全國高中數(shù)學(xué)賽課一等獎作品教學(xué)設(shè)計模板一

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（一）

目錄

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品：1教案：《方程的根與函數(shù)的零點》.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品：3教案：用二分法求方程的近似解.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品4教案：向量的加法.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品5教案：向量加法運算及其幾何意義.doc

全國高中數(shù)學(xué)賽課T獎作品儆案:大小.doc

全國高中數(shù)學(xué)賽課T獎作品7教窠：二元一次格式.doc

全國高中數(shù)學(xué)賽課T獎作品8教案：分步原理與分類原理.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課一等獎作品9教窠：等比數(shù)列.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課一等獎作品10教案:獨立性檢驗的基本思想doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課一等獎作品11教案：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課一等獎作品12教案:懿的概念doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品13教案：等比數(shù)列的前n項和公式.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品1儆集：函數(shù)的表示法.doc

"全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品15教案:歸納推理doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品1儆案:函數(shù)y=Asin（3x+（p）.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品17教案：函數(shù)的單調(diào)性.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品18教案：幾何概型的教學(xué)設(shè)計.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品19教宗:函數(shù)的奇偶性.doc

u全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品20穌：又擻函數(shù)二doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品23:《古doc

，，全國高中數(shù)學(xué)褰課T獎作品22教案:《平面向量（第一課）》.doc

全國高中數(shù)學(xué)寒課T獎作品23教案：《曲線與方程》.doc

全國高中數(shù)學(xué)褰課一等獎作品2雌：《橢圓旗^舫程》.doc

課題：3.1.1方程的根與函數(shù)的零點

教材：普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修1

(人民教育出版社A版)第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、教學(xué)目標

1.結(jié)合方程根的幾何意義，理解函數(shù)零點的定義；

2.結(jié)合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應(yīng)函數(shù)零點之間的等價

知識與技能關(guān)系；

3.結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征，掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在

區(qū)間的方法.

1.通過化歸與轉(zhuǎn)化思想的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生從已有認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，尋求解

決棘手問題方法的習(xí)慣；

2.通過數(shù)形結(jié)合思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生主動應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的意識；

過程與方法3.通過習(xí)題與探究知識的相關(guān)性設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生深入探究得出判斷函數(shù)

的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法；

4.通過對函數(shù)與方程思想的不斷剖析，促進學(xué)生對知識靈活應(yīng)用的能

力。

1.讓學(xué)生體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學(xué)思想在解

決數(shù)學(xué)問題時的意義與價值；

情感、態(tài)度與價值觀2.培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣；

3.使學(xué)生感受學(xué)習(xí)、探索發(fā)現(xiàn)的樂趣與成功感。

二、教學(xué)國國點與難點

教學(xué)重點零點的概念及零點存在性的判定。

教學(xué)難點探究判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法.

三、教學(xué)的方法與手段

授課類型：新授課教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)、探究式學(xué)習(xí)

教學(xué)課件：自制Powerpoint課件多媒體設(shè)備：計算機

四、教學(xué)過程

【環(huán)節(jié)一：揭示意義，明確目標】揭示本章意義，指明課節(jié)目標

教師活動：用屏幕顯示第三章函數(shù)的應(yīng)用

3.1.1方程的根與函數(shù)的零點

教師活動：這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)第三章函數(shù)的應(yīng)用。通過第二章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認識了指數(shù)

函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，而這一章我們就要運

用函數(shù)思想，建立函數(shù)模型，去解決現(xiàn)實生活中的一些簡單問題。為此，我們還

要做一些基本的知識儲備。方程的根，我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，而我們在初中

研究的“方程的根”只是側(cè)重“數(shù)”的一面來研究，那么，我們這節(jié)課就主要從

“形”的角度去研究“方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系”。

教師活動：板書標題(方程的根與函數(shù)的零點)。

【環(huán)節(jié)二：巧設(shè)疑云，輕松滲透】設(shè)置問題情境，滲透數(shù)學(xué)思想

教師活動：請同學(xué)們思考這個問題。用屏幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？

(1)X2-2X-3=0；(2)lnx+2x—6=0.

學(xué)生活動：回答，思考解法。

教師活動:第二個方程我們不會解怎么辦？你是如何思考的？有什么想法？我們可以考慮將

復(fù)雜問題簡單化，將未知問題已知化，通過對第一個問題的研究，進而來解決第

二個問題。對于第一個問題大家都習(xí)慣性地用代數(shù)的方法去解決，我們應(yīng)該打破

思維定勢，走出自己給自己畫定的牢籠！這樣我們先把所依賴的拐杖丟掉，假如

第一個方程你不會解，也不會應(yīng)用判別式，你要怎樣判斷其實根個數(shù)呢？

學(xué)生活動：思考作答。

教師活動：用屏幕顯示函數(shù)曠=1—2%-3的圖象。

學(xué)生活動：觀察圖像，思考作答。

教師活動：我們來認真地對比一下。用屏幕顯示表格，讓學(xué)生填寫f—2x-3=0的實數(shù)根

和函數(shù)圖象與x軸的交點。

學(xué)生活動：得到方程的實數(shù)根應(yīng)該是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標的結(jié)論。

教師活動：我們就把使方程成立的實數(shù)x稱做函數(shù)的零點.

