希望杯五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)教程全冊(cè)

“希望杯”五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)教程全冊(cè)

目錄

?第一講消去問題（一）.................2

?第二講消去問題（二）7

?第三講一般應(yīng)用題....................12

?第四講盈虧問題（一）...........16

?第五講盈虧問題（二）.......................17

?第六講流水問題...................19

?第七講等差數(shù)列...................23

?第八講找規(guī)律.....................26

?能力測(cè)試（一）.....................26

?第九講加法原理.................28

?第十講乘法法原理................31

?第十一講周期問題（一）...................35

?第十二講周期問題（二）...................37

?第十三講巧算（一）39

?第十四講巧算（二）...............40

?第十五講數(shù)陣問題（一）45

?第十五講數(shù)陣問題（二）45

?能力測(cè)試（二）63

?第16講平面圖形的計(jì)算（一）

?第17講平面圖形的計(jì)算（二）

?第18講列方程解應(yīng)用題（一）

?第19講列方程解應(yīng)用題（二）

?第20講行程問題（一）.....

?第21講行程問題（二）.....

?第22講行程問題（三）……

?第23講行程問題（四）.....

?階段測(cè)試（一）............

?第24講平均數(shù)問題（一）....

?第25講平均數(shù)問題（二）…

?第26講長(zhǎng)方體和正方體（一）

?第27講長(zhǎng)方體和正方體（二）…

?第28講數(shù)的整除特征.....

?第29講奇偶性問題..........

?第30講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

?第30講分解質(zhì)因數(shù)（一）

?第31講分解質(zhì)因數(shù)（二）

?第32講牛頓問題.....

?綜合測(cè)試..............

第一講消去問題（一）

在有些應(yīng)用題里，給出了兩個(gè)或者兩個(gè)以上的未知數(shù)量間的關(guān)系，要求出這些未

知數(shù)的數(shù)量。我們?cè)诮忸}時(shí)，可以通過比較條件，分析對(duì)應(yīng)的未知數(shù)量變化的情況，想

辦法消去其中的一個(gè)未知量，從而把一道數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的題目變成比較簡(jiǎn)單的題目解

答出來。這樣的解題方法，我們通常把它叫做“消去法”。

例題與方法

在學(xué)習(xí)例題前，我們先進(jìn)行一些基本數(shù)量關(guān)系的練習(xí)，為用消去法解題作好準(zhǔn)備。

(1)買1個(gè)皮球和1個(gè)足球共用去40元，買同樣的5個(gè)皮球和5個(gè)足球一共用去多

少元？

(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？

(3)6行桃樹和6行梨樹一共120棵，照這樣子計(jì)算8行桃樹和8行梨樹一共有多

少棵？

(4)學(xué)校買了4個(gè)水瓶和25個(gè)茶杯，一共用去172元，每個(gè)水瓶18元，每個(gè)茶杯

多少元？

例1學(xué)校第一次買了3個(gè)水瓶和20個(gè)茶杯，共用去134元；第二次又買了同樣的3

個(gè)水瓶和16個(gè)差杯，共用去118元。水瓶和茶杯的單價(jià)各是多少元？

例2買3個(gè)籃球和5個(gè)足球共、用去480元，買同樣的6個(gè)籃球和3個(gè)足球共用去

519元?；@球和足球的單價(jià)各是多少元？

練習(xí)與思考

(第1?4題5分，其余每題10分，共100分)

1、1袋黃豆和1袋綠豆共重50千克，同樣的7袋黃豆和7袋綠豆共重（）

千克。

2、買5條毛巾和5條枕巾共用去90元，買1條毛巾和1條枕巾要（）元。

3、買4本字典和4本筆記本共、用去了68元，買同樣的9本字典和9本筆記本一

共要（）元。

4、9筐蘋果和9筐梨共重495千克，找這樣計(jì)算，2筐蘋果和2筐梨共重（）

千克。

5、媽媽買了5米畫布和3米白布，一共用去102元?；ú济棵?5元，白布每

米多少元？

6、果園里有14行桃樹和2。行梨樹，桃樹和梨樹一共有440棵。每行梨樹1

5棵，每行桃樹多少棵？

7、買3千克茶葉和5千克糖，一共用去420元，買同樣的3千克茶葉和3千克

糖，一共用去874元。每千克茶葉和每千克糖各多少元？

8、食堂第一次運(yùn)來6袋大米和4袋面粉，一共重400千克；第二次又運(yùn)來9袋大

米和4袋面粉，一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克？

9、3豹味精和7包糖共重3800克，同樣的3包味精和14包糖共重7300克。每包味

精和每包糖各重多少克？

10、育新小學(xué)買了8個(gè)足球和12個(gè)籃球，一共用去了984元；青山小學(xué)買了同樣的

16個(gè)足球和10個(gè)籃球，一共用去1240元。每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元?

