復(fù)變函數(shù)與場論簡明教程：解析函數(shù)

復(fù)變函數(shù)

2.1解析函數(shù)的概念2.2函數(shù)解析的充要條件2.3初等函數(shù)

2.1解析函數(shù)的概念

1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1)導(dǎo)數(shù)的定義

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義于區(qū)域D內(nèi)，點z0∈D，且z0+Δz也在D內(nèi)。當z0+Δz→z0（即Δz→0）時，若極限存在，則稱f(z)在z0可導(dǎo)。該極限值稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，

記作(2.1.1)定義表明，對于任意給定的ε>0，相應(yīng)地存在一個δ(ε)>0，使得當0<|Δz|<δ時，有［例1］判斷下列函數(shù)是否可導(dǎo)。

（1)f(z)=z2;(2)f(z)=2x+yi。

解(1)對復(fù)平面上任意一點z，極限所以f(z)=z2在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，并且其導(dǎo)數(shù)為

f′(z)=2z(2)對復(fù)平面上任意一點z，當z+Δz沿著平行于x軸的直線趨向于z時(見圖2.1)，Δy=0，極限但是，當z+Δz沿著平行于y軸的直線趨向于z時，Δx=0，極限z+Δz沿不同方向趨于z時，極限不同，所以f(z)=2x+yi的導(dǎo)數(shù)不存在。圖2.1

2)可導(dǎo)與連續(xù)

先考慮f(z)在一點z0可導(dǎo)的情況。由在z0可導(dǎo)的定

義，對于任意給定的ε>0，存在一個δ(ε)>0，使得當0<|Δz|<δ時，有令(2.1.2)則有由式(2.1.2)有(2.1.3)所以即f(z)在z0連續(xù)。

3）求導(dǎo)法則

與復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義及極限運算法則一樣，復(fù)變函數(shù)具有和實變函數(shù)相同的求導(dǎo)法則，如下：

(a)(c)′=0，其中ｃ為復(fù)常數(shù);

(b)(zn)′=nzn－1，其中n為正整數(shù);

(c)［f(z)±g(z)］′=f′(z)±g′(z);是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且φ′(w)≠0。

4)微分的定義

和導(dǎo)數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)的微分定義在形式上與實變函數(shù)的微分定義完全一樣。

設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo)，則由式(2.1.3)知

Δw=f(z0+Δz)－f(z0)=f′(z0)Δz+ρ(Δz)Δz

其中

因此，|ρ(Δz)Δz|是|Δz|的高階無窮小量，而f′(z0)Δz是函數(shù)w=f(z)的改變量Δw的線性部分。稱f′(z0)Δz為函數(shù)w=f(z)在點z0的微分，記作

dw=f′(z0)Δz

(2.1.4)

若函數(shù)在z0的微分存在，則稱函數(shù)f(z)在z0可微。

由于dz=Δz，于是式(2.1.4)寫作

dw=f′(z0)dz即(2.1.5)可見，函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo)與在z0可微是等價的。若f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微，則稱f(z)在D內(nèi)可微。

2.解析函數(shù)

定義若函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0處解析。若f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱f(z)在

D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的一個解析函數(shù)（全純函數(shù)或正則函數(shù)）。

若f(z)在z0不解析，則稱z0為f(z)的奇點。［例2］研究下列函數(shù)的解析性：

(1)f(z)=z2;

(2)f(z)=2x+yi;

(3)f(z)=|z|2;

(4)f(z)=1/z。

解由解析函數(shù)的定義與本節(jié)的［例1］可知，f(z)=z2在復(fù)平面內(nèi)是解析的，而f(z)=2x+yi卻處處不解析。對于函數(shù)f(z)=|z|2，由于易知，若z0=0，則當Δz→0時，上式的極限為零;若z0≠0，令z0+Δz沿直線y－y0=k(x－x0)趨于z0，有由于k的任意性，上式不趨于一個確定的值。

定理

(1)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和、差、積、商（除去分母為零的點）在D內(nèi)解析。

（2）設(shè)函數(shù)h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析，函數(shù)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析，若對任意z∈D，都有h=g(z)∈G，則復(fù)合函數(shù)w=f［g(z)］在D內(nèi)解析。

2.2函數(shù)解析的充要條件

定理一設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)，則f(z)在D內(nèi)一點z=x+iy可導(dǎo)的充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在該點可微，并且在該點滿足柯西－黎曼方程：證明首先證明必要條件。

由式(2.1.3)可知，對于充分小的|Δz|=|Δx+iΔy|>0，有f(z+Δz)－f(z)=f′(z)Δz+ρ(Δz)Δz

其中令則有從而有因此u(x,y)與v(x,y)在z點可微，而且滿足方程現(xiàn)在來證明它的充分性。由于又因為u(x,y)與v(x,y)在ｚ點可微，可知由柯西-黎曼方程有故有或所以即函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處可導(dǎo)，并且導(dǎo)數(shù)公式為(2.2.2)定理二函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析

的充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微，并且滿足柯

西－黎曼方程（即式(2.2.1)）。［例1］判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：

（1)f(z)=z；

（2)f(z)=zRe(z)；

（3)f(z)=ex(cosy+isiny)。

解(1)f(z)=z=x－iy，故u=x,v=－y，從而有不滿足柯西-黎曼方程，所以f(z)=z

在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)，處處不解析。

(2)f(z)=zRe(z)=x2+ixy，故u=x2,v=xy，從而有這四個偏導(dǎo)數(shù)是處處連續(xù)的，但僅當x=y=0時，才滿足柯西-黎曼方程，故f(z)僅在z=0處可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。