【環(huán)節(jié)三：形成概念，升華認知】引入零點定義，確認等價關(guān)系

教師活動：這是我們本節(jié)課的第一個知識點。板書(一、函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=f(x),

使方程f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點).

教師活動：我可不可以這樣認為，零點就是使函數(shù)值為0的點？

學(xué)生活動：對比定義，思考作答。

教師活動：結(jié)合函數(shù)零點的定義和我們剛才的探究過程，你認為方程的根與函數(shù)的零點究竟

是什么關(guān)系？

學(xué)生活動：思考作答。

教師活動：這是我們本節(jié)課的第二個知識點。板書(方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系)。

教師活動：檢驗一下看大家是否真正理解了這種關(guān)系。如果已知函數(shù)y=f(x)有零點，你怎

樣理解它？

學(xué)生活動：思考作答。

教師活動：對于函數(shù)y=f(x)有零點，從“數(shù)”的角度理解，就是方程f(x)=0有實根，從“形”

的角度理解，就是圖象與x軸有交點。從我們剛才的探究過程中，我們知道，方

程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點也是等價的關(guān)系。所以函數(shù)零點實際上是

方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點的一個統(tǒng)一體。

在屏幕上顯示：函數(shù)y=f(x)有零點

方程f(x)=0有實數(shù)根O函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點

教師活動：下面就檢驗一下大家的實際應(yīng)用能力。

【環(huán)節(jié)四：應(yīng)用思想，小試牛刀】數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，基礎(chǔ)知識強化

教師活動：用屏幕顯示求下列函數(shù)的零點.

丫1[(x-4)(x+l),x<4

(l)y=3-;(2)y=log2x;(3)^=-;(4)y=<^八、/

x[一(尤-4)(1-6),x>4

學(xué)生活動：由四位同學(xué)分別回答他們確定零點的方法。畫圖象時要求用語言描述4個圖象的

畫法；

教師活動：根據(jù)學(xué)生的描述，在黑板上作出圖象(在接下來探究零點存在性定理時，圖象會

成為同學(xué)們思考問題的很好的參考)。

教師活動：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)零點的定義，還學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系，在

這些知識的探究發(fā)現(xiàn)中，我們也有了一些收獲，那我們回過頭來看看能不能解決

lnx+2x—6=0的根的存在性問題？

學(xué)生活動：可受到化歸思想的啟發(fā)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進行求解。

教師活動：用屏幕顯示學(xué)生所論述的解題過程。這種解法充分運用了我們前面的解題思想，

將未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，將一個圖象不會畫的函數(shù)轉(zhuǎn)化成了兩個圖象都會畫

的函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的交點解決實根存在性問題。看來我們的探究過程是

非常有價值的。

教師活動：如果不轉(zhuǎn)化，這個問題就真的解決不了么？現(xiàn)在最棘手的問題是y=lnx+2x—6

的圖象不會畫，那我們能不能不畫圖象就判斷出零點的存在呢？

【環(huán)節(jié)五：探究新知，思形想數(shù)】探究圖象本質(zhì)，數(shù)形轉(zhuǎn)化解疑

教師活動：我們看到，當函數(shù)圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點，圖象穿過x軸這

是一種幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來描述呢？用屏幕顯示y=1-2x-3的

函數(shù)圖象，多次播放拋物線穿過x軸的畫面。

學(xué)生活動：通過觀察圖象，得出函數(shù)零點的左右兩側(cè)函數(shù)值異號的結(jié)論.

教師活動：好！我們明確一下這個結(jié)論，函數(shù)y=f(x)具備什么條件時，能在區(qū)間(a,b)上

存在零點？

學(xué)生活動：得出f(a)?f(b)〈0的結(jié)論。

教師活動：若f(a)?f(b)<0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上就存在零點嗎？

學(xué)生活動：可從黑板上的圖象中受到啟發(fā)，得出只有在［a,b］上連續(xù)不斷的函數(shù)，在滿足

f(a)?f(b)<0的條件時，才會存在零點的結(jié)論。

【環(huán)節(jié)六：歸納定理，深刻理解】初識定理表象，深入理解實質(zhì)

教師活動：其實同學(xué)們無形之中已經(jīng)說出了我們數(shù)學(xué)中的一個重要定理，那就是零點存在性

定理。這是我們本節(jié)課的第三個知識點。板書(三、零點存在性定理)。

教師活動：用屏幕顯示函數(shù)零點存在性定理：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

f(a)?f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.

