必修五不等式專題復習

《不等式》專題復習知識回憶一．不等式的主要性質：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法那么：(同向可加)(4)乘法法那么：(同向同正可乘)(5)倒數(shù)法那么：(6)乘方法那么：(7)開方法那么：2、應用不等式的性質比擬兩個實數(shù)的大小：作差法〔作差——變形——判斷符號——結論〕3、應用不等式性質證明不等式二．解不等式1.一元二次不等式的解集：2、簡單的一元高次不等式的解法：〔穿根法〕其步驟是：〔1〕分解成假設干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；〔2〕將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶不過；〔3〕根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。3、分式不等式的解法〔轉化為常規(guī)不等式〕注意：右邊不是零時，先移項再通分，化為上兩種情況再處理4、不等式的恒成立問題：應用函數(shù)方程思想和“別離變量法”轉化為最值問題假設不等式在區(qū)間上恒成立,那么等價于在區(qū)間上假設不等式在區(qū)間上恒成立,那么等價于在區(qū)間上三、線性規(guī)劃1、用二元一次不等式〔組〕表示平面區(qū)域2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法：定點法3、線性規(guī)劃的有關概念：①線性約束條件②線性目標函數(shù)③線性規(guī)劃問題④可行解、可行域和最優(yōu)解：4、求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：〔1〕尋找線性約束條件，列出線性目標函數(shù)；〔2〕由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；〔3〕依據(jù)線性目標函數(shù)作參照直線ax+by＝0，在可行域內平移參照直線求目標函數(shù)的最優(yōu)解四．均值不等式1．假設a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時取等號.2．如果a,b是正數(shù)，那么變形：①a+b≥；②ab≤,當且僅當a=b時取等號.注：〔1〕當兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．〔2〕求最值的重要條件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：〔1〕(根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用)；〔2〕a、b、cR，〔當且僅當時，取等號〕；〔3〕假設，那么〔糖水的濃度問題〕。典例剖析題型一：不等式的性質對于實數(shù)中，給出以下命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，那么。其中正確的命題是______題型二：比擬大小〔作差法、函數(shù)單調性、中間量比擬，根本不等式〕設，，，試比擬的大小比擬1+與的大小假設，那么的大小關系是.題型三：解不等式解不等式解不等式。解不等式不等式的解集為{x|-1＜x＜2}，那么=_____,b=_______關于的不等式的解集為，那么關于的不等式的解集為______解關于x的不等式題型四：恒成立問題關于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，那么a的取值范圍是_____________假設不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。三．根本不等式題型五：求最值〔直接用注正數(shù)〕求以下函數(shù)的值域〔1〕y＝3x2＋eq\f(1,2x2)〔2〕y＝x＋eq\f(1,x)〔配湊項〕〔1〕，求函數(shù)的最大值?！?〕當時，求的最大值。求的值域。注意：在應用均值不等式求最值時，假設等號取不到，應結合函數(shù)的單調性。求函數(shù)的值域。〔條件不等式〕假設實數(shù)滿足，那么的最小值是.，且，求的最小值。x，y為正實數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝eq\f(1,ab)的最小值.題型六：利用根本不等式證明不等式19、a,b都是正數(shù)，并且ab，求證：a5+b5>a2b3+a3b2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc16．〔12分〕設a>0,b>0，且a+b=1，求證：．題型七：均值定理實際應用問題：某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池〔平面圖如圖〕，如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。四.