(3)u=excosy,v=exsiny，從而有故［例2］證明：若f′(z)在區(qū)域D內(nèi)處處為零，則

f(z)在D內(nèi)為一常數(shù)。

證明因為所以可見u和v均為常數(shù)，所以f(z)在D內(nèi)為常數(shù)。［例3］證明：若f(z)=u+iv為一解析函數(shù)，且f′(z)≠0，則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必相互正交，

其中c1，c2為常數(shù)。

證明由于，故uy與vy必不全為零。如果在曲線的交點處uy與vy都不為零，由隱函數(shù)求導(dǎo)法可知，曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2中任一條曲線的斜率分別為由柯西-黎曼方程得2.3初等函數(shù)

1．指數(shù)函數(shù)

我們知道，實變數(shù)指數(shù)函數(shù)ex對任何實數(shù)x都是可導(dǎo)的，并且(ex)′=ex。相應(yīng)地，我們定義復(fù)平面內(nèi)的一個函數(shù)f(z)，它滿足下列三個條件：

(1)f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析；

(2)f′(z)=f(z)；

(3)當Im(z)=0時，f(z)=ex，其中x=Re(z)。從2.2節(jié)的［例1］中已經(jīng)知道，函數(shù)

f(z)=ex(cosy+isiny)

是一個在復(fù)平面內(nèi)處處解析的函數(shù)，f′(z)=f(z)，并且當Im(z)=y=0時，f(z)=ex。所以，該函數(shù)滿足上述三個條件，稱它為復(fù)變數(shù)z的指數(shù)函數(shù)，記作

expz=ex(cosy+isiny)

(2.3.1)這個定義等價于關(guān)系式其中,k為任意整數(shù)。由式(2.3.2)可知

expz≠0因此有

ez=ex(cosy+isiny)

(2.3.3)

特別地，當x=0時，有

eiy=cosy+isiny

(2.3.4)

跟ex一樣，ez也服從加法定理，即有

(2.3.5)

設(shè)z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，按定義有由加法定理，有其中,k為任意整數(shù)。上式表明，ez是周期性函數(shù)，其周期是2kπi。

2．對數(shù)函數(shù)

和實變函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。把滿足方程

ew=z,z≠0

的函數(shù)w=f(z)稱為對數(shù)函數(shù)。令w=u+iv,z=reiθ，則有

eu+iv=reiθ=elnr+iθ

所以u=lnr,v=θ，因此w=ln|z|+iArgz。通常將w記作Lnz，即對數(shù)函數(shù)

Lnz=ln|z|+iArgz

(2.3.6)

其中,Argz=argz+2kπ,為多值函數(shù)，所以

Lnz=ln|z|+iargz+2kπi

(2.3.7)

為多值函數(shù)，每個值相差2πi的整數(shù)倍。

當k=0時，Lnz為一單值函數(shù)，記作lnz，稱為Lnz的主值。這樣，就有

lnz=ln|z|+iargz,－π<argz≤π

(2.3.8)

而其余各個值可表示為

Lnz=lnz+2kπi,k=±1,±2,…

(2.3.9)對于每一個固定的k，式(2.3.9)為一單值函數(shù)，稱為Lnz的一個分支。［例2］求Ln2,Ln(－1)及其主值。

解Ln2=ln2+2kπi，它的主值就是ln2。

Ln(－1)=ln1+iArg(－1)=(2k+1)πi（k為整數(shù)），它的主值是Ln(－1)=πi。

在實變函數(shù)中，負數(shù)無對數(shù)，但在復(fù)變函數(shù)中，負數(shù)存在對數(shù)，而且正實數(shù)的對數(shù)也具有無窮多值。［例3］解方程。

解

k=0,±1,±2,…利用第一章中復(fù)數(shù)輻角的相關(guān)性質(zhì)，容易證明，復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)保持了實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的下面兩個基本性質(zhì)：

(2.3.10)(2.3.11)但是，等式：顯然，ln|z|除原點外在其他點都是連續(xù)的，而argz在原點

與負實軸上都不連續(xù)。因為當x<0時，，

z=ew在區(qū)域－π<argz<π內(nèi)的反函數(shù)w=lnz是單值的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可得(2.3.12)

3．冪函數(shù)

我們知道，對于實變數(shù)冪函數(shù)xb（b為實常數(shù)），若x>0，則冪函數(shù)可以表示為xb=eb

lnx?，F(xiàn)在將它推廣到復(fù)數(shù)域。設(shè)b為任意一個復(fù)常數(shù)，將復(fù)變數(shù)冪函數(shù)w=zb定義為

ebLnz，即(2.3.13)

(1)當b為整數(shù)時，有所以zb是一個單值函數(shù)。

(2)當b=p／q(p和q為互質(zhì)的整數(shù)，q>0)時，有所以zb是一個有q個分支的多值函數(shù)，即當k=0,1,2,…,q－1時相應(yīng)的各個分支。

(3)當b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，zb是無窮多值的。同樣，它的各個分支在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)也是解析的，并且有

(zb)′=bzb－1

(2.3.15)

由上述定義的復(fù)冪函數(shù)，當變量取復(fù)常數(shù)a時，得到乘冪ab=ebLna。