即存在cG(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.

教師活動：這個定理比較長，找個同學(xué)給大家讀一下，讓大家更好地體會定理的內(nèi)容。

學(xué)生活動：讀出定理。

教師活動：大家注意到了么，定理中，開始時是在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，結(jié)果推出時卻是在

開區(qū)間(a,b)上存在零點。你怎樣理解這種差異？

學(xué)生活動：思考作答。

教師活動：雖然我們已經(jīng)得到了零點存在性定理，但同學(xué)們真的那么坦然么？結(jié)合黑板上的

圖象，再結(jié)合定理的敘述形式，你對定理的內(nèi)容可有疑問？

學(xué)生活動：通過觀察黑板上的板書圖象，大致說出以下問題：

1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)?￡")<(),則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)

會是只有一個零點么？

2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),且f(a)?f(b)>0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)

就一定沒有零點么？

3.在什么條件下，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點？

教師活動：那我們就來解決一下這些問題。

學(xué)生活動：通過黑板上的圖象舉出反例，得出結(jié)論。

1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)?f(b)〈O,則只能確定f(x)在區(qū)

間(a,b)內(nèi)有零點，有幾個不一定。

2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)?f(b)〉O,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)

也可能有零點。

3.在零點存在性定理的條件下，如果函數(shù)再具有單調(diào)性，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)

上可存在唯一零點。

【環(huán)節(jié)七：應(yīng)用所學(xué)，答疑解惑】把握理論實質(zhì)，解決初始問題

教師活動：現(xiàn)在我們不用畫出圖象也能判斷函數(shù)零點是否存在，存在幾個了。那解決

Inx+2x—6=0的根的存在性問題應(yīng)該是游刃有余了。

用屏幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？(2)lnx+2x-6=0

學(xué)生活動：通過對零點存在性的探究和理解，表述該問題的解法。

【環(huán)節(jié)八：歸納總結(jié)，梳理提升】總結(jié)基礎(chǔ)知識，提升解題意識

教師活動：本節(jié)課的知識點已經(jīng)在黑板上呈現(xiàn)出來了，但最重要的，也是貫穿本節(jié)課始終，

起到靈魂作用的卻是三大數(shù)學(xué)思想，即化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)

思想，函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想才是數(shù)學(xué)的靈魂所在，也是數(shù)學(xué)的魅力所

在，對我們解決問題起著絕對的指導(dǎo)作用。愿我們每個同學(xué)在今后的學(xué)習(xí)中體味、

感悟、應(yīng)用、升華！

【環(huán)節(jié)九：理論內(nèi)化，鞏固升華】整理思想方法，靈活應(yīng)用解題

1.函數(shù)f(x)=x(x2-16)的零點為()

A.(0,0),(4,0)B.0,4C.(-4,0),(0,0),(4,0)D.-4,0,4

2.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(x)在(0,+8)上有一個零點，則f(x)的零點

個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.不確定

3.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對應(yīng)值表：

X1234567

f(x)239-711-5-12-26

那么函數(shù)在區(qū)間［1,6］上的零點至少有()個

A.5個B.4個C.3個D.2個

4.函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的零點所在的大致區(qū)間為()

A.(-2,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(0,0.5)

【環(huán)節(jié)十：布置作業(yè)，舉一反三】延伸課堂思維，增強應(yīng)用意識

已知Ax)=,-2x-3|-?,求a取何值時能分別滿足下列條件.

①有2個零點;②3個零點;③4個零點.

五、板書設(shè)計

方程的根與函數(shù)的零點

一、函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=f(x),使方程f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

二、方程的根與函數(shù)零點之間的等價關(guān)系

屏幕L-L

0X

r口\

三、零點存在性定理

用二分法求方程的近似解

教學(xué)設(shè)計

一、本節(jié)課內(nèi)容分析與學(xué)情分析

1、本節(jié)課內(nèi)容分析

本節(jié)課的主要任務(wù)是探究二分法基本原理，給出用二分法求方程

近似解的基本步驟，使學(xué)生學(xué)會借助計算器用二分法求給定精確度的

方程的近似解。通過探究讓學(xué)生體驗從特殊到一般的認識過程，滲透

逐步逼近和無限逼近思想(極限思想)，體會“近似是普遍的、精確

則是特殊的"辯證唯物主義觀點。引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點理解有關(guān)內(nèi)

容，通過求方程的近似解感受函數(shù)、方程、不等式以及算法等內(nèi)容的

有機結(jié)合，使學(xué)生體會知識之間的聯(lián)系。

所以本節(jié)課的本質(zhì)是讓學(xué)生體會函數(shù)與方程的思想、近似的思

想、逼近的思想和初步感受程序化地處理問題的算法思想。

2、本節(jié)課地位、作用

“二分法”的理論依據(jù)是“函數(shù)零點的存在性（定理）”，本節(jié)

