2023-2024學(xué)年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（c卷）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（C卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為A． B． C． D．2．（5分）若三條直線，和交于一點(diǎn)，則的值為A． B． C．3 D．3．（5分）直線與直線垂直，則直線在軸上的截距是A． B． C．2 D．44．（5分）已知向量，1，，，，則與的夾角為A． B． C． D．5．（5分）在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，A． B． C．0 D．16．（5分）已知點(diǎn)，，若，到直線的距離都為2，則直線的方程不可能為A． B． C． D．7．（5分）已知圓，直線，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，（切點(diǎn)為，，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為A． B． C． D．8．（5分）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，，分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，則點(diǎn)到平面的距離為A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．（5分）已知圓，則下列說(shuō)法正確的是A．圓的半徑為4 B．圓截軸所得的弦長(zhǎng)為 C．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1 D．圓與圓相離10．（5分）下列說(shuō)法正確的有A．直線過(guò)定點(diǎn)， B．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則的方程為 C．圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2 D．若圓與圓有唯一公切線，則11．（5分）如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，，，，為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，，，，下列說(shuō)法不正確的是A．該幾何體是四棱臺(tái) B．該幾何體是棱柱，平面是底面 C． D．平面與平面的夾角為12．（5分）如圖所示，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則A．當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上時(shí)，四棱錐的體積為定值 B．存在這樣的點(diǎn)，使得 C．當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）兩條平行直線與之間的距離為．14．（5分）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對(duì)不在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，都有，則的值為．15．（5分）直線的傾斜角的取值范圍是．16．（5分）底面為矩形的直四棱柱中，，點(diǎn)在棱上且滿足分別為棱，的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一點(diǎn)，若直線與平面垂直，則點(diǎn)到平面的距離的大小是．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，．（1）求中過(guò)，邊上中點(diǎn)的直線方程：（2）求的面積．18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若圓與直線交于，兩點(diǎn)，_____，求的值．從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：．19．（12分）（1）經(jīng)過(guò)，的交點(diǎn)，且在軸上的截距為的直線方程；（2）經(jīng)過(guò)的入射光線，經(jīng)直線反射后過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程．20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，．（1）求的長(zhǎng)度；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．（1）證明：平面；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍．22．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括線段的端點(diǎn)）．（1）若平面，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．

2023-2024學(xué)年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（C卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為A． B． C． D．【分析】由方向向量可得直線的斜率，再由，得解．【解答】解：由題意知，直線的斜率為，由知，傾斜角．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，方向向量的概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若三條直線，和交于一點(diǎn)，則的值為A． B． C．3 D．【分析】由題意可得，和的交點(diǎn)在直線上，由此求得的值．【解答】解：三條直線，和交于一點(diǎn)，和的交點(diǎn)在直線上，，求得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三條直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）直線與直線垂直，則直線在軸上的截距是A． B． C．2 D．4【分析】直線與直線垂直，求出，從而直線，令，能求出直線在軸上的截距．【解答】解：直線與直線垂直，，解得，直線，令，得，直線在軸上的截距是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線在軸上的截距的求法，考查直線與直線垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．4．（5分）已知向量，1，，，，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】由，得到，由此能求出與的夾角．【解答】解：向量，1，，，，，，與的夾角為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量夾角的求法，考查向量夾角數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，A． B． C．0 D．1【分析】先把要求數(shù)量積的兩個(gè)向量表示成以四面體的棱所在向量為基底的向量的表示形式，寫出向量的數(shù)量積，問題轉(zhuǎn)化成四面體的棱與棱之間的關(guān)系，因?yàn)槔忾L(zhǎng)及其夾角可知，從而得到結(jié)果．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題．6．