色。0).

jr

直線(xiàn)4_L，2時(shí);直線(xiàn)6與，2的夾角是一.

2

81.4到4的角公式

(1)tana=&——.

\+k2k1

(乙：y=K%+4,Z2:y=%2尤+82，勺々2r-D

人也一A/

(2)tana-

44+B[B?

((:Ax+4y+G=04：4%+82丁+。2=0，a4+4&H0).

jr

直線(xiàn)（JJ,時(shí)，直線(xiàn)/1到，2的角是2.

2

82.四種常用直線(xiàn)系方程

（1）定點(diǎn)直線(xiàn)系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4（%,〉。）的直線(xiàn)系方程為y—%=攵（x—%）（除直線(xiàn)

龍=%），其中人是待定的系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4（%,%）的直線(xiàn)系方程為

A（x-%）+3（＞一%）=0,其中A,3是待定的系數(shù).

（2）共點(diǎn)直線(xiàn)系方程:經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)4:4尤+4y+G=0,4：人犬+62y+=0的交點(diǎn)

的直線(xiàn)系方程為（A》+4〉+￡）+/i（v+52.y+G）=0（除，2），其中人是待定的系數(shù).

（3）平行直線(xiàn)系方程：直線(xiàn)丁=依+8中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線(xiàn)

系方程.與直線(xiàn)Ar+By+C=O平行的直線(xiàn)系方程是Ar+B），+4=0（2/0）,人是

參變量.

（4）垂直直線(xiàn)系方程：與直線(xiàn)Ax+By+C=O（A#0,B#0）垂直的直線(xiàn)系方程是

Bx-Ay+A-O,入是參變量.

83.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

d=坐+'K+0!（點(diǎn)p（/,%）,直線(xiàn)/：Ax+By+C=0）.

+B）

84.Ax+3.y+C＞0或＜0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線(xiàn)/:Ar+By+C=0,則Ar+By+C＞0或＜0所表示的平面區(qū)域是：

若BwO,當(dāng)3與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)/的上方的區(qū)域；當(dāng)5與Ar+gy+C

異號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)/的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.

若5=0,當(dāng)A與Ar+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ar+By+C

異號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)/的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.

85.（4》+片），+。1）（4》+巴丁+。2）＞0或＜0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線(xiàn)c：（Ax+4y+G）?x+B2y+C2）=o（。°），則

（4》+B,y+C）（&x++G）＞0或＜0所表示的平面區(qū)域是：

(A》++G)(4x+52y+C2)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(4x+4y+CJ(4x+B2y+G)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+￡2-4F>0).

x=a+rcosO

(3)圓的參數(shù)方程\

y=b+rsm0

(4)圓的直徑式方程(x—%)(X—%)+(y—X)(y—必)=0(圓的直徑的端點(diǎn)是

4(%,2)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

⑴過(guò)點(diǎn)A(x”x),8(X2,%)的圓系方程是

(%一%)(*一*2)+(>一，1)(>->2)+%(%一%)(x-%)—(>—x)(x-々)]=0

=(%—%)(%-%2)+(丁一乂)(7—)，2)+%(以+6)'+。)=0，其中ax+by+c=Q是直線(xiàn)

A3的方程，入是待定的系數(shù).

(2)過(guò)直線(xiàn)/:Ar+B)，+C=O與圓C:爐+尸+￡>，+b=0的交點(diǎn)的圓系方程

是f+y2+Dx+Ey+F+4(Ax+By+C)=0,入是待定的系數(shù).

2

(3)過(guò)圓G：x?+y?+￡)[X+gy+片=0與圓C,：f+y+D^x+E2y+F2=0的交

點(diǎn)的圓系方程是/+>2+。4+&>+耳+”無(wú)2+y2+O/+E2y+K)=0,X是待定的

系數(shù).