課是上節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容《方程的根與函數(shù)的零點》的自然延伸；是數(shù)學(xué)必

修3算法教學(xué)的一個前奏和準備；同時滲透數(shù)形結(jié)合思想、近似思想、

逼近思想和算法思想等。

3、學(xué)生情況分析

學(xué)生已初步理解了函數(shù)圖象與方程的根之間的關(guān)系，具備一定的

用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，這為理解函數(shù)零點附近的函數(shù)值符

號提供了知識準備。但學(xué)生僅是比較熟悉一元二次方程解與函數(shù)零點

的關(guān)系，對于高次方程、超越方程與對應(yīng)函數(shù)零點之間的聯(lián)系的認識

比較模糊，計算器的使用不夠熟練，這些都給學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容造成

一定困難。

二、教學(xué)目標

根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的實際情況，本節(jié)課的教學(xué)目標設(shè)定如下：

1、通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法

是求方程近似解的一種方法，會用二分法求某些具體方程的近似解,

從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，體會程序化解決問題的思想。

2、借助計算器用二分法求方程的近似解，讓學(xué)生充分體驗近似

的思想、逼近的思想和程序化地處理問題的思想及其重要作用，并為

下一步學(xué)習(xí)算法做知識準備.

3、通過探究、展示、交流，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，增強合作意

識。

通過具體問題體會逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一。

三'教學(xué)重點'難點

重點：二分法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解

難點：對二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解

四、教學(xué)方法與教學(xué)手段

教學(xué)方法：“問題驅(qū)動”和啟發(fā)探究式教學(xué)方法

學(xué)法指導(dǎo)：分組合作、互動探究、搭建平臺、分散難點

教學(xué)手段：計算機、投影儀、計算器

五、教學(xué)過程

（-）設(shè)置情景，提出問題

問題1：你會求哪些類型方程的解？

小組討論有哪些方程不會求解？

并讓學(xué)生把所提問題歸納并板書到黑板上

問題2：能不能求方程的近似解？

（二）互動探究，獲得新知

以求方程x，+3x-1=0的近似解（精確度0.1）為例進行探究

探究1:怎樣確定解所在的區(qū)間？

(1)圖像法

(2)試值法復(fù)習(xí)：〈1〉方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

〈2〉根的存在性定理

探究2：怎樣縮小解所在的區(qū)間？

李詠主持的幸運52中猜商品價格環(huán)節(jié)，讓學(xué)生思考：

(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用？

(2)如何猜才能最快猜出商品的價格？

問題3：為什么要取中點，好處是什么？

探究3：區(qū)間縮小到什么程度滿足要求？

問題4：精確度0.1指的是什么？與精確到0.1一樣嗎？

二分法的定義：

對于在區(qū)間[a,加上連續(xù)不斷且滿足/(a)?/(。)<0的函數(shù)

y=/(x)，

通過不斷地把函數(shù)/(%)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個

端點

逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

用二分法求零點近似值的步驟：

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)/(幻的零點近似值的步驟如下：

1、確定區(qū)間b],驗證/(a)?/(b)<0,給定精確度￡；

2、求區(qū)間(a,b)的中點c；

3、計算/（c）：

（1）若/（c）=0，則，就是函數(shù)的零點；

（2）若/（a）?/（c）<0,則令b=c（此時零點/GQC））；

（3）若/（c）?/S）〈O,則令a=c（此時零點為G（C,3）;

4、判斷是否達到精確度￡：

即若|a-6<￡,則得到零點零點值。（或。）；否則重復(fù)步驟2?

4.

（三）例題剖析，鞏固新知

例：借助計算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解（精確度

0.01）

兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結(jié)果；學(xué)生講解

縮小區(qū)間的方法和過程，教師點評.同時演示用計算機程序進行

計算.

（四）知識遷移，應(yīng)用生活

（1）猜商品價格

（2）從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)在某接

點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要

檢查接點的個數(shù)為一個

（五）檢驗成果，深化理解

1.方程4>2x-11=0的解在下列哪個區(qū)間內(nèi)？你能給出一個滿

足精確度為0.1的近似解嗎？

A（0,1）B（1,2）C⑵3）D（3,4）

說明：二分法也能求方程的精確解

2.下列函數(shù)的圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求其零

點的是()

ABCD

思維升華：在零點的附近連續(xù)且f(a)?f(b)〈O

(六)課堂小結(jié)，回顧反思

本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？

有哪些收獲？

六、教學(xué)反思

?以問題為教學(xué)出發(fā)點

?注重與現(xiàn)實生活中案例相結(jié)合

?注重學(xué)生參與知識的形成過程

?恰當?shù)乩矛F(xiàn)代信息技術(shù)

七、課外作業(yè)

1.書面作業(yè)⑴第92頁習(xí)題3.1A組3、4、5

(2)求2x+3x=7的近似解(精確度0.1)