11、買15張桌子和25把椅子共用去3050元；買同樣的5張桌子和20張椅子，需

要1600元。買一張桌子和一把椅子需要多少元？

12、3頭牛和6只羊一天共吃草93千克，6頭牛和5只羊一天共吃草130千克。每

頭牛每天比每只羊多吃多少千克？

第二講消去問題（二）

例1、7袋大米和3袋面粉共重425千克同樣的3袋大米和7袋面粉共重325千

克。求每袋大米和每袋面粉的重量。

例2、甲買了8盒糖和5盒蛋糕共用去元；乙買了5盒糖和2盒蛋糕共用去90

元。每盒糖和每盒蛋糕各多少元？

例3、三頭牛和8只羊每天共吃青草93千克，5頭牛和15只羊每天吃青草165

千克。一頭牛和一只羊每天各吃青草多少千克？

練習(xí)與思考

（第1?4題13分，其余每題12分，共100分。）

1.3個(gè)皮球和5個(gè)足球共245元，同樣的6個(gè)皮和10個(gè)足球共（）元。

2.2條床單和3條毛巾共280元。一條床單和一條毛巾共（）元，2條床單和2

條毛巾共（）元。

3.5盒鉛筆和9盒鋼筆共190支，同樣的2盒鉛筆和6盒鋼筆共100支。3盒鉛筆

和3盒鋼筆共（）支，1盒鉛筆和1支鋼筆共（）支。

4.育才小學(xué)體育組第一次買了4個(gè)籃球和3個(gè)排球，共用去了141元；第二次買

了5個(gè)籃球和4個(gè)排球，共用去180元。每個(gè)籃球和每個(gè)排球各多少元？

5.3筐蘋果和5筐梨共重138千克，5筐同樣的蘋果和3筐同樣的共重134千克。，

每筐蘋果和每筐梨各重多少千克?

6.某食堂第一次運(yùn)進(jìn)大米5袋，面粉7袋，共重1350千克；第二次運(yùn)進(jìn)大米3

袋，面粉5袋，共重850千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？

7.3件上衣和7條褲子共430元，同樣的7件上衣和3條褲子共470元。每件上

衣和每條棵子各多少元？

8.2千克水果糖和5千克餅干共64元，同樣的3千克水果糖和4千克餅干共68

元。每千克水果糖和每千克餅干各多少元？

9.5包科技書和7包故事書共620本，6包科技書和3包故事書共420本。每包科

技書比每包故事書少多少本？

10.3個(gè)水瓶和8個(gè)茶杯共92元，5個(gè)水瓶和6個(gè)茶杯共102元。每個(gè)水瓶和每個(gè)

茶杯各多少元？

11.甲有5盒糖，乙有4盒糕共值44元。如果甲、乙兩人對(duì)換一盒，則每人所有物

品的價(jià)值相等。一盒糖、一盒糕各值多少元？

第三講一般應(yīng)用題

在小學(xué)里，通常把應(yīng)用題分為“一般應(yīng)用題”和“典型應(yīng)用題I”兩大類?！暗湫?/p>

應(yīng)用題”

有基本的數(shù)量關(guān)系、解題模式，較復(fù)雜的問題可以通過“轉(zhuǎn)化”，向基本的問題靠攏。我

們已經(jīng)學(xué)過的“和差問題”、和“倍差問題”等等，都是“典型應(yīng)用題”?！耙话銘?yīng)用題

沒有各頂?shù)臄?shù)量關(guān)系，也沒有可以以來的解題模式。解題時(shí)要具體問題具體分析，在認(rèn)

真審題，理解題意的基礎(chǔ)上，理清一知條件與所求問題之間的數(shù)量關(guān)系，從而確定解題

的方法。對(duì)于比較復(fù)雜的問題，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示等手段幫助分析。

例題與方法

例1、把一條大魚分成魚頭、魚身、魚尾三部分，魚尾重4千克，魚頭的重量等于

魚尾的重量加身一般的重量，而魚身體、的重量等于魚頭的重量加上魚尾的重量。這條

魚重多少千克？

例2、一所小學(xué)的五年級(jí)有四個(gè)班，其中五（1）班和五（2）班共有81人，五（2）

班和五（3）班共有83人五（3）班和五（4）班共有86人，五（1）班比五（4）班多2

人。這所學(xué)校五年級(jí)四個(gè)班各有多少人？

例3、甲、乙兩位漁夫在和邊掉魚，甲釣了5條，乙釣了3條，吃魚時(shí)，來了一位

客人和甲、乙平均分吃這條魚。吃完后來客付了8角錢作為餐費(fèi)。問：甲、乙兩為漁夫

各應(yīng)得這8角錢中的幾角？

例4、一個(gè)工地用兩臺(tái)挖土機(jī)挖土，小挖土機(jī)工作6小時(shí)，大挖土機(jī)工作8小時(shí)，

一共挖土312方。已知小挖土機(jī)5小時(shí)的挖土量等于大挖土機(jī)2小時(shí)的完土量，兩種挖

土機(jī)每小時(shí)各挖土多少方？

例5、甲、乙、丙三人用同樣多的錢合買西瓜。分西瓜時(shí)，甲和丙都比乙多拿西瓜7。

5千克。結(jié)果甲和丙各給乙1.5元錢。每千克西瓜多少元？

例6、小紅有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè)。而按

錢數(shù)算，5分幣比2分幣多4角。已知這些硬幣中有36個(gè)1分幣。問：小紅的儲(chǔ)蓄筒里

共存了多少錢？

練習(xí)與思考

（第1?4題13分，其余每題12分，共100分。）

1.有一段木頭，不知它的長(zhǎng)度。用一根繩子倆量它，繩子多15米；如果將繩子對(duì)

折以后再來量，又不夠04米。問：這段繩子長(zhǎng)多少米？

2.甲、乙兩人拿出同樣多的錢合買一段花布，原約定各拿花布同樣多。結(jié)果甲拿

了6米，乙拿了14米。這樣，乙就要給甲12元錢。每米花布的單價(jià)是多少元？

3.甲、乙丙合三人各出同樣多的錢合買蘋果若干千克。分蘋果時(shí)，甲和丙都比乙

多拿7。8千克蘋果，這樣甲和丙各應(yīng)給乙6元錢。每千克蘋果多少錢？

4.學(xué)校買了2張桌子和5把椅子，共付了330元。每張桌子的價(jià)錢是每把椅子的

3倍。每張桌子多少元？

5.某校六年級(jí)有甲、乙、丙丁四個(gè)班，不算甲班，期于三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人,

