北京市順義區(qū)2024屆高三上學期第一次統(tǒng)練數(shù)學試題（教師版）

順義區(qū)2024屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學試卷考生須知：1．本試卷共5頁，共兩部分，第一部分共10道小題，共40分，第二部分共11道小題，共110分，滿分150分．考試時間120分鐘．2．在答題卡上準確填寫學校、姓名、班級和教育ID號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.在復平面內，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：，所以復數(shù)在復平面內對應的點為，在第一象限.故選：A.2.已知集合，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求集合，再根據(jù)集合間的關系和運算逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，所以之間沒有包含關系，且，故ABC錯誤，D正確；故選：D.3.已知在上單調遞減，且，則下列結論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的單調性判斷即可.【詳解】由得，，結合在上單調遞減，則必有，顯然B正確，A錯誤，而當時，不定義域內，故無法比較，C,D錯誤.故選：B4.已知向量，，若與共線，則實數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求得的坐標，再根據(jù)向量與共線求解.【詳解】已知向量,,所以，因為與共線，所以，解得：.故選：C5.已知雙曲線的離心率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍．【詳解】由已知可得雙曲線的焦點在軸上時，，，所以，由，解得.故選：A.6.設為等差數(shù)列的前項和．若，公差，，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】先由等差數(shù)列的前項和公式求得，將轉化為關于的方程求解.【詳解】根據(jù)題意：，公差，可知，所以，所以即為：，解得：.故選：C7.已知，，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可知當時，；反之不成立，即可得出結論.【詳解】若“”，可知當時，不成立，即可知充分性不成立；若，可得，即可得，即必要性成立，因此可得“”是“”的必要不充分條件；故選：B8.設，，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】令，利用導數(shù)求得的單調性，再轉化即可得解.【詳解】令，則，所以當時，，所以在上單調遞減，因為，，，而，所以，即.故選：A.9.地鐵某換乘站設有編號為的五個安全出口．若同時開放其中的兩個安全出口，疏散1000名乘客所需的時間如下：安全出口編號疏散乘客時間120220160140200用表示安全出口的疏散效率（疏散時間越短，疏散效率越高），給出下列四個說法：①；②；③；④．其中，正確說法的個數(shù)有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，列方程組，根據(jù)方程組解的值，判斷正確的說法.【詳解】設每個出口每秒可疏散的人數(shù)為（），由題意，可得方程組：，可得：.因為，所以，所以①正確；因為，所以，所以②正確；因為，所以，所以③正確；因為，所以，所以④錯誤.故選：B10.《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，為底面及其內部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可求得，建立空間坐標系，利用已知設，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式及輔助角公式計算即可得出結果.【詳解】平面，，連接，由，可得，四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標系，則，設，，則，所以因為，則，則，所以.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上．11.在的展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）【答案】10【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項即可求解.【詳解】的展開式的通項為，令，可得，所以的系數(shù)為，故答案為：1012.已知是奇函數(shù)，當時，，則__________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義補充分段函數(shù)，后求值即可.【詳解】由題意得是奇函數(shù)，故當時，，顯然.故答案為：13.在中，，，則__________；__________．【答案】①.②.【解析】【分析】由正切函數(shù)定義可求得，可得，再由正弦定理可得.【詳解】由，，可得；所以可得，所以，即；易知，，由正弦定理可得；故答案為：，14.已知，若存在，使，則正整數(shù)的一個取值是__________．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質即可得，進而可求解.【詳解】由可得,由于，所以不妨，，則，滿足，故答案為：3（答案不唯一）15.已知數(shù)列滿足，給出下列四個結論：①若，則數(shù)列中有無窮多項等于；②若，則對任意，有；③若，則存在，當時，有；④若，則對任意，有；其中，所有正確結論的序號是__________．【答案】①②③【解析】【分析】對于①：根據(jù)遞推公式分析求解即可；對于②④：根據(jù)遞推公式結合基本不等式分析判斷；對于③：根據(jù)遞推公式結合基本不等式可知，分和兩種情況，結合④中結論分析判斷.【詳解】對于①：若，則，，以此類推可知：，即數(shù)列中有無窮多項等于，故①正確；對于②：若，則，，以此類推可知：，則，即，故②正確；對于④：若，可知，，以此類推，可知：，且，因為，可得，故④錯誤；對于③：若，可知，當且僅當?shù)忍柍闪?，，當且僅當，即等號成立，以此類推，可知：，當且僅當?shù)忍柍闪?，若，對任意，可得，顯然成立；若，且，可知當時，，由④可知：當時，則，當時，，因為，對于結合指數(shù)性質可知：存在且，當時，使得，即；綜上所述：存在，當時，有，故③正確；故選：①②③.【點睛】關鍵點睛：對于③：根據(jù)④中結論分析可知：當時，，結合指數(shù)性質分析判斷.