2.知識鏈接第91頁閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

3.思考如圖所示在區(qū)間僅，加上有多個零點,還能否用二分

法求方程

八、板書設(shè)計

課題：3、例題分析：投影：

1、提出問題：4、抽象概括：

2、問題探索5、練習(xí)：

5.2向量的加法

教學(xué)目標

1.知識目標

掌握向量的加法定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩

個向量的和向量；掌握向量加法的運算律，并會用它們進行向量計算。

2.能力目標

使學(xué)生經(jīng)歷向量加法法則的探究和應(yīng)用過程，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)

學(xué)思想方法，進一步培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比、遷移能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

和創(chuàng)新意識。

3.情感目標

注重培養(yǎng)學(xué)生積極參與、大膽探索的精神以及合作意識；通過讓學(xué)生體驗成

功，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

教學(xué)重點、難點

重點：向量加法的兩個法則及其應(yīng)用；

難點：對向量加法定義的理解。

突破難點的關(guān)鍵是抓住實例，借助多媒體動畫演示，不斷滲透數(shù)形結(jié)合的思

想，使學(xué)生從感性認識升華到理性認識。

教學(xué)方法

結(jié)合學(xué)生實際，主要采用“問題探究”式教學(xué)方法。通過創(chuàng)設(shè)問題情境，使

學(xué)生對向量加法有一定的感性認識；通過設(shè)置一條問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生在自主學(xué)習(xí)

與合作交流中經(jīng)歷知識的形成過程；通過層層深入的例題與習(xí)題的配置，引導(dǎo)學(xué)

生積極思考，靈活掌握知識，使學(xué)生從“懂”到“會”到“悟”，提高思維品質(zhì)，

力求把傳授知識與培養(yǎng)能力融為一體。

采用計算機輔助教學(xué)，通過直觀演示體現(xiàn)形、動、思于一體的教學(xué)效果，優(yōu)

化課堂結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)質(zhì)量。

教學(xué)過程

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

環(huán)節(jié)

一、復(fù)習(xí)舊知：

我們已經(jīng)學(xué)過向量。教師提問，學(xué)生重溫舊知，為學(xué)習(xí)新

(1)什么是向量？思考回答。知識做鋪墊。

復(fù)既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向線段表

習(xí)示

引(2)什么是平行向量？

入方向相同或相反的非零向量叫平行向量，零向量與

任意向量平行

(3)如果兩個向量要相等，必須具備什么條件？

長度相等且方向相同的向量叫相等向量

(4)向量和數(shù)的區(qū)別在哪里？

二、新課講授：

1.設(shè)置情境，提出問題

向量和數(shù)有區(qū)別嗎？數(shù)可以做加法，而且對于任意

使學(xué)生對本節(jié)課所必

兩個數(shù)x+y=y+x；(x+y)+z=x+(y+z)即學(xué)生回答求合備的基礎(chǔ)知識有一個

力的方法，引出清晰準確的認識，分

交換律和結(jié)合律。那么對于向量，是否和數(shù)一樣可

平行四邊形法散教學(xué)難點。

以相加，而且滿足這兩個運算律呢？這就是本節(jié)課

則

要討論的問題。

問題設(shè)在學(xué)生的“最

近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，可引

盧海發(fā)學(xué)生的積極思維，

教師利用多媒使學(xué)生根據(jù)新的學(xué)習(xí)

體演示兩向量任務(wù)主動提取已有知

相加。識。

臺北

類比物理學(xué)中力的合

香港成，引出向量的加法

使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)與

物理間的緊密聯(lián)系，

實例：兄弟倆同拉一只箱子，兩人用力分別是fl,f2,

進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)

合力記為F。問：怎樣求合力F?(學(xué)生回答)

學(xué)應(yīng)用意識和探索創(chuàng)

