北京市2019年中考數學試題(含解析)

2019年北京市中考數學試卷

一.選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.4月24日是中國航天日，1970年的這一天，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星

“東方紅一號”成功發(fā)射，標志著中國從此進入了太空時代，它的運行軌道，距地球最近點439

（）（）（）米.將4390（）0用科學記數法表示應為（）

A.0.439xl06B.4.39xl06C.4.39xl05D.139xl03

【解析】本題考察科學記數法較大數，4x10'中要求此題中a=4.39,N=5,故

選C

2.下列倡導節(jié)約的圖案中，是軸對稱圖形的是（）

【解析】本題考察軸對稱圖形的概念，故選C

3.正十邊形的外角和為（）

A.1800B.36O0C.7200D.14400

【解析】多邊形的外角和是一個定值360。，故選B

4.在數軸上，點A,B在原點。的兩側，分別表示數。，2,將點A向右平移1個單位長度,

得到點C.若CO=B。，則a的值為（）

A.-3B.-2C.-lD.1

【解析】本題考察數軸上的點的平移及絕對值的幾何意義.點A表示數為a,點8表

示數為2,點。表示數為a+1,由題意可知，。＜0,...|a+l|=2,解得。=1

（舍）或a=—3,故選A

5.已知銳角NAOB如圖，（1）在射線上取一點C,以點。為圓心,

0C長為半徑作PQ,交射線。8于點￡）,連接CD；

（2）分別以點C,。為圓心，C。長為半徑作弧，交P。于點N；

(3)連接OM,MN.

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）

A.NCOM=NCODB.若OM=MN,貝ijNAO8=20°

C.MN//CDD.MN=3CD

【解析】連接ON,由作圖可知△COM^ADON.

A.由△COMganOM,可得NCOM=NCOO,故A正確.

B.若OM=MN,則AOMN為等邊三角形，由全等可知NCOM=NCOZ>/OON=20。，故8

正確

1QQ°_zcor)

C.由題意，OC=OD,:.NOCD=_.設OC與OD與MN分別交于R,S,易證

2

?QQO_/COD

△MOR^/\NOS,則OR=OS,：.NORS=------------,ZOCD^ZORS.：.MN//CD,故

2

C正確.

D.由題意，易證MC=CD=DN,...欣7+。+。238.：兩點之間線段最短.，加％<

MC+CD+DN=3CD,故選。

'2/72+Z2])/\

6.如果根+〃=1,那么代數式------1——?(m2-/)的值為()

\m~-mnmJ''

A.-3B.-lC.lD.3

2m+n

【解析】:1(4一/)

m2-mn+m)

2m+/?m-n.、/、

---------------1---------------(m4-n)(m-n)

--------------(m+n)(tn-ri)=3(m+n)

m(m-n)

m+n=[

，原式=3,故選。

7.用三個不等式Q〉。，ab>3，<_L中的兩個不等式作為題設，余下的一個不等式作

ab

為結論組成一個命題，組成真命題的個數為（）

A.OB.lC.2D.3

【解析】本題共有3種命題：

命題①，如果。那么一

ab

?：a>b、：.a-b>OV^>0,???i>0,整理得，該命題是真命題.

tabba

命題②，如果—<7,那么4。>。.

ah

V-<-,.\---<0,^^<0.a>b}：.h-a<Oy：.ab>0.

ababab

,該命題為真命題.

命題③，如果a〃>0,—<—,那么a>b.

ab

V-<A---<0,^^<0.Vab>0f：.b-a<0t：.b<a

abahah

J該命題為真命題.

故，選。

8.某校共有200名學生，為了解本學期學生參加公益勞動的情況，收集了他們參加公益勞

動時間（單位：小時）等數據，以下是根據數據繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.

00V10100V2020?3030W/V40段40

學生

類型

人數

時間

性男73125304

別

女82926328

學初中25364411

段

高中

下面有四個推斷：

①這200名學生參加公益勞動時間的平均數一定在24.5-25.5之間

②這200名學生參加公益勞動時間的中位數在20-30之間

③這200名學生中的初中生參加公益勞動時間的中位數一定在20-30之間

④這200名學生中的高中生參加公益勞動時間的中位數可能在20-30之間

所有合理推斷的序號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

【解析】①由條形統(tǒng)計圖可得男生人均參加公益勞動時間為24.5兒女生為25.5/7,

則平均數一定在24.5-25.5之間，故①正確

②由統(tǒng)計表類別欄計算可得，各時間段人數分別為15,60,51,62,12,則中位數在20~30

之間，故②正確.

