數(shù)學-專題13平行線之豬腳模型（M模型）-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（原版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題13平行線之豬腳模型（M模型）解題策略解題策略經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】（2022春?桐城市期末）【問題背景】同學們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．

【問題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝．【問題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．【問題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過點D作DF∥CB交直線AB于點F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．【例2】（2022春?南京期中）已知直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，O是平面內(nèi)一點（不在直線AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射線OH∥AB，交EF于點H．（1）如圖①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，則∠HOG＝，（2）如圖②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，則∠CFO＝；（3）直接寫出點O在不同位置時∠AEO、∠CFO和∠HOG三個角之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【例3】（2022春?上城區(qū)校級期中）如圖，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．（1）若這副三角板如圖擺放，EF∥CD，求∠ABF的度數(shù)．（2）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，保持三角板ABC不動，現(xiàn)將三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，且0≤t≤180，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時，求所有滿足條件的t的值．（3）將一副三角板如圖3所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時何為t秒，如圖4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF

）平行時，請直接寫出滿足條件的t的值．【例4】（2021春?梅江區(qū)期末）如圖（1），AB∥CD，點E在AB、CD之間，連接EA、EC；如圖（2），AB∥CD．點M、N分別在AB、CD上，連接MN．（1）在圖（1）中，若∠A＝30°，∠C＝50°，則∠AEC＝；若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝．（2）圖（1）的條件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的關(guān)系，并說明你的結(jié)論．（3）如圖（2），點E是四邊形ACDB內(nèi)（不含邊界和MN）任意一點，請說明∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．培優(yōu)訓練培優(yōu)訓練一．選擇題

1．（2022?黔東南州）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（）A．28° B．56° C．36° D．62°2．（2022?臨清市二模）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（）A．180°﹣∠2+∠1 B．180°﹣∠1﹣∠2 C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠23．（2021春?硚口區(qū)月考）如圖，AB與HN交于點E，點G在直線CD上，GF交AB于點M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④4．（2018春?南昌期中）如圖，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，則∠3的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．60°5．（2018春?沂源縣期末）如圖，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，則∠E：∠F＝（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：36．（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是．7．（2022春?潛山市月考）如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）8．（2019?大豐區(qū)一模）如圖，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，則∠3＝度．9．（2019秋?福田區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD＝．

10．（2022春?交城縣期中）如圖，已知AB∥CD，AE和CF分別平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，則∠BAF的度數(shù)為．11．（2022春?濠江區(qū)期末）已知直線AB∥CD，直線EF分別截AB、CD于點G、H，點M在直線AB、CD之間，連接MG，MH．（1）如圖1，求證：∠M＝∠AGM+∠MHC；（2）如圖2，若HM平分∠GHC，在HM上取點Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求證：∠M+∠GQH＝180°；（3）如圖3，若GH平分∠MGB，N在為HD上一點，連接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度數(shù)．12．（2022春?沂源縣期末）在綜合與實踐課上，同學們以“一個含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學活動如圖，已知兩直線a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．

操作發(fā)現(xiàn)：（1）在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)．（2）某同學把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，如圖2，發(fā)現(xiàn)∠2﹣∠1＝120°，說明理由．13．（2022春?無棣縣期末）如圖1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，點E在直線AB，CD之間．（1）求證：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，F(xiàn)G∥CE．①如圖2，若∠AEC＝84°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖3，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．14．（2022春?墨玉縣期末）問題情景：（1）如圖①，已知AB∥DE．試∠B、∠E、∠BCE有什么關(guān)系？小明添加了一條輔助線．解決了這道題．得到的結(jié)果是∠B+∠E＝∠BCE．請你幫他完善證明過程：如圖②，過點C作CF∥AB∴＝（）∵AB∥DE，AB∥CF∴∥．∴∠E＝（）∴∠B+∠E＝∠1+∠2即∠B+∠E＝∠BCE．

（2）在圖①中．若BC⊥CE，且∠B＝52°，請你計算∠E的度數(shù)等于．（3）問題遷移：如圖③．AD∥BC．當點P在射線AM上運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β請你猜想∠α、∠β與∠CPD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．15．（2022春?撫遠市期末）如圖，已知AD∥BC，AB∥CD，點E在線段BC的延長線上，AE平分∠BAD，連接DE，∠ADC＝2∠CDE，∠AED＝60°．（1）求證∠ABC＝∠ADC；（2）求∠CDE的度數(shù)．16．（2022春?來賓期末）如圖，直線PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝°；（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如圖丙，三角尺的直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段CD上，連接EG，適當轉(zhuǎn)動三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．17．（2022春?咸安區(qū)期末）（1）如圖1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF

的度數(shù)．（2）如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，求∠G的度數(shù)．18．（2022春?上虞區(qū)期末）如圖1，已知點E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的點，點M在AB與CD之間，且AB∥CD．（1）若∠EMF＝80°，則∠AEM+∠CFM＝．（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作射線EN，F(xiàn)N交于點N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，設(shè)∠EMF＝α，猜想∠ENF的度數(shù)（用α表示），并說明理由．（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線EP，F(xiàn)P交于點P，作射線EQ，F(xiàn)Q交于點Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，請直接寫出∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．19．（2022春?西崗區(qū)期末）如圖1，AB∥CD，點P，Q分別在AB，CD上，點E在AB，CD之間．連接PE，QE，PE⊥QE．（1）直接寫出∠BPE與∠DQE的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，∠APE的平分線PG和∠CQE的平分線QH的反向延長線相交于點G，求∠G的度數(shù)；

（3）如圖3，M為線段PE上一點，連接QM，∠BPE和∠MQD的平分線相交于點N，直接寫出∠PNQ和∠MQE的數(shù)量關(guān)系為．20．（2022春?宜春期末）問題：已知線段AB∥CD，在AB、CD間取一