新能力。

以fl,f2為鄰邊作評選四邊形，則從作用點出發(fā)的對

角線就是合力F

物理學(xué)中求合力的過程實際就是求向量的加法。若

令fl=a,f2=1,貝ijF=a+B

1.平行四邊形法則

現(xiàn)在請同學(xué)們拿出紙和筆，自己隨意畫兩個向量，

記為6,長度、位置和方向由你們自己定。

教師巡視，抽取三種特殊畫法，請同學(xué)們展示

畫在黑板上。引導(dǎo)學(xué)生類比實數(shù)加

請同學(xué)們思考：怎么樣用平行四邊形法則去求法的運算律，得出向

量加法的運算律，培

a,b的和向量？

養(yǎng)學(xué)生的類比'遷移

能力，

請三位同學(xué)板演。請學(xué)生解釋當向量。力不在同一

起點的時候，怎樣求和向量。（只解釋1,2兩個圖形）

（學(xué)生板演，如果做法不完善，可讓其他同學(xué)補充）

多媒體演示：平行四邊形法則的步驟。

例1.如圖，已知向量a,b求作向量a+b

作法：1.在平面內(nèi)任取一點A

2.以點A為起點，。力為鄰邊作平行四邊形

ABCD,則a+b=AC

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察利用平行四邊形求和時兩向

量的位置：起點相同。從而得到平行四邊形法則的

特點，為了便于記憶，濃縮為七個字：起點相同，過

起點。

問：兩向量相加的結(jié)果是一個數(shù)還是一個向量？

第三位同學(xué)畫的是兩個向量同向的情況，聽聽從學(xué)生熟悉的實際問

他的解釋。發(fā)現(xiàn)是兩個向量首尾相連的結(jié)果，是不題引入，并借助多面

是對于任意不共線的向量都可以用首尾相連的方式體輔助作用，讓學(xué)生

求得和向量呢？在具體、直觀的問題

2.三角形法則中觀察、體驗，形成

先看下生活中的例子：過去由于大陸和臺灣沒有直對向量加法概念的感

航，乘飛機要先從上海到香港，再從香港到臺灣，性認識，為突破難點

這兩次位移的合成結(jié)果是什么？（從上海到臺灣）奠定基礎(chǔ)。

如果把這三點分別記為A,B,C,則怎樣用一個數(shù)

學(xué)式子來表示上述問題？（學(xué)生回答）引出三◎形

法則：

例：已知向量a,b求作向量a+b

作法：1.在平面內(nèi)任取一點A

2.作AB=a,BC=1

3.則a+b=AC

三角形法則的特點是什么？首尾相連首尾連。

（解釋含義）進一步培養(yǎng)學(xué)生良好

剛才解決了兩個同向向量的問題，如果兩個向量反的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

向德情況呢？請同學(xué)們自己在草稿紙上畫一畫。通過多媒體動畫演

（學(xué)生展示）示，使靜態(tài)的知識以

平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別在哪里？鮮活的面容呈現(xiàn)在學(xué)

同學(xué)們能不能說出平行四邊形法則和三角形法則的生的面前，既幫助學(xué)

區(qū)別？（強調(diào)三角形法則的特點。簡記為：首尾相生理解定義，又滲透

連，首尾連。）了數(shù)形結(jié)合'分類討

當兩個向量不共線時，兩個法則都適用。論思想。

其實兩個法則有統(tǒng)一的一面動畫演示）在比較中掌握知識，

為靈活應(yīng)用公式打下

a+b和b+a相等嗎？因為兩個圖形正好能拼成一

基礎(chǔ)。

個平行四邊形。多媒體顯示經(jīng)過平移，恰好構(gòu)成平

行四邊形的過程。

由此得出向量加法的交換律：

a+b=b+a

如果3=0,則a+0=0+a=a

剛才舉得例子都是兩個向量相加，如果是三個

向量相加呢？如圖。

二'

如果多一個向量C,怎么求三個向量的

和？向量相加滿足結(jié)合律嗎？對向量加法定義的理

解是本節(jié)課的難點，

結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）

通過層層深入的問題

你能用圖形進行驗證嗎？（同桌之間可以相互討

設(shè)置，將難點化解在

論），有了結(jié)合律以后，多個向量相加就可以按照任

三個符合學(xué)生實際而

概意的組合，任意的順序進行了。

學(xué)生獨立完成，又令學(xué)生迫切想解決

念例.化簡：

2教師用多媒體的問題中。

形

演示。及時鞏固新知識。

成（l）AB+CD+BC

熟悉求兩個向量的和

學(xué)生練習(xí)，在整向量的幾何作圖技

（）（）（）

2M4+BN+AC+CB個練習(xí)過程中，能，并通過例題總結(jié)

教師做好課堂求和作和的方法和技

巡視，加強對學(xué)巧。

⑶A6+（80+CA）+OC

生的個別指導(dǎo)

例2告訴我們，首尾相連首尾連，反過來，

一個向量也可以拆成多個首尾相連的向量之

學(xué)生討論，互相

和

啟發(fā)、補充。教

變式：如圖：在任意四邊形中，可以拆

ABCD師完善結(jié)論。

成哪幾個向量相加？若E,F分別是AD,BC的中點，

你能否證明AB+DC=2EF.

學(xué)生動手驗證,

教師演示

向量的拆分，不僅開

闊了學(xué)生的思路，而

學(xué)生自己提出且再一次體現(xiàn)了向量

問題，互相啟是溝通幾何與代數(shù)的

三、例題探究，變式引申發(fā)、補充。教師橋梁。

完善。

例3.(多媒體)如圖，。為正六邊

形ABCDEF的中心，求出下列向量：

(1)OA+OC;(2)5C+F￡;(3)OA+FE

鞏固所學(xué)知識，進一

步完善認知結(jié)構(gòu)，并

且使學(xué)生對自己的學(xué)

習(xí)進行自我評價。

(學(xué)生回答，教師提問：依據(jù)是什么？適時點評)

對于例1這個圖形，你能設(shè)計出一個問

題讓別的同學(xué)解答嗎？

變式：如圖，正六邊形AOBCDE中，

0A-a,OB-b.

