FE-Ch01.1-2加權(quán)余量課件

學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定方法：平時(shí)成績(jī)：上機(jī)實(shí)驗(yàn)（4次）20%；上機(jī)考試題：20%期末成績(jī)：60%1精選課件ppt學(xué)習(xí)目的1、對(duì)有限元方法有一個(gè)初步了解，可以用ANSYS解決一些實(shí)際問(wèn)題。2、繼續(xù)學(xué)習(xí)有限元方法，可以用各種CAD軟件構(gòu)造網(wǎng)格后導(dǎo)入ANSYS，計(jì)算較大規(guī)模問(wèn)題。3、較為深入學(xué)習(xí)有限元方法，可以按照各種理論編寫用戶接口程序，解決具有專業(yè)特點(diǎn)的新問(wèn)題。2精選課件ppt學(xué)習(xí)參考教材教材1：“有限元法基本原理和數(shù)值方法”王勖成等著，清華大學(xué)出版社，2002。

教材2：“有限單元法

”王勖成著，清華大學(xué)出版社，2004。

參考資料：“TheFiniteElementMethod”，F(xiàn)ifthedition,Authors:O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor.3精選課件ppt什么是有限單元法？Thefiniteelementmethod(FEM)maybebroadlydefinedasanumericaltechniqueforobtainingapproximatesolutionstodifferentialequations.Andsincemanyofthemathematicalmodelsemployedbyengineerscontaindifferentialequations，thismethodisofinteresttoengineersinawidevarietyofdisciplines.

4精選課件ppt第一章預(yù)備知識(shí)第一篇基本部分5精選課件ppt§1.1引言

彈性力學(xué)擴(kuò)大了材料力學(xué)分析問(wèn)題的范圍，提高了解題的精度。但僅僅在少數(shù)一些較簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題上，能獲得較為精確而實(shí)用的解答。由于復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算；或難以確定簡(jiǎn)單合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于大量的工程實(shí)際問(wèn)題往往難以解決。

計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)引起了力學(xué)學(xué)科的變革,應(yīng)用數(shù)值法求出近似解。有限單元法是其中一種數(shù)值法。有限單元法的物理概念清晰，易于掌握和應(yīng)用，計(jì)算速度快，精確程度高，具有靈活性和通用性，可以解決一些復(fù)雜的特殊問(wèn)題，例如復(fù)雜的幾何形狀，任意的邊界條件，不均勻的材料特性，結(jié)構(gòu)中包含桿件、板、殼等不同類型的構(gòu)件等。近二、三十年來(lái)，廣泛應(yīng)用于航空、造船、土木、水利、機(jī)械工業(yè)中。一、有限單元法的發(fā)展歷史6精選課件ppt

通常建立物理問(wèn)題應(yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問(wèn)題，熱傳導(dǎo)問(wèn)題，電磁場(chǎng)問(wèn)題等。由于建立基本方程所研究的對(duì)象通常是無(wú)限小的單元，這類問(wèn)題稱為連續(xù)系統(tǒng)。

盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數(shù)簡(jiǎn)單問(wèn)題的精確解答。對(duì)于許多實(shí)際的工程問(wèn)題，還無(wú)法給出精確的解答，例如圖示V6引擎在工作中的溫度分布。為解決這個(gè)困難，工程師們和數(shù)學(xué)家們提出了許多近似方法。7精選課件ppt

在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過(guò)程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩個(gè)不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，來(lái)源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺(jué)判斷。從固體力學(xué)的角度來(lái)看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為地分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性。

1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會(huì)年會(huì)上介紹了一種新的計(jì)算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問(wèn)題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。

1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術(shù)語(yǔ)。8精選課件ppt

數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。在1963年前后，經(jīng)過(guò)J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場(chǎng)問(wèn)題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步驟求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過(guò)程來(lái)求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題。9精選課件ppt

我國(guó)的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長(zhǎng)（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開(kāi)始的近十年期間，我國(guó)的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程問(wèn)題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái)，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。10精選課件ppt

