6.4 探索三角形相似的條件 蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)素養(yǎng)提升卷(含解析)

第6章圖形的相似6.4探索三角形相似的條件基礎(chǔ)過關(guān)全練 知識(shí)點(diǎn)1平行線分線段成比例定理1.(2022山東臨沂中考)如圖,在△ABC中,DE∥BC,ADDB=23,若AC=6,則A.65C.182.【新情境·直尺】(2022河北石家莊一模)如圖所示的是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法,若圖中的虛線相互平行,則點(diǎn)P表示的數(shù)是()A.1B.2C.知識(shí)點(diǎn)2平行線分線段成比例定理的推論3.(2020江蘇鹽城中考)如圖,BC∥DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=10,則AEAC的值為.4.如圖,已知點(diǎn)O是△ABC的邊BC的中點(diǎn),且ABAD=23,則AE知識(shí)點(diǎn)3三角形相似的條件5.【新考法】(2022江蘇揚(yáng)州高郵期末)如圖,在下列四個(gè)條件:①∠B=∠C,②∠ADB=∠AEC,③AD∶AC=AE∶AB,④PE∶PD=PB∶PC中,隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPE∽△CPD的概率是()A.0.25B.0.5C.0.75D.16.(2022湖南邵陽(yáng)中考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,點(diǎn)E在AC邊上,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件:,使△ADE∽△ABC.

7.【新獨(dú)家原創(chuàng)】小明和弟弟在玩耍時(shí),發(fā)現(xiàn)爸爸的汽車?yán)锩嬗幸粋€(gè)三角形警示標(biāo)志,他們想做一個(gè)形狀相同的三角形警示標(biāo)志,但是他們手中只有一把10cm長(zhǎng)的直尺,小明的弟弟說做不出來,小明說可以做出來,你認(rèn)為誰(shuí)說的對(duì)呢?說明理由.知識(shí)點(diǎn)4三角形的重心8.如圖,點(diǎn)G為△ABC的重心,GE∥AC,若DE=2,則DC=.

9.(2022上海黃浦期末)如圖,在△ABC中,中線AD、BE相交于點(diǎn)O,如果△AOE的面積是4,那么四邊形OECD的面積是.

能力提升全練10.(2022四川巴中中考,6,★☆☆)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,C為△AOB的OA邊上一點(diǎn),AC∶OC=1∶2,過C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D,C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3,則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A.4B.5C.6D.711.【一題多解】(2019四川涼山州中考,10,★★☆)如圖,在△ABC中,D在AC邊上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中點(diǎn),連接AO并延長(zhǎng)交BC于E,則BE∶EC=()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶312.(2022安徽安慶懷寧模擬,8,★★☆)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在線段BC上,且AC∥EF∥DB.若BE=5,BF=3,AE=BC,則BDAC的值為(A.213.【易錯(cuò)題】(2022江蘇徐州二模,8,★★☆)已知△ABC的一邊BC=5,另兩邊長(zhǎng)分別是3,4,若P是△ABC邊BC上異于B,C的一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線截△ABC,截得的三角形與原△ABC相似,滿足這樣條件的直線有 條.()

A.4B.3C.2D.114.(2021江蘇連云港中考,16,★★☆)如圖,BE是△ABC的中線,點(diǎn)F在BE上,延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D.若BF=3FE,則BDDC=.15.(2023江蘇無錫惠山期中,17,★★☆)如圖,AB、DE是☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上,∠ABC=20°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)α°(0<α<180),當(dāng)α=時(shí),直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似.

16.(2020江蘇蘇州中考,17,★★☆)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-4,0)、(0,4),點(diǎn)C(3,n)在第一象限內(nèi),連接AC、BC.已知∠BCA=2∠CAO,則n=.

17.(2022湖北襄陽(yáng)中考,16,★★☆)如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F,若BF∶FD=3∶1,AB+BE=33,則△ABC的周長(zhǎng)為.

18.(2021江蘇宿遷中考,18,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=4,BC=5,點(diǎn)D、E分別在BC、AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于點(diǎn)F,則△AFE面積的最大值是.

19.(2019江蘇常州中考,18,★★★)如圖,在矩形ABCD中,AD=3AB=310,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,CE=2BE,點(diǎn)M、N在線段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等,則MN=.

