第一講整式及乘法公式

第一講整式及乘法公式第一部分知識(shí)梳理一、基本概念1．同底數(shù)冪乘法法則同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即（m、n都是正整數(shù)）2．冪的乘方法則冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即（m、n都是正整數(shù)）3．積的乘方積的乘方，把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（n為整數(shù)）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（2）完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2，其中a、b可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，既可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 三、整式的乘法1．單項(xiàng)式相乘，把它們的________分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則________．2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘________，再把所得的積________．3．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用________乘以________，再把所得的積________．第二部分例題與解題思路方法歸納【例題1】閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘記為an．如2×2×2=23=8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即logab=n）．如34=81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381=4）．（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：log24=，log216=，log264=．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式；（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？logaM+logaN=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根據(jù)冪的運(yùn)算法則：an?am=an+m以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論．〖選題意圖〗本題是開(kāi)放性的題目，難度較大．借考查對(duì)數(shù)，實(shí)際考查學(xué)生對(duì)指數(shù)的理解、掌握的程度；要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會(huì)類比、歸納，推測(cè)出對(duì)數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．〖解題思路〗首先認(rèn)真閱讀題目，準(zhǔn)確理解對(duì)數(shù)的定義，把握好對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系．（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，不難找到規(guī)律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出結(jié)論：logaM+logaN=loga（MN）；（4）首先可設(shè)logaM=b1，logaN=b2，再根據(jù)冪的運(yùn)算法則：an?am=an+m以及對(duì)數(shù)的含義證明結(jié)論．〖參考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）證明：設(shè)logaM=b1，logaN=b2，則QUOTE=M，QUOTE=N，∴MN=QUOTE，∴b1+b2=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．【課堂訓(xùn)練題】1．已知2a?5b=2c?5d=10，求證：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖參考答案〗證明：∵2a?5b=10=2×5，∴2a﹣1?5b﹣1=1，∴（2a﹣1?5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可證：（2c﹣1?5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②兩式得2（a﹣1）（d﹣1）?5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）?5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若am=an（a＞0且a≠1，m，n是正整數(shù)），則m=n．你能利用上面的結(jié)論解決下面的2個(gè)問(wèn)題嗎？試試看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖參考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣QUOTE【例題2】設(shè)m=2100，n=375，為了比較m與n的大小。小明想到了如下方法：，即25個(gè)16相乘的積；n=375=（33）25=2725，即25個(gè)27相乘的積，顯然m＜n，現(xiàn)在設(shè)x=430，y=340，請(qǐng)你用小明的方法比較x與y的大小?！歼x題意圖〗本題考查了冪的乘方的性質(zhì)的運(yùn)用，確定指數(shù)是關(guān)鍵，兩個(gè)底數(shù)不同，指數(shù)相同的數(shù)比較大小，底數(shù)大的值比底數(shù)小的值要大．〖解題思路〗根據(jù)題意先把x、y分別寫(xiě)成（43）10、（34）10，然后比較底數(shù)的大小即可．〖參考答案〗解：由閱讀材料知：x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，又∵64＜81，∴x＜y．