用標將麗，而表示出來

五、課堂小結(jié).O注重數(shù)學(xué)思想方法的

學(xué)生思考，討論提煉，可使學(xué)生逐漸

1.向量加法的平行四邊形法則，要

補充，師生共同把經(jīng)驗內(nèi)化為能力。

點：起點相同，過起點。

完善。師生共

向量加法的三角形法則，要點：

2.探。

首尾相連，首尾連。

3.向量加法滿足交換律和結(jié)合律，

即a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)。

4.有關(guān)向量加法的運算通常利用它的幾

何意義轉(zhuǎn)化為幾何運算，這體現(xiàn)了以形助數(shù)

的思想。

書面作業(yè)要求作業(yè)分為兩個層次，

所有學(xué)生都要既鞏固所學(xué)，又為學(xué)

練

完成，研究與思有余力的同學(xué)留出自

習(xí)

考只要求學(xué)有由發(fā)展的空間，培養(yǎng)

反

余力的同學(xué)完學(xué)生的創(chuàng)新意識和探

饋

成。索精神，同時為下節(jié)

課內(nèi)容作好準備

《2.2.1向量加法運算及其幾何意義》教案

一、教學(xué)目標

知識目標：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形

法則作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會

用它們進行向量運算.

能力目標：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實際問題抽

象為數(shù)學(xué)概念的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決

問題的能力.

情感目標：經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)來描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，體驗探索的樂趣，

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質(zhì).

二、重點與難點

重點：向量加法的定義與三角形法則的概念建構(gòu)；以及利用法則作兩個向量

的和向量.

難點：理解向量的加法法則及其幾何意義.

三、教法學(xué)法

教法運用了“問題情境教學(xué)法"、"啟發(fā)式教學(xué)法”和"多媒體輔助教學(xué)法

學(xué)法采用以"小組合作、自主探究”為主要方式的自主學(xué)習(xí)模式.

四、教學(xué)過程

新課程理念下的教學(xué)過程是一個內(nèi)容活化、創(chuàng)生的過程，是一個學(xué)生思考、

體驗的過程，更是一個師生互動、發(fā)展的過程.基于此，我設(shè)定了5個教學(xué)環(huán)節(jié):

一'創(chuàng)設(shè)情境引入課題

師：在前一節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了一個新的量一一向量，今天就讓我們共同來探

究向量的加法運算，首先，請看課件.（出示）

師：他是誰？

生：丁俊暉.

師：對，著名的臺球神童一一丁俊暉？大家請

看他好像遇到了難題？（出示）你能不能幫助他解

決啊？

活動設(shè)計：學(xué)生參與討論（教師提問，學(xué)生

回答：翻袋進球）

再來看另一個問題：在兩岸通航之前，要

從我們鄭州到達祖國的寶島臺灣，我們需要從

新鄭機場乘飛機抵達香港，然后轉(zhuǎn)機才能到達,

如今通航后呢？我們可以直接到達，節(jié)省了大

量的時間和金錢.

無論是臺球還是飛機，從最初的位置到達

最終的位置都是經(jīng)歷了兩次位移，如果從作用

效果角度來看，這兩次位移的作用效果就等于從起點到終點的一次位移，在物理

上，我們就把這次位移稱作是之前兩次位移之和.

同學(xué)們，請思考問題L

【問題1】位移求和時，兩次位移的位置關(guān)系是什么？如何作出它們的和

位移?

——兩次位移首尾相連，其和位移是由起點指向終點.

學(xué)生活動：學(xué)生討論，自主探究

位移是個物理量，如果拋開它的物理屬性，它正是我們研究的一一向量.那

么，受到位移求和的啟發(fā)，能否找到求解向量之和的方法呢？

于是，我們順利的進入了本節(jié)課的第二個環(huán)節(jié)：

二、實踐探究總結(jié)規(guī)律

我首先提出了問題2：

【問題2】如圖所示，對于向量。和b如何求解它們的和呢？

活動設(shè)計：小組探究、代表匯報又

和物理中的位移求和問題有所不同的是，在數(shù)學(xué)中任意兩個向a

量相加時，他們未必是首尾相連的啊，應(yīng)該如何處理呢？

對于這個問題我沒有急于給出問題的答案，而是鼓勵學(xué)生大膽試驗和探究，

我深入學(xué)生中與他們交流，了解學(xué)生思考問題的進展過程，幫助他們突破思維的

障礙，投影學(xué)生的解題過程，糾正出現(xiàn)的錯誤，規(guī)范書寫的格式.