20.【教材變式·P67T14】(2022四川巴中中考,24,★★☆)四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,直徑AC與弦BD交于點(diǎn)E,直線PB與☉O相切于點(diǎn)B.(1)如圖1,若∠PBA=30°,且EO=EA,求證:BA平分∠PBD;(2)如圖2,連接OB,若∠DBA=2∠PBA,求證:△OAB∽△CDE. 圖1 圖2 素養(yǎng)探究全練21.【推理能力】(2023江蘇揚(yáng)州邗江月考)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上,連接DE,過點(diǎn)A作AH⊥DE,垂足為H,延長(zhǎng)AH交CD于F.(1)求證:△CDE∽△DAF;(2)當(dāng)FC=2時(shí),求EC的長(zhǎng);(3)若直線AF與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,當(dāng)△DEB∽△GFD時(shí),求DF的長(zhǎng).

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC=23,∴AC-ECEC=2.D如圖,OB=1.5,OA=3,OC=10,∵PB∥AC,∴OBOA=OPOC∴OP=5.∴點(diǎn)P表示的數(shù)是5.故選D.3.答案2解析∵BC∥DE,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=AEAC,即4AB=DE4=AEAC,∴AB·DE=16,又∵AB+DE=10,4.答案3解析如圖,過B作BF∥AC,交DE于點(diǎn)F,∵BF∥AC,∴∠FBO=∠C,∠BFO=∠CEO.又O為BC的中點(diǎn),∴BO=CO,在△OBF和△OCE中,∠BFO=∠CEO,∠FBO=∠C,BO=CO,∴△OBF≌△OCE(AAS),∴BF=CE,∵ABAD=23,∴BDAD=135.C由題意得∠DPC=∠EPB,①∠B=∠C,根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得△BPE∽△CPD,②∵∠ADB=∠AEC,∴∠PDC=∠PEB,根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得△BPE∽△CPD,③根據(jù)AD∶AC=AE∶AB,∠A=∠A,不能得到△ADB和△AEC相似,∴∠B≠∠C,故③不能使△BPE∽△CPD,④PE∶PD=PB∶PC,根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似可得△BPE∽△CPD,∴隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPE∽△CPD的概率是0.75,故選C.6.答案∠ADE=∠B(答案不唯一)解析∵∠A=∠A,∴當(dāng)∠ADE=∠B時(shí),△ADE∽△ABC,故答案可以為∠ADE=∠B.(答案不唯一)7.解析小明說的對(duì).理由:用10cm長(zhǎng)的直尺量出三角形警示標(biāo)志的各邊長(zhǎng)度,因?yàn)橐笞龀鰜淼臉?biāo)志與原來的三角形標(biāo)志形狀相同,大小沒有要求,可以縮小或放大相同倍數(shù)做出三根木條(或硬紙板條),然后把它們釘起來即可.8.答案6解析∵點(diǎn)G為△ABC的重心,∴AG∶DG=2∶1,∵GE∥AC,∴CEDE=AGDG=2,∴CE=2DE=2×2=4,∴CD=DE+CE=2+4=69.答案8解析∵在△ABC中,中線AD、BE相交于點(diǎn)O,∴點(diǎn)O是△ABC的重心,∴AO∶OD=2∶1,BO∶OE=2∶1,∵△AOE的面積是4,∴△AOB的面積=2×△AOE的面積=8,∴△BOD的面積=12×△AOB的面積=4,∴△ABD的面積=△AOB的面積+△BOD的面積=12,∴△ADC的面積=△ABD的面積=12,∴四邊形OECD的面積=△ADC的面積-△AOE的面積=12-4=8能力提升全練10.C∵CD∥OB,∴ACAO=CDOB,∵AC∶OC=1∶2,∴ACAO=13,∵C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3,∴CD=3-1=2,∴2OB=11.B解法一:如圖,過O作OG∥BC,交AC于G,∵O是BD的中點(diǎn),∴G是DC的中點(diǎn).又AD∶DC=1∶2,∴AD=DG=GC,∴AG∶GC=2∶1,∴AO∶OE=2∶1,∴S△AOB∶S△BOE=2∶1,設(shè)S△BOE=S,S△AOB=2S,又BO=OD,∴S△AOD=2S,S△ABD=4S,∵AD∶DC=1∶2,∴S△BDC=2S△ABD=8S,∴S四邊形CDOE=7S,∴S△AEC=9S,∵S△ABE=3S,∴BEEC解法二:過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于F.∵O為BD中點(diǎn),∴OB=OD,∴BE=EF,∵DF∥AE,∴EF∶FC=AD∶DC=1∶2,∴BE∶EC=1∶3.故選B.12.A設(shè)CF=x,∵EF∥AC,∴BFCF=BEAE,∴3x=5x+3,解得x=92,∴CF=9213.B∵△ABC的一邊BC=5,另兩邊長(zhǎng)分別是3,4,32+42=52,∴∠BAC=90°,由于△ABC是直角三角形,過P點(diǎn)作直線截△ABC,則截得的三角形與△ABC有一公共角,所以只要再作一個(gè)直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似,過點(diǎn)P可作AB的垂線、AC的垂線、BC的垂線,共3條直線.