故答案為x＜y．【課堂訓(xùn)練題】1．若QUOTE，求x3m+3n的值〖參考答案〗解：x3m+3n=x3m?x3n=（xm）3?（xn）3=（QUOTE）3×33=QUOTE．2．比較下列一組數(shù)的大?。?131，2741，961〖參考答案〗解：∵8131=（34）31=3124；2741=（33）41=3123；961=（32）61=3122；∴8131＞2741＞961．【例題3】已知（x+a）（x2﹣x+c）的積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？〖選題意圖〗本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，注意當(dāng)要求多項(xiàng)式中不含有哪一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)讓這一項(xiàng)的系數(shù)為0．要靈活掌握立方和公式．〖解題思路〗先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算，再讓x2項(xiàng)和x項(xiàng)的系數(shù)為0，求得a，c的值，代入求解．〖參考答案〗解：∵（x+a）（x2﹣x+c），=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，又∵積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，∴a﹣1=0，c﹣a=0，解得a=1，c=1．又∵a=c=1．∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3+1．【課堂訓(xùn)練題】1．若x3﹣6x2+11x﹣6=（x﹣1）（x2+mx+n），求：（1）m、n的值；（2）m+n的平方根；（3）2m+3n的立方根．〖參考答案〗解：（1）∵（x﹣1）（x2+mx+n）=x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n=x3﹣6x2+11x﹣6∴m﹣1=﹣6，﹣n=﹣6，解得m=﹣5，n=6；（2）當(dāng)m=﹣5，n=6時(shí)，m+n=﹣5+6=1，1的平方根為±1；即m+n的平方根為±1（3）當(dāng)m=﹣5，n=6時(shí)，2m+3n=﹣10+18=8，8的立方根為2．2．已知a，b，k均為整數(shù)，則滿足等式（x+a）（x+b）=x2+kx+30的所有的k值有個(gè)．〖參考答案〗解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+30，∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+30，∴a+b=k，ab=30，∵a，b，k均為整數(shù)，∴a=±1，b=±30，k=±31；a=±2，b=±15，k=±17；a=±3，b=±10，k=±13；a=±5，b=±6，k=±11；故k的值共有8個(gè)，故答案為8．【例題4】老師在黑板上寫(xiě)出三個(gè)算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王華接著又寫(xiě)了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）請(qǐng)你再寫(xiě)出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；（2）用文字寫(xiě)出反映上述算式的規(guī)律；（3）證明這個(gè)規(guī)律的正確性．〖選題意圖〗本題為規(guī)律探究題，考查學(xué)生探求規(guī)律解決問(wèn)題的思維能力．〖解題思路〗通過(guò)觀察可知，等式左邊一直是兩個(gè)奇數(shù)的平方差，右邊總是8乘以一個(gè)數(shù)．根據(jù)平方差公式，把等式左邊進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)．〖參考答案〗解：（1）112﹣92=8×5，132﹣112=8×6．（2）規(guī)律：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)．（3）證明：設(shè)m，n為整數(shù)，兩個(gè)奇數(shù)可表示2m+1和2n+1，則（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．當(dāng)m，n同是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，m﹣n一定為偶數(shù)，所以4（m﹣n）一定是8的倍數(shù)．當(dāng)m，n﹣奇﹣偶時(shí)，則m+n+1一定為偶數(shù)，所以4（m+n+1）一定是8的倍數(shù)所以，任意兩奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．【課堂訓(xùn)練題】1．計(jì)算：QUOTE〖參考答案〗解：由題意可設(shè)字母n=12346，那么12345=n﹣1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2﹣（n﹣1）（n+1）．應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2﹣（n2﹣12）=n2﹣n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．2．若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)（1）28和76是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（k為非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？〖參考答案〗解：（1）是，∵28=82﹣62，76=202﹣182．（2）是，∵（2k+2）2﹣（2k）2=4k+4=4（k+1），∴由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)．【例題5】已知a=2002，b=2003，c=2004，求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．〖選題意圖〗本題考查了完全平方式，對(duì)原式擴(kuò)大2倍或提取求解是解答本題的關(guān)鍵，也滲透了分組和配方法的思想．