7.2 探索平行線的性質(zhì) 蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

第7章平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)7.2探索平行線的性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1平行線的性質(zhì)1.【跨學(xué)科·物理】(2023四川涼山州中考)光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的,因此光線從水中射向空氣時(shí),要發(fā)生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光線,在空氣中也是平行的.如圖,水中的兩條光線平行,∠1=45°,∠2=120°,則∠3+∠4=()A.165°B.155°C.105°D.90°2.【新素材】(2023山東煙臺(tái)中考)一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示,已知∠1=102°,則∠2的度數(shù)為.

3.(2023湖南永州中考)如圖,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,則∠D=度.

4.【教材變式·P15例題】如圖,AB∥CD,AF∥ED,判斷∠A與∠D是否相等,并說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)2平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別5.閱讀下列材料,其①~④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是()如圖所示,點(diǎn)A、B、C在同一條直線上,且∠1=∠2,∠3=∠D.試說(shuō)明BD∥EC.解:①因?yàn)椤?=∠2(已知),所以AD∥BE(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).②所以∠D=∠DBE(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).又因?yàn)椤螪=∠3(已知),③所以∠3=∠DBE(等量代換),④所以DB∥EC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).A.①B.②C.③D.④6.(2023浙江金華中考)如圖,已知∠1=∠2=∠3=50°,則∠4的度數(shù)是()A.120°B.125°C.130°D.135°7.【一題多變·利用平行線的判定與性質(zhì)說(shuō)明角的關(guān)系】如圖,E是AB上一點(diǎn),F是CD上一點(diǎn),DE、BF分別交AC于點(diǎn)M、N,∠B=∠D,∠A=∠C,探索∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.[變式1·改變角的呈現(xiàn)關(guān)系]如圖,∠1=∠C,∠2+∠D=90°,BE⊥FD于G.探索∠B與∠C之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.[變式2]如圖,已知點(diǎn)E、F在直線AB上,點(diǎn)G在線段CD上,ED與FG交于點(diǎn)H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.(1)試說(shuō)明:CE∥GF;(2)試判斷∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.8.如圖,已知∠ABC+∠ECB=180°,∠P=∠Q.求證:∠1=∠2.9.(1)如圖①,點(diǎn)E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.試說(shuō)明:AB∥CD.(2)如圖②,點(diǎn)E在AB上,且CE平分∠ACD,AB∥CD.試說(shuō)明:∠1=∠2.(3)如圖③,BE平分∠DBC,點(diǎn)A是BD上一點(diǎn),且AE∥BC,∠ABC∶∠BAE=4∶5,直接寫出∠E的度數(shù).能力提升全練10.(2022湖南長(zhǎng)沙中考,8,★☆☆)如圖,AB∥CD,AE∥CF,∠BAE=75°,則∠DCF的度數(shù)為()A.65°B.70°C.75°D.105°11.(2023湖南張家界中考,5,★☆☆)如圖,已知直線AB∥CD,EG平分∠BEF,∠1=40°,則∠2的度數(shù)是()A.70°B.50°C.40°D.140°12.(2023內(nèi)蒙古通遼中考,14,★★☆)將一副三角尺按如圖所示的方式放置,其中AB∥DE,則∠CDF=度.

13.(2019江蘇揚(yáng)州中考,14,★★☆)將一張長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的圖形,若∠ABC=26°,則∠ACD=.

14.【跨學(xué)科·物理】(2023山東威海中考,12,★★☆)某些燈具的設(shè)計(jì)原理與拋物線有關(guān).如圖,從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線OA,OB等反射后都沿著與POQ平行的方向射出.若∠AOB=150°,∠OBD=90°,則∠OAC=°.