故選B.14.答案3解析如圖,過點(diǎn)E作EG∥DC交AD于G,∴∠AGE=∠ADC,∠AEG=∠C,∴△AGE∽△ADC,∴GEDC=AEAC,∵BE是△ABC的中線,∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),∴AEAC=12,∴GEDC=12,∴DC=2GE,∵BF=3FE,∴EFBF=13,∵∴△GFE∽△DFB,∴GEBD=EFBF∴BDDC15.答案50或70或160解析連接OC,當(dāng)DE⊥AB時(shí),直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似,如圖,∵∠ABC=20°,OB=OC,∴∠OCB=∠ABC=20°,∴∠AOC=40°,∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-40°=50°,∴α=50;當(dāng)DE⊥BC時(shí),直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似,如圖,∴∠COD=∠BOD=12×(180°-40°)=70°,∴α當(dāng)DE⊥AC時(shí),直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似,如圖,∴∠COE=∠AOE=∠ABC=20°,∴∠COD=180°-20°=160°,∴α=160.故答案為50或70或160.16.答案解析如圖,設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D,則CD∥AO,∴∠DCE=∠CAO,∵∠BCA=2∠CAO,∴∠BCA=2∠DCE,∴∠DCE=∠DCB,∵CD⊥y軸,∴∠CDE=∠CDB=90°,又∵CD=CD,∴△CDE≌△CDB(ASA),∴DE=DB,∵B(0,4),C(3,n),∴CD=3,OD=n,OB=4,∴DE=DB=OB-OD=4-n,∴OE=OD-DE=n-(4-n)=2n-4,∵A(-4,0),∴AO=4,∵CD∥AO,∴△AOE∽△CDE,∴AOCD=OEDE,∴43=17.答案53解析如圖,過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M,FN⊥AC于點(diǎn)N,過點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T.∵AE平分∠BAC,FM⊥AB,FN⊥AC,∴FM=FN,∴S△∴AB=3AD,設(shè)AD=DC=a,則AB=3a,AC=2a,∵AD=DC,DT∥AE,∴ET=CT,BEET設(shè)ET=CT=b,則BE=3b,∵AB+BE=33,∴3a+3b=33,∴a+b=3,∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=5a+5b=53,故答案為53.18.答案4解析如圖,連接DE.∵CD=2BD,CE=2AE,∴CECA=CDCB=23,∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,∴DEBA=CDCB=23,∠CED=∠CAB,∴DE∥BA,∴△DEF∽△ABF,∴DEAB=DFAF=23,∴S△AFE=35S△ADE,∵CE=2AE,∴S△ADE=13S△ADC,∴S△AFE=15S△ADC,∵CD=2BD,∴S△ADC=23S△ABC,∴S△AFE=215S△ABC,∵△ABC中19.答案6或15解析如圖所示,作PF⊥BD于F,①M(fèi)N為等腰△PMN的底邊,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,BC=AD=3AB=310,∴AB=CD=10,∴BD=AB2+AD2=10,∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),∴PD=12AD=3102,∵∠PDF=∠BDA,∠PFD=∠A=90°,∴△PDF∽△BDA,∴PFAB=PDBD,即PF10=310210,解得PF=32,∵CE=2BE,∴BC=AD=3BE,∴BE=CD,∴CE=2CD,∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等,PF⊥BD,∴MF=NF,∠PNF=∠DEC,∵∠PFN=∠②MN為等腰△PMN的腰,由①得PF=32,M'F=3,設(shè)M'N'=PN'=x,則FN'=3-x,在Rt△PN'F中,322+(3-x)2=x2,∴x=158,故MN的長(zhǎng)為20.證明(1)連接OB,∵直線PB與☉O相切于點(diǎn)B,∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.∵∠PBA=30°,∴∠ABO=60°.又∵OA=OB,∴△AOB為等邊三角形.又∵OE=AE,∴BE平分∠ABO.∴∠ABE=12∠ABO=30°=∠PBA∴BA平分∠PBD.(2)∵直線PB與☉O相切于點(diǎn)B,∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.∵AC為直徑,∴∠ABC=90°.∴∠OBC+∠ABO=90°.∴∠OBC=∠PBA.∵OB=OC,∴∠PBA=∠OBC=∠OCB.∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA.∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA,∴∠AOB=∠ACD,又∵∠BAO=∠BDC,∴△OAB∽△CDE.素養(yǎng)探究全練21.解析(1)證明:∵四邊形AB