〖解題思路〗題中出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的平方和及兩個(gè)數(shù)積時(shí)，考慮把它們組合整理為完全平方的形式，以簡(jiǎn)便運(yùn)算．〖參考答案〗解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc），=a2+b2﹣2ab+a2+c2﹣2ac+b2+c2﹣2bc=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=（2002﹣2003）2+（2002﹣2004）2+（2003﹣2004）2=1+4+1=6，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=3．【課堂訓(xùn)練題】1．一個(gè)單項(xiàng)式加上多項(xiàng)式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一個(gè)整式的平方，試求所有這樣的單項(xiàng)式．〖參考答案〗解：∵9（x﹣1）2﹣2x﹣5=9x2﹣20x+4，又∵一個(gè)單項(xiàng)式加上9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一個(gè)整式的平方，∴此單項(xiàng)式可能是常數(shù)項(xiàng)，可能是一次項(xiàng)，可能是二次項(xiàng)，①∵9x2﹣20x+4+QUOTE=（3x﹣QUOTE）2，故此單項(xiàng)式是QUOTE；②∵9x2﹣20x+4+8x=（3x﹣2）2，故此單項(xiàng)式是8x；∵9x2﹣20x+4+32x=（3x+2）2，故此單項(xiàng)式是32x；③∵9x2﹣20x+4+16x2=（5x﹣2）2，故此單項(xiàng)式是16x2；故答案是QUOTE、8x、32x、16x2．2．試說(shuō)明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一個(gè)完全平方式．〖參考答案〗證明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1，=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1=（a2+3a+1）2，∴（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一個(gè)完全平方式．【例題6】已知多項(xiàng)式6a2+mab﹣ab﹣10b2除以3a﹣2b，得商為2a+5b，求m的值．〖選題意圖〗本題主要考查了整式的乘法和除法互為逆運(yùn)算，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同列出等式是解題的關(guān)鍵．〖解題思路〗根據(jù)整式的乘法和除法是互逆運(yùn)算，把（3a﹣2b）（2a+5b）展開(kāi)再利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求解．〖參考答案〗解：∵（3a﹣2b）（2a+5b）=6a2+11ab﹣10b2，∴mab﹣ab=11ab，∴m﹣1=11，解得m=12．故m的值為12．【課堂訓(xùn)練題】1．是否存在常數(shù)p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除？如果存在，求出p、q的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由．〖參考答案〗解：假設(shè)存在，則說(shuō)明x4+px2+q能被x2+2x+5整除，可設(shè)另一個(gè)因式是x2+mx+n，∴（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+q，即有x4+（m+2）x3+（n+2m+5）x2+（2n+5m）x+5n=x4+px2+q，∴QUOTE且QUOTE解上面的方程組，得QUOTE，∴存在常數(shù)p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除．故所求p=6，q=25．2．閱讀下面一段話，解決后面的問(wèn)題．觀察下面一列數(shù)：1，2，4，8，…，我們發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于2．一般地，如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的比．（1）等比數(shù)列5，﹣15，45，…的第四項(xiàng)是．（2）如果一列數(shù)a1，a2，a3，a4，…是等比數(shù)列，且公比為q，那么根據(jù)上述的規(guī)定，有QUOTE=，…所以a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q=a1q3，…，an=（用含a1與q的代數(shù)式表示）．（3）一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)是10，第三項(xiàng)是20，則它的第一項(xiàng)是，第四項(xiàng)是．〖參考答案〗解：（1）∵﹣15÷5=﹣3，45÷（﹣15）=﹣3，∴第四項(xiàng)為45×（﹣3）=﹣135．（2）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，第n項(xiàng)是首項(xiàng)a1乘以公比q的（n﹣1）次方，即：an=a1qn﹣1．（3）∵公比等于20÷10=2，∴第一項(xiàng)等于：10÷2=5，第四項(xiàng)等于20×2=40．a(chǎn)n=a1qn﹣1．第三部分課后自我檢測(cè)試卷A類試題：1．5x3y2與一個(gè)多項(xiàng)式的積為20x5y2﹣15x3y4+70（x2y3）2，則這個(gè)多項(xiàng)式為（） A．4x2﹣3y2 B．4x2y﹣3xy2 C．4x2﹣3y2+14xy4 D．4x2﹣3y2+7xy32．如果一個(gè)多項(xiàng)式與（2x﹣3）的積是4x2﹣12x+9，那么這個(gè)多項(xiàng)式是（） A．4x2+9 B．8x2﹣27 C．2x﹣3 D．2x+33．小明在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時(shí)，不小心把乘以（x﹣2y）錯(cuò)抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），則第一個(gè)多項(xiàng)式是多少？