必修五不等式專題復(fù)習(xí)

《不等式》專題復(fù)習(xí)知識(shí)回憶一．不等式的主要性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：(2)傳遞性：(3)加法法那么：(同向可加)(4)乘法法那么：(同向同正可乘)(5)倒數(shù)法那么：(6)乘方法那么：(7)開方法那么：2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小：作差法〔作差——變形——判斷符號(hào)——結(jié)論〕3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式二．解不等式1.一元二次不等式的解集：2、簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：〔穿根法〕其步驟是：〔1〕分解成假設(shè)干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；〔2〕將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過(guò)偶不過(guò)；〔3〕根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。3、分式不等式的解法〔轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式〕注意：右邊不是零時(shí)，先移項(xiàng)再通分，化為上兩種情況再處理4、不等式的恒成立問(wèn)題：應(yīng)用函數(shù)方程思想和“別離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題假設(shè)不等式在區(qū)間上恒成立,那么等價(jià)于在區(qū)間上假設(shè)不等式在區(qū)間上恒成立,那么等價(jià)于在區(qū)間上三、線性規(guī)劃1、用二元一次不等式〔組〕表示平面區(qū)域2、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法：定點(diǎn)法3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件②線性目標(biāo)函數(shù)③線性規(guī)劃問(wèn)題④可行解、可行域和最優(yōu)解：4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：〔1〕尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；〔2〕由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；〔3〕依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線ax+by＝0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解四．均值不等式1．假設(shè)a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2．如果a,b是正數(shù)，那么變形：①a+b≥；②ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).注：〔1〕當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．〔2〕求最值的重要條件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：〔1〕(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；〔2〕a、b、cR，〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)〕；〔3〕假設(shè)，那么〔糖水的濃度問(wèn)題〕。典例剖析題型一：不等式的性質(zhì)對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出以下命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，那么。其中正確的命題是______題型二：比擬大小〔作差法、函數(shù)單調(diào)性、中間量比擬，根本不等式〕設(shè)，，，試比擬的大小比擬1+與的大小假設(shè)，那么的大小關(guān)系是.題型三：解不等式解不等式解不等式。解不等式不等式的解集為{x|-1＜x＜2}，那么=_____,b=_______關(guān)于的不等式的解集為，那么關(guān)于的不等式的解集為______解關(guān)于x的不等式題型四：恒成立問(wèn)題關(guān)于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，那么a的取值范圍是_____________假設(shè)不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。三．根本不等式題型五：求最值〔直接用注正數(shù)〕求以下函數(shù)的值域〔1〕y＝3x2＋eq\f(1,2x2)〔2〕y＝x＋eq\f(1,x)〔配湊項(xiàng)〕〔1〕，求函數(shù)的最大值?！?〕當(dāng)時(shí)，求的最大值。求的值域。注意：在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，假設(shè)等號(hào)取不到，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的值域。〔條件不等式〕假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的最小值是.，且，求的最小值。x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝eq\f(1,ab)的最小值.題型六：利用根本不等式證明不等式19、a,b都是正數(shù)，并且ab，求證：a5+b5>a2b3+a3b2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc16．〔12分〕設(shè)a>0,b>0，且a+b=1，求證：．題型七：均值定理實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題：某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池〔平面圖如圖〕，如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。四.線性規(guī)劃題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值滿足不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值22、實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為、,并且,．