15.(2023江蘇鎮(zhèn)江期中,20,★★☆)如圖,點(diǎn)E在AC上,點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上,AB與EF交于點(diǎn)G,∠AGE=∠CED,ED平分∠CEF.(1)求證:AB∥DE;(2)若∠F=30°,∠AGE=50°,求∠A及∠C的度數(shù).16.(2023江蘇無(wú)錫江陰期中,23,★★☆)如圖,點(diǎn)D,E分別在三角形ABC的邊AB,AC上,點(diǎn)F在線段CD上,且∠3=∠B,DE∥BC.(1)求證:EF∥AB;(2)若DE平分∠ADC,∠2=3∠B,求∠1的度數(shù).素養(yǎng)探究全練17.【創(chuàng)新意識(shí)】我們已學(xué)習(xí)平行線的判定與性質(zhì),涉及概念同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角,學(xué)習(xí)該部分內(nèi)容按“定義—判定—性質(zhì)”三步進(jìn)行.如圖①,在“三線八角”中,類比同旁內(nèi)角,具有∠1與∠7這樣位置關(guān)系的角稱為“同旁外角”,類比有關(guān)知識(shí),完成涉及“同旁外角”的探究.(1)探究定義:如圖①,請(qǐng)另找出一對(duì)“同旁外角”:;

(2)探究判定:請(qǐng)你用已學(xué)過(guò)的平行線的判定,證明:同旁外角互補(bǔ),兩直線平行.請(qǐng)完善證明過(guò)程.已知:如圖②,∠1與∠2是直線a、b被直線c所截得到的同旁外角,且∠1+∠2=180°.求證:a∥b.證明:(3)探究性質(zhì):請(qǐng)你用已學(xué)過(guò)的平行線的性質(zhì),證明:兩直線平行,同旁外角互補(bǔ).根據(jù)圖②,寫出已知、求證,并證明.已知:如圖②,求證:證明:18.【推理能力】(2023江蘇南通啟東期中)已知,如圖,∠BAD=50°,點(diǎn)C為射線AD上一點(diǎn)(不與A重合),連接BC.(1)[問(wèn)題提出]如圖2,AB∥CE,∠BCD=73°,則∠B=.

(2)[類比探究]在圖1中,探究∠BAD、∠B和∠BCD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并用平行線的性質(zhì)說(shuō)明理由.(3)[拓展延伸]如圖3,在射線BC上取一點(diǎn)O,過(guò)O點(diǎn)作直線MN,使MN∥AD,BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn),OF平分∠BON交AD于F點(diǎn),OG∥BE交AD于G點(diǎn),當(dāng)C點(diǎn)沿著射線AD方向運(yùn)動(dòng)時(shí),∠FOG的度數(shù)是否會(huì)變化?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求出這個(gè)不變的值.