4．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值．5．（1）計(jì)算（x+1）（x+2）=，（x﹣1）（x﹣2）=，（x﹣1）（x+2）=，（x+1）（x﹣2）=．（2）你發(fā)現(xiàn)（1）小題有何特征，會(huì)用公式表示出來(lái)嗎？（3）已知a、b、m均為整數(shù)，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，則m的可能取值有多少個(gè)？6．計(jì)算：（1）898×902； （2）303×297；（3）9.9×10.1； （4）30.8×29.2．7．計(jì)算（1）QUOTE； （2）（xm﹣yn）（xm+yn）；（3）QUOTE； （4）（x+y+z）2．8．計(jì)算：（1）QUOTE （2）（﹣4x﹣3y2）（3y2﹣4x）9．利用乘法公式計(jì)算：（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）； （2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）；（3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）； （4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）；（5）（m﹣n﹣3）2．10．已知多項(xiàng)式2x3﹣4x2﹣1除以一個(gè)多項(xiàng)式A，得商式為2x，余式為x﹣1，求這個(gè)多項(xiàng)式．B類試題：11．閱讀下列解答過(guò)程，并回答問(wèn)題．在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的積中，x3項(xiàng)的系數(shù)為﹣5，x2項(xiàng)的系數(shù)為﹣6，求a，b的值．解：（x2+ax+b）?（2x2﹣3x﹣1）=2x4﹣3x3+2ax3+3ax2﹣3bx=①2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx②根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，有QUOTE，解得QUOTE回答：（1）上述解答過(guò)程是否正確？．（2）若不正確，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，其他步驟是否還有錯(cuò)誤？．（3）寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．12．已知多項(xiàng)式x2﹣mx﹣n與x﹣2的乘積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，求這兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積．13．已知6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b）（3x+y+c），試確定a、b、c的值．14．填空（x﹣y）（x2+xy+y2）=；（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）=根據(jù)以上等式進(jìn)行猜想，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，可得：（x﹣y）（xn+xn﹣1y+yn﹣2y2+…+x2yn﹣2+xyn﹣1+yn）=．15．（1）若（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a4+a2+a0的值．（2）已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且，求：a+2b﹣3c的值．16．已知x+QUOTE=3，求QUOTE的值；17.求值：（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）?（216+1）﹣232．18．兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差能被4整除嗎？為什么？19.用乘法公式計(jì)算：①20022﹣2001×2003；②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）20．閱讀下列材料：一個(gè)自然數(shù)a恰好等于另一個(gè)自然數(shù)b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)．已知a=20042+20042×20052+20052，試說(shuō)明a是一個(gè)完全平方數(shù)．C類試題：21．小明是一位刻苦學(xué)習(xí)，勤于思考的同學(xué)，一天，他在解方程時(shí)突然產(chǎn)生了這樣的想法，x2=﹣1，這個(gè)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，如果存在一個(gè)數(shù)i2=﹣1，那么方程x2=﹣1可以變成x2=i2，則x=±i，從而x=±i是方程x2=﹣1的兩個(gè)解，小明還發(fā)現(xiàn)i具有以下性質(zhì)：i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4?i=i，i6=（i2）3=（﹣1）3=﹣1，i7=i6?i=﹣i，i8=（i4）2=1，…請(qǐng)你觀察上述等式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：i4n+1=，i4n+2=，i4n+3=（n為自然數(shù)）．22．如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把剩下部分拼成一個(gè)梯形，通過(guò)計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可驗(yàn)證公式為？23．已知：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此規(guī)律，則：（1）a5﹣b5=（a﹣b）（）；（2）若a﹣QUOTE=2，你能根據(jù)上述規(guī)律求出代數(shù)式a3﹣QUOTE的值嗎？24．