數(shù)學(xué)-專題12 相似三角形中的旋轉(zhuǎn)型相似模型（帶答案）

專題12相似三角形中的旋轉(zhuǎn)型相似模型【模型展示】特點(diǎn)如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[結(jié)論若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[【題型演練】一、單選題1．如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，∠EAB、∠GAD與∠BAG的和均為90°，即可證明∠EAB與∠GAD相等；②由題意易得AD=DC，AG=FG，進(jìn)而可得，∠DAG=∠CAF，然后問(wèn)題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAF∽△FAC，則有，然后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知∠ADG=∠ACF=45°，則問(wèn)題可求證．【詳解】解：①∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD

∴①正確②∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC=AD，AF=AG∴，即又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正確③∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對(duì)角線∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即又∵AF=AE∴∴③正確④由②知又∵四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一條對(duì)角線上∴DG⊥AC∴④正確故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用，同時(shí)利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找到需要的相似三角形進(jìn)而證明．

2．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，給出下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；②根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；③過(guò)D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；④根據(jù)△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD，即可得到S四邊形CDEF=S△ABF，故④正確．【詳解】如圖，過(guò)D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，

∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正確，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確；∵△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，∴S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長(zhǎng)為________.

【答案】【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理算出AM的長(zhǎng)，通過(guò)證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說(shuō)明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長(zhǎng).【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴，∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，∴MC=，AM=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，

，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴，即，解得：CH=.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過(guò)其性質(zhì)計(jì)算出CH的長(zhǎng).4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且，連接，以為邊作正方形，為邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，______．

【答案】【分析】連接BD，BF，F(xiàn)D，證明△EBC∽△FBD，根據(jù)題意，知道M，F(xiàn)，D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，然后過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BD，垂足為G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出MG和DG的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【詳解】解：連接BD，BF，F(xiàn)D，如圖，∵，∴，∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，∴∠FBD=∠EBC，∴△EBC∽△FBD，∴∠FDB=∠ECB，，∴DF=，由題意知：FM、DF、DM三條線段滿足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，∴當(dāng)M，F(xiàn)，D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為G，∵∠MBN=45°，BM=AB=4，∴MN=BN=2，∵M(jìn)D==4，∴DG==6，∴=，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，手拉手相似模型，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形面積，線段最值模型，熟練構(gòu)造相似模型，準(zhǔn)確確定線段最小值的條件是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，分析下列結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四邊形CDEF＝S△ABF，其中正確的結(jié)論有_______（填正確的序號(hào)）【答案】①②③④【分析】根據(jù)四邊形是矩形，，可得，又，于是，故①符合題意；根據(jù)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以及，得出，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，故②符合題意；過(guò)作交于，得到四邊形是平行四邊形，求出，得到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③符合題意；根據(jù)得到與的比值，以及與的比值，據(jù)此求出，，可得，即可得到，故④符合題意．【詳解】解：如圖，過(guò)作交于，交于，四邊形是矩形，∴，，，，于點(diǎn)，，，故①符合題意；

∵，，而E是AD的中點(diǎn)，，，，故②符合題意；∵，四邊形是平行四邊形，，，，于點(diǎn)，，，垂直平分，，故③符合題意；，，，，，又，，故④符合題意；故答案①②③④．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．6．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點(diǎn)H，連接DG．以下四個(gè)結(jié)論：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；

③；④DG⊥AC．其中正確的是_____．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，有對(duì)頂角相等，可證∠EAB＝∠BFE，由可證∠EAB＝∠DAG，可判斷結(jié)論①正確；由，，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等即可得△ACF∽△ADG，可判斷結(jié)論②正確；由結(jié)論②可知，可得DG平分，由正方形可知是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，結(jié)論④正確；利用兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ACF∽△AFH，根據(jù)相似的性質(zhì)可得，則，又有，則結(jié)論③錯(cuò)誤．【詳解】解：設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)O，如圖所示，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴，．又∵，∴．∵，