③由統(tǒng)計表計算可得，初中學段欄03<10的人數在0~15之間，當人數為0時，中

位數在20-30之間；當人數為15時，中位數在20-30之間，故③正確.

④由統(tǒng)計表計算可得，高中學段欄各時間段人數分別為0~15,35,15,18,1.當

03<10時間段人數為0時，中位數在10~20之間；當03<10時間段人數為15時，

中位數在10~20之間，故④錯誤

故，選C

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

%—1

9.若分式——的值為0,則%的值為------.

X

【解析】本題考查分式值為0,則分子X-1=0,且分母XH0,故答案為1

10.如圖，ABC,通過測量、計算得△ABC的面積約為—加2（結果保留一位小數）

【解析】本題考查三角形面積，直接動手操作測量即可，故答案為“測量可知”

11.在如圖所示的幾何體中，其三視圖中有矩形的是.（寫出所有正確答案的序號）

【解析】本題考查對三視圖的認識.①長方體的主視圖，俯視圖，左視圖均為矩形；

②圓柱的主視圖，左視圖均為矩形，俯視圖為圓；③圓錐的主視圖和左視圖為三角

形，俯視圖為圓.故答案為①②

第10題圖

12.如圖所示的網格是正方形網格，則/4鉆+/產區(qū)4=。（點A,B,尸是網

格線交點）.

【解析】本題考查三角形的外角，可延長AP交正方形網格于點Q,連接BQ,如圖

所示，經計算PQ=BQ=行，PB=M.PQ、BQ2=PB\即△PBQ為等腰直角

三角形，/.ZBPQ=45°,VZB\B+ZPBA=ZBPQ=45°,故答案為45

AB

k

13.在平面直角坐標系xOy中，點A(q,人)(。>0,匕>0)在雙曲線丁=’上.點入關

X

于龍軸的對稱點8在雙曲線>=幺上，則左1+左2的值為------

【解析】本題考查反比例函數的性質，A(a,b)在反比例>=&上，則占=。"A

關于x軸的對稱點8的坐標為(a,-b)，又因為8在y=幺上,則七=.?.匕+&=0

故答案為0

14.把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如

圖2,圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為------.

【解析】設圖1中小直角三角形的兩直角邊分別為。，bS>a),則由圖2,圖3可

列方程組，一，解得，，，所以菱形的面積S==x4x6=12.故答案為12.

b-a=l也=32

15.小天想要計算一組數據92,90,94,86,99,85的方差S；.在計算平均數的過程中，

將這組數據中的每一個數都減去90,得到一組新數據2,0,4,-4,9,-5.記這組新數

據的方差為S；,則s；(填,，或“<?)

【解析】本題考查方差的性質。兩組數據的平均值分別為91和1,

2_(92-91了+(90-911+(94-91y-91)2+(99-91)2+(85-91)211668

Sc=------------------------------+--(-8-6------------------------------=--

63

222222

2(2-l)+(0-l)+(4-l)+(-4-l)+(9-l)+(-5-l)13668

1663

故答案為=

16.在矩形A8CO中，M,N,P,。分別為邊45,BC,CD,￡>A上的點(不與端點重合).

對于任意矩形A8C。，下面四個結論中，

①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；

②存在無數個四邊形MNPQ是矩形；

③存在無數個四邊形MNPQ是菱形；

④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形.

所有正確結論的序號是.

【解析】根據平行四邊形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定可知，存在無數

個平行四邊形，無數個矩形，無數個正方形，故答案為①②③

三、解答題(本題共68分，第17-21題，每小題5分，第22-24題，每小題6分，第25題

5分，第26題6分，第27-28題，每小題7分)

解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：—(4—%)+2s加6O'+(a)L

【解析】原式=百-1+2乂^^+4

273+3

4(x—1)<x+2,

18.解不等式組:

【解析】解不等式①得：

4%—4vx+2,4%—xv4+2,3x<6,x<2

7

解不等式②得：x+7>3x,x-3x>-7,-2x>-7,/.x<—

2

，不等式組的解集為2

19.關于x的方程12—2%+2根-1=0有實數根，且根為正整數，求〃？的值及此時方

程的根.

【解析】???f-2x+2加—1=0有實數根，：.^>0,即（一2）2-4（2加-1）20,二機工1

?.加為正整數，...m=1,故此時二次方程為--2x+l=0,即（x-l）2=0

??Xj-K1-1

*0-m=1,此時方程的根為x]=x2=l

20.如圖，在菱形ABC。中，AC為對角線，點E,廠分別在AB,AQ上，BE=DF,連接EE

（1）求證：AC1EF；

（2）延長EF交CD的延長線于點G,連接BD交AC于點O,若BD=4

tanG=2，求AO的長.