觀察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1①你能否由此歸納出一般性規(guī)律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=；②根據(jù)①求出：1+2+22+…+262+263的結(jié)果．25．（2011湖南益陽(yáng)，16）觀察下列算式：①1×3-22=3-4=-1 ②2×4-32=8-9=-1③3×5-42=15-16=-1 ④……（1）請(qǐng)你按以上規(guī)律寫(xiě)出第4個(gè)算式；（2）把這個(gè)規(guī)律用含字母的式子表示出來(lái)；（3）你認(rèn)為（2）中所寫(xiě)出的式子一定成立嗎？并說(shuō)明理由．26．圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖②中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖②，三個(gè)代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系是；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，則x﹣y=；（4）觀察圖③，你能得到怎樣的代數(shù)恒等式呢？（5）試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．27．（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示．用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2．①用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；②我們知道：同一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是確定的數(shù)值．由此，你可以得出的一個(gè)等式為：．（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3所示．請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫(huà)出你的拼圖并說(shuō)明推出的過(guò)程．28．如圖，四邊形ABCD是校園內(nèi)一塊邊長(zhǎng)為a+b的正方形土地（其中a＞b）示意圖，現(xiàn)準(zhǔn)備在這塊正方形土地的正中修建一個(gè)邊長(zhǎng)為a﹣b的小正方形花壇，其余的部分為空地留作道路．（1）畫(huà)出花壇的示意圖，并寫(xiě)出圖中各部分面積的表達(dá)式；（2）用等式表示大，小正方形及空地的面積關(guān)系，（a﹣b）2=．29．計(jì)算多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d的值時(shí)有以下3種算法，分別統(tǒng)計(jì)3種算法中的乘法次數(shù)．①直接計(jì)算：ax3+bx2+cx+d時(shí)共有3+2+l=6（次）乘法；②利用已有冪運(yùn)算結(jié)果：x3=x2?x，計(jì)算ax3+bx2+cx+d時(shí)共有2+2+1=5（次）乘法；③逐項(xiàng)迭代：ax3+bx2+cx+d=[（ax+b）x+c]x+d，其中等式右端運(yùn)算中含有3次乘法．請(qǐng)問(wèn)：（1）分別使用以上3種算法，統(tǒng)計(jì)算式a0x10+a1x9+a2x8+…+a9x+a10中乘法的次數(shù)，并比較3種算法的優(yōu)劣．（2）對(duì)n次多項(xiàng)式a0xn+a1xn﹣1+a2xn﹣2+…+an﹣1x+an（其中a0，a1，a2，…，an為系數(shù)，n＞1），分別使用以上3種算法統(tǒng)計(jì)其中乘法的次數(shù)，并比較3種算法的優(yōu)劣．30．（神奇的數(shù)學(xué)游戲）根據(jù)下面的游戲向?qū)?lái)試著玩這個(gè)游戲．寫(xiě)出一個(gè)你喜歡的數(shù)，把這個(gè)數(shù)加上2，把結(jié)果乘以5，再減去10，再除以5，結(jié)果你會(huì)重新得到原來(lái)的數(shù)．（1）假設(shè)一開(kāi)始寫(xiě)出的數(shù)為n，根據(jù)這個(gè)游戲的每一步，列出最后的表達(dá)式；（2）將（1）中得到的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)．用你的結(jié)果來(lái)證實(shí)：為什么游戲?qū)θ我鈹?shù)都成立；（3）自己編寫(xiě)一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，并寫(xiě)出指導(dǎo)步驟（試著使你編出的游戲讓人感到驚奇，且并不是顯而易見(jiàn)的）．課后自我檢測(cè)試卷參考答案A類試題：1．解：依題意得[20x5y2﹣15x3y4+70（x2y3）2]÷5x3y2=4x2﹣3y2+14xy4．故選C．2．解：（4x2﹣12x+9）÷（2x﹣3）=（2x﹣3）2÷（2x﹣3）=2x﹣3，故選C．3．解：（3x﹣y）（x﹣2y）=3x2﹣6xy﹣xy+2y2=3x2﹣7xy+2y2．4．解：由272=a6，得36=a6，∴a=±3；由272=9b，得36=32b，∴2b=6，解得b=3；（1）當(dāng)a=3，b=3時(shí)，2a2+2ab=2×32+2×3×3=36．（2）當(dāng)a=﹣3，b=3時(shí)，2a2+2ab=2×（﹣3）2+2×（﹣3）×3=18﹣18=0．所以2a2+2ab的值為36或0．5．解：（1）（x+1）（x+2）=x2+3x+2，（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2，（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2；（2）可以發(fā)現(xiàn)題（1）中，左右兩邊式子符合（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq結(jié)構(gòu)．（3）因?yàn)?2可以分解以下6組數(shù)，a×b=1×12，2×6，3×4，（﹣1）×（﹣12），（﹣2）×（﹣6），（﹣3）×（﹣4），所以m=a+b應(yīng)有6個(gè)值．6．解：（1）原式=（900﹣2）（900+2）=9002﹣22=810000﹣4=809996；（2）原式=（3003）（300﹣3）=3002﹣32=90000﹣9=89991；（3）原式=（10﹣0.1）（10+0.1）=102﹣0.12=100﹣0.01=99.99；（4）原式=（30+0.8）（30﹣0.8）=302﹣0.82=900﹣0.64=899.36．