三、解答題共6道題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）設函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接利用定義求最小正周期和單調遞增區(qū)間即可.（2）利用導數(shù)求函數(shù)最值即可.【小問1詳解】設的最小正周期為，顯然，令，解得.【小問2詳解】由已知得，，當時，令，，令，，故在上單調遞增，在上單調遞減，則最大值是.17.某學生在上學路上要經過三個路口，在各個路口遇到紅燈的概率及停留的時間如下：路口路口一路口二路口三遇到紅燈的概率遇到紅燈停留的時間3分鐘2分鐘1分鐘假設在各路口是否遇到紅燈相互獨立．（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間大于3分鐘的概率；（3）假設交管部門根據(jù)實際路況，5月1日之后將上述三個路口遇到紅燈停留的時間都變?yōu)?分鐘．估計5月1日之后這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的變化情況，是“增加，不變還是減少”．（結論不要求證明）【答案】（1）（2）（3）增加【解析】【分析】（1）易知這名學生在上學路上沒有遇到前兩個紅燈，計算可得結果；（2）分別求出遇到不同紅燈個數(shù)時滿足題意的概率，由加法公式即可得出結果；（3）利用期望值定義分別求出紅燈時間調整前后紅燈停留的總時間平均值，即可得出變化情況是增加的.【小問1詳解】根據(jù)題意可知，這名學生在上學路上沒有遇到前兩個紅燈，因此到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；【小問2詳解】依題意，若僅遇到一個紅燈，停留的總時間不會不大于3分鐘；若遇到兩個紅燈，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到紅燈滿足題意，此時的概率為；若遇到三個紅燈，此時的概率為；所以因遇到紅燈停留的總時間大于3分鐘的概率為【小問3詳解】根據(jù)題意可知，紅燈時間沒有調整前紅燈停留的總時間的取值；則，，，，，，；可得；時間都變?yōu)?分鐘后因紅燈停留的總時間的取值；，，，；可得顯然；所以調整后總時間的變化情況，是“增加”的．18.如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點，．（1）求證：平面；（2）若，平面平面，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②）：；條件③）：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答記分．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可得線線平行，即可根據(jù)線面平行的判定求證，（2）建立空間直角坐標系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.【小問1詳解】取中點,連接由于分別為的中點，所以,又,所以,因此四邊形為平行四邊形，故平面,平面,故平面【小問2詳解】由于平面平面，且交線為，又，平面，所以平面，平面，故若選①：；因此，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，,故,設平面法向量為，則，取，則，,設與平面所成角，則，若選擇條件②）：；，，平面所以平面平面故，因此，兩兩垂直，以下與選擇①相同.若選擇條件③）：．因為，所以由可以推出，此時推不出.此時三棱柱不唯一，故不可選擇作為已知條件，19.已知橢圓過點，且．（1）求橢圓的方程；（2）設斜率為的直線與交于A，B兩點（異于點P），直線，分別與軸交于點M，N，求的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)，把點代入，即可求出橢圓方程．（2）設直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，，計算直線的斜率與直線的斜率的和，即可根據(jù)對稱求解.【小問1詳解】由于，設所求橢圓方程為，把點代入，得，，橢圓方程為．【小問2詳解】設直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設，，，，所以,直線直線斜率為，直線直線斜率為，則所以，，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，故直線與直線關于對稱，因此．故【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.20.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）若在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍：（3）寫出的零點個數(shù)．（直接寫出結論期可）【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）求導，即可根據(jù)點斜式求解直線方程，（2）分類討論即可結合極值的定義求解，（3）構造函數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性，即可結合函數(shù)圖象求解交點個數(shù)求解.【小問1詳解】當時，，則，故，，在點處的切線方程為，即【小問2詳解】，當時，在單調遞增，此時無極值點，當時，令或，要使得在上存在極值，則需要，解得，【小問3詳解】令，令，則，記，則，當時，單調遞減，時，單調遞增，且，時，，而當時，，作出的大致圖象如下：故當時，無零點，當或時，一個零點，當時，兩個零點，.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．21.給定正整數(shù)，設集合．若對任意，，，兩數(shù)中至少有一個屬于，則稱集合具有性質．（1）分別判斷集合與是否具有性質；（2）若集合具有性質，求的值；（3）若具有性質的集合中包含6個元素，且，求集合．【答案】（1）集合不具有性質，集合具有性質（2）（3），，或【解析】【分析】（1）根據(jù)性質的定義，即可判斷兩個集合是否滿足；（2）根據(jù)性質的定義，首先確定，再討論是否屬于集合，即可確定的取值，即可求解；（3）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負數(shù)，然后根據(jù)性質討論集合中元素的關系，即可求解.【小問1詳解】集合中的，，所以集合不具有性質，集合中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個屬