答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.C∵在水中平行的光線,在空氣中也是平行的,∠1=45°,∴∠3=∠1=45°.∵水面與杯子底面平行,∠2=120°,∴∠4=180°-∠2=60°,∴∠3+∠4=105°.故選C.2.答案78°解析如圖,由題意得AB∥CD,∴∠2=∠BCD.∵∠1=102°,∴∠BCD=78°,∴∠2=78°.3.答案100解析∵AB∥CD,∠B=80°,∴∠BCD=∠B=80°.∵BC∥ED,∴∠D+∠BCD=180°,∴∠D=100°.4.解析∠A=∠D.理由:∵AB∥CD,∴∠A=∠AFC.∵AF∥ED,∴∠D=∠AFC,∴∠A=∠D.5.B②這一步,是由AD∥BE,得到∠D=∠DBE,兩直線平行在前,角相等(∠D與∠DBE是內(nèi)錯(cuò)角)在后,所以②括號(hào)內(nèi)的依據(jù)應(yīng)該是“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”.6.C如圖,∵∠1=∠3=50°,∴a∥b,∴∠5+∠2=180°.∵∠2=50°,∴∠5=130°,∴∠4=∠5=130°.故選C.7.解析∠1+∠2=180°.理由如下:因?yàn)椤螦=∠C,所以AB∥CD,所以∠AED=∠D.因?yàn)椤螧=∠D,所以∠AED=∠B,所以ED∥BF,所以∠1=∠ANB.因?yàn)椤螦NB+∠2=180°,所以∠1+∠2=180°.[變式1]解析∠B=∠C.理由如下:因?yàn)锽E⊥FD于G,所以∠1+∠D=90°.又因?yàn)椤?+∠D=90°,所以∠1=∠2.因?yàn)椤?=∠C,所以∠2=∠C,所以AB∥CD,所以∠1=∠B,所以∠B=∠C.[變式2]解析(1)因?yàn)椤螩ED=∠GHD,所以CE∥GF.(2)∠AED+∠D=180°.理由如下:因?yàn)镃E∥GF,所以∠C=∠FGD.因?yàn)椤螩=∠EFG,所以∠FGD=∠EFG,所以AB∥CD,所以∠AED+∠D=180°.8.證明∵∠ABC+∠ECB=180°,∴AB∥DE,∴∠ABC=∠BCD.∵∠P=∠Q,∴PB∥CQ,∴∠PBC=∠BCQ.∵∠1=∠ABC-∠PBC,∠2=∠BCD-∠BCQ,∴∠1=∠2.9.解析(1)因?yàn)镃E平分∠ACD,所以∠2=∠DCE,因?yàn)椤?=∠2,所以∠1=∠DCE,所以AB∥CD.(2)因?yàn)镃E平分∠ACD,所以∠2=∠DCE,因?yàn)锳B∥CD,所以∠1=∠DCE,所以∠1=∠2.(3)∠E=40°.詳解:因?yàn)锽E平分∠DBC,所以∠ABE=∠CBE,因?yàn)锳E∥BC,所以∠ABC+∠BAE=180°,∠E=∠CBE,因?yàn)椤螦BC∶∠BAE=4∶5,所以∠ABC=80°,所以∠CBE=40°,所以∠E=∠CBE=40°.能力提升全練10.C如圖,因?yàn)锳B∥CD,所以∠DGE=∠BAE=75°.因?yàn)锳E∥CF,所以∠DCF=∠DGE=75°.故選C.11.A∵∠1=40°,∴∠BEF=180°-∠1=140°.∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠FEG=70°.∵AB∥CD,∴∠2=∠BEG=70°.故選A.12.答案105解析∵AB∥DE,∴∠BDE=∠B=30°.∴∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=180°-45°-30°=105°.故答案為105.13.答案128°解析如圖,延長(zhǎng)DC到E,由題意可得∠ABC=∠BCE=∠BCA=26°,∴∠ACD=180°-26°-26°=128°.14.答案60解析∵BD∥PQ,∴∠POB=∠OBD=90°.∵∠AOB=150°,∴∠AOP=∠AOB-∠POB=60°.∵AC∥PQ,∴∠OAC=∠AOP=60°.故答案為60.15.解析(1)證明:∵ED平分∠CEF,∴∠DEF=∠CED.∵∠AGE=∠CED,∴∠AGE=∠DEF,∴AB∥DE.(2)∵∠AGE=∠CED,∠AGE=50°,∴∠CED=50°.∵AB∥DE,∴∠A=∠CED=50°.∵ED平分∠CEF,∴∠CEF=2∠CED=100°.∵∠C+∠CEF+∠F=180°,∠F=30°,∴∠C=180°-100°-30°=50°.16.解析(1)證明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.∵∠3=∠B,∴∠3=∠ADE,∴EF∥AB.(2)∵DE平分∠ADC,∴∠ADC=2∠ADE.由(1)知∠ADE=∠B,∴∠ADC=2∠B.∵∠2=3∠B,∠2+∠ADC=180°,∴3∠B+2∠B=180°.解得∠B=36°,由(1)得AB∥EF,∴∠1=∠ADC=2∠B=72°.素養(yǎng)探究全練17.解析(1)∵具有∠1與∠7這樣位置關(guān)系的角稱為“同旁外角”,∴∠2和∠8也為“同旁外角”.(2)證明:∵∠1+∠3=180°(平角的定義),∠1+∠2=180°(已知),∴∠2=∠3(同角的補(bǔ)角相等),∴a∥b(同位角相等,兩直線平行).(3)已知:如題圖②,∠1與∠2是直線a、b被直線c所截得到的同旁外角,且a∥b.求證:∠1+∠2=180°.證明:∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(平角的定義),∴∠1+∠3+∠2+∠4=360°(等式的性質(zhì)).∵a∥b(已知),∴∠3+∠4=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)),∴∠1+∠2+180°=360°.∴∠1+∠2=180°.18.解析(1)∵CE∥AB,∴∠BAD=∠ECD=50°,∠B=∠BCE.∵∠BCD=73°,∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=23°.∴∠B=23°.(2