∴，∴，故結(jié)論①正確；∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的對(duì)角線，∴，，∴．又∵，∴，即．∴△ACF∽△ADG．故結(jié)論②正確；由△ACF∽△ADG可知，∴DG平分．∵是等腰直角三角形，∴DG⊥AC．故結(jié)論④正確；∵，，∴△ACF∽△AFH，∴，∴．∵在等腰直角中，，∴，故結(jié)論③錯(cuò)誤，∴正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在一個(gè)的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，，點(diǎn)P是線段AB

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OA沿直線OP進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接BC，以BC為斜邊在直線BC的左側(cè)（或下方）構(gòu)造等腰直角三角形，則點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，線段BC的長(zhǎng)的最小值為____________，線段BD所掃過(guò)的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過(guò)的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）____________．【答案】

4【分析】根據(jù)僅當(dāng)C在OB上時(shí)等號(hào)成立，由折疊性質(zhì)可知OA=OC，從而求出BC的最小值；再證明，而且相似比為：1，從而得出點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，由此畫出圖形即可得出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖，連接OB，AD．

∵，∴，又∵僅當(dāng)C在OB上時(shí)等號(hào)成立，∴BC的最小值，又∵，∴BC的最小值，∵和均為等腰直角三角形，∴，，又∵，，∴，∴，∴，即，∴如圖：點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D在處，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)D在處，∴線段BD所掃過(guò)的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過(guò)的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）4個(gè)．故答案為：，4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)相似，解題關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)相似證明，從而得出點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)畫圖得出結(jié)論．三、解答題8．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E

在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度．【答案】BD＝CE，BD⊥CE；BD⊥CE，理由見解析；圖見解析，【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接BD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；（3）如圖3，過(guò)A作AF⊥EC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為點(diǎn)F．根據(jù)題意可知，Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD，∴，∴．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．在旋轉(zhuǎn)前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，∴，∴．

∴，在Rt△ACD中，CD邊上的高，旋轉(zhuǎn)后，得，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．9．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，直線AP交CD于E，PF⊥AE交BC于點(diǎn)F，連接AF交BD于M．(1)判斷△APF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)連接EF，求EF:PM的值．【答案】(1)△APF是等腰直角三角形，理由見解析(2)EF：PM=2：．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△APH≌△PFG，即可得結(jié)

論；（2）將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AFN=∠AFE，然后證明△APM∽△AFE，可得EF：PM=AP：AF，根據(jù)△APF是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．（1）解：△APF是等腰直角三角形，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，∴GH=CD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，AD=CD，∵∠PHD=90°，∴∠HPD=45°，∴HD=HP，∴AH=GP，∵PF⊥AE，∴∠APF=90°，∴∠APH+∠FPG=90°，∵∠PAH+∠APH=90°，∴∠PAH=∠FPG，在△APH和△PFG中，，∴△APH≌△PFG（ASA），

∴AP=FP，∴△APF是等腰直角三角形；（2）解：如圖，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，∵∠ADE=∠ABN=90°，∠ABC=90°，∴∠ABC+∠ABN=180°，∴C，B，N共線，∵∠EAF=45°，∴∠NAF=∠FAB+∠BAN=∠FAB+∠DAE=45°，∴∠FAE=∠FAN，在△FAN和△FAE中，，∴△FAN≌△FAE（SAS），∴∠AFN=∠AFE，∵∠FMB=∠AMP，∠MBF=∠PAM=45°，∴∠BFM=∠APM，∴∠APM=∠AFE，∴△APM∽△AFE，∴EF：PM=AP：AF，由（1）知：△APF是等腰直角三角形，∴AF：AP=2：，

∴EF：PM=2：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考題的壓軸題．10．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)問(wèn)題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為，，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長(zhǎng)比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問(wèn)同樣的方法證出，由對(duì)應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長(zhǎng)，接著設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案．

（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：判斷，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點(diǎn)Q，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識(shí)圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．11．［問(wèn)題發(fā)現(xiàn)］(1)如圖1，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為一邊作正方形