C

【解析】證明：???四邊形ABC。為菱形：.AB=AD,AC^ZBAD

,:BE=DF,：.AB-BE=AD-DF,：.AE=AF

.?.△AEF是等腰三角形，?.SC平分/BA。，：.ACLEF

(2)解：?..四邊形ABC。為菱形，，CG〃AB,B0=-BD=2,,JEF//BD

2

二四邊形E3DG為平行四邊形，：.ZG=ZABD,：.tanZABD=tanZG=-

2

—>'?AO-Y

BO22

21.國家創(chuàng)新指數是反映一個國家科學技術和創(chuàng)新競爭力的綜合指數.對國家創(chuàng)新指數得分

排名前40的國家的有關數據進行收集、整理、描述和分析.下面給出了部分信息：

a.國家創(chuàng)新指數得分的頻數分布直方圖（數據分成7組:

30<r<40,40<x<50,50<r<60,60<r<70,70<r<80,800<90,90<^<100)；

b.國家創(chuàng)新指數得分在60q<70這一組的是：

61.762.463.665.966.468.569.169.369.5

c.40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數得分情況統(tǒng)計圖:

國家創(chuàng)新指數得分

01234567891011人均國內生產總值/萬元

d.中國的國家創(chuàng)新指數得分為695

(以上數據來源于《國家創(chuàng)新指數報告(2018)?)

根據以上信息，回答下列問題：

(1)中國的國家創(chuàng)新指數得分排名世界第------；

(2)在40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數得分情況統(tǒng)計圖中，包括中國在內的

少數幾個國家所對應的點位于虛線4的上方.請在圖中用“0”圈出代表中國的點；

(3)在國家創(chuàng)新指數得分比中國高的國家中，人均國內生產總值的最小值約為-----萬美

元；(結果保留一位小數)

(4)下列推斷合理的是-----.

①相比于點A,B所代表的國家，中國的國家創(chuàng)新指數得分還有一定差距，中國提出“加快

建設創(chuàng)新型國家”的戰(zhàn)略任務，進一步提高國家綜合創(chuàng)新能力；

②相比于點8,C所代表的國家，中國的人均國內生產總值還有一定差距，中國提出“決勝

全面建成小康社會”的奮斗目標，進一步提高人均國內生產總值.

【解析】

(1)17

(2)

國東創(chuàng)Si指數得分

301——>~-~?---1-----1-----1-----1__i_i------1-------------------------

01J345678910H人均國內生產總值/萬元

(3)2.7(4)①②

22.在平面內，給定不在同一直線上的點A,B,C,如圖所示.點。到點A,B,C的距離

均等于?(a為常數)，到點。的距離等于?的所有點組成圖形G,NA3C的平分線交圖形

G于點D,連接AD,CD.

(1)求證：AD=CD；

(2)過點。作垂足為E,作,BC,垂足為凡延長OF交圖形G于點M,

連接CM.若AO=CM,求直線DE與圖形G的公共點個數.

A?

B.?C

【解析】如圖所示，依題意畫出圖形G為。。如圖所示

(1)證明：：8。平分/ABC,:.NABD=/CBD,

：.AD=CD,：.AD=CD

(2)?：'：AD=CD,AD=CM,：.CD=CM.'：DF±BC,；.NDFC=NCFM=90。

在RtACDF和Rt4CMF中

CD=CM

4，:.叢CDF”/\CMF(HL),：.DF=MF,二創(chuàng)？為弦0M的垂直平分線

CF=CF

.?.BC為。。的直徑，連接0。

ZC0D=2ZCBD,ZABC=2ZCBDt：.ZABC=ZCOD,：.0D//BE.

XV￡>E±BA,/.ZDEB=90°,/.ZODE=90°,即OOLOE,...OE為。。的切線.

.??直線。E與圖形G的公共點個數為1個.

23.小云想用7天的時間背誦若干首詩詞，背誦計劃如下：

①將詩詞分成4組，第i組有七首，i=l,2,3,4；

②對于第，?組詩詞，第，?天背誦第一遍，第（i+1）天背誦第二遍，第（i+3）天背誦第三

遍，三遍后完成背誦，其它天無需背誦，i=l,2,3,4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第1組苞王

第2組x2X2

第3組

第4組%4%4%4

③每天最多背誦14首，最少背誦4首.

解答下列問題：

（1）填入補全上表；

（2）若百=4,%2=3，％3=4，則％4的所有可能取值為

（3）7天后，小云背誦的詩詞最多為------首.