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P(x0,為)與圓(x—a)?+(y-b)2=r2的位置關(guān)系有三種

22

若d=^(a-x0)+(b-y0),則

d>r0點(diǎn)P在圓外；d=rc點(diǎn)P在圓上；4<r=點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

直線(xiàn)4:+3y+C=O與圓+(y—。了=產(chǎn)的位置關(guān)系有三種：

4>r=相離=△<()；

d=r=相切=△=();

d<r=相交=△>().

IAa+Bb+C|

其中d=

VA2+B2

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0”O(jiān)2,半徑分別為n,r2,\0]02\=d

d>r2=外離=4條公切線(xiàn)；

d=八+G=外切=3條公切線(xiàn)；

\r}-r2\<d<+r2<=>相交=>2條公切線(xiàn)；

△=,-修=內(nèi)切=1條公切線(xiàn)；

0cde卜1一4|=內(nèi)含<=>無(wú)公切線(xiàn).

91.圓的切線(xiàn)方程

(1)已知圓x2+y2+Dx+Ey+F-0.

①若已知切點(diǎn)(%,%)在圓上，則切線(xiàn)只有一條，其方程是

D+xE+＞

尤x+vv+^\^y＞+F_()

%工十十-十-十廣-u?

當(dāng)(%,%)圓外時(shí)，X°X+y°y+*+—+￡(y-v)-+F=0表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)

的切點(diǎn)弦方程.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)方程可設(shè)為y-%=Z(x-x0),再利用相切條件求k,這時(shí)必

有兩條切線(xiàn)，注意不要漏掉平行于y軸的切線(xiàn).

③斜率為k的切線(xiàn)方程可設(shè)為＞=依+力，再利用相切條件求b,必有兩條切線(xiàn).

(2)已知圓V+y2=產(chǎn).

2

①過(guò)圓上的4(%,為)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為xox+yoy=r;

②斜率為k的圓的切線(xiàn)方程為y=kx土小+k2.

22

92.橢圓—X+=V=1(。＞匕＞0)的r參數(shù)方程是fx=acos6,

ab[y=bsm0

22

93.橢圓=+與=1(。＞8〉0)焦半徑公式

ab

22

\PF}\=e(x+^-),\PF2\=e(^~~一x).

94.橢圓的的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)Ax。,%)在橢圓[+與=1伍〉8＞0)的內(nèi)部0鼻+與＜1.

ab~ab~

r2222

(2)點(diǎn)P(x(),y())在橢圓—r-H——=1(。＞〃＞0)的外部＜=＞—yH—Y＞1.

ab~ab

95.橢圓的切線(xiàn)方程

22

(1)橢圓A+當(dāng)■=1(。＞8〉0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線(xiàn)方程是￥+浮=1.

abab~

22

(2)過(guò)橢圓|y+%=l(a＞人＞0)外一點(diǎn)P(Xo，%)所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是

V+JV=1

a2b2

22

(3)橢圓^+卓=1(。>8>0)與直線(xiàn)Ax+By+C=0相切的條件是

A2a2+B2b2=c2.

96.雙曲線(xiàn)二—與=1(。＞0,b＞0)的焦半徑公式

ab-

22

|P7＜|=|e(x+—)|,|P^|=|e(--x)|.

97.雙曲線(xiàn)的內(nèi)外部

X2V2X2

⑴點(diǎn)P(x0,%)在雙曲線(xiàn)j-二=1(。＞0,6＞0)的內(nèi)部=號(hào)一空?＞1.

crbab

2222

(2)點(diǎn)尸(%,%)在雙曲線(xiàn)2r=1(。＞0力＞0)的外部=存一與＜1.

a~ba~b~

98.雙曲線(xiàn)的方程與漸近線(xiàn)方程的關(guān)系

2222

若雙曲線(xiàn)方程為——2=漸近線(xiàn)方程:xy

(1)TIn=0=y-±—x-

aba

22

(2)若漸近線(xiàn)方程為=-±-=0=>雙曲線(xiàn)可設(shè)為二—4=Q

aahab

22