，點(diǎn)與點(diǎn)重合，已知．請(qǐng)直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；［實(shí)驗(yàn)研究］(2)在（1）的條件下，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接，，．請(qǐng)猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；［結(jié)論運(yùn)用］(3)在（1）（2）的條件下，若的面積為8，當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)線段的長(zhǎng)為或【分析】(1)先判斷出△ABD為等腰直角三角形，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論；(2)先利用三角函數(shù)得出，證明夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進(jìn)而求出結(jié)論；(3)分兩種情況計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí)，先用勾股定理求出，，即可得出，借助(2)得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)E在線段BF延長(zhǎng)線上同前一種情況一樣即可得出結(jié)論．（1）解：，，，四邊形是正方形，，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，；，，

，；（2）解：．證明：由（1）得，，四邊形是正方形，，，，，，，，，；（3）解：如圖1，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，的面積為8，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，四邊形是正方形，；如圖2，、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上，

，，，．，；如圖3，、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上，則，．，，綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，分類討論和畫出圖形是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖1，已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．

（1）證明：四邊形CEGF是正方形；（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖3所示，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H，若AG＝9，GH＝3，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）答案見解析；（2）AG＝BE；理由見解析；（3）BC＝．【分析】（1）先說(shuō)明GE⊥BC、GF⊥CD，再結(jié)合∠BCD=90°可證四邊形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可證明；（2）連接CG，證明△ACG∽△BCE，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）先證△AHG∽△CHA可得，設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，求出AH＝a，DH＝a，最后代入即可求得a的值．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四邊形CEGF是正方形．（2）結(jié)論：AG＝BE；理由：連接CG，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，＝cos45°＝，∴，∴△ACG∽△BCE，∴∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴，設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC=a，由，得，∴AH＝a，則DH＝AD﹣AH＝a，，

∴，得

解得：a＝，即BC＝．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查相似形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題并利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．13．如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問(wèn)：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長(zhǎng)為或．【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進(jìn)而得出BD⊥CP；（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；(3)分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，

即∠BAD=∠CAE．∵和是等腰直角三角形，∴，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BFP=90°．∴∠BPF=90°，∴BD⊥CP；（2）（1）中結(jié)論成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE同（1）得；（3）解：∵和是等腰直角三角形，∴，①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AC-AE=1．

∵∠EAC=90°，∴CE=．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴∴．∴PB=．②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=5．∵∠EAC=90°，∴CE=5．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴．∴．

∴PB=．綜上所述，PB的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．14．一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問(wèn)當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時(shí)，，理由見解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，則可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，

∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，∴∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，由題意知，，∵，，

∴，∴，∵，∴，∴，連接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當(dāng)四邊形的對(duì)角線相互垂直時(shí)，四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等．15．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：

（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【分析】（1）根據(jù)α＝60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與AP所成的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與AP所成的度數(shù)；（3）延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長(zhǎng)，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°

故答案為：1，60；（2）解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.

∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.

∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.

即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.(3)延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，如圖.∵∠APB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵點(diǎn)E，F(xiàn)為AB，AC的中點(diǎn)，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.

∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，

∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法．16．如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，，點(diǎn)M、N分別在直線BC、DC上．（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為；（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點(diǎn)E、F，若，，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長(zhǎng)為．【分析】（1）如圖1，過(guò)Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△QPN∽△QBM，就可以得出結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，通過(guò)證明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；（3）由條件設(shè)CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性質(zhì)可以求出MQ的值，再根據(jù)勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，

∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴，∵Q是OD的中點(diǎn)，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=DC，∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；（2）如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，

∵∠COB=90°，∴QH∥OC，∵Q是OB的中點(diǎn)，∴BH=CH=BC，∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴，∴HM=ND，∵BM-HM=HB，∴BM?DN=BC．故答案為：BM?DN=BC；（3）∵M(jìn)B：MC=3：1，設(shè)CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=ND，∴ND=3x，∴CN=7x，∵四邊形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴，

∴，∴DE=x，∴，∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，設(shè)EF=a，則FM=7a，∴，∴．∴EF的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用及平行線等分線段定理的運(yùn)用，在解答時(shí)利用三角形相似的性質(zhì)求出線段的比是解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，已知，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接、、，作出圖象，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）見解析；（2）60°，12；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，得到∠DAC=∠BAE，即可證明△ADC≌△ABE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠DPB=∠DAB=60°；在PE上取點(diǎn)F，使∠PCF=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AQ=2x，AG=x，AB=x，證明△ABE∽△AQR，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC與△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADC≌△ABE；∴∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；

