二次函數(shù)中的存在性問題作業(yè)及答案

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁二次函數(shù)中的存在性問題（作業(yè)）（1）求直線AC的解析式及B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探索：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，哀求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(-4，3)，B(4，4)，交x軸于C、D兩點(diǎn)．（1）求證：△ACB是直角三角形；（2）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上．若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，銜接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請寫出對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分離為A(-3，0)，B(1，0)，過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．（1）直接填寫：a=，b=，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【參考答案】1．解：（1）由拋物線解析式（2）由題意可得：∥且=，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，可證△≌△∴==3故令Q1②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，同①過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，可證△≌△∴==3故令故綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為Q12．(1)證實(shí)：由拋物線的表達(dá)式，可得：(，0)，，如圖1，過點(diǎn)、分離作軸的垂線，垂足為、，則=3，=2，=6，=4∵且∠=∠=90°∴△∽△∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=90°∴∠=90°即△是直角三角形（2）由題意得：，在Rt△中，由（1）可知：，故△也是直角邊的比為1:2的直角三角形，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在第二象限拋物線上，即＜2時(shí)，∴，i）解得：ii）解得：②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在第一象限拋物線上，即＞時(shí)，∴，i）解得：（舍去）ii）解得：綜上，，或時(shí)滿意條件.3.解：由可得，A(8,),B(2,0).則－8＜m＜2.當(dāng)G點(diǎn)在y軸上時(shí)，此時(shí)，如圖1過點(diǎn)A作CD∥y軸，過點(diǎn)P，G分離作x軸的平行線交CD于D、C兩點(diǎn)∵∴△PAD≌△AGC∴AD=CG=2，則點(diǎn)P在y=2這條直線上由可求得，.∴P1(，2),P2(，2)當(dāng)F點(diǎn)在y軸上時(shí)，此時(shí)，如圖2過點(diǎn)A作AH∥y軸，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交AH于H點(diǎn),交y軸于點(diǎn)E.此時(shí)△PAH≌△FPE∴EP=AH=m，即P（m，m）P在拋物線上，將P（m，m）代入拋物線解析式可得由可求得，.又∵-8＜m＜2，∴只取∴P3()綜上所述：P1(，2)，P2(，2)，P3().備注：圖1對應(yīng)P24.解：（1）由A（-3，0）、B（1，0）可知，a=-1，b=-2，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）；拋物線解析式：（2）①若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)，如圖1.此時(shí)∠QCP＞∠ACH,所以只可能是∠QCP=∠HAC，即△PCQ∽△CAH.過點(diǎn)Q作DE∥y軸，分離過點(diǎn)C、點(diǎn)P作x軸的平行線交DE于D點(diǎn),E點(diǎn).則△CDQ∽△QEP，又∵∠DQC=∠HCA，∠D=∠AHC=90°，∴△CDQ∽△QEP∽△AHC.∴.設(shè)CD=m，則DQ=2m,又∵△AHC∽△CQP，∴.又∵△CDQ∽△QEP，∴則QE=2m，EP=4m.由C（-1，4）可得P（-1+3m，4-4m）代入拋物線解析式可得，解得m1=0（舍去），m2=代入P點(diǎn)坐標(biāo)可得P()若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè),如圖2.此時(shí)∠QCP＜∠HAC,所以只可能是∠QCP=∠HCA，即△PCQ∽△ACH.過點(diǎn)P作PF∥y軸，過點(diǎn)Q作x軸的平行線交PF于點(diǎn)F,交CH于點(diǎn)G.則△PFQ∽△QGC∽△AHC∽△PQC.∴.設(shè)PF=n，則FQ=QG=