最終，由他們自己得出問題的答案：

生：“在平面內(nèi)任取一點。，平移。使其起點為點0,

平移匕使其起點與a向量的終點重合，再連接向量。的

起點與向量匕的終點

此時，教師鼓勵學(xué)生自己給出定義：

加法的定義：已知向量。涉，在平面內(nèi)任取一點0,

作。A=則向量08叫做向量的和.記作：a+b.即

a+b=OA*A.

向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形

法則.

加法的定義其實是用數(shù)學(xué)的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)在幾何

中，這一點也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形結(jié)合的特征.

至此，已經(jīng)了解了加法定義與三角形法則，同時，我們也應(yīng)該注意到在物理

中矢量合成時的平行四邊形法則.

我創(chuàng)設(shè)了情景："觀察小猴過河的動畫短片

對于平行四邊形法則學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，他們關(guān)心的是兩個法則之間的聯(lián)系

與區(qū)別，于是，我提出了問題4.

【問題3】平行四邊形法則有何特點？

生：是平移兩個向量至共起點.

【問題4］想想你遇到過一些可以用向量求和來解釋生活現(xiàn)象嗎？

活動設(shè)計：學(xué)生以小組為單位討論，小組匯報比比誰的例子最多，最貼切.

完成了這個探究，接著，我進入第三個環(huán)節(jié).

三、類比聯(lián)想探究性質(zhì)

首先我設(shè)計了問題5:

【問題5］請類比實數(shù)加法的性質(zhì)完成表格，并通過畫圖的方法驗證你的結(jié)

論.

活動設(shè)計：師生探究、課件演示

通過和實數(shù)加法性質(zhì)進行類比，學(xué)生很容易得出向量加法的性質(zhì)，對于交換

律的驗證我讓學(xué)生通過畫圖自己動手驗證，而對于結(jié)合律的驗證，則由師生借助

于多媒體共同完成.

至此，本節(jié)課的概念教學(xué)已經(jīng)完成，于是我引導(dǎo)學(xué)生進入第四環(huán)節(jié)：

四、數(shù)學(xué)運用深化認識

在這個環(huán)節(jié)，我設(shè)置了2道例題和2道練習(xí).

接下來，為了檢驗對于概念的理解和掌握，我設(shè)置了一道例題來強化概念：

例1：如圖，已知a、b,作出a+Z?

**

-----.

/二實數(shù)的加漳*〒向量的加法

性a+b=b-\-aa+b=b+a

質(zhì)

(a+b)+c=a+@+c)(a+b)+c=a+(。+c)

通過例1學(xué)生會看到三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三

角形法則具有廣泛的適用性.

例2：根據(jù)圖示填空

(1)a+b=；(2)c+d=；

(3)a+d+b=；(4)DE+CD+AC=_；

(5)AB+BC+CD+DE^.

在訓(xùn)練三角形法則的同時，使同學(xué)們注意到三角

形法則推廣到n個向量相加的形式.即&A+A&+44+…+4-4,=44

例3：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸，一艘船從長

江南岸A點出發(fā)，以每小時4公里的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的

速度為向東每小時3公里.

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（保留兩位有

效數(shù)字）

（2）求船實際航行的速度大小與方向.（用與江水速度間的夾角表示，精

確到度）

五、回顧反思拓展延伸

本環(huán)節(jié)有課堂小結(jié)和作業(yè)布置兩部分內(nèi)容：

課堂小結(jié)：

【問題6］同學(xué)們想一想：本節(jié)課你有些什么收獲呢？留給你印象最深的是

什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？

新課程理念尊重學(xué)生的差異，鼓勵學(xué)生的個性發(fā)展，所以，對于課堂小結(jié)我

設(shè)置一個開放性的問題，期望通過這個問題使學(xué)生體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，增強學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

作業(yè)布置：

在布置作業(yè)環(huán)節(jié)中，設(shè)置了兩組練習(xí)，一組必做題，一組探究題，這樣可以

使學(xué)生在完成基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，讓每一個學(xué)生都得到符合自身實踐的感悟，

使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿

的學(xué)習(xí)興趣.

（1）作業(yè)：P66習(xí)題2.2的1.2.3.

（2）拓展探究：當在數(shù)軸上表示兩個共線向量時，它們的加法與數(shù)的加法

有什么關(guān)系？

課題：不等關(guān)系——比較大小

教材：北師大版普通高中課程標準實驗教科書（必修5）

授課教師：新余市第四中學(xué)黃良友

教學(xué)目標：

1.知識目標：①掌握比較兩個實數(shù)大小的方法一一差值比較法

②理解不等關(guān)系的傳遞性

③能夠運用比較實數(shù)大小的方法比較兩實數(shù)的大小

2.能力目標：通過對具體問題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的分析歸納能力,培養(yǎng)學(xué)

生代數(shù)變形的能力，