不算丁班，期于三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人。已知乙、丙兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩個(gè)班

的總?cè)藬?shù)少1人，甲、乙丙、丁四個(gè)班共有多少人？

6.李大伯買了15千克特制面粉和35千克大米，共用去31.2元。已知1千克特特

制面粉的價(jià)格是1千克大米的2倍。李大伯買特制面粉和大米各用去多少元？

7.14千克大豆的價(jià)錢與8千克花生的價(jià)錢相等，已知1千克花生比1千克大豆貴

12元，大豆和花生的單價(jià)各是多少元？

8.某車間按計(jì)劃每天應(yīng)加工50個(gè)零件，實(shí)際每天加工56個(gè)零件。這樣，不僅提

前3天完成原計(jì)劃加工凌駕的任務(wù)，而求多加工了120個(gè)零件。這個(gè)車間實(shí)際加工了多

少個(gè)零件？

9.某班學(xué)生植樹，共、有杉樹苗用途楊樹苗10棵。每小組分杉樹苗6棵，楊樹苗

8棵。這樣杉樹苗正好分完，而楊樹苗還剩2棵。原來杉樹苗與楊樹帽各有多少棵？

10.用8千克絲可以織6分米寬的綢4米，現(xiàn)在有10千克的絲，要織75分米寬的

綢，可以織幾米？I

第4講

盈虧問題（一）

盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象，如果按

某種標(biāo)準(zhǔn)分，則分配后會(huì)有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，又會(huì)不足（虧），求物品的數(shù)

量和分配對(duì)象的數(shù)量。例如：

小朋友分蘋果，如果每人分2個(gè)，就多余16個(gè)；如果每人分5個(gè)，

就缺少14個(gè)。小朋友有多少個(gè)？蘋果有多少個(gè)？

比較兩次分的結(jié)果，第一次余16個(gè)，第二次少14個(gè)，兩次相差1+

14=30（個(gè)）。這是因?yàn)榈诙伪鹊谝淮蚊咳硕喾至?-2=3（個(gè)）蘋果。相差30個(gè)，

就說明有30+3=10（個(gè)）小朋友。請(qǐng)小讀者自己算出蘋果的個(gè)數(shù)。

例題與方法

例1、將一些糖果分給幼兒園小班的小朋友，如果每人分3粒，就會(huì)余下糖果17

粒；如果每人分5粒，就會(huì)缺少糖果13粒。問：幼兒園下班有多少個(gè)小朋友|這些糖果

共有多少粒？

例2、學(xué)生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果么人搬5塊，就有兩

人沒有磚可搬。搬磚的學(xué)生有多少人？這批病共有多少塊?

例4、某校在植樹活動(dòng)中，把一批樹苗分給各班，如果每班分18棵，就會(huì)有余下

24棵；如果每班分20棵，正好分完。這個(gè)學(xué)校有多少個(gè)班？這批樹苗共有多少棵？

練習(xí)與思考

（第1?4題13分，其余每題12分，共100分。）

1.小朋友分糖果若每人分4粒則多9粒；若每人呢分5粒則少6粒。問：有多少

小朋友？有多少粒糖果？

2.小朋友分糖果，每人分10粒正好分完；若每人呢分16粒，則有3個(gè)小朋友分

不到糖果。問：有多少粒糖果？

3.在橋上測(cè)量橋高。把繩長(zhǎng)對(duì)折后垂到水面，還余4米；把繩長(zhǎng)3折后垂到水面，

還余1米。橋高多少米？繩長(zhǎng)多少米？

4.某校安排新生宿舍，如果每間住12人，就會(huì)有34人沒有宿舍住；如果每間住

14人就會(huì)有空出4間宿舍。這個(gè)學(xué)校有多少間？要安排多少個(gè)新生？

5.在依次大掃除中，有一些同學(xué)被分配擦玻璃，他們當(dāng)中如果有2人擦4塊，其

余的人各擦5塊，就會(huì)多下12塊玻璃沒有人擦；如果么人擦6塊，剛好擦完。擦玻璃的

同學(xué)有多少人？玻璃共有多少塊？

6.有一個(gè)數(shù)，減去3所的差的4倍，等于它的2倍加上36。這個(gè)數(shù)是多少？

7.體育老師和一個(gè)朋友一起上街買足球。他發(fā)現(xiàn)自己身邊的錢，如果買10個(gè)“冠

軍”牌足球，還差42元；后來他向朋友借了1000元，買了31個(gè)“冠軍”牌足球，結(jié)果

多了13元。體育老師原來身邊帶了多少元？

8.某小學(xué)生乘汽車去春游，如果每輛車坐65人，就會(huì)有15人不能乘車；如果每

輛車多坐5人恰好多余了一輛車。一共有多少輛汽車？有多少個(gè)學(xué)生？

第五講

盈虧問題（二）

上一講，我們講了盈虧問題的一般情形，也就是在量詞分配中恰好洋盈（多余），

一次虧（不足）。事實(shí)上，在許多問題里，也會(huì)出現(xiàn)兩次都是盈（多余），或者兩次都是

虧（不足）的情況。

例1、學(xué)校將一批鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生，每人9支缺15支；每人7支就缺7支。問:

三好學(xué)生有多少人，鉛筆有多少支？

例2、某小學(xué)的部分同學(xué)外出參觀，如果每輛車坐55人就會(huì)余下30個(gè)座位；如果每

輛車坐50人，就還可以坐10人。有多少輛車？去參觀的學(xué)生多少人？

例3、學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校。王強(qiáng)上學(xué)去，如果每分鐘走60米，可以提早10分鐘

到校；如果每分鐘作嘔50米可以提早8分鐘到校。問：王強(qiáng)什么時(shí)候離開家？他家離學(xué)