如圖①，在PE上取點(diǎn)F，使∠PCF=60°，同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，∴EF=AP=3，△CPF為等邊三角形，∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，∵點(diǎn)Q、R分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心，∴AQ=2x，AG=x，AB=x，∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，∴QR：BE=AQ：AB，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．18．在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，且．

（1）求的值．（2）求證：．（3）作射線與射線交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）證明過(guò)程見解析；（3）【分析】（1）取AB的中點(diǎn)N，連接PN，PM．只要證明△PMF∽△PNE，可得；（2）利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）延長(zhǎng)CD交EG與H．由BE：AF=3：4，EN=2MF，設(shè)BE=3x，AF=4x，F(xiàn)M=a，EN=2a，由AM=2BN，可得4x-a=2（3x-2a），推出a=x，可得AM=AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，，在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可得（x）2+（4x）2=29，解得x=，推出，根據(jù)DH//AE，，可得，設(shè)DG=y，根據(jù)DH∥BE，可得，由此構(gòu)建方程即可．【詳解】解：（1）解：取AB的中點(diǎn)N，連接PN，PM．∵AM=MD，PB=PD，AN=NB，∴PM=AB，PN=AD，PM∥AB，PN∥AD，∴四邊形ANPM是平行四邊形，∵∠A=90°，∴四邊形ANPM是矩形，

∴∠MPN=∠EPF=90°，∴∠EPN=∠EPM，∵∠PMF=∠PNE=90°，∴△PMF∽△PNE，∴故答案為：；（2）∵為的中位線，∴為中點(diǎn)，∴，又∵∽（已證），∴，∴，∴．（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵BE：AF=3：4，EN=2MF，設(shè)BE=3x，AF=4x，F(xiàn)M=a，EN=2a，∵AM=2BN，∴4x-a=2（3x-2a），∴a=x，∴AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，在Rt△AEF中，∵（x）2+（4x）2=29，解得x=，∴，

∵DH//AE，∴，可得，設(shè)DQ=y，∵DH//BE，∴，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．19．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明；（3）由已知條件求得正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得的長(zhǎng)度，再由，求得，進(jìn)而求得正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，便可求得其邊長(zhǎng)．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，，

，，，；（2）四邊形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵是掌握相似模型及證明方法和正方形性質(zhì)．20．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α°得到線段EF，連接FG，F(xiàn)D．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出正

確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AD上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)的值最?。钚≈凳嵌嗌?？（用含α的三角函數(shù)表示）【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由見解析；（3）E為AD中點(diǎn)時(shí)，的最小值＝sinα【分析】（1）取AC的中點(diǎn)M，連接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等邊三角形，證明△ACE≌△BCF（SAS），可得結(jié)論．（2）連接BF，證明△ACE∽△BCF，可得結(jié)論．（3）連接BF，取AC的中點(diǎn)M，連接EM，易得∠ACE＝∠BCF，＝，證明△ACE∽△BCF，得出sinα＝的最小值，則得出的最小值＝sinα．【詳解】（1）連接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，

∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等邊三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．（2）不成立，結(jié)論：＝．證明：連接BF，∵AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF為等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．（3）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，的值最小，最小值為sinα．

連接BF，取AC的中點(diǎn)M，連接EM，∵AB=AC，EC＝EF，∠BAC＝∠FEC＝2α，∴∠ACB＝∠ECF，∴△BAC∽△FEC，＝，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，∵D為BC的中點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，∴＝＝＝，∴＝，∵當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí)，又∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴EM∥CD,∵CD⊥AD，∴EM⊥AD,此時(shí)，最小=sinα，∴的最小值＝sinα．

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．21．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠ACD=∠AFG=45°，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得∠CFM=∠ACM，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果；（3）由已知條件求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得AM的長(zhǎng)度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，進(jìn)而求得正方形AEFG的對(duì)角線長(zhǎng)，便可求得其邊長(zhǎng)．【