從二十世紀(jì)60年代中期以來(lái)，大量的理論研究不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開(kāi)發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?。理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有：大型線性方程組的解法，非線性問(wèn)題的解法，動(dòng)力問(wèn)題計(jì)算方法。目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：軟件名稱簡(jiǎn)介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件另外還有許多針對(duì)某類問(wèn)題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。二、算法與有限元軟件11精選課件ppt有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域：固體力學(xué)，包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問(wèn)題的分析；傳熱學(xué)；電磁場(chǎng)；流體力學(xué)。轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（用MSC/Nastran完成）三、有限元應(yīng)用實(shí)例12精選課件ppt金屬成形過(guò)程的分析（用Deform軟件完成）分析金屬成形過(guò)程中的各種缺陷。型材擠壓成形的分析。型材在擠壓成形的初期，容易產(chǎn)生形狀扭曲。螺旋齒輪成形過(guò)程的分析13精選課件ppt復(fù)雜形狀工件的組織轉(zhuǎn)變預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)工件的組織分布和機(jī)械性能二分之一工件的有限元模型14精選課件ppt淬火3.06min時(shí)的馬氏體分布淬火3.06min時(shí)的溫度分布15精選課件ppt1）建立實(shí)際工程問(wèn)題的計(jì)算模型

利用幾何、載荷的對(duì)稱性簡(jiǎn)化模型建立等效模型2）選擇適當(dāng)?shù)姆治龉ぞ?側(cè)重考慮以下幾個(gè)方面：物理場(chǎng)耦合問(wèn)題大變形網(wǎng)格重劃分3）前處理（Preprocessing）建立幾何模型（GeometricModeling，自下而上，或基本單元組合）有限單元?jiǎng)澐郑∕eshing）與網(wǎng)格控制四、有限元分析的基本方法

16精選課件ppt4）求解（Solution）給定約束（Constraint）和載荷（Load）求解方法選擇計(jì)算參數(shù)設(shè)定5）后處理（Postprocessing）后處理的目的在于分析計(jì)算模型是否合理，提出結(jié)論。用可視化方法（等值線、等值面、色塊圖）分析計(jì)算結(jié)果，包括位移、應(yīng)力、應(yīng)變、溫度等；最大最小值分析；特殊部位分析。17精選課件ppt有限元分析的步驟:124635離散化：水壩單元分析：整體分析：求應(yīng)力：小結(jié)18精選課件ppt§1.2微分方程的等效積分形式--加權(quán)余量法一、連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題微分方程的一般表示且，應(yīng)滿足邊界條件：

表示對(duì)獨(dú)立變量(時(shí)間，空間)的微分算子19精選課件ppt注：若表示線性微分算子，即指：方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，這種方程稱為線性微分方程。20精選課件ppt方程的分類：1）穩(wěn)態(tài)問(wèn)題（平衡問(wèn)題邊值問(wèn)題）與時(shí)間無(wú)關(guān)場(chǎng)函數(shù)解21精選課件ppt2）瞬態(tài)問(wèn)題（傳播問(wèn)題，初邊值問(wèn)題）為t的函數(shù)和場(chǎng)函數(shù)的解：為空間與時(shí)間的函數(shù)

、

可以理解為時(shí)－空域，t

為開(kāi)域(0,

)t=0時(shí)可稱為初值條件22精選課件ppt3）特征值問(wèn)題齊次方程若要有非零解某些參數(shù)取特定值取決于問(wèn)題定物理、幾何特性。23精選課件ppt二、微分方程的等效積分形式邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)(基本)邊界條件(狄里克雷邊界條件，即：邊界上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值已知)、自然邊界條件(黎曼邊界條件，即：邊界上函數(shù)值已知)

、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。24精選課件ppt因此有：同樣，在邊界上：結(jié)合（3）式和（4）式：25精選課件ppt對(duì)任意上述積分式均成立，則表明積分形式與微分方程的定解問(wèn)題等價(jià)。并且與微分方程個(gè)數(shù)相等的函數(shù)。和這里、為任意函數(shù)向量，26精選課件ppt即（5）式是等效于滿足微分方程（1）和邊界條件（2）的積分形式。當(dāng)然（5）必須是可積的。27精選課件ppt(I)對(duì)和的限制：?jiǎn)沃担煞e(有限)

in

,on.(II)對(duì)于則取決于：

取決于算子中微分的階數(shù)2m,則要求具有2m-1階連續(xù)性，或連續(xù)。(可積性)分析：積分存在的條件。28精選課件ppt例：圖1：為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，圖2：在x方向有一個(gè)一階不連續(xù)點(diǎn)，但一階導(dǎo)可積。圖3：二階導(dǎo)數(shù)趨于無(wú)窮，使積分不能進(jìn)行。29精選課件ppt三、微分方程等效積分的弱形式目的：降低對(duì)未知函數(shù)的連續(xù)性的要求形式：對(duì)等效積分形式中進(jìn)行m次分部積分?？傻茫海?）此時(shí)均為m階微分算子。分部積分公式:30精選課件ppt意義：1)