7．解：（1）原式=（﹣2x2）2﹣（QUOTE）2=4x4﹣QUOTE；（2）原式=（xm）2﹣（yn）2=x2m﹣y2n；（3）原式=[（QUOTEa+QUOTEb）（QUOTEa﹣QUOTEb）]2=（QUOTEa2﹣QUOTEb2）2=QUOTE；（4）（x+y+z）2=（x+y）2+2（x+y）z+z2=x2+2xy+y2+2yz+2xz+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz．8．解：（1）原式=QUOTE（2x2﹣4xy+7y2）=QUOTE；（2）原式=（﹣4x﹣3y2）（﹣4x+3y2）=（﹣4x）2﹣（3y2）2=16x2﹣9y4．9．解：（1）原式=（2x﹣3y）2﹣（9x2﹣y2）=（4x2+9y2﹣12xy）﹣9x2+y2=8y2﹣12xy﹣5x2；（2）原式=（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4），=（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）=（x4﹣y4）（x4+y4）=x8﹣y8；（3）原式=[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]=a2﹣（2b﹣3）2=a2﹣4b2﹣9+12b；（4）原式=[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2），=（x2﹣2xy+y2+x2+y2+2xy）（x2﹣y2）=2（x2+y2）（x2﹣y2）=2（x4﹣y4）=2x4﹣2y4；（5）原式=（m﹣n﹣3）（m﹣n﹣3），=m2﹣mn﹣3m﹣mn+n2+3n﹣3m+3n+9，=n2+m2﹣2mn﹣6m+6n+9．10．解：A=[（2x3﹣4x2﹣1）﹣（x﹣1）]÷（2x），=（2x3﹣4x2﹣x）÷（2x）=x2﹣2x﹣QUOTE．B類試題：11．解：（1）不正確，（2）第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，第②③步還有錯(cuò)誤；（3）（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)有：﹣3x3+2ax3=（2a﹣3）x3，含x2的項(xiàng)有：x2+2bx2﹣3ax2=（﹣3a+2b﹣1）x2．又∵x3項(xiàng)的系數(shù)為﹣5，x2項(xiàng)的系數(shù)為﹣6，∴有QUOTE，解得QUOTE．故應(yīng)填：（1）不正確；（2）①，第②③步還有錯(cuò)誤．12．解：（x﹣2）（x2﹣mx﹣n），=x3﹣mx2﹣nx﹣2x2+2mx+2n，=x3﹣（m+2）x2+（2m﹣n）x+2n，∵不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，∴﹣（m+2）=0，2m﹣n=0，解得m=﹣2，n=﹣4，∴乘積為x3﹣8．13．解：∵（2x﹣3y+b）（3x+y+c）=6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc∴6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc=6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a∴2c+3b=14，b﹣3c=1，a=bc聯(lián)立以上三式可得：a=4，b=4，c=1故a=4，b=4，c=1．14．解：原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3=x3﹣y3；故答案為：x3﹣y3；原式=x4+x3y+x2y2+xy3﹣x3y﹣x2y2﹣xy3﹣y4=x4﹣y4；故答案為：x4﹣y4；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，原式=xn+1+xny+xyn﹣2+x2yn﹣1+xyn﹣xny﹣xn﹣1y2﹣yn﹣1y2﹣…﹣x2yn﹣1﹣xyn﹣yn+1=xn﹣yn，故答案為：xn﹣yn．15．解：（1）∵（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=1，則1=a5+a4+a3+a2+a1+a0①，令x=﹣1，則﹣243=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0②，①+②得﹣242=2（a4+a2+a0），∴a4+a2+a0=﹣121；（2）∵a+b+|QUOTE﹣1|=4QUOTE+2QUOTE﹣4，∴a﹣2+b+1+|QUOTE﹣1|+1=4QUOTE+2QUOTE﹣4，∴（a﹣2）﹣4QUOTE+4+（b+1）﹣2QUOTE+1+|QUOTE﹣1=0，∴QUOTE+QUOTE+|QUOTE﹣1|=0，∵QUOTE、QUOTE、|QUOTE﹣1|都是非負(fù)數(shù)，∴QUOTE=0，QUOTE=0，|QUOTE﹣1|=0，∴a=6，b=0，c=2，∴a+2b﹣3c=6+2×0-3×2=016．解：（1）∵x+QUOTE=3，∴QUOTE=x2+3+QUOTE=（x+QUOTE）2+1，=32+1=10，∴QUOTE=QUOTE；17．解：（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）?（216+1）﹣232，=（2﹣1）?（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）?（216+1）﹣232，=（232﹣1）﹣232，=﹣1．18．解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2，則有（2n+2）2﹣（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因?yàn)閚為整數(shù)，所以4（2n+1）中的2n+1也是正整數(shù)，所以4（2n+1）是4的倍數(shù)．19．解：①20022﹣2001×2003，=20022﹣（2002﹣1）（2002+1），=20022﹣20022+1，=1；②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1），=（2﹣1）（2+1）（22+1）…（2n+1），=（22﹣1）（22+1）…（22n+1），…=24n﹣1．20．解：設(shè)x=2004，則2005=2004+1=