校多遠(yuǎn)？

練習(xí)與思考

（第1?4題13分，其余每題12分，共100分。）

1.同學(xué)們打羽毛球，每?jī)扇艘唤M。每組分6個(gè)羽毛球，少10個(gè)球；每組分4個(gè)羽

毛球，少2個(gè)球。問：共、有多少個(gè)同學(xué)打球？有多少個(gè)羽毛球？

2.學(xué)校將一批鋼筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生，每人8支缺11支；每人7支缺7支。問：三好

學(xué)生有多少人？鋼筆有多少支？

3.某小學(xué)的部分學(xué)生去春游，如果每輛車坐50人，就會(huì)余下30個(gè)座位；如果每

輛車坐40個(gè)人，還可以坐10人。問有多少輛車？去春游的學(xué)生多少人？

4.一筐蘋果分給一個(gè)小組，每人5個(gè)剩16個(gè)；每人7個(gè)缺12個(gè)。這個(gè)小組有多

少人？共有多少蘋果？

5.一些學(xué)生分練習(xí)本。其中兩人每人分6本，其余每人分4本，就會(huì)多4本；如

果有一人分10本，其余每人分6本，就會(huì)少18本。學(xué)生有多少人？練習(xí)本多少本？

6.一個(gè)學(xué)生從家到學(xué)校，先用每分50米的速度走了2分，如果這樣走下去，他

會(huì)遲到8分；后來他改用每分60米的速度前進(jìn)，結(jié)果早到學(xué)校5分。這個(gè)學(xué)生家到學(xué)校

的路程是多少米？

7.筑路對(duì)計(jì)劃每天筑路720米，實(shí)際每天比原計(jì)劃多筑802米，這樣，在規(guī)定完

成任務(wù)時(shí)間的前3天，就只剩下1160米未筑。這條路多長(zhǎng)？

8.老師給幼兒園小朋友分蘋果。每2人3個(gè)蘋果，多2個(gè)蘋果，每3人5個(gè)蘋果,

少4個(gè)蘋果。問：有多少小朋友？多少蘋果？

第6講

流水問題

想一想：從南京長(zhǎng)江逆流而上去長(zhǎng)江三峽，與從長(zhǎng)江三峽順?biāo)禄啬暇?，哪個(gè)

花的時(shí)間少？哪個(gè)花的時(shí)間多？為什么？

原因很簡(jiǎn)單。在長(zhǎng)江行船與在一個(gè)平靜的湖這行船是不一樣的，因?yàn)殚L(zhǎng)江的水是

一直從西向東（也就是從上游向下游）流著的，船的速度會(huì)受到江水的影響。而在平靜

的湖水中行船時(shí)，船的速度不會(huì)受到水流的影響?？紤]船在水流速度的情況下行駛的問

題，就是我們這一講要講的流水問題。

船在順?biāo)叫袝r(shí)（比方說，從長(zhǎng)江三峽順流而下到南京），船一方面按照自己本身的

速度即船速（船在靜水中行駛的速度）行駛，同時(shí)整個(gè)水面又按照水的流動(dòng)速度在前進(jìn),

水推動(dòng)著船向前，所以，船順?biāo)畷r(shí)的航行速度應(yīng)該等于船本身的速度與水流速度的和。

也就是

順?biāo)俣?船速+水速

比方說，船在靜水中行駛10千米，水流速度是每小時(shí)5千米，那么，船順?biāo)叫?/p>

的速度就是每小時(shí)10+5=15（千米）。

同學(xué)們可以想一想，上面的問題中，如果是問“船逆水航行的速度是多少？”答

案又該怎么樣呢？船逆水行駛，情況恰好相反。本來船每小時(shí)行駛10千米，但由于水每

小時(shí)又把它往回推了5千米，結(jié)果船每小時(shí)只向上游行駛了10—5=5（千米）。

也就是船在逆水中的速度等于船速度與水速之差。即

逆水速度=船速一水速

例1、一艘每小時(shí)行駛30千米的客輪，在一河水中順?biāo)叫?65千米，水速每小時(shí)3

千米。問：這艘客輪需要航行多少小時(shí)？

例2、一艘船順?biāo)?20千米需要8小時(shí)，水流速度是每小時(shí)15千米，這艘船逆水

每小時(shí)行多少千米？這艘船逆水行這段路程，需要多少小時(shí)？

例3、甲船逆水航行360千米需要18小時(shí)，返回原地需要10小時(shí)；乙船逆水航行同

樣的異端水路需要15小時(shí)，返回原地需要多少小時(shí)？

練習(xí)與思考

（每題20分，共100分）

1.一只小船以每小時(shí)30千米的速度在176千米長(zhǎng)的河中逆水而行，用了211小時(shí)。

這只小船返回原處需要用多少小時(shí)？

2.船在靜水中的速度是每小時(shí)25千米，河水流速位每小時(shí)5千米，一只船往返甲、

乙兩港共花了9小時(shí)，兩港相距多少千米？

3.兩地距280千米，一艘輪船在期間航行，順流用去14小時(shí)，逆流用去20小時(shí)。

求這艘輪船在靜水中的速度和水流的速度。

4.一架飛機(jī)所帶的燃料，最多可以用6小時(shí)，飛機(jī)去是順風(fēng)，每小時(shí)可以飛1500

千米，飛回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)可以飛1200千米。這架飛機(jī)最多飛出多少千米，就需要往回

飛？

5.乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí)。甲船順?biāo)叫型?/p>

一段水路，用了3小時(shí)。甲船返回原地比去時(shí)多用多少小時(shí)？

第7講

等差數(shù)列

(1)1,2,3,4,5,6,7,8,…

(2)2,4,6,8,10,12,14,16,…

(3)1,4,9,16,25,36,49,???