那么的取值范圍是23、滿足約束條件：,那么的最小值是24、變量〔其中a>0〕僅在點(diǎn)〔3，0〕處取得最大值，那么a的取值范圍為。25、實(shí)數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，那么實(shí)數(shù)等于〔〕題型九：實(shí)際應(yīng)用某餅店制作的豆沙月餅每個(gè)本錢35元，售價(jià)50元；鳳梨月餅每個(gè)本錢20元，售價(jià)30元。現(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個(gè)數(shù)不超過(guò)10個(gè)，售價(jià)不超過(guò)350元，問(wèn)豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個(gè)，可使利潤(rùn)最大？又利潤(rùn)最大為多少？易錯(cuò)點(diǎn)剖析1、抓住兩邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化抓住兩邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是不等式應(yīng)用的重要一環(huán)，根據(jù)結(jié)論與條件，要想促使結(jié)論與條件的“溝通”，必須仔細(xì)分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)牟坏仁交蜃兪?；?、正數(shù)、滿足=1，的最大值。分析〔1〕此題是求“積”的最大值，常規(guī)是向“和”或“平方和”轉(zhuǎn)化，并根據(jù)“和”或“平方和”是否是定值，做出選擇。〔2〕要利用=1，就必須去掉根號(hào)，因此要向“平方和”轉(zhuǎn)化，那么應(yīng)用變式①也就順理成章了。解：∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得“=”?！嗟淖畲笾凳抢?、正數(shù)、滿足=1，求最小值；分析：將條件與結(jié)論放在一起，可以看出，要想從條件式推出結(jié)論式，必須完成從“和”向“平方和”的轉(zhuǎn)化；假設(shè)從結(jié)論入手轉(zhuǎn)化，再利用條件，就必須完成從“平方和”向“和”的轉(zhuǎn)化。顯然，不管是由條件推出結(jié)論還是由結(jié)論轉(zhuǎn)化再利用條件，都離不開變式④。解：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=’。∴最小值是。注：轉(zhuǎn)化中必要的“技術(shù)處理”對(duì)均值不等式的應(yīng)用，除了要會(huì)從結(jié)構(gòu)入手分析外，必要的“技術(shù)處理”還必須掌握如：“配系數(shù)”〔將“”寫成“”或“”〕；“拆項(xiàng)”〔將“”寫成“”〕；“加、減湊項(xiàng)”〔將“”寫成“”〕；“升降冪”〔〕等都是常用的“技術(shù)處理”方法。，求證：分析：從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和字母的次數(shù)看與變式⑤吻合，可從此式入手。解：∵假設(shè)b>0,那么，∴……①……②∴由①+②。例4、求的最小值。分析：此題求“和”的最小值，但“積”并不是定值，故需要進(jìn)行“拆項(xiàng)”變形等“技術(shù)處理”，注意到，容易找到解題的突破口…解：由，于是≥=，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”∴的最小值是16。另外也可由==…≥來(lái)求得此最小值。使用均值定理的考前須知〔易錯(cuò)提醒〕應(yīng)用均值不等式求最值方便、快捷，但必須注意條件“一正、二定、三相等”，即涉及的變量都是正數(shù)，其次是和〔平方和〕為定值或積為定值，然后必須注意等號(hào)可以成立。如的最小值是5；但使用均值不等式容易誤解為是4，因?yàn)椴怀闪ⅰ膊荒苋　?”〕。在使用均值不等式時(shí)，要注意它們屢次使用再相加相乘的時(shí)候，等號(hào)成立的條件是否一致。如例4，要保證兩次均值不等式的取等條件相同〔同時(shí)滿足〕。在使用均值定理求最值的時(shí)候，如果等號(hào)成立的條件不具備，應(yīng)考慮用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決。如求的最小值，可利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決。應(yīng)用舉例：循序漸進(jìn)，學(xué)會(huì)變型〔配套訓(xùn)練〕1.求的最小值?！?〕2.求的最大值?！病?.求函數(shù)的值域?！瞇-1，]〕不等式專題檢測(cè)一、選擇題：1．假設(shè)，且，那么以下不等式一定成立的是 〔〕 A．B． C.D．2、假設(shè)，那么以下不等關(guān)系中不能成立的是〔〕 A． B． C． D．3．假設(shè)關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C． D．4．實(shí)數(shù)x,y滿足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有 〔〕 A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1 C．最小值和最大值 D．最小值15．設(shè)x>0,y>0,,，a與b的大小關(guān)系 〔〕 A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)b6．假設(shè)關(guān)于的不等式內(nèi)有解，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C． D．7．假設(shè)時(shí)總有那么實(shí)數(shù)的取值范圍是(〕A． B． C． D．8．甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)〔〕 A．甲 B．乙C．甲乙同時(shí)到達(dá) D．無(wú)法判斷9．設(shè)變量、滿足約束條件，那么目標(biāo)函數(shù)的最小值為〔〕A．B．C．D．10.設(shè)f(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y，有那么f(x)在區(qū)間[a,b]上〔〕 A．有最大值f(a) B．有最小值f(a) C．有最大值 D．有最小值第二卷〔非選擇題，共100分〕二、填空題：11．，求的取值范圍．12．假設(shè)．13．函數(shù)的值域?yàn)椋?4．要挖一個(gè)面積為432m2的矩形魚池，周圍兩側(cè)分別留出寬分別為3m，4m的堤堰，要想使占地總面積最小，此時(shí)魚池的長(zhǎng)、寬15、以下四個(gè)命題中：①a+b≥2②sin2x+≥4③設(shè)x，y都是正