降低了對(duì)的連續(xù)性的要求。由連續(xù)性降為2)對(duì)連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題，便于有限元構(gòu)造單元和插值函數(shù)且可得到對(duì)稱的系統(tǒng)矩陣3)代價(jià)是提高對(duì)任意函數(shù)和的連續(xù)性要求。31精選課件ppt4)在物理上更符合實(shí)際問(wèn)題對(duì)連續(xù)性的要求例：簡(jiǎn)支梁彎曲問(wèn)題上面微分方程的等效積分形式32精選課件ppt弱形式：對(duì)等效積分形式要求在域內(nèi)，w三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，很難實(shí)現(xiàn)。如果采用對(duì)等效積分弱形式要求在域內(nèi)，則w一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可。33精選課件ppt4)若和取特定函數(shù)，則為加權(quán)余量法的不同格式。注：分部積分法34精選課件ppt自然邊界條件線性微分算子。設(shè)：定解問(wèn)題線性微分算子?；具吔鐥l件線性微分算子。四、加權(quán)余量法的基本思想基于等效積分的近似方法。35精選課件ppt五、加權(quán)余量法步驟3）完備性。n

時(shí),1.構(gòu)造近似解未知待定系數(shù)，形函數(shù)，且應(yīng)滿足：1）一定的連續(xù)條件2）線性獨(dú)立。N1

…Nn36精選課件ppt當(dāng)n有限時(shí)，方程存在偏差（余量）即：在域內(nèi)在邊界上37精選課件ppt2.加權(quán)意義上為零，形成求解方程組（等效積分的弱解形式）即：或：

為權(quán)函數(shù),(預(yù)先設(shè)定)線性無(wú)關(guān)。作用：強(qiáng)迫余量在某種平均意義上為零。38精選課件ppt取(j=1,2,…n)可以建立n各方程求解39精選課件ppt3.加權(quán)余量法的關(guān)鍵(兩種函數(shù)的選擇)1）與等效積分形式不同：一個(gè)是精確解，而加權(quán)余量法得到的為是近似解。a)近似表達(dá)式為有限項(xiàng)。b)對(duì)某些特定的權(quán)函數(shù)。(非任意)40精選課件ppt2）試函數(shù)：如能滿足一定的域內(nèi)條件或邊界條件，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，且有一定的精確度。3）權(quán)函數(shù)：不同的權(quán)函數(shù)，涉及不同的計(jì)算格式。例如：41精選課件ppt采用使余量的加權(quán)積分為零的等效積分的“弱”形式。來(lái)求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。它是求微分方程近似解的一種有效方法。注：權(quán)函數(shù)：不同權(quán)函數(shù)的選擇涉及不同的計(jì)算格式。42精選課件ppt六、加權(quán)余量法的幾種常用方案1.配點(diǎn)法

?。簞t有：注：Dirac

函數(shù)為了討論方便，不失一般性，認(rèn)為以滿足邊界條件，僅剩域內(nèi)積分；為線性微分算子。43精選課件ppt所以上式可表示為：

函數(shù)44精選課件ppt矩陣式：或：其中：這種方法相當(dāng)于簡(jiǎn)單地強(qiáng)迫若干個(gè)在域內(nèi)的點(diǎn)上余量等于零。說(shuō)明：Aij非對(duì)稱，不用求積分。45精選課件ppt即：

試取權(quán)函數(shù)2.最小二乘法最小二乘法是加權(quán)余量法的一種。標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法是：要使域

內(nèi)每一點(diǎn)的殘數(shù)（或誤差）的平方和最小，或平方的積分最小。46精選課件ppt對(duì)上式求偏導(dǎo)：上式展開(kāi)的矩陣形式：其中：，可