【解析】（1）如下圖

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第1組

第2組

第3組X3%3

第4組

（2）根據上表可列不等式組:

4<%,4-x3+x4<14

<4<x2+x4<14,可得44%446

4<x4<14

(3)確定第4天，％+/+%=14,由第2天，第3天，第5天可得

4<^+x2<14

<4<x2+x3<14,?\12<%+X3+%+3%2442,-2<3x2<—,

4<x2+x4<14

可取起最大整數值為9,；.%+X2+X3+X4=14+9=23

24.如圖，P是A8與弦48所圍成的圖形的外部的一定點，C是AB上一動點，連接PC交

弦A8于點D.

小騰根據學習函數的經驗，對線段PC,PD,A￡＞的長度之間的關系進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整：

（1）對于點C在A8上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段PC,PD,AZ）的長度的幾

組值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83

PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83

AD!cm0.000.781.542.303.014.005.116.00

在PC,PD,AD的長度這三個量中，確定-----的長度是自變量，------的長度和

------的長度都是這個自變量的函數；

(2)在同一平面直角坐標系“0y中，畫出(1)中所確定的函數的圖象;

(3)結合函數圖象，解決問題：當PC=2P。時，的長度約為------

【解析】

(1)AD,PC,PD；

(2)

(3)2.29或者3.98

25.在平面直角坐標系中，直線/：丁=辰+1(%。0)與直線x=Z,直線丁=一女分

別交于點A,B,直線％=左與直線＞=一左交于點C.

(1)求直線/與y軸的交點坐標；

(2)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.記線段AB,BC,C4圍成的區(qū)域(不含邊界)

為W.

①當％=2時，結合函數圖象，求區(qū)域W內的整點個數；

②若區(qū)域W內沒有整點，直接寫出左的取值范圍.

【解析】⑴令尤=0,則y=l,.??直線/與y軸交點坐標為(0,1)

(2)①當4=2時，直線Z:y=2x+1,把x=2代入直線/,則y=5,'A(2,5)

把y=-2代入直線/得：-2=2%+1,/.x=-|

AB(-|,-2),C(2-2),整點有(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2)共6

I八占、、?

②-1女＜0或七-2

1

26.在平面直角坐標系％Oy中，拋物線丁=ar7+bx——與y軸交于點A,將點A向右平

a

移2個單位長度，得到點8,點B在拋物線上.

(1)求點B的坐標(用含。的式子表示)；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)已知點尸(」,-，),2(2,2).若拋物線與線段P。恰有一個公共點，結合函數圖象，

2a

求a的取值范圍.

【解析】(1).??拋物線與y軸交于點4.?.令x=0,得y=-1，

a

，點A的坐標為(0,-L),?.?點A向右平移兩個單位長度，得到點用

a

二點8的坐標為(2,-2)；

a

(2)?拋物線過點40,-工)和點5(2,-4)，由對稱性可得，拋物線對稱軸為

aa

直線X=S=1,故對稱軸為直線x=l

2

(3)①當a〉0時，則-'<(),分析圖象可得：根據拋物線的對稱性，拋物線不可

a

能同時經過點A和點P；也不可能同時經過點B和點Q,所以，此時線段PQ與拋

物線沒有交點.

②當a<0時，貝IJ—L>0.

a

分析圖象可得：根據拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經過點A和點尸；但當點。

在點B上方或與點B重合時，拋物線與線段尸。恰有一個公共點，此時-‘W2,即

a

綜上所述，當g時，拋物線與線段P。恰有一個公共點.

27.已知/AOB=30°,“為射線0A上一定點，OH=A/3+1,P為射線08上一點,

M為線段0"上一動點，連接滿足NOM尸為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時

針旋轉150°,得到線段PM連接OM

(1)依題意補全圖1;

(2)求證：ZOMP=ZOPN；

(3)點M關于點”的對稱點為Q,連接QP.寫出一個。尸的值，使得對于任意的點M總

有CW=QP,并證明.

圖1備用圖

【解析】

(1)如圖所示

(2)在△0PM中，Z0MP=180°-ZPOM-ZOPM=150°-ZOPM

ZOPN=/MPN-/OPM=1500-ZOPM

：.ZOMP=ZOPN

(3)過點P作尸KJ_OA,過點N作NHLOB.

,/ZOMP=ZOPN,:.NPMK=/NPF

在^可「尸和4PMK中

ZNPF=ZPMK

<NNFO=NPMK=90。

PN=PM

〔,:.ANPF迫APMK(A4S