上面三組數(shù)都是數(shù)列。

數(shù)列中稱為項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)叫第一項(xiàng)，又叫首項(xiàng)，第二個(gè)數(shù)叫第二項(xiàng)……以此類推，

最后一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的末項(xiàng)。項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。

一個(gè)數(shù)列中，如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都相等，這樣的數(shù)列叫

等差數(shù)列。后項(xiàng)與前項(xiàng)的差叫做這個(gè)等差數(shù)列的公差。

如等差數(shù)列：4,7,10,13,16,19,22,25,28。首項(xiàng)是4,末項(xiàng)是28,共差是3。

這一講我們學(xué)習(xí)有關(guān)等差數(shù)列的知識(shí)。

例題與方法

例1、在等差數(shù)列1,5,9,13,17,401中401是第幾項(xiàng)？

例2、100個(gè)小朋友排成一排報(bào)數(shù)，每后一個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)

多3,小明站在第一個(gè)位置，小宏站在最后一個(gè)位置。已知小宏報(bào)的數(shù)是300,小明報(bào)的

數(shù)是兒？

例3、有一堆粗細(xì)均勻的圓木，堆成梯形，最上面的一層有5根圓木，每向下一

層增加一根，一共堆了28層。最下面一層有多少根？

例4、1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+10=?

例5、求100以內(nèi)所有被5除余10的自然數(shù)的和。

緲、小王和小胡兩個(gè)人賽跑，限定時(shí)間為10秒，誰跑的距離長(zhǎng)誰就獲勝。小王

第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至終每秒跑1.5米，誰能

取勝？

練習(xí)與思考

（每題10分，共100分。）

1.數(shù)列4,7,10,……295,298中，198是第幾項(xiàng)?

2.蝸牛每小時(shí)都比前一小時(shí)多爬0.1米，第10小時(shí)蝸牛爬了1.9米，第一小時(shí)蝸

牛爬多少米？

3.在樹立俄，10,13,16,…中，907是第幾個(gè)數(shù)？第907個(gè)數(shù)是多少？

4.求自然數(shù)中所有三位數(shù)的和。

5.求所有除以4余1的兩位數(shù)的和。

6.0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+011+013+015+-099的和是多少?

7.梯子最高一級(jí)寬32厘米，最底一級(jí)寬110厘米，中間還有6級(jí)，各級(jí)的寬度成

等差數(shù)列，中間一級(jí)寬多少厘米？

8.有12個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的和是12,求這12個(gè)數(shù)的和。

9.一個(gè)物體從高空落下，已知第一秒下落距離是4.9米，以后每秒落下的距離是

都比前一秒多9.8米50秒后物體落地。求物體最初距地面的高度。

10.求下面數(shù)字方陣中所有數(shù)的和。

1,2,3,…，98,99,100

2,3,4,…99,100,101

3,4,5,…，100,101,102

100,101,102,—197,198,199

第八講

找規(guī)律

你能找出下面各數(shù)列暴烈的規(guī)律嗎？請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填上合適的數(shù)》

(1)8,15,22,(),36,???；

(2)17,1,15,1,13,1,(),(),9,1,???；

(3)45,1,43,3,41,5,(),(),37,9,???；

(4)1,2,4,8,16,(),64,???；

(5)10,20,21,42,43,(),(),174,175,???；

(6)1,2,3,5,8,13,21,(),55。

例L一串?dāng)?shù)按下面規(guī)律排：

例2.1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,6,7,…從第一個(gè)數(shù)算起，前100個(gè)

數(shù)的和是多少？

例3.在一個(gè)長(zhǎng)方形中，如果沒有一條直線，則長(zhǎng)方形可以看作一個(gè)部分。如果在長(zhǎng)

方形中畫一條直線，這個(gè)長(zhǎng)方形就被分為兩個(gè)部分。在長(zhǎng)方形可中畫兩條直線最多可以

將長(zhǎng)方形分成四個(gè)部分。如果三條直線最多可以將長(zhǎng)方形分成七個(gè)部分

例4.在方格紙上畫折線(如圖)，小方格的邊長(zhǎng)是1,圖中的1、2、3、4、…分別表

示折線的第1、2、3、4、…段。求折線中第1994段的長(zhǎng)度。

8

4

95137

2

6

10

練習(xí)與思考

(第1題30分，其余每題10分，共100分。)

(1)找規(guī)律，在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù)。

(1)1,3,9,27,(),243;

(2)2,7,12,17,22,(),(),37;

(3)1,3,2,4,3,(),4;

(4)0,3,8,15,24,(),(),48;

(5)6,3,8,5,10,1,12,9,(),11;

(6)2,3,5,(),(),17,23;

(7)81,64,(),36,(),16,9,4,1；

(8)21,26,19,24,(),(),15,20；

(9)1,8,9,17,26,(),69；

(10)4,11,18,25,(),39,46；

2.一串?dāng)?shù)按下面規(guī)律排列：

1,3,5,2,4,6,3,5,7,4,6,8,5,7,9,

從第一個(gè)數(shù)算起，前100個(gè)數(shù)的和是多少？

3.有一串黑白相間的珠子(如下圖)，第100個(gè)黑珠前面一共有多少個(gè)白珠?

4.在平面中任意作100條直線，這些直線最多能形成多少個(gè)交點(diǎn)？

5.在平面中任意作20條直線，這些直線最多可把這個(gè)平面分成多少個(gè)部分？

6.

序-12345

算51+12+33+51+72+!