線性規(guī)劃題型八：目標函數(shù)求最值滿足不等式組，求目標函數(shù)的最大值22、實系數(shù)一元二次方程的兩個實根為、,并且,．那么的取值范圍是23、滿足約束條件：,那么的最小值是24、變量〔其中a>0〕僅在點〔3，0〕處取得最大值，那么a的取值范圍為。25、實數(shù)滿足如果目標函數(shù)的最小值為，那么實數(shù)等于〔〕題型九：實際應用某餅店制作的豆沙月餅每個本錢35元，售價50元；鳳梨月餅每個本錢20元，售價30元?，F(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個數(shù)不超過10個，售價不超過350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？易錯點剖析1、抓住兩邊結構進行合理轉化抓住兩邊結構進行轉化是不等式應用的重要一環(huán)，根據(jù)結論與條件，要想促使結論與條件的“溝通”，必須仔細分析結構特點，選用恰當?shù)牟坏仁交蜃兪?；?、正數(shù)、滿足=1，的最大值。分析〔1〕此題是求“積”的最大值，常規(guī)是向“和”或“平方和”轉化，并根據(jù)“和”或“平方和”是否是定值，做出選擇?！?〕要利用=1，就必須去掉根號，因此要向“平方和”轉化，那么應用變式①也就順理成章了。解：∵，當且僅當即時取得“=”?！嗟淖畲笾凳抢?、正數(shù)、滿足=1，求最小值；分析：將條件與結論放在一起，可以看出，要想從條件式推出結論式，必須完成從“和”向“平方和”的轉化；假設從結論入手轉化，再利用條件，就必須完成從“平方和”向“和”的轉化。顯然，不管是由條件推出結論還是由結論轉化再利用條件，都離不開變式④。解：∵，∴，當且僅當時取得“=’?！嘧钚≈凳恰Ｗⅲ恨D化中必要的“技術處理”對均值不等式的應用，除了要會從結構入手分析外，必要的“技術處理”還必須掌握如：“配系數(shù)”〔將“”寫成“”或“”〕；“拆項”〔將“”寫成“”〕；“加、減湊項”〔將“”寫成“”〕；“升降冪”〔〕等都是常用的“技術處理”方法。，求證：分析：從結構特點和字母的次數(shù)看與變式⑤吻合，可從此式入手。解：∵假設b>0,那么，∴……①……②∴由①+②。例4、求的最小值。分析：此題求“和”的最小值，但“積”并不是定值，故需要進行“拆項”變形等“技術處理”，注意到，容易找到解題的突破口…解：由，于是≥=，當且僅當即時取“=”∴的最小值是16。另外也可由==…≥來求得此最小值。使用均值定理的考前須知〔易錯提醒〕應用均值不等式求最值方便、快捷，但必須注意條件“一正、二定、三相等”，即涉及的變量都是正數(shù)，其次是和〔平方和〕為定值或積為定值，然后必須注意等號可以成立。如的最小值是5；但使用均值不等式容易誤解為是4，因為不成立〔不能取“=”〕。在使用均值不等式時，要注意它們屢次使用再相加相乘的時候，等號成立的條件是否一致。如例4，要保證兩次均值不等式的取等條件相同〔同時滿足〕。在使用均值定理求最值的時候，如果等號成立的條件不具備，應考慮用函數(shù)的單調性來解決。如求的最小值，可利用函數(shù)的單調性來解決。應用舉例：循序漸進，學會變型〔配套訓練〕1.求的最小值?！?〕2.求的最大值?！病?.求函數(shù)的值域。〔[-1，]〕不等式專題檢測一、選擇題：1．假設，且，那么以下不等式一定成立的是 〔〕 A．B． C.D．2、假設，那么以下不等關系中不能成立的是〔〕 A． B． C． D．3．假設關于的不等式對任意恒成立，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C． D．4．實數(shù)x,y滿足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有 〔〕 A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1 C．最小值和最大值 D．最小值15．設x>0,y>0,,，a與b的大小關系 〔〕 A．a>b B．a<b C．ab D．ab6．假設關于的不等式內有解，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C． D．7．假設時總有那么實數(shù)的取值范圍是(〕A． B． C． D．8．甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，甲、乙兩人誰先到達指定地點〔〕 A．甲 B．乙C．甲乙同時到達 D．無法判斷9．設變量、滿足約束條件，那么目標函數(shù)的最小值為〔〕A．B．C．D．10.設f(x)是奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x、y，有那么f(x)在區(qū)間[a,b]上〔〕 A．有最大值f(a) B．有最小值f(a) C．有最大值 D．有最小值第二卷〔非選擇題，共100分〕二、填空題：11．，求的取值范圍．12．假設．13．函數(shù)的值域為．14．要挖一個面積為432m2的矩形魚池，周圍兩側分別留出寬分別為3m，4m的堤堰，要想使占地總面積最小，此時魚池的長、寬15、以下四個命題中：①a+b≥2②sin2x+≥4③設x，y都是正