（5分）已知點(diǎn)，，若，到直線的距離都為2，則直線的方程不可能為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，分析可得與可能在直線的同側(cè)且與直線平行，也可能直線過(guò)線段中點(diǎn)，據(jù)此分2種情況討論，求出直線的方程，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，，則與可能在直線的同側(cè)且與直線平行，也可能直線過(guò)線段中點(diǎn)，①當(dāng)直線平行直線時(shí)，，可設(shè)直線的方程為，依題意得：，解得：或，故直線的方程為：或；②當(dāng)直線過(guò)線段中點(diǎn)時(shí)：的中點(diǎn)為，若直線的斜率不存在，直線的方程為，若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，即，依題意得：，解得：，直線的方程為；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，注意分析直線的斜率是否存在，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知圓，直線，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，（切點(diǎn)為，，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為A． B． C． D．【分析】由題意可得當(dāng)點(diǎn)與圓心的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)、最小，此時(shí)四邊形的面積最小，求出的坐標(biāo)，再求出以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程聯(lián)立即可求得直線的方程．【解答】解：圓的圓心為，半徑，當(dāng)點(diǎn)與圓心的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)、最小，此時(shí)四邊形的面積最小，直線，則的方程為，聯(lián)立，解得，，以為直徑的圓的方程為，即，兩圓方程相減可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程，明確當(dāng)點(diǎn)與圓心的距離最小時(shí)的面積最小是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．8．（5分）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，，分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，則點(diǎn)到平面的距離為A． B． C． D．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，利用空間向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解點(diǎn)到平面的距離．【解答】解：如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影是的重心，所以平面，所以，即，解得，即，則點(diǎn)到平面的距離為，是的中點(diǎn)，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．（5分）已知圓，則下列說(shuō)法正確的是A．圓的半徑為4 B．圓截軸所得的弦長(zhǎng)為 C．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1 D．圓與圓相離【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定圓的半徑，利用弦長(zhǎng)公式可得圓截軸的弦長(zhǎng)，求得圓心到直線的距離即可確定圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，利用圓心距的大小可得兩圓的位置關(guān)系．【解答】解：把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，錯(cuò)誤；圓截軸所得的弦長(zhǎng)為，正確；圓心到直線的距離為3，故圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，正確；圓的圓心為，半徑為3，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為，圓與圓相切，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)公式，圓的半徑的確定，圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）下列說(shuō)法正確的有A．直線過(guò)定點(diǎn)， B．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則的方程為 C．圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2 D．若圓與圓有唯一公切線，則【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，直線即，過(guò)定點(diǎn)，，正確；對(duì)于，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，方程為，與圓相切，錯(cuò)誤；對(duì)于，的圓心，半徑，圓心直線的距離，所以圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，故正確；對(duì)于，圓，即，，半徑，圓，即，則，半徑，由圓與圓有唯一公切線，兩圓內(nèi)切，則有，解可得，錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，，，，為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，，，，下列說(shuō)法不正確的是A．該幾何體是四棱臺(tái) B．該幾何體是棱柱，平面是底面 C． D．平面與平面的夾角為【分析】根據(jù)臺(tái)體、柱體、空間直角坐標(biāo)系、線線垂直、面面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案．【解答】解：因?yàn)樗倪呅魏蜑橹苯翘菪?，，，，為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故，錯(cuò)誤；由題意可知，，兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，所以，不垂直，故錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)，，為平面的法向量，則有，則可取，0，，則，所以平面與平面的夾角為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線線垂直的應(yīng)用和面面角的計(jì)算，屬于中檔題．12．（5分）如圖所示，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則A．當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上時(shí)，四棱錐的體積為定值 B．存在這樣的點(diǎn)，使得 C．當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【分析】根據(jù)四棱錐的體積公式，向量的線性運(yùn)算，線面角的概念，弧長(zhǎng)公式，即可分別求解．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，由點(diǎn)到側(cè)面的距離相等，故四棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，因?yàn)?