序工6789…

算:3+111+132+153+17…

根據(jù)上面的規(guī)律，第40個(gè)序號(hào)的算式是什么？算式‘1+103”的序號(hào)上多少？

7.小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，依次作出下面這些圖形。

rFh“圖1—[

己知第一幅圖的周長(zhǎng)是10厘米。

(1)36個(gè)正方形組成的圖形的周長(zhǎng)是多少厘米?

(2)周長(zhǎng)是70厘米的圖形，由多少個(gè)正方形組成？

已知第一幅圖的周長(zhǎng)是10厘米。

(1)36個(gè)正方形組成的圖形的周廠是多少厘米？

(2)周長(zhǎng)是70厘米的圖形，由多少個(gè)正方形組成？

8在方格紙上畫折線(如本講例4圖)，小方格的邊長(zhǎng)是1,圖中的1,2,3,4,…

分別表示折線擴(kuò)大第1,2,3,4,…段。求折線中第100段的長(zhǎng)度。長(zhǎng)度是30的是第

幾段？

能力測(cè)試(-)

一、填空題(每空3分，工39分)。

1.在下面的括號(hào)里按照規(guī)律填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字。

(1)1,2,3,4,8,16,(),64,128。

(2)5,10,15,20,25,(),35,40。

(3)4,7,10,13,16,(),22,25

(4)1,1,2,3,5,8,13,21,()

(5)1024,512,256,(),64,32,

(6)2,5,11,20,32,(),65,86

(7)1,3,2,4,3,5,(),6,5o

(8)1,4,9,16,25,(),49,64。

1.9個(gè)人9天共讀書1620頁，平均1個(gè)人1天共讀書()頁；照這樣計(jì)算，5

個(gè)同學(xué)5天讀書()頁。

2.如果平均1個(gè)同學(xué)1天植樹（）棵，那么，3個(gè)同學(xué)4天共植樹120棵。

3.買3只足球和9只籃球共用了570元，買9只足球和27只籃球要用（）元。

二、計(jì)算題（每小題5分，共10分）。

1.2+4+6+8+10+???+22+24+26

2.1+2+3+4+5+6+…+1996+1997+1998

三、應(yīng)用題（第1?4題10其余每題10分，第5題11分，共51分）。

1.李老師將一疊練習(xí)本分給第一組的同學(xué)，如果每人分7本，還多7本。如果每

人分9,那么有一個(gè)同學(xué)譯本也分不到。第一組有多少同學(xué)？這疊練習(xí)本一共有多少本？

2.一只小船在河中逆流航行176千米，用了11小時(shí)。一知水流速度是每小時(shí)4

千米，這只小船返回原處要用多少小時(shí)？

3.4只籃球和8只足球共買560元，6只籃球和3只足球共買390元。問：一只籃

球和一只足球各買多少元？

4.有10元鈔票與5元鈔票共128張，其中10元比5元多260元。兩種面額的鈔票各

是多少?gòu)垼?/p>

5.下面是一種特殊數(shù)列的求和方法。

要求數(shù)列2,4,8,16,32,64,-,1024,2048的和,方法如下:

S=2+4+8+16+32+64+-+1024+20482

2S=4+8+16+32+64+…+1024+2048+4096

用下面的式子減去上面的式子，就得到

S=4096-2=4094

即數(shù)列2,4,8,16,32,64,…，1024,2048的和是4094。

仔細(xì)閱讀上面的求和方法，然后利用這種方法求下面數(shù)列的和。

1,3,9,27,81,243,…，177147,531441。

第9講

加法原理

在日常生活與實(shí)踐中，我們經(jīng)常會(huì)遇到分組、計(jì)數(shù)的問題.解答這一類問題，

我們通常運(yùn)用加法與那里與乘法原理這兩個(gè)基本的計(jì)數(shù)原理。熟練掌握這兩個(gè)原理,

不僅可以順利解答這類問題，而求可以為今后升入中學(xué)后學(xué)習(xí)排列組合等數(shù)學(xué)知識(shí)

打下好的基礎(chǔ)。

什么叫做加法原理呢？我們先來看這樣一個(gè)問題：

從南京到上海，可以乘火車，也可以乘汽車、輪船或者飛機(jī)。假如一天中南京

到上海有4班火車、6班汽車，3班輪船、2班飛機(jī)。那么一天中乘做這些交通工具

從南京到上海共有多少種不同的走法？

我們把乘坐不同班次的火車、汽車、輪船、飛機(jī)稱為不同的走法，那么從南京

到上海，乘火車有4種走法，乘汽車有6種走法，乘輪船有3種走法，乘坐飛機(jī)有2

種走法。因?yàn)槊恳环N走法都可以從南京到上海，因此，一天中從南京到上海共有

4+6+3+2=15（種）不同的走法。

我們說，如果完成某一種工作可以有分類方法，一類方法中又有若干種不同的

方法，那么完成這件任務(wù)工作的方法的總數(shù)就等于各類完成這件工作的總和。即N=

mi+m?+,,,+m“（/￥代表完成一件工作的方法的總和，mi,m?,…表示每一類完成

工作的方法的種數(shù)）。這個(gè)規(guī)律就乘做加法原理。

例1書架上有10本故事書，3本歷史書，12本科普讀物。志遠(yuǎn)任意從書架上

取一本書，有多少種不同的取法？

例2一列火車從上上海到南京，中途要經(jīng)過6個(gè)站，這列火車要準(zhǔn)備多少中不

同的車票？

例3在4x4的方格圖中（如下圖），共有多少個(gè)正方形？

例4媽媽，爸爸，和小明三人去公園照相：共有多少種不同的照法?

練習(xí)與思考

（每題10分，共100分。）

1.從甲城到乙城，可乘汽車，火車或飛機(jī)。已知一天中汽車有2班，火車有

4班，甲城到乙城共有（）種不同的走法。

2.一列火車從上海開往杭州，中途要經(jīng)過4個(gè)站，沿途應(yīng)為這

列火車準(zhǔn)備一種不同的車票。

3.下面圖形中共有個(gè)正方形。

第4題

4.圖中共有個(gè)角。

5.書架上共有7種不同的的故事書，中層6本不同的科技書，下層有4鐘不

同的歷史書。如果從書架上任取一本書，有一種不同的取法。

6.平面上有8個(gè)點(diǎn)（其中沒有任何三個(gè)點(diǎn)在一條直線上），經(jīng)過每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫

一條直線，共可以畫____條直線。

7.圖中共有____個(gè)三角形。

8.圖中共有一個(gè)正方形.

9.從2,3,5,7,11,13,這六個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)數(shù)分別作為一個(gè)分

數(shù)的分子和分母，一共可以組成個(gè)真分?jǐn)?shù).

10.某鐵路局從A站到F站共有6個(gè)火車站（包括A站和F站）鐵路局要為在

A站到F站之間運(yùn)行的火車準(zhǔn)備種不同的車票，其中票價(jià)不相同的火車票有

_____種。

第10講

乘法原理

上一講我們學(xué)習(xí)了用“加法原理”計(jì)數(shù)，這一講我們學(xué)習(xí)“乘法原理”。什

么是乘法原理呢？我們來看這樣一個(gè)問題：

從甲地到乙地有3條不同的道路，從乙地到丙地有4條不同的道路。從甲地

經(jīng)過乙地到丙地，共有多少種走法？

我們這樣思考:從甲地到乙地的3條道路中任意選一條都可以從甲地到乙地,

再?gòu)囊业卮蟊氐?條道路中任意選一條都可以從乙地到丙地，那么，從甲地到乙

地的3條道地第一條到達(dá)乙地后，可以走從乙地到丙地的任意一條路，這樣就有了

4種不同的走法。從甲地到乙地的第二條、第三條路到達(dá)乙地后，仍可以從乙地到

丙地的4條路中任選一條到丙地，如圖所示：

從圖中可以看出，從甲地到丙地共有3X4=12（種）走法。如果完成一件事

情需要幾個(gè)步，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有叱種不同的方法，…

那么，完成這件工作共有N=mixntxnbx…xm?種不同的方法。這就是乘法

原理。

例1書架上有4本故事書，7本科普書，志遠(yuǎn)從書架上任取一本故事書和一本

科普書，共有多少種不同的取法？

例2從2、3、5、7、11這五個(gè)數(shù)字中每次取出2個(gè)數(shù)字，分別作為一個(gè)分?jǐn)?shù)

的分子和分母，一共可以組從多少個(gè)分?jǐn)?shù)？其中有多少個(gè)真分?jǐn)?shù)？

例3用9、8、7、6這四個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這些位

數(shù)的和是多少？

例4如圖，A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色中的某一種

染色。若要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，問：共有多少種不同的染色方法？

A

BCD

例5如圖，小明家到學(xué)校有3條東西向的馬路和5條南北向的馬路。他每天

步行從家到學(xué)校（只能向東或向南走），最多有多少種不同的走法？

小明家

學(xué)校

練習(xí)與思考

（每題10分，共100分。）

1.從甲地到乙地有兩條河，從乙地到丙地有3條路可走，從甲地經(jīng)乙地到丙地

共有獨(dú)走法。

2.書架的上、中、下層各有3本、5本、、4本故事書。若要從每層書架上任取

一個(gè)本書，共有一種不同的取法。

3.有1,2,3,三數(shù)字，一共可以組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

4.兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行乒乓球比賽，每班選3人，每人都要和對(duì)方的每個(gè)選手賽一場(chǎng),

一共要賽一場(chǎng)。

5.從5,7,11,13這四個(gè)數(shù)中每次取2個(gè)數(shù)組成分?jǐn)?shù)，一共可以組成個(gè)

分?jǐn)?shù)，其中真分?jǐn)?shù)有個(gè)。

6.圖中一共有個(gè)不同的長(zhǎng)方形。

7.一個(gè)口袋里裝有5個(gè)小球，另7一個(gè)口袋里裝有4個(gè)小球。這些小球的顏色

互不相同。

(1)從兩個(gè)口袋里任意取一個(gè)小球，有種不同的取法。

(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有種不同的取法。

8.某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)三面棋從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào)。每

次可掛一面、二面或三面，并且不同的順序、不同的位置表示不同的信號(hào)、一共可

以表示種不同的信號(hào)。

9.圖中從A點(diǎn)到B點(diǎn)共有種走法(要求走最短的線路)。

A

10.用0到9這十個(gè)數(shù)字可以組成

個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

第11講

周期問題(一)