，所以這樣的點(diǎn)是正方形與中心連線段的中點(diǎn)，不在正方體的表面上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，由題意易知當(dāng)在平面和平面上時(shí)，與即為直線與平面所成角的平面角，當(dāng)直線與兩平面的對(duì)角線重合時(shí)，線面角為，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)，點(diǎn)在以為半徑，以為圓心在平面上畫弧，所得即為線面角為的點(diǎn)的軌跡，軌跡長(zhǎng)為，則總長(zhǎng)為，故選項(xiàng)對(duì)，對(duì)選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為在平面、平面、平面上以為半徑的圓弧，又，，則圓弧圓心角為，在平面、平面、平面上以為半徑的圓弧，又，則圓弧圓心角為，則軌跡總長(zhǎng)為，故選項(xiàng)對(duì)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四棱錐的體積問題，向量的線性運(yùn)算，線面角的概念，弧長(zhǎng)的求解，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）兩條平行直線與之間的距離為．【分析】利用平行線，求解，然后利用平行線之間的距離公式求解即可．【解答】解：兩條平行直線與，可得，所以，所以兩條平行直線與之間的距離為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線之間的距離公式的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，是基本知識(shí)的考查．14．（5分）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對(duì)不在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，都有，則的值為．【分析】把已知關(guān)系式化為，然后根據(jù)因?yàn)辄c(diǎn)，，，四點(diǎn)共面，所以，即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)，，，四點(diǎn)共面，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）直線的傾斜角的取值范圍是．【分析】由題意根據(jù)直線的斜率判斷傾斜角的范圍．【解答】解：直線方程可化為，，則，由正切函數(shù)的圖像知傾斜角，由正切函數(shù)的圖像知傾傾斜角，當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率和傾斜角，屬于容易題．16．（5分）底面為矩形的直四棱柱中，，點(diǎn)在棱上且滿足分別為棱，的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一點(diǎn)，若直線與平面垂直，則點(diǎn)到平面的距離的大小是．【分析】建系，利用空間向量得到坐標(biāo)，進(jìn)而利用等體積轉(zhuǎn)化求得點(diǎn)面距離．【解答】解：建系如圖，設(shè)，，，則根據(jù)題意可得：，，直線與平面垂直，，，即，0，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等體積法求解點(diǎn)面距，坐標(biāo)法的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，．（1）求中過(guò)，邊上中點(diǎn)的直線方程：（2）求的面積．【分析】（1）先求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求出直線的方程．（2）先判斷求出和的值，判斷，從而求出的面積．【解答】解（1）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)是，的中點(diǎn)坐標(biāo)是．過(guò)，的直線方程是，整理得．（2）由題意知，，，的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一個(gè)點(diǎn)對(duì)于直線、點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求直線的方程，屬于中檔題．18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若圓與直線交于，兩點(diǎn)，_____，求的值．從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：．【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為．由題意可得，，，進(jìn)一步求得與的值，則圓的方程可求；（Ⅱ）如果選擇條件①，由已知求得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求解值；如果選擇條件②，同樣由已知求得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求解值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓的圓心在直線上，．又圓與軸相切于點(diǎn)，，．圓的圓心坐標(biāo)為，．則圓的方程為；（Ⅱ）如果選擇條件①，，，圓心到直線的距離．則，解得或．如果選擇條件②，，，圓心到直線的距離．則，解得或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．（12分）（1）經(jīng)過(guò)，的交點(diǎn)，且在軸上的截距為的直線方程；（2）經(jīng)過(guò)的入射光線，經(jīng)直線反射后過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程．【分析】（1）首先利用二元一次方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用點(diǎn)斜式求出直線的方程；（2）利用中點(diǎn)的坐標(biāo)公式和直線垂直的充要條件求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用點(diǎn)斜式求出直線的方程．【解答】解：（1）由解得，所以交點(diǎn)為，又在軸上的截距為，所以直線過(guò)，所以直線的斜率為，所以直線方程為：，即，（2）設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則解得，所以對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)為，由，得直線的斜率為，所以直線方程為：，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線方程的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，．（1）求的長(zhǎng)度；（2）求二面角的余弦值．【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，利用線性運(yùn)算法則直接求解；（2）推導(dǎo)出，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸，利用向量法能示出結(jié)果．【解答】解：（1）在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，，如圖，中點(diǎn)，連接、，是等邊三角形，，又，，、平面，平面，平面，，，是等邊三角形，，，，，，，；（2）由題意可知、，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，0，、，1，、、，，、，由題意可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，、則，即，令，則、，，設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為鈍角，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．（12分）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．（1）證明：平面；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍．【分析】（1）證明．通過(guò)平面平面，推出平