世間萬物，千奇百怪；運(yùn)動(dòng)變化，千姿百態(tài)?？蛇@貌似“雜亂無章”的世界

卻受到各式各樣的規(guī)律支配著。在這些規(guī)律中，有一種最常見的規(guī)律就是從形形色

色的周期現(xiàn)象中提煉出來的規(guī)律。

如果某一事物的變化具有周期性，那么，該事物在經(jīng)歷一段變化后，又會(huì)呈

現(xiàn)原倆的狀態(tài)。我們把事物所經(jīng)歷的這一段，叫該事物變化的周期。例如，在自然

數(shù)列中，各位數(shù)字變化的周期是10；星期日出現(xiàn)的周期是7（天）：用動(dòng)物記年的

走器是12（年）等等。

在數(shù)學(xué)中，我們把與周期性有關(guān)的數(shù)學(xué)問題叫做周期問題。解答這類問題,

要抓住一下幾點(diǎn)：

1.找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象。

2.把要求的問題和某一周期的變化相對(duì)應(yīng)，以求得問題解決。

例1有249朵花，按5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的順序輪流排列，最后

一朵是什么顏色的花？這249朵花中，紅花、黃花、綠花各有多少朵？

例21997年元旦是星期三，那么，同年12月1日是星期幾？

例3國(guó)慶節(jié)，路旁掛起了一盞盞彩燈，小華看到每?jī)杀K白燈之間有紅、黃、綠

燈各一盞。那么，第80盞燈應(yīng)是什么顏色的？

例471998表示1998個(gè)7連乘，它的結(jié)果末位上的數(shù)字是幾？

例5下面是一個(gè)11位數(shù)，每3個(gè)相鄰數(shù)字之和都是17,你知道“？”表示的

數(shù)字是幾嗎？

思考與練習(xí)

（第1題16分，其余每題12分，共100分。）

1.把1\7化成小數(shù)，請(qǐng)回答：

（1）小數(shù)點(diǎn)后面第80個(gè)數(shù)字是幾？

（2）小數(shù)點(diǎn)后面前80個(gè)數(shù)字的和是多少？

2.把1\81化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面100位數(shù)字之和是多少？

3.今天是星期一，從明天開始第1800天是星期兒？

4.有同樣大小的紅珠、白珠、黑株共有160個(gè)？按4個(gè)紅株，3個(gè)白株，2

個(gè)黑株的順序排列著。黑株共有幾個(gè)？第101個(gè)株子是什么顏色？

5.我國(guó)農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種

動(dòng)物按順序輪流代表各年號(hào)。如果1940年是龍年，那么，1996年是什么年?

6.科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，每隔6小時(shí)做一次記錄。第10次記錄時(shí)，掛鐘的

時(shí)針恰好指向7,問：做第幾一次記錄時(shí)，時(shí)針指向幾？

7.124”表示15個(gè)124連乘，所得積的末位數(shù)字是幾？

8.下面是一個(gè)11位數(shù)，每三個(gè)相鄰數(shù)字之和都是15,你知道問好表示的數(shù)

字是幾嗎？這個(gè)11位數(shù)水多少？

8?

第12講

周期問題（二）

例1有13名小朋友編成1到13號(hào)，他們呢依次圍成月毫個(gè)源泉做游戲?，F(xiàn)在

從1號(hào)開始，每數(shù)到第3個(gè)人發(fā)一粒糖（每人只拿一次糖）。那么，最后一個(gè)拿到

糖的小朋友是幾號(hào)？

例2緊接著1998后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘

積的各個(gè)位數(shù)。例如，9X8=72。在8后面寫1,8,X2=16,在2后面寫

6,……得到一串?dāng)?shù)：199826……這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第1998個(gè)數(shù)字是幾？

例3把自然數(shù)按下表規(guī)律排列后，可分成A、B、C、D、E五類，例如，3在C

類，10在B類.那么985在哪一行，哪一類？

ABCDE

1234

8765

9101112

?????????13

???.????????

例4把1至8個(gè)數(shù)碼擺成一個(gè)圓圈《現(xiàn)在有一個(gè)小球，第一天從1號(hào)順時(shí)針前

進(jìn)203個(gè)位置，第二天再順時(shí)針前進(jìn)335個(gè)位置，第三天又順時(shí)針前進(jìn)203個(gè)位置,

第四天再舒適鎮(zhèn)前進(jìn)335個(gè)位置，第五天又順時(shí)針前進(jìn)203個(gè)位置……試問：至少

經(jīng)過幾天后，小球又回到1號(hào)位置？

例5下表中，將每列上下兩個(gè)漢字組成一組，例如，第一組為（學(xué)做），第二

組為（習(xí)接）。那么第649組是什么？

學(xué)習(xí)好學(xué)習(xí)好學(xué)習(xí)好???

做接班人做接班人做…

例6在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，同時(shí)自右

至左每隔5厘米也染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)處將木棍逐段鋸開。那么，長(zhǎng)度是1

厘米的短木棍有多少根？

練習(xí)與思考

（第1?4題每題17分，其余每題16分，共100分。）

1.有a、b、c、d四條直線（如圖），從直線a上開始，按箭頭方向從1開

始依次在a、b、c、d上寫自然數(shù)1,2,3,4,5,6,…

（1）106在哪條線上？

（2）直線a上第56個(gè)數(shù)是多少？

2.在一列數(shù)2,9,8,2,…從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)成積

的個(gè)位數(shù)。比如，第三個(gè)數(shù)8,是前兩個(gè)數(shù)的積2X9=18的個(gè)位數(shù)字。這一列

數(shù)的第180個(gè)數(shù)是幾？

3.將奇數(shù)1,3,5,7,…依次排成五列（如圖），把最左邊的一列叫做第一列,

從左到右依次將每列寫上數(shù)。1997出現(xiàn)在哪一列？

1357

1513119

17192123

31292725

???

4.把16把椅子擺成一個(gè)圓圈，依次編上1到16號(hào)?，F(xiàn)在有一個(gè)人從第一號(hào)椅

子順時(shí)針前進(jìn)213把椅子，再逆時(shí)針前進(jìn)285把椅子，又順時(shí)針前進(jìn)213把椅子，

再逆時(shí)針前進(jìn)285把椅子，又順時(shí)針前進(jìn)12把椅子，這時(shí)他到了第幾號(hào)椅子？

5.下表中每列上下兩個(gè)漢字和字母組成一組，例如，第一組是（我A）,第二

組是（們B）,…

我們愛數(shù)學(xué